CC BY
34
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2013 Математика и механика № 4(24)
УДК 512.541
А.В. Царев
Г-КОЛЬЦА И ФАКТОРНО ДЕЛИМЫЕ ГРУППЫ РАНГА 11
Показано, что классы факторно делимых групп ранга 1 и бесконечных
Г-колец совпадают.
Ключевые слова: Е-кольцо, Г-кольцо, факторно делимая группа.
В теории абелевых групп без кручения важную роль играют так называемые Е-кольца (ассоциативные кольца с единицей, канонически изоморфные кольцам эндоморфизмов своих аддитивных групп). В 1977 году Р. Боушел и Ф. Шульц рассмотрели и описали Е-кольца специального вида, которые они назвали Г-кольцами. При изучении самомалых групп конечного ранга А. А. Фомин и У. Уиклесс в 1998 году обобщили понятие факторно делимой группы на класс смешанных групп. Полное описание факторно делимых групп ранга 1 было получено О.И. Давыдовой в 2007 году. Замечено, что класс бесконечных Г-колец и класс факторно делимых групп ранга 1 совпадают. Доказательству данного факта и посвящена данная заметка.
Под «группой» в работе подразумевается абелева группа, записанная аддитивно, под «кольцом» - ассоциативное кольцо (не обязательно с единицей); Z, О и Зр - обозначения колец целых, рациональных и целых р-адических чисел соответственно или их аддитивных групп, Zm - кольцо классов вычетов по модулю т, Р -множество всех простых чисел, N - множество натуральных чисел. Если £ - подмножество К-модуля М, то через (5} и (5)К будем обозначать соответственно подгруппу и подмодуль, порожденные множеством 5, а через (5), - сервантную оболочку множества 5, состоящую из всех таких геМ, что пге(5) при некотором натуральном п. Заметим, что (5), содержит все элементы из М, имеющие конечные порядки. Элементы а1, а2, ..., ап группы А будем называть линейно независимыми (над Z), если равенство т1а1 + т2а2 +...+ тап = 0 влечет т1 = т2 = ... = тп = 0. Бесконечное множество называется линейно независимым, если линейно независимо любое его конечное подмножество. Рангом группы А называется мощность максимального линейно независимого подмножества в А (обозначается г(А)). р-рангом группы А называется размерность Zp-пространства А/рА (обозначается гр(А )). Рангом (р-рангом) кольца или модуля будем называть ранг (р-ранг) его аддитивной группы. Через /(А) и /р(А) будем обозначать соответственно периодическую и р-примарную часть группы А. Кольцо и группу эндоморфизмов группы А будем обозначать Е(А) и ЕпйА соответственно. Если К - кольцо, то через К+ будем обозначать его аддитивную группу. Групповая терминология, применяемая к кольцам, относится к их аддитивным группам.
Другие используемые в работе понятия и обозначения можно найти в [1].
1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы. Государственный контракт №14.В37.21.0363.
1. £"-кольца и Г-кольца
Определение 1.1. Кольцо K называется E-кольцом, если End K+ = EndKK+. Аддитивные группы E-колец называются E-группами.
Рассмотрим некоторые свойства E-колец:
а) K является E-кольцом тогда и только тогда, когда всякий эндоморфизм ф аддитивной группы кольца K совпадает с умножением справа кольца K на элемент ф(1).
Действительно, если K - E-кольцо и феЕМ K+, то ф(г) = ф(г-1) = гф(1). Обратно, если ф(г) = Гф(1), то ф(Г5) = (гу)ф(1) = г(5ф>(1)) = Гф(^).
б) E-кольцо K-коммутативно.
Пусть xeK и Lx - эндоморфизм левого умножения на x (Lx(y) = xy), а Rx - эндоморфизм правого умножения на x (Rx(y) = yx). Из п. а) следует, что Lx = RLx(r) = Rx. Это влечет xy = Lx(y) = Rx(y) = yx.
