О кольцах квазиэндоморфизмов некоторых сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 18 Выпуск 2

УДК 512.541 Б01 10.22405/2226-8383-2017-18-2-245-255

О КОЛЬЦАХ КВАЗИЭНДОМОРФИЗМОВ НЕКОТОРЫХ

СИЛЬНО НЕРАЗЛОЖИМЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ РАНГА 4

А. В. Чередникова (г. Кострома)

Аннотация

Кольцом квазиэндоморфизмов £ (С) абелевой группы С без кручения конечного ранга называется делимая оболочка кольца эндоморфизмов этой группы. Элементы кольца £ (С) называются квазиэндоморфизмами группы С. Таким образом, квазиэндоморфизмы группы С — это обычные эндоморфизмы, формально поделенные на ненулевые целые числа.

В статье рассматриваются кольца квазиэндоморфизмов класса сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4 с одним т-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранга 1. При этом используется описание групп этого класса с точностью до квазиизоморфизма в терминах четырехмерных над полем рациональных чисел <Ц> подпространств алгебры <Ц>(т) = ® ПР ер ^р-, гДе Р — множество простых чисел, (тр) — занумерованные простыми индексами р неотрицательное целое число и символ го, т = [(шр)] — фиксированный тип, Кр = — кольцо классов вычетов по модулю ртр в случае

тр < го, и Кр — кольцо целых р-адических чисел при тр = го. Существующая связь между квазиэндоморфизмами группы С рассматриваемого класса и эндоморфизмами соответствующего ей подпространства V алгебры <Ц>(т) позволяет представить квазиэндоморфизмы этой группы в виде матриц порядка 4 над полем рациональных чисел.

В работе получена классификация колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых абелевых групп без кручения ранга 4, с одним т-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранг 1. Доказано, что с точностью до изоморфизма существует 2 алгебры и 1 бесконечная серия алгебр с рациональным параметром, которые реализуются в качестве колец квазиэндоморфизмов рассматриваемого класса групп.

Ключевые слова: кольцо квазиэндоморфизмов, абелева группа, группа без кручения конечного ранга, сильно неразложимая группа.

Библиография: 17 названий.

ON QUASI-ENDOMORPHISM RINGS OF SOME STRONGLY

INDECOMPOSABLE TORSION-FREE ABELIAN GROUPS OF RANK 4

A. V. Cherednikova (Kostroma) Abstract

By the quasi-endomorphism ring £(G) of a torsion-free Abelian group G of finite rank we mean divisible hull of the endomorphism ring of the group. The elements of £(G) is called quasi-endomorphisms of G. Thus the quasi-endomorphisms of the group G is normal endomorphisms, which formally divided by non-zero integers.

In the paper it is considered quasi-endomorphism rings of class of strongly indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with one T-adic relation, whose pseudo-socles have rank 1. Let t = [(mp)] be a fixed type, where mp is a non-negative integer or the symbol ro, indexed by

elemets of P, the set of primes numbers. Denote by Kp = Zp™P the residue class ring modulo pmp in the case mp < <x> and ring of p-adic integers if mp = <x>. We use the description of the groups from the above class up to quasi-isomorphism in terms of four-dimension over the field of rational numbers Q subspaces of algebra Q(r) = Q®riP ep ^e existing relationship between the quasi-endomorphisms of a group G of this class and endomorphisms of the corresponding of this group subspace U of the algebra Q(t) allows us to represent the quasi-endomorphisms of the group G in the form of a matrices of order 4 over the field of rational numbers.

In this paper, a classification of the quasi-endomorphism rings of strongly indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with one r-adic relation, whose pseudosocles have rank 1, is obtained. It is proved that, up to isomorphism, there exist two algebras and one infinite series of algebras with rational parameter, which are realized as quasi-endomorphism rings of groups of this class.

Keywords: quasi-endomorphism ring, Abelian group, torsion-free group of finite rank, strongly indecomposable group.

Bibliography: 17 titles.

1. Введение

Всюду в статье слово «группа» будет означать абелеву группу без кручения конечного ранга, записанную аддитивно.

