CC BY
63
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070
УДК53
М.А. Суворова
аспирантка 2 курса кафедры «Фундаментальной и прикладной математики» Российский государственный гуманитарный университет
г. Москва, Российская Федерация
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ И ПОСТРОЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ КОМПАКТНЫХ КОММУТАТИВНЫХ ВПОЛНЕ НЕСВЯЗНЫХ КОЛЕЦ
Введение.
Алгебраические и топологические предпосылки использования системы счисления в алгебре и теории чисел. Вершиной теории топологических полей является два результата. Первый - результат Понтрягина о том, что каждое локально-компактное вполне связное топологическое поле может быть только полем действительных (комплексных) чисел или телом кватернионов. Второй - всякое вполне несвязное поле по теореме Х.Ю. Ковальского может быть либо полем p-адических чисел, либо его конечным алгебраическим расширением.
Теорема Ковальского.
Пусть K- непрерывное тело. Если тело имеет характеристику нуль, то в нем содержится простое тело Р0, изоморфное полю рациональных чисел, если же тело К имеет характеристику p>1, то в нем содержится простое поле Рр, изоморфное полю вычетов по модулю p.
Проблема общего описания конечных расширений p-адических полей, к сожалению, до сих пор не решена, но частные примеры таких расширений известны. Интерес к вполне несвязным полям связан со многими обстоятельствами математического прикладного характера. Дело в том, что согласно теореме Н. Джекобсона и Тосске 1935 г. [1, c.106] показано, что всякое локально-компактное кольцо может иметь топологию только двух видов. А именно, вполне связную и вполне несвязную, поэтому вполне несвязные поля представляют центральный интерес в теории полей. Кроме того, поля p-адических чисел первоначально появились как результат некоторого метода в теории чисел, и только потом этот метод привел к понятию р-адических чисел. Теперь поля р-адических чисел обычно рассматриваются как пополнение рациональных чисел (также как и действительных чисел) только в другой метрике, отличной от той, которая порождается расстояниями между рациональными числами. Эти метрики были открыты и изучены Островским А.М. [4, с.12]. Важность приложения р-адических чисел, а также возможность их расширения тесно связано с такими приложениями в криптографии (t-функции, детерминированные автоматы). Более того, интересно заметить, что часто для приложений важно не само поле, а только некоторое подкольцо этого поля. Например, поле р-адических чисел очень важно для приложений целых р-адических чисел. Такое кольцо как раз и является компактным коммутативным с единицей и вполне несвязным. Поэтому вполне резонно рассмотреть общее строение коммутативных компактных колец с единицей, которые, конечно, не обязательно уже будут подкольцом некого вполне несвязного поля, но когда такого типа кольцо окажется без делителя нуля, то согласно общей теореме такое кольцо вкладывается в поле. Таким образом, все подкольца конечных расширений полей р-адических чисел содержатся среди указанных колец. Поэтому изучение общей структуры таких колец, то есть коммутативных, компактных и вполне несвязных являются одновременно одним из подходов к решению проблемы о строении локально-компактных вполне несвязных полей. В работе Джекобсона [2, с.10] изучается подробно строение общих локально-вполне несвязных колец, им получены исчерпывающие до настоящего времени результаты, касающиеся строения так называемых колец характеристики р, а также строения коммутативных вполне несвязных групп, из этих результатов могут быть получены конкретные следствия для специально построенных вполне несвязных компактных колец исходя из различных систем счисления. Иначе, пополнение колец можно осуществлять не по метрике, а по системе счисления. Если мы имеем позиционную систему счисления по степеням простого р, то эти пополнения эквиваленты, а если мы пополняем кольцо целых чисел по позиционной системе (6n , 10n, и т.д.) , то мы
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070
получаем вполне несвязные коммутативные кольца с единицей, которые уже не могут быть подкольцом вполне несвязного поля. Но согласно теории Джекобсона кольца представляются прямой суммой колец, каждая из которых будет подкольцом вполне несвязного поля. Например, позиционная система, 10n , порождает кольцо К10, которая по теории Джекобсона должна быть суммой колец К2+К5. При этом К2 изоморфно кольцу целых 2-адических чисел, кольцо К5 изоморфно кольцу 5-адических чисел. Этот результат есть частный случай результата Малера. Аналогичные примеры можно построить и для других позиционных систем и необязательно однородных, и не обязательно в кольце целых чисел. Например, в теории чисел с самого начала очень эффективно применялись такие понятия, как кольцо поле-адических чисел. (Е.В. Новоселов)и другие.
