Локальное решение в окрестности линии отрыва потока идеальной жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII

198 6

№ 4

УДК 532.526.5

ЛОКАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ОТРЫВА ПОТОКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

В. А. Маланичев

К настоящему времени опубликовано немало работ по численным и аналитическим методам исследования отрывных течений идеальной жидкости. В работах [1, 2] построены локальные решения в окрестности точки отрыва в плоском случае.

В данной работе рассматриваются пространственные течения с поверхностью тангенциального разрыва скорости. Предлагается общий метод для решения локальных задач в окрестности линии отрыва, рассмотрено три конкретных примера.

Полученные решения представляют интерес для численного расчета эволюции вихревой пелены.

Впервые указано на возможность нарушения закона «3/2» при отрыве потока с клиновидной кромки.

1. Постановка задачи. Рассмотрим стационарное трехмерное течение с поверхностью тангенциального разрыва скорости в окрестности линии отрыва. В масштабах, меньших радиуса кривизны кромки тела, эту линию можно считать прямой.

Введем цилиндрическую систему координат г, ф, 2, где ось г направлена вдоль линии отрыва (рис. 1). Поверхностью /■'о область течения разбивается на две области: « + » и «—». В каждой из них потенциал течения удовлетворяет уравнению Лапласа

О)

и следующим граничным условиям:

1) непротеканию на поверхности тела во (г, <р, г) = 0;

V Оо • V Ф± = 0;

2) непротеканию на поверхности разрыва /^(г, <р, г) =0:

у/70-уФ± = 0 ;

(2)

(3)

3) равенству статических давлений на поверхности Р0(г, ф, г)=0:

Кроме того, ищем решение, удовлетворяющее условию Чаплыгина— Жуковского о конечности скорости.

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) — (4) ищем лри г-*~0 в виде ряда: ■

где а,, 8^— неизвестные константы, а функции считаем

бесконечно дифференцируемыми по 9, г.

2. Отрыв с острой кромки пластины. Рассмотрим сход поверхности

Г0 с острой кромки пластины (см. рис. 1) йо =f — я, бсГ = <р + я-С учетом (5) уравнение (1) примет вид

(уф + )2 = (?ф-)3.

(4)

Ф+ (г, <р, 2) — 2 В‘ 2) '» > °’ Р'Ч-1 > ’

І

(5)

Ф-(Г, <Р, 2) =£ Лг(ср, г)А а<>0, а1+1>«„ І = 0, 1, ... .

Форма поверхности задается в виде:

Л> (г, «Р, *) = ?-£ /Д2) г6;, 8,> 0, 8,+1>8;, / = 1, 2, ..., (6)

/

(7)

для области « + » и аналогично для области «—». Граничные условия (2) — (3) примут вид:

(9)

(8)

и аналогично для Ф- (г, ?, г).

Положим ^ == 5± (Z, <Р) ^ 0. Тогда

ф+ = В0 (<р, z) + Вi (<р, z) г + В2 (<р, z) г+ .. Ф- = Д,.(Т, г) + Л,(ч>, г)г +Л2(ъ *)/•■■ + ...

Подставим эти разложения в (7)

Й2В,

Г-2-^-^ + Г-1 <9<fS '

-5,

_|_ ^-Ра“2

-ут + $В2

ОФ2

Из условий (8)—(9) найдем

Ф+ (г, f, г) = Р0 (z) Л- г Pi (z) cos <р -f + /* (Р21 (2) cos р2 ? + Р22 (г) sin р2 <Р) + ...,

где Р21 (г) sin р2 it = Р22 (г) cos р2 те, = 1 + si,

•Р22 = /1 Л; /1 С2), Рг (2) — неизвестные функции. Таким же образом для Ф~ найдем

(10)

ф_ (Г, <?, Z) = Q0 (2) + Qj (2) cos ? г + + Iм' (Qai(z) COS a2<P-t-Q22(2) sin a2cp)+,

(11)

где Q2i sin a2 51 = — Q22 cos a2 те, a2 = 1 -f- 8,, Q22 = /, Q, при неизвестных Qt (z), fx (2).

Для определения 6i подставим в условие (4) разложения (10) — (11) и соберем числа при одинаковых степенях г:

[Pi + Pi2 — Q?— Qo2] + rs. 2(8t + 1) [Л Рм_- Q, Q21] = 0. (12)

Отсюда следует PiP21 = Q1Q21.