Предложение 1.1 [2]. Следующие утверждения равносильны:
1. K - E-кольцо;
2. Если феE(K+) и ф(1) = 0, то ф = 0;
3. Кольцо E(K+) коммутативно.
Р. Боушел и Ф. Шульц в [3] ввели близкое к E-кольцам понятие Г-кольца.
Определение 1.2. Кольцо K называется Т-кольцом, если умножение m: K®K^K, где m(a®b) = ab, является изоморфизмом.
Теорема 1.2 [3]. Следующие утверждения равносильны:
1. K - Т-кольцо;
2. Отображение d: K^ K®K, действующее по закону d(a) = 1®a, является изоморфизмом, обратным к m;
3. K - E-кольцо и K®K = K®kK;
4. a®b = b®a для любых a,beK.
Теорема 1.3 [3]. Следующие утверждения равносильны:
1. K - Т-кольцо;
2. K/t(K) изоморфно подкольцу поля Q, и если tp(K)^0, то tp(K) - циклическая группа и K/t(K) делится на p.
Примерами Т-колец служат подкольца (с единицей) поля Q и кольца классов вычетов. Кольцо целых p-адических чисел Jp является E-кольцом, но не является Т-кольцом (так как r(Jp)>1).
Пусть K - Т-кольцо, тогда, учитывая п. 2 теоремы 1.3 и изоморфизм
K/pK=[K/®q^tq(K]/[pK/®^ptq(K],
получаем, что rp(K)< 1 для любого простого p.
Лемма 1.4. Пусть A - редуцированная группа, все p-ранги которой конечны, тогда ее первая ульмовская подгруппа - нулевая.
Доказательство. Рассмотрим первую ульмовскую подгруппу A1 группы A, A1 = HmeN mA, и построим ее нулевой ульмовский фактор A0 = A/A1. Так как все p-ранги группы A конечны, то и все p-ранги группы A0 конечны. Следовательно, tp(A0) - конечная группа для всякого простого p. Пусть pn - верхняя грань порядков элементов группы tp(A0). Элемент aeA1 имеет бесконечную p-высоту в группе A, следовательно, уравнение pn+1y = a имеет решение y = y0 в группе A. Тогда pn+1(y0+A1) = a+A1 = 0 и y0+A'etp(A0), а значит, pny0eA1. Таким образом, уравнение px = a имеет решение x = pny0 в группе A1, т.е. A1 - p-делимая группа. В силу произвольности выбора простого числа p получаем, что A1 - делимая группа, т.е. A1 = 0.
52
А. В. Царев
Пусть х = (тр) - произвольная характеристика (т.е. последовательность целых неотрицательных чисел и символов да, занумерованная простыми индексами). Рассмотрим кольцо Z1 = ПреРКр, где Кр = Zpmp - кольцо классов вычетов по модулю ртр при тр<да и Кр = Зр - кольцо целых р-адических чисел при тр = да.
Следствие 1.5. Всякое редуцированное Г-кольцо плотно и сервантно вкладывается в некоторое кольцо Z1.
Доказательство. Так как все р-ранги Г-кольца К не превосходят 1, то его Z-адическое пополнение КЛ изоморфно некоторому кольцу Z1. Тогда, учитывая лемму 1.4, получаем, что кольцо К плотно и сервантно вкладывается в кольцо КЛ=
2. Факторно делимые группы ранга 1
При работе с аддитивными группами колец важную роль играют факторно делимые группы. В случае групп без кручения факторно делимые группы были введены Р. Бьюмонтом и Р. Пирсом [4] еще в 1961 году. Более общее определение (затрагивающее и смешанные группы) было дано А.А. Фоминым и У. Уиклессом в [5].
Определение 2.1. Группа А называется факторно делимой, если она не содержит периодических делимых подгрупп, но содержит такую свободную подгруппу Е конечного ранга, что А/Е - периодическая делимая группа.
Базисом факторно делимой группы А будем называть всякий базис свободной группы Е.
Факторно делимым группам ранга 1 посвящена статья О.И. Давыдовой [6]. Рассмотрим некоторые основные результаты этой работы.