Следует отметить, что системы счисления сами по себе представляют большой интерес в информатике. Это связано с тем, что требуется кодировка натуральных чисел каким-нибудь конечным набором символов. Это могут быть конечные наборы, 0 и 1., тогда мы получаем числа в стандартном разложении из 0 и 1. Также могут быть вариантами обычных десятичных систем, например, системы из трех символов, которые в некотором смысле являются наиболее актуальными в криптографии. Таким образом, необходимым требованием кодировочного представления натуральных чисел является фиксирование числа символов.
Наконец заметим, что сами по себе компактно-коммутативные кольца являются хорошими объектами для изучения методов алгебры и анализа. Если компактное кольцо рассматривать только лишь как группу по сложению, то в ней согласно теории имеется инвариантная вероятностная мера (мера Хаaра), и поэтому можно применять методы гармонического анализа, хорошо развитого для топологических компактных групп - работы Райковым Д.А. С другой стороны, вполне несвязная топология даёт структуру элементов этого кольца в виде бесконечной последовательности символов из некоторого алфавита. Таким образом, все пополнения систем счисления 2-адических, 3-адических, 10-адических чисел представляются в виде бесконечной последовательности из двух символов (0, 1) или трех символов (0, 1, 2).
1. Построение вполне несвязных колец с помощью различных систем счисления.
Системы счисления - символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления делятся на три группы: позиционные, непозиционные и смешанные.
Позиционная система счисления - если количественные значения символов, используемых для записи чисел, зависят от их положения, места, позиции в коде числа. В позиционной системе счисления любое с наперед заданной точностью число N может быть представлено в следующей форме: N(R) = ± Sf=1 ai • Rp-1, где R - основание системы счисления, а; — возможные цифры, р — определяет местоположение запятой в числе. Например, в истории математики известны системы, если R: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60 - Вавилонская система счисления, или нега-позиционная (-2, -3. -10), или симметричная система счисления. Итак, позиционное представление с основанием R =b определяется правилом, если дана дробь (,..a3a2a1a0.a-1a.2...)b = — +a3b3+a2b2+ a^+a0+ a-1b-1+a.2b"2+... Например, (520.3)6 = 5-62 + 2-61 + 0 +3-6"1 =192/. [3, c.35].
Непозиционная система счисления - если количественный эквивалент любой цифры не зависит от места её записи в числе и всегда постоянна. В непозиционной системе счисления каждая цифра имеет определенный количественный эквивалент, который не изменяется от местоположения цифры в записи числа. Например, единичная (унарная), римская система счисления.
Смешанная система счисления - является обобщением b-ичной системы счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел {bfe}£=0, и каждое число х в ней представляется как линейная комбинация: х = £fc=o akbk, где на коэффициенты ак, называемые, как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения. В зависимости от вида Ь^ как функции от k смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т.п. Например, фибоначчиевая система счисления, факториальная система счисления.
Кольцо R - это множество, на котором определены операции сложения и умножения, а также выполнены свойства:
1. Сложение определяет на R структуру коммутативной группы.
2. Умножение ассоциативно a(bc)=(ab)c, V a,b,c е R.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070
3. Согласно со сложением по закону дистрибутивности: a(b+c)=ab+bc, (a+b)c=ac+bc, V a,b,c е R., в частности, a-0=0-a=0, V a е R
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным.
Если существует такой элемент 1 е R, что 1-a=a- 1=a, V a е R, то такой элемент называется единицей, а кольцо называется кольцом с единицей.
Аддитивные группы целых чисел адических колец (т.е. колец, получаемых пополнением кольца целых или натуральных чисел с помощью некоторой системы счисления). Такая группа является компактной, коммутативной с вполне несвязной топологией и единственным порождающим элементом, который является единицей. Таким образом, эту группу можно рассматривать как состоящую из группы целых чисел и добавленных элементов, полученных в результате топологического пополнения. Все элементы этой группы в действительности представляются счетным последовательностями, где на каждом месте применяется алфавит из какого-то множества натуральных или даже целых чисел. Например, в случае построения 2-адических чисел мы имеем алфавит (0,1) в случае 10-адических - имеем алфавит (0,1,2 до 9) и т.д.
Самая важная ценность свойства таких групп состоит в том, что они порождаются одним элементом. В нашем случаем, как видно, таким элементом является единица. Это позволяет для изучения таких групп эффективно использовать теорию характеров Понтрягина. [6, c.244].
Системой целых чисел называется кольцо (Z, +,•), которое удовлетворяет следующим условиям:
1. Оно содержит полукольцо натуральных чисел (N, +,•);
2. Всякий элемент из Z принадлежит одному из подмножеств N, {0} и -N={-n|neN}.