Задача классификации колец квазиэндоморфизмов абелевых групп без кручения малых рангов возникла в 1961 году в связи с введением Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом в совместной работе [1] понятия «кольца квазиэндоморфизмов группы» — минимальной рациональной алгебры, содержащей кольцо эндоморфизмов этой группы. В этой же работе они указали с точностью до изоморфизма все алгебры, реализующиеся в качестве колец квазиэндоморфизмов групп ранга 2. Понятия и конструкции, разработанные Дж. Рейдом в работе [2] позволили использовать кольца квазиэндоморфизмов группы как при изучении самой группы, так и ее кольца эндоморфизмов. Классификация колец квазиэндоморфизмов групп ранга 3 была получена автором в конце 1990-х годов [3, 4, 5].

Задача классификации колец квазиэндоморфизмов групп ранга 4 в настоящее время не является полностью решенной. На пути ее решения автором получен ряд результатов. В частности, классификационная задача полностью решена для почти вполне разложимых групп ранга 4 [6, 7].

В рамках рассматриваемой проблемы наибольший интерес представляет случай сильно неразложимых групп. В монографии Т. Фатикони [8, теорема 4.4.9] представлено решение классификационной задачи для сильно неразложимых групп ранга 4, совпадающих со своми псевдоцоколями. Изучению колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп ранга 4, отличных от своих псевдоцоколей, посвящены работы автора [9] и [10].

Настоящая работа посвящена задаче классификации алгебр квазиэндоморфизмов сильно неразложимых групп ранга 4 с одним т-адическим соотношением, псевдоцоколь которых имеет ранг 1.

2. Предварительные сведения

2.1. Основные определения и обозначения

Пусть Q — поле рациональных чисел и С — произвольная группа. Тогда Q ® С является ее делимой оболочкой, которую можно рассматривать как векторное пространство над 0>, аддитивная группа которого содержит С в качестве подгруппы. Пусть группа Н содержится в делимой оболочке Q ® С группы С.

Говорят, что группы G и H квазиравны и пишут G = H, если существуют натуральные числа п и т, такие, что nG С H и тН С G.

Определение 1. Семейство ненулевых подгрупп G i (г G I, где I — конечное множество) делим,ой оболочки Q&G группы G называется квазиразложением группы G, если G = Gi. При этом каждая из групп Gí называется квазислагаемым группы G. Группа G называется сильно неразложимой, если она не обладает, нетривиальными квазиразложениями.

Определение 2. Кольцом, квазиэндоморфизмов группы G называется кольцо всех линейных преобразований f прост,ране mea Q ® G таких, что nf (G) С G для некоторых ненулевых целых чисел п. Обозначим, его через S (G). Элементы из S (G) называются квазиэндоморфизмами группы G.

Таким образом, кольцо квазиэндоморфизмов S (G) представляет собой Q-алгебру, порожденную кольцом E(G) в кольце всех линейных преобразований пространства Q ® G.

Определение 3. Псевдоцоколем Soc G группы G называется сервант,ная подгруппа, порожденная всем,и, ее минимальными сервантными вполне характеристическими подгруппами.

Псевдоцоколь группы имеет важное значение при исследовании колец квазиэндоморфизмов сильно неразложимой группы. Это связано со следующим результатом, который мы будем использовать в дальнейшем.

Предложение 1 (Reid [2]). Пусть Р — некоторая (равносильно любая) минимальная сервантная вполне характеристическая подгруппа группы G и J(S(G)) — радикал, Джекоб-сона кольца, квазиэндоморфизмов S (G) группы G. Тогда,

dimQ (S (G)/J (S (G))) = r(P ),

где r(P) — ранг подгруппы, P.

В статье, кроме отмеченных в тексте, используются следующие обозначения: р — множество простых чисел; если p G Р, то Z(рт) — циклическая группа порядка рт при целом неотрицательном m, либо квазициклическая группа в случае m, = те; < U\,v,2, ...,ип >q — подпространство векторного пространства над Q, порожденное векторами U\,v,2, ...,ип\ м. л. п. с. — максимальная линейно-независимая система.

Отсутствующие в работе определения, факты и обозначения общеприняты и соответствуют [И, 12].*

2.2. т-адические числа

Характеристикой, называется последовательность (тр) неотрицательных целых чисел и символов те, занумерованная простыми индексами. Две характеристики эквивалентны, если они различаются не более чем в конечном числе конечных р-компонент. Класс эквивалентности характеристики (тр) называется типом и обозначается через т = [(тр)].