Определение 2.2. Для элемента а из группы А и простого числа р определим тр как наименьшее целое неотрицательное число, такое, что элемент ртра делится на любую степень р в группе А. Если такого числа не существует, полагаем тр = да. Характеристика (трЬ тр2, ..., трп, ...) называется кохарактеристикой элемента а в группе А и обозначается соскаг(а).
Предложение 2.1 [6]. Если х - базисный элемент факторно делимой группы А ранга 1, то соскаг(х) > соскаг(а) для любого аеА. В частности, кохарактеристики двух различных базисных элементов в группе А совпадают.
Определение 2.3. Кохарактеристикой факторно делимой группы А ранга 1 называется кохарактеристика любого ее базисного элемента (обозначается соскаг(А)).
Рассмотрим кольцо Z1 = ПреРКр. Если тип [%] отличен от нулевого, то определим кольцо Я1 = (1)*с ^ Если [%] = 0, то определим кольцо Я1 =
Теорема 2.2 [6]. Если А - факторно делимая группа ранга 1 кохарактеристики х, то А изоморфна аддитивной группе кольца Я1, а ее кольцо эндоморфизмов Е(А) изоморфно кольцу Я1.
Теорема 2.3. Всякое кольцо Я1 является Г-кольцом. Любое бесконечное Г-кольцо изоморфно некоторому кольцу Я1.
Доказательство. Справедливость первого утверждения вытекает из теоремы 1.3 и построения колец Я1.
Пусть К - произвольное бесконечное Г-кольцо и пусть КЛ = Z1. Нетрудно видеть, что если К+ не является редуцированной группой, то К = О © Zm = Я1 (см, например, [2]). Поэтому далее будем считать, что К+ - редуцированная группа, т.е. К - подкольцо кольца Z1. Рассмотрим факторгруппу К+/(1), которая в силу
теоремы 1.3 является периодической. Покажем, что K+/(1) - делимая группа. Возьмем элемент a = (ap) е K+, где ap е Kp. Для каждого простого числа q Ф p элемент ap делится на q. Если 0 < mp< да, то ap = a0 + axp +...+ am—1 pmp-1, и тогда ap-a01p делится на p, где 1p - единица кольца Zpmp. Аналогично, если mp = да, то ap = a0 + a\p +...+ asps +...eJp и тогда ap-a01p делится наp, где 1p - единица кольца Jp. В обоих случаях получаем, что a = pb+a01, причем, поскольку K+ - плотная сервантная подгруппа в Zx, то beK. Следовательно, a+(1) делится на любое простое число p в группе K+, то есть K+/(1) - делимая группа.
Так как K с npePKp, то K не содержит делимых периодических подгрупп. Следовательно, K+ является факторно делимой группой ранга 1. Кроме того, очевидно, что cochar(K+) = cochar(1) = %. Тогда из теоремы 2.2 вытекает, что K=Rx.
Отметим в заключение, что конечные Т-кольца - это в точности кольца классов вычетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.
2. Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring // J. Austral. Math. Soc. 1973. V. 15. P. 60-69.
3. Bowshell R.A., Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute // Math. Ann. 1977. V. 228. No. 3. P. 197-214.
4. BeaumontR.,Pierce R. Torsion free rings // 1ll. J. Math. 1961. V. 5. P. 61-98.
5. Fomin A.A., Wickless W. Quotient divisible abelian groups // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. V. 126. P. 45-52.
6. Давыдова О.И. Факторно делимые абелевы группы ранга 1 // Фунд. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 3. С. 25-33.
Статья поступила 14.05.2013 г.
Т.sarev A.V. Т-RINGS AND QUOTIENT DIVISIBLE GROUPS OF RANK 1. We prove that the class of quotient divisible groups of rank 1 coincides with the class of infinite Т-rings.
Key words: E-ring, Т-ring, quotient divisible group.
ТSAREV Andrey Valer’evich ( Moscow State Pedagogical University)
E-mail: [email protected]