Системой рациональных чисел называется поле (Q, +,•), удовлетворяющее следующим условиям:
1. Оно содержит кольцо целых чисел (Z, +,•);
2. Всякий элемент из Q представим в виде отношения целых чисел, т.е. для любого q е Q существует a, b е Z такие, что b Ф 0 и q = a/b.
Подполе поля (Р, +,•) называется подмножество Н£Р, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Н замкнуто относительно сложения и умножения, т.е. если a, bеH, то a+bеH и a•bеH .
2. Нуль и единица поля принадлежат Н.
3. Если a е H, то -a е H, и если, кроме того, a^0, то a-1 е H.
Теорема 1. Система (Р, +,• ) есть система рациональных чисел тогда и только тогда, когда она является минимальным полем, содержащим кольцо целых чисел.
Теорема 2. Система (Q, +/Х) является системой рациональных чисел.
Кольцо m-адических чисел. Натуральное число m>1 m-адическое число всякая запись вида ...anan-1...a1ao , a-1 ...a.k, где буквы с индексами обозначают цифры m-ичной системы счисления, а многоточие в начале записи указывает на наличие вполне определенной бесконечной «дорожки» цифр. Если цифры после запятой отсутствуют, то запись называется целым m-адическим числом. Например, m=10 получаем 10-адические числа: .0023; .273; ..00,00.. Два m-адических числа будем называть равными, если равны их соответствующие цифры. Для m-адического числа а = ...anan-1...ao,a-1...a-kпри n=-k, ..., 0, 1, ... m-адическое число an=...00anan-1...a1ao, a.1...a.k назовем приближенным значением числа а. Сложение и умножение m-адических чисел коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения. Для всякого m-адического числа а существует противоположное m-адическое число -а. Множество Qm относительно сложения и умножения образует кольцо, которое называется кольцом m-адических чисел.[5, c.121].
Системой комплексных чисел называется минимальное поле, содержащее поле действительных чисел и элемент i такой, что i2 = -1. Если выполнены условия:
1. (С +,•) - поле
2. Поле действительных чисел (ff +,•) содержит в поле (С +,•).
3. Существует i е C такой, что i2= -1
4. Если Со - подполе, содержащее R и i, то Со=С.
Теорема 3. Система (С, +,•) является системой комплексных чисел.
Выбор основания 2i приводит к интересной системе счисления. Такая система обладает необычным
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070
свойством, заключающимся в том, что в ней любое комплексное число может быть представлено без знака при помощи цифр 0,1,2 и 3. Используя основание i — 1, можно также получить «бинарную» комплексную систему счисления, предложенную У.Пенни
(.. .a4a3a2aiao.a_i.. .)м=
= ...4а4 + (2 + 20 • а3 — 2i • а2 + (i — 1) • % + ао —-(i + 1) • а-1 + —.
Кольцом двойных чисел называется коммутативное кольцо (Di, +, • ), содержащее поле действительных чисел (R, +, • ), элемент ii такой, что ii2 = 1 и всякий элемент из Di представим в виде a+bi, где a,b е R.
Кольцом дуальных чисел называется коммутативное кольцо (De +, •), содержащее поле действительных чисел (R, +, •), элемент io£R такой, что io2=0 и всякий элемент из Do представим в виде a+bio, где a,b eR.
Необходимо найти базис кодирования натуральных чисел (вплоть до да).Рассмотрим ao + а1 • ¿о + •
¿о • ¿1 + йз • ¿о • • ^2 + — + ап • ¿о • ¿1 — где ао < ¿о, ¿о < а1 < ¿1, — , ^n-i < ап < ^
Теорема 4. ¿ог1г2 — tn > ао + а1 • ¿о + а2 • ¿о • i1 + — + ап • ¿о • i1 — tn-1.
Доказательство. Рассмотрим наибольшее из множеств по наибольшим коэффициентам. Т.к. ау < ¿у, то max ау = ¿у — 1. Тогда ао + а1 • ¿о + а2 • ¿о • i2 + — + ап • ¿о • i1 — in-1 =
= (¿о — 1) + (¿1 — 1) • ¿о + (¿2 — 1)^1 + — + (¿п — 1)^1 —. in-1 =
= ¿о + +----+ ¿о ¿1 - in — (1 + ¿о + ¿о ¿1 +----+ ¿о ¿1 - in-1) =
= £о£1 — Jn-1 < £о£1 — Jn.