Пусть фиксирован тип т. Положим Кр = — кольцо классов вычетов по модулю ртр, если тр < го, и Кр = Zp — кольцо целых ^адических чисел в случае тр = те.

Определение 4. Алгебра над полем рациональных чисел

) = Q ® П кр

р еР

называется, алгеброй, т-адических чисел, а, ее элементы — т-адическими числам,и.

Заметим, что алгебра т-адических чисел, введенная Фоминым [13], представляет собой обобщение поля р-адических чисел и кольца универсальных чисел Куликова [14].

Любое т-адическое число а представляется в виде а = г ® (счр), где г € 0>, (ар) € Прер ^р-Причем это представление не является однозначным.

Наибольший показатель Нр степени простого числа р, для которого рНр делит ар € Кр называется р-высотой элемента ар в кольце Кр. При этом, если ар = 0, то 1гр = тр. Типом т-адического числа, а = г ® (ар) называется набор ^^таот (1гр) элементов ар € Кр по всем простым числам р. Тип т-адического числа а не зависит от выбора представления числа а и меньше либо равен т. Свойства т-адических чисел изложены в [15, 16].

2.3. Группы с одним т-адическим соотношением

Класс $ групп с одним т-адическим соотношением был выделен А. А. Фоминым [15] при решении задачи построения инвариантов, описывающих абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма, в духе работы Бьюмонта-Пирса [1].

Пусть С — группа конечного ранга и т — некоторый фиксированный тип. Положим С(р) = С/ртрС, если тр < го, и С(р) = Ср — р-адическое пополнение группы С в случае тр = го. Тогда СТ = Q ® Пр еР ^(р) не зависит от выбора характеристики типа т, и называется т-адическим пополнением группы С [15]. Отметим, что Ст является модулем над кольцом 0>(т).

Определение 5 ([15]). Группа С с м. л. н. с. х\,х2, ...,хп, для которои в т-адическом пополнении группы Ст выполнено равенство

(1\Х\ + (12X2 + ... + апхп = 0 (1)

со взаимно простыми в совокупности т-одическим,и коэффициентами, называется группой с одним, т-адическим, соотношением.

Соотношение (1) называется порождающим соотношением группы С. Любое другое порождающее соотношение группы С получается домножением соотношения (1) на обратимые т-адические числа.

Замечание Пусть Р — свободная подгруппа ранга п группы С ранга п. Известно, что

А/Р = 0(г) ® ... ® 2)),

р еР

где 0 < г\р < ... < гпр < го — целые неотрицательные числа или символы го. Положим Т\ = [(¿1р)], ...,тп = [(гПр)]- Набор типов т\ < ... < тп те зависит от выбора подгруппы Р и называется типом, Ричмена группы С [17]. Класс $ групп с одним т-адическим соотношением совпадает с классом групп, имеющих тип Ричмена 0, 0,..., т ([16], глава II, § 7).

Рассмотрим краткое описание инвариантов коредуцированных (т. е. не содержащих свободных прямых слагаемых) групп класса

Говорят, что подпространство и = < а1, ...,ап ^ алгебры Q(т) имеет нулевой тип, если т-адические чиста в совокупности взаимно просты. Конечномерные над 0> подпространства и и V нулевого типа алгебры 0>(т) называются эквивалентными, если существует обратимое т-адическое число а такое, что и = аУ.

Пусть С — коредуцированнная групп а класса $ ранг а п > 1. В этом слу чае т-адические коэффициенты а1,...,ап порождающего соотношения (1) в совокупности взаимно просты и образуют базис подпространства и = < а1,..., ап ^ адгебры 0>(т). Класс эквивалентности [и] подпространства и нулевого типа алгебры Q(т) размерноети п тад Q является инвариантом группы О, который называется т-адическим, инвариантом, размерности п.

Пусть и — конечномерное над ^ ^^^^^^^^^^тство алгебры 0>(т). Тогда и ~.и = {а € Q(т) | аи С и} замкнуто относительно умножения, содержит единицу и является конечномерной над ^ алгебры 0>(т).

Предложение 2 ([16]; теорема 111.4.1). Пусть коредуцированной группе С конечного ранга соответствует пространство нулевого типа и, и С Q(т). Тогда, алгебра квазиэндоморфизмов £ (С) группы С изоморфна конечном,ер ной над Q подалгебре и : и алгебр ы В частности, £ (С) — коммутативное кольцо.