Так как/, -^0, Р^О, Q, ^0, то из (10) —(11) следует Р22^0, 0.ыф 0, sin (1 + 8j) те ф 0, тогда P21 = Р22 ctg (1 + 8^ те, Q21 =

=— Q22 ctg (1 + 8j) те. С учетом (12) (P22 + Q22) ctg (1 + = 0, откуда

Si=2-^, «-= 0, 1,..., P21 = Q21 = 0.

Таким образом, при г -> 0 поверхность F0 имеет следующий

1 3

вид; ч>—/, (2) г0* + •••. 8i = y ’ у» Из локального рассмотрения

функции /ь Р0, Ри Q0, Qt не определяются, их вид находится из полного решения задачи об обтекании тела.

Посмотрим, как ведет себя градиент давления, а именно, его дР п

компонент . Из уравнения импульсов получим:

1 др дФ д2 Ф

р дг дг дга _г гз \ d(fj

1 /дФ\2 1 йФ д2Ф

Т + — I— 1

г'1 д <

dtp дг

+

д2Ф дФ

дг дг дг

• (13)

ю

Пусть для определенности /1>0. Подставляя в (13) выражение Ф+(г, ф, г), найдем

='»1 О + *0 А А2 ап (1 +'«,) « г».-> + ....

При 81==-^- и Рх > 0 имеем неблагоприятный бесконечный гради-«

ент давления на линии отрыва.

3. Отрыв от гладкой поверхности. Пусть теперь поверхность касается гладкой поверхности тела вдоль прямой линии (рис. 2), тогда в полярных координатах

= 9 — те - 2 (2) г",

П

^ = 5р + 2йг„(2)(—1)П+1ГЛ, 1, 2,....

п

По сравнению с предыдущим пунктом изменится лишь условие (2), которое в данном случае для области « + » примет вид

п I I °Т

-(Гй'-НЕ®*). »-*+2лг*.

п 1 иг п

а для области «—»

КИ^л-1 )=2у1г'-а<-2+

п I г..0 ¥

+ (2^(-1)п+1 ч,=-Е^(-1)л+1^л-

п / 02 п

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, найдем форму поверхности Ро при г-»-О

<Р=Л(2) гЪ+ 8! = ^- , Д- .

Потенциалы Ф± представятся в виде

ф+ (г, 9, z) = P0 (z) + rP1 (z) cos f> + r5‘+1 P2 (z) sin (1 + 8j) cp + ... Ф_(Л <p, z) = Q0(2) + Ql(z)r2 +

где P2 = /i'Pj, a Q„ Я,-, t = 0, 1, ... —неизвестные функции.

При 8,=и Pj>0 имеется неблагоприятный бесконечный градиент давления на линии отрыва.

4. Отрыв с клиновидной кромки. Прежде чем приступить к рассмотрению задачи о сходе поверхности F0 с клиновидной кромки, рассмотрим двумерную нестационарную задачу о форме линии танген-

циального разрыва скорости Fo(/^ ср, 0=0, сходящей с вершины клина, при г-»-0 (рис. 3).

Потенциалы течения в областях « + » и «—» удовлетворяют уравнению Лапласа

д*Ф*

дг2

г'2 д

= 0

и следующим граничным условиям:

1) непротеканию на поверхности клина

дФ+

дФ~

= 0, ср= —тг;

ду ’ 7 •’

2) непротеканию на линии разрыва Fo(r, ф, t)=Q, dF0

dt

■ V V ф± —0 ;

3) равенству статических давлений на разрыве F0(r, ф, t) =0

где [а] = а+ 12

■ а~

(14)

(15)

(16)

Решение уравнения (14) с граничными условиями (15) — (17) ищем при г-»-0 в виде ряда:

(18)

ф+=£ в, (?, *) Л, р|+1 > рг, р,> о, i

ф“= 2 ^ О г% ЯЖ >а/> “|>0, i == 0, 1, ,

а форма линии разрыва задается в виде

F0(r, 9, /)=? —2 Sy>0, 8/+1>8у=1, 2,..., (19)

/

где 6j, Oi, Рг — НеИЗВвСТНЫе КОНСТЭНТЫ, а функции i4i, В г бесконечно дифференцируемы ПО ф.