Последовательность натуральных чисел назовем базой Ьо^^ — ^п, если существует натуральные числа Со, с1, —, сп, такие, что каждое натуральное число может быть представлено в виде комбинации ао + а1 • Ь1 + а2 • Ь2 + —+ где Ьо = 1,0 < ао < со — 1,0 < % << с1 — 1,...,
0 < а^- << сп — 1, и Со,с1, — сп — другая последовательность натуральных чисел. Частный случай, когда все ¿^ = т, то имеет место, m-адическая запись. Например, при = 2 имеют место целые 2-адические числа, приЬп = рп - целые p-адические числа.
Пусть (ао, а1, —, ап,..) и ß(^, —, ßn, — ) - бесконечные последовательности символов. Если по сложению они образуют коммутативную группу, а при умножении произведение можно снова разложить по базису, то можно построить кольцо. Тогда при определенных условиях можно будет ввести топологию локальной вполне несвязности. По теореме Тосске-Джекобсона это кольцо будет полем, когда оно вполне несвязно.
Теорема 5. Если различные натуральные числа Ь1, Ь2, — ,ЬП образуют базис натуральных чисел с коэффициентами со,с1, — ,сп, то существуют натуральные ¿о, i1, —, in > 2, такие, что Ь1 = го, Ь2 = ¿о^1, —, Ьп = ¿оi1 — in-1 и Со = ¿о, с1 = i1, —, cn = ¿п, где 0< а; < Со — 1 и К=ао + а1Ь1 + а2&2 + — + ап^п. Рассмотрим три различных случая:
1.N < Ь. Отсюда следует, что N< ао, где ао < со — 1. Следовательно, со — 1 < Ь1 или со < Ь1 + 1. Покажем, что Со = Ь1. Допустим, что между Со и Ь1 существует какие-либо целые числа, то есть Со + 1 < Ь1.
Тогда Со + 1 = ао, но ао < Со — 1, т.е. ао < Со — противоречие. Следовательно, Со = Ь.
2.N=b1, следовательно, ао = 0 — тривиально.
3.Если Ь1 < N < Ь2, то из определения базы следует, что N=a0 + а1Ь1, где ао ^ 0 и а1 < с1 — 1. Получаем, что N может быть равным 1+Ь1, 2 + ^ — Ь1 — 1 + Ь1 = 2Ь1 — 1. Если 2Ь1 ^ ¿2, то при каком-то s, sb=b2. Следовательно, (с1 — 1)Ь1 < Ь2, но (Ь1 — 1) + (с1 — 1)Ь1 = с1Ь1 — 1. Отсюда следует, что С1Ь1 = Ь2. Если Ь1 = i1, то = i 1 i2 и ¿2 = с1.
Таким образом, разложение по базисам (Ьп) является неоднородной позиционной системой счисления. А указанная теорема является характеристическим свойством позиционной системы. С помощью базиса { Ьп } можно определить понятие кольца формальных рядов с целыми коэффициентами 0< aj < Cj — 1. Это кольцо, порожденное данным базисом. Элементы кольца состоят из всех формальных рядов вида Еп=оап^п . Необходимо определить сложение и умножение для {Ьп}.
Лемма 1. сЬп = ^п + 71^+1 + 72^+2 + — + 7тЬп+т.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070
Разложим c по новому базису: с = у0 + yiin+i + 72tn+2 + — + 7n^n+n с условиями у0 < in+i,yi < tn+2> тогда cbn = 70(n)bn + 71(п)Ьп+1 + — + 7?(n)bn+n. Т.к. c и Ьп — натуральные числа, то такая конструкция конечна. В частности, bnbm = • Ьп + c^f • bn+i + - + 4+d(bm,n) • ön+d(bm,n> гДе т< п. Тогда по
лемме: (ап + = 7о(П) • Ьп + 7i(n) • bn+i + — + у^п) • ön+fc•
С каждой базой строим связанное кольцо: Ьп • bm = c(n,m) + c(n,m)b1 + — + Здесь ЬпЬт
разлагается по базе, где с(п,т) — структурные константы. Выполняется ассоциативность: (ЬпЬт)Ьг =
Ьп(ЬтЬг).
Сложение рядов определяется тогда следующим образом:
1. Рассмотрим сумму (ап + Ьп) как сумму натуральных чисел. Если эта сумма < ¿п+1 — 1, то япЬп +
jM« = + ^пЖ;
2. Если an + = in+i, то апЬп + ßnbn = bn+i;
3. Если ап + > к • ¿п и k при этом < in+i, то раскладываем сумму an + по новому базису: ап +
^п = 7о + • сп + 72 • cn+i + Уз • сп+2 + —, где cn = ¿n,cn+i = Vn+i, ■■■, cn+m = Vn+i ■■■ ¿n+m.