Предложение 3 ([16]; теорема 111.4.9). Пусть С — коредуцированная группа конечного ранга класса, ^ с т-одическим, инвариантом, [и]. Группа С сильно неразложима тогда и только тогда, когда в и : и отсутствуют нетривиальные идемпотенты.

3. Основной результат

Соглашение В нижеследующей теореме нижний индекс 1 в обозначении алгебры А^

есть ее размерность над верхний индекс j — порядковый номер алгебры. Кроме этого, в

(2)

обозначении алгебр А4 ;(п), В4(к, п), а также в записях представляющих их матриц, п и к — рациональные параметры.

Теорема 1. Пусть С — сильно неразложимая, абелева группа без кручения ранга 4 с одним, т-одическим, соотношением и Бос С имеет ранг 1. Кольцо К реализуется в качестве алгебры квазиэндоморфизмов £ (С) группы О, К = £ (С), тогда и только тогда, когда К изоморфно одной, из следующих алгебр:

(1)

А

А42)(п)

А

(3)

( X

0 X 0 0

0 0 X 0

\ 0 0 0 X /

( X У

0 X г

0 0 X У

\ 0 0 0 х /

х,у,х,1 € 0>

/ X У

0 X 0 У

0 0 X пх

V 0 0 0 X /

х,у,г,1 € 0>

х,у,г,1 € 0>

Доказательство. Пусть С — группа, удовлетворяющая условию теоремы и [и] — ее т-адический инвариант, где и является подпространством нулевого типа алгебры 0>(т). Очевидно, что С является коредуцированной группой. Согласно предложению 2 кольцо квазиэндоморфизмов £ (С) группы С коммутативно и изоморфно подалгебре и : и алгебры 0>(т). При этом и : и = и и Сгт^(и : и) = Ст^.(и) = 4 (см. [15, следствия 4.2 и 5.4]). Так как БосС имеет ранг 1, то на основании предложения 1 имеем Мт^(и/!(и)) = 1, где !(и) — радикал Джекобсона кольца и. Согласно предложению 3 в кольце и отсутствуют нетривиальные идемпотенты. Следовательно, в качестве базиса пространства и можно выбрать систему т-адических чисел 1,а, где 1 — единица кольца 0>(т), а являются необратимыми

линейно независимыми т-адическими числами. Значит, для некоторой м. л. н. с. Ж1,Ж2,Жэ,Ж4 группы С в ее т-адическом пополнении СТ выполняется равенство Ж1 + ах2 + + 7Ж4 = 0.

Пусть <р — произвольный элемент и : и, через обозначим соответствующий <р квазиэндоморфизм группы С при изоморфи зме £ (С) и и : и (см. предложение 2). Отметим, что между квазиэндоморфизмами группы С и элементами алгебры и : и, представляющими собой домножения на т-адические числа, которые переводят и в и, имеет место следующее соответствие (см. [16, глава III, §4]):

( и(х1) \ !<р(х 2)

V ЪЫ) )

= Т1Г.

( Х\\

Х2 Х3

(2)

где Т,р — матрица эндомор физма р € и : и. Обозначим через Т^ матриц у, столбец которой есть координатный столбец элемента ) относительно

м. л. н. с. Х\,Х2,Хз,Х4 группы С, и назовем ее матрицей квазиэндоморфизма Тогда из равенства (2) следует, что

= №

(3)

где (Т^У

ир) матрица, транспонированная к Т^. Известно [10], что кольцо квазиэндоморфизмов сильно неразложимой группы ранга 4, псевдоцоколь которой имеет ранг 1, является с точностью до изоморфизма подалгеброй следующей алгебры:

А

( X У г г \

0 X и V

0 0 X

\ 0 0 0 X )

X, у, X, € 0>

Так как £ (О) С А, то, в силу равенства (3), координатный столбец элемента является первой строкой матрицы Tfv € £ (С). Отсюда и ввиду того, что ) = 4, элементы первой

строки произвольной матрицы алгебры £ (С) должны быть линейно независимы над 0>.

Пусть К — коммутативное подкольцо кольца А, элементы первой строки произвольной матрицы которого линейно независимы над ^ и .](К) — его радикал Джекобсона.

Непосредственные вычисления показывают следующее:

1) если .](К)2 = 0, то К =

( х

0

0 0

У х 0 0

t \ 0 0

X

/

х,у,г,1 € ^ = А

(1).

2) если 3 (К )2 =0

Г / X У * 1 \

] 0 х 0 ку

Г 0 0 х пх

0 00 X /

3) если 3 (К )3 =0

х,у,г,Ь € т = В4(к, п);

( х

0

0 0

У х 0 0

t \

г

У

х

/

х,у,г,Ь € ^ = А

(3)

(3)

реализуются в качестве кольца ква-

Покажем, что каждая из алгебр а41), В4(к, п) и А зиэндоморфизмов некоторой сильно неразложимой группы ранга 4 класса с псевдоцоколем ранга 1.

3

Рассмотрим в подпространстве и = < 1,а,З,7 ><д нулевого типа алгебры 0>(т), где [и] — т-адический инвариант группы С, эндоморфизм домножения на р € и. Эндоморфизм р представляется с рациональными коэффициентами п, Г2, г4 в виде р = + Г2® + ГзЗ + Г47 и на базисных элементах действует следующим образом:

р1 = п1 + Г2а + ГзЗ + Г47, ра = г^ + г2а2 + г3/а + г4^а, р/ = пЗ + Г2аЗ + ГзЗ2 + Г41З, р7 = г 17 + Г2^7 + г3 З7 + ^472.

Пусть £( С) = а41). Согласно равенству (3) матрица Т<^ эндоморфизма р имеет вид

(4)

Т„ =

/ х 0 0 0 \

ух 0 0

х 0 х 0

V ^ 0 0 ж У

(5)

Из (4) и (5) следует, что для базисных элементов а, З, 7 радикала Джекобсона !(и) алгебры и выполняются следующие соотношения:

а2 = З2 = 72 = аЗ = а7 = З7 = 0.

(6)

Таким образом, алгебра а41) ревизуется в качестве кольца квазиэнд оморфизмов £ (С) группы С тогда и только тогда, когда необратимые элементы а, 3,7 пространства и удовлетворяют соотношениям (6).

Предположим, что £ (О) = В4 (к, п). В этом случае матрица Т^ эндоморфизма р имеет вид

Т? =

( х 0 У х 0

00 00

х 0

(7)

\ £ ку т х У

Тогда, учитывая (4) и (7), получаем, что базисные элементы а,З,7 радикала Джекобсона !(и) удовлетворяют соотношениям

а2 = к7, З2 = п7, аЗ = (Х7 = З7 = 72 = 0.

Возьмем в качестве базиса пространства ^элемент ы 1,а, З,7> гДе 7 = к7. Тогда в новом базисе матрица Т<^ эндоморфизма р имеет вид

^ =

( X 0 0 0

X 0 0

0 X 0

\ п X У

(8)

Отсюда на основании (3) матрица квазиэндоморфизма / € £( С), соответствующего эндомор физму р, имеет вид

/ х у г £ \ 0 х 0 у 0 0 ж п,г

\ 0 0 0 х У

Т* =

(9)

( X 0 0 0

У X 0 0

Z У X 0

\ t Z У х J

Следовательно, если необратимые элементы а, fi, 7 пространства U удовлетворяют соотношениям

а2 = 7, ¡32 = П7, afi = а.7 = fi7 = 72 = 0, (10)

то £(G) = A|(n). Очевидно, верно и обратное.

Замечание Легко видеть, что алгебры, отвечающие двум различным значениям параметра, изоморфны тогда и только тогда, когда отношение параметров является квадратом.

(3)

Допустим теперь, что £(G) = A4 . В этом случае матрица Т^ эндоморфизма р имеет вид

Tf = ! : : п . (п)

На основании (4) и (11) для базисных элементов a, fi, 7 радикала Джекобсона J(U) имеем

а2 = = 7,fi2 = «7 = = 72 = 0. (12)

Получили, что алгебра А^3) ревизуется в качестве кольца квазиэндоморфизмов £(G) группы q тогда и только тогда, когда необратимые элементы a, fi, 7 пространства U удовлетворяют соотношениям (12).