4. Если ап + > к • in+i + г, то ап • Ьп + • Ьп = г • bn+i + к • bn+i и тд. Тогда сумму любых рядов можно определить следующим образом:
а0 + ai • bi + а2 • Ь2 + — +00 + 0i • bi + & • ¿2 + — ao+^o = 7o(0)+7i(0)^bi + — + 7fc(0)^bfeo
ai • bi + ^ • bi = 7i(i) • bi + 72(i) • ¿2 + — + ¿f • bfcl.
Постепенно символы будут стабилизироваться: выделяем сначала первый элемент у0(0) — он уже стабилен, так как встречается только один раз. Затем суммируются элементы с индексом 1Т0(0) • bi + 7i(i) • bi = (7i(0,i)^i + — ).
Таким же образом суммируем все элементы с одинаковым индексом и группируем. Уд0) + 7x(0,i) • bi + у2(0,2) + —Операция сложения коммутативна (на сумму влияет только конечное число элементов, приблизительно равное числу натуральных чисел) и ассоциативности. Очевидно, что нулем будет последовательность, где все коэффициенты aj равны нулю. Покажем, что для любого ряда существует ему противоположный: l = 1+0+0. - единица по умножению -l = (ii — 1) + (¿2 — 1) • bi + (¿3 — 1) • ¿2 + — . Определим умножение, чтобы определить—а = —1 • а:
(«0 + ai • bi + Я2 • ¿2 + — + От • Ьт) • (00 + ft • bi + 02 • ¿2 + — + •
Будем рассматривать a^bj • .Умножаем как числа и раскладываем по базису: а^ • = y(i,J') • Ьу + —- сумма конечная с данными i и j, где i < у. Тогда у0(0) + 71(0) • bi + у2(0) • Ь2 + — 7i(i) • bi + 72(i) • Ь2 + —
72(i)^2 + —
Дальние концы при этом можно отбросить, так как они не влияют на стабильные элементы. Умножение коммутативно, дистрибутивно. Таким образом мы получим -1. Тогда по определению -a = — I • а.
—а + а = —Z • а + а • Z = а • (—I + 0 = а • 0 = 0. Имеем групповую операцию по сложению и умножению, значит, мы получили кольцо рядов на базе b. Таким образом, мы можем представить некоторую модель в символах. Теперь, построим кольцо, которое будет состоять из всех рядов вида Й0 + ai • bi + Й2 • ¿2 + —, где каждый такой ряд записан однозначно и где bi — символ с таким умножением, а ai — символ натурального числа и 0 < Й0 < ¿0 — 1, 0 < ai < ii — 1. Ряд, в котором все а^ — нули эквиваленты нулевому (нейтральному) элементу в кольце. В кольце с определенными операциями сложения и умножения есть нетривиальные идеалы - они возникают благодаря переносам. Построим гоморфизм факторизации по идеалу. Пусть I - двусторонний идеал в нашем кольце рядов R. Определим по нему отношение эквивалентности на R по правилу: х~у тогда и только тогда, когда разность х — у 6 /. Проверяется, что если
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10-3/2016 ISSN 2410-6070
в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, то новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом, операции сложения и умножения становятся определенными на множестве R/I классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца R). Одновременно с этим кольцом определен гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) я: R ^ у, который каждому элементу a из R ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента а есть множество элементов вида а + î по всем i из идеала I, поэтому он обозначается а + /, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности [а]. Поэтому я(а) = [а] = а + /. Кольцо R/I при этом называется факторкольцом кольца R по идеалу I. Заключение
В настоящей работе показано построение вполне несвязных колец с помощью различных систем счисления. Основанием для изучения теории была теорема Ковальского о конечном расширении поля p-адических чисел, которая послужила отправной точкой в данной работе. Однако, работа Ковальского тесно связана со статьей Натана Джекобсона о вполне несвязных локально компактных кольцах, которая стала фундаментальной для данной работы. Проблема о сложности вычислений в кольце является одним из сложных и актуальных вопросов настоящего времени. Список использованной литературы:
1. N.Jacobson and O.Taussky, Locally compact rings, Princeton University and Bryn Mawr College, vol.21, 1935.106 c.
2. N.Jacobson, Totally disconnected locally compact rings, The Society, April 19, 1935.-10 c.
3. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение. М.:МЦНМО, 2004. - 35 c.
4. Коблиц Н. p - адические числа, p - адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982.-12 с.
5. Ларин. С.В. Числовые системы: Учеб. пособие для студ. пед. Вузов. - М.: Издательский центр «Академия», 2001.-121 c.
6. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. Издательство: М., Наука, Физматлит, 1973.-244 c.
© Суворова М.А., 2016