Пример 6. Пусть тип т = [(6,6,...)]. Тогда Q(r) = Q ® ПРер Zpe. Зафиксируем, т-адические числа, а = 1 ® (р3), fi = 1 ® (р4) и 7 = 1 ® (р5)- Рассмотрим подпространство U = < 1,a,fi,7 >q алгебры Q(r). Прост,ра,не meo U имеет нулевой тип, так как т-адические числа, 1,а,0,7 взаимно просты в совокупности.

Имеем тип а = [(3,3,...)], muп fi = [(4,4,...)] и muп 7 = [(5, 5,...)]. Следовательно, необратимые элементы a, fi, 7 пространства U удовлетворяют соотношениям (6). Значит,, £ (G) = а£°.

Пример 7. Пусть тип т = [(6,6, ...)] м Q(r) = Q ® ПРер Zp6. Рассмотрим т- одические числа, а = 1 ® (р2), fi = 1 ® (р5),7 = 1 ® (Р4)- Подпространсmeo U = < 1,a,fi,7 >q алгебры Q(t) имеет нулевой тип, тип а = [(2, 2,...)], muп 7 = [(5, 5,...)] и тип fi = [(4, 4,...)]. Тогда,

а2 = 7, /З2 = 0, afi = 017 = fi7 = 72 = 0.

Следовательно, для, необратимых элементов a, fi, 7 пространства U выполняются соотношения (10) для, случая п = 0. От,сюда, £(G) = А|(0).

Пример 8. Пусть тип т = [(4,4, ...)] м Q(r) = Q ®Пр ер Zp4. Рассмотрим сильно неразложимую группу G ранга 4 из ([16], пример 4-1 !)■ Соответствующее ей подпространство U нулевого типа алгебры Q(r), где [U] — т-адический инвариант группы G, имеет следующий, базис: 1,а = 1 ® (р), а2, а3. Легко видеть, что необратимые элементы a,fi,7 пространства

(3)

U удовлетворяют соотношениям (12). Следовательно, £ (G) = А4 .

4. Заключение

В работе получена классификация колец квазиэндоморфизмов класса сильно

т

псевдоцоколь которых имеет ранга 1.

Доказано, что с точностью до изоморфизма существует 2 алгебры и 1 бесконечная серия алгебр с рациональным параметром, которые реализуются в качестве колец квазиэндоморфизмов групп рассматриваемого класса. При этом серийные алгебры, отвечающие двум различным значениям параметра, изоморфны тогда и только тогда, когда отношение параметров является квадратом.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Beaumont R. A., Pierce R. S. Torsion free groups of rank two // Mem. Amer. Math. 1961. V. 38. P. 1-41.

2. Reid J. D. On the ring of quasi-endomorphisms of a torsion-free group // Topics in Abelian Groups. 1963. P. 51-68.

3. Чередникова А. В. Кольца квазиэндоморфизмов абелевых почти вполне разложимых групп без кручения ранга // Абелевы группы и модули. 1996. № 13-14. С. 237-242.

4. Чередникова А. В. Кольца квазиэндоморфизмов квазиразложимых абелевых групп без кручения ранга 3 // Абелевы группы и модули. 1996. № 13-14. С. 224-236.

5. Cherednikova А. V. Rings of quasi-endomorphisms of strongly indecomposable torsion-free abelian groups // Math. Notes. 1998. V. 63. № 5-6. P. 670-678.

6. Cherednikova A. V. Quasi-endomorphism rings of almost completely decomposable torsionfree Abelian groups of rank 4 with zero Jacobson radical //J. Math. Sci. 2014. V. 197. № 5. P. 698-702.

7. Cherednikova A. V. Quasi-endomorphism of almost completely decomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 that do not coincide with their pseudo-socles // Math. Notes. 2015. V. 97. № 3-4. P. 621-631.

8. Faticoni T. G. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups. Boca Raton-London- New York: CRC Press, 2007. 338 pp.

9. Cherednikova A. V. Rings of quasi-endomorphisms of strongly indecomposable tortion-free abelian groups of rank 4 with pseudosocles of rank 3 // J. Math. Sci. 2011. V. 177. № 6. P. 942-946.

10. Cherednikova A. V. Quasi-endomorphism rings of strongly indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with pseudosocles of rank 1 // J. Math. Sci. 2014. V. 197. № 5. P. 703-707.

11. Fuchs L. Infinite Abelian grops, Vol. 1. New York-London: Academic Press, 1970. 290 pp.

12. Fuchs L. Infinite Abelian grops, Vol. 2. New York-London: Academic Press, 1973. 363 pp.

13. Фомин А. А. Сервантно свободные группы // Абелевы группы и модули. 1986. Т. 6. С. 145164.

14. Куликов Л. Я. Группы расширений абелевых групп // Труды 4-го Всесоюзного матем. съезда (Ленинград, 1961). Т. 2. Л. 1964. С. 9-11.

15. Фомин А. А. Абелевы группы с одним т-адическим соотношением // Алгебра и логика. 1989. Т. 28. № 1. С. 83-104.

16. Фомин А. А. Абелевы группы без кручения конечного ранга с точностью до квазиэндоморфизма. Дис. ... д.ф.-м.н., МПГУ, \!.. 1992. 260 с.

17. Richman F. A Class of Rank-2 Torsion Free Groups. Studies on Abelian Groups, Berlin, Springer, 1968, 327-333.

REFERENCES

1. Beaumont, R. A., Pierce, R.S. 1961, "Torsion free groups of rank two", Mem. Amer. Math, vol. 38, pp. 1-41.

2. Reid, J. D. 1963, "On the ring of quasi-endomorphisms of a torsion-free group", Topics in Abelian Groups, pp. 51-68.

3. Cherednikova, A. V. 1996, "Quasi-endomorphism rings of almost completely decomposable torsion-free Abelian groups of rank 3", Abelian Groups and Modules, no. 13-14, pp. 237-242.

4. Cherednikova, A. V. 1996, "Quasi-endomorphism rings of decomposable torsion-free Abelian groups of rank 3", Abelian Groups and Modules, no. 13-14, pp. 224-236.

5. Cherednikova, A. V. 1998, "Rings of quasi-endomorphisms of strongly indecomposable torsionfree abelian groups", Math. Notes, vol. 63, no. 5-6, pp. 670-678.

6. Cherednikova, A. V. 2014, "Quasi-endomorphism rings of almost completely decomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with zero Jacobson radical", J. Math. Sci., vol. 197, no. 5, pp. 698-702.

7. Cherednikova A. V. "Quasi-endomorphism rings of almost completely decomposable torsionfree Abelian groups of rank 4 that do not coincide with their pseudo-socles", Math. Notes, vol. 97, no. 3-4, pp. 621-631.

8. Faticoni, T. G. 2007, "Direct Sum Decompositions of Tortion-Free Finite Rank Groups", CRC Press, Boca Raton-London-New York. 338 pp.

9. Cherednikova, A. V. 2011, "Rings of quasi-endomorphisms of strongly indecomposable tortionfree abelian groups of rank 4 with pseudosocles of rank 3", J. Math. Sci., vol. 177, no. 6, pp. 42-946.

10. Cherednikova, A. V. 2014 "Quasi-endomorphism rings of strongly indecomposable torsion-free Abelian groups of rank 4 with pseudosocles of rank 1", J. Math. Sci., vol. 197, no. 5, pp. 703-707.

11. Fuchs, L. 1970. "Infinite Abelian grops", Academic Press, vol. 1, New York-London. 290 pp.

12. Fuchs, L. 1973. "Infinite Abelian grops", Academic Press, vol. 2, New York-London. 363 pp.

13. Fomin, A. A. 1986, "Pure free groups", Abelian Groups and Modules, vol. 6, pp. 145-164. (Russian)

14. Kulikov, L. Y. 1964, "Groups of extensions of Abelian groups", Proc. of the 4th All-Union Math. Conf. (Leningrad, 1961), vol. 2, Leningrad, pp. 9-11. (Russian)

15. Fomin, A. A. 1989, "Abelian groups with one tau-adic relation", Algebra and Logic, vol. 28, no 1, pp. 83-104. (Russian)

16. Fomin, А. А. 1992, "Finite Rank Torsion-Free Abelian Groups up to Quasi-Isomorphism", Doctorate thesis in the physico-mathematical sciences, Mose. ped. gos. univ., Moscow. 260 pp. (Russian)

17. Richman, F. 1968, "A Class of Rank-2 Torsion Free Groups", Studies on Abelian Groups, pp. 327 333.

Костромской государственный технологический университет Получено 31.06.2016 Получено 4.01.2017 г. Принято в печать 12.03.2017 г.