Подставив (18) в (14), получим:

Р?Я/+4т- = 0’ i = 0, 1.........

и ср

откуда следует, что

(т. О = р11 (0 cos Р,- 9 + Л 2 (0 Sin рг 9 • (20)

Для Ф~ — аналогично найдем

(<р, t) = Qn (t) cos а,9 + Q12 (Osin Я/9 • (21)

Полагаем 0=& (*» ?)Ф0, тогда

Ф- = Л0 («р, 0 + Аг (т, 0 г + Л2 (9, *) /■«• + ... .

Условие (15) с учетом (20) — (21) дает

— Рп (0 Sin рг (7Г — ч) + Pi2 (t) cos Р; (тс — f) = 0 ,

Qn (t) sin а,тс + Qi%{t)cos a^Tt =0 .

(22)

Подставив (20) в условие (16), получим В0 (9, t) = P0(t), Pn(t) = О, откуда, используя (22), найдем ft = ■■ ™ , я= 1, 2, ... и

7U Г" 7

Ф+(г, 9, t) = P0(t) + Рг (0 cos ft 9 гр‘+ ... , (23)

где Pi(t) —произвольные функции.

Для Ф~ — таким же путем находим

Ф“ (г, ?, t) = Q0 (t) + Qt (0 cos 9 г + (Q21 (0 sin a2 9 +

+ Q22 (0 cos a2 9) + ... , (24)

где a2=l H-8,, Q1/, = Q22 при произвольных Qh /,.

Для определения 6i воспользуемся условием (17). Подставим туда разложения (23) — (24) и соберем члены при одинаковых степенях г

(2Р'о - 2Qo - Q?) f Р\ р? r2(P.-D - 2Qj Q21 a2 r«*-» + ... = 0 , (25)

где Q2i = — Q22 ctg a2 я = Q,fi ctg a2 ir, ЧТО следует из (22).

, Перепишем (25) в более удобном виде

(2Ро - 2Сїо - <??) + Р\ р? г Ып~1Н^ + 2д?/х сі? я2 те г*. + ... = 0. (26)

Значение п определяет структуру течения в области « + ».

Если и> 1, то ctga2Л = 0, т. е. 8, = -^-. Если п= 1, что соответствует

одной линии тока, проходящей через точку х = у = 0, то возможны два случая:

а)81 = 2(р1-1) при 0<л<-^-

б) 81 = 1/2 при — .

5

Детальный анализ дает следующий вид для F0 при г—>-0:

fo = ?-XI/m4 (О г2(P‘-1)m+-2* , (27)

т. k

где m -\-k = 1, 2, ... , /oi = 0.

Заметим, что при 7 < — и п= 1 из (26) находим fx = — Pi Pi X

5

Xctg(2Pi — l)/2Qi<0, что также приводит к неблагоприятному бесконечному градиенту давления на нижней поверхности клина в случае Q2 > 0 в точке х=у — 0.

Частному случаю рассмотренной в этом пункте задачи посвящена работа [3], в которой рассматривалось обтекание узкого крыла с ромбическим сечением при отрыве потока с передней кромки. Считая течение коническим, авторы [3] применили метод нестационарной аналогии и получили в плоскости (х, у) (см. рис. 3) нестационарное автомодельное течение с параметром автомодельности, равным единице. Из-за сложности способа решения и, как следствие этого, громоздкости вычислений авторы не смогли физически интерпретировать свои результаты, а поэтому пришли к неверным выводам. Они не обнаружили зависимости формы пелены от угла y- В работе {(4] при численном расчете автомодельного отрывного обтекания клина при аппроксимации начального отрезка пелены F0 использовался первый член разложения (27), который в общем случае был также определен неправильно. Это ставит под сомнение правильность этих расчетов при малых у.

Трехмерная стационарная задача (см. рис. 1) о форме поверхности разрыва скорости F0(r, q>, 2)= 0 решается по схеме предыдущих пунктов. Укажем лишь конечный результат.

Считаем, что 7 = const. При «>-1, г-» 0: <р =/, (z) г112 4-... Для потенциалов Ф± получим

ф+(л ?> 2) = Хру (г) rV 4- Рл+1 (z) cos Pi <р гР* -f- ... , /=о

где pt = [те/2 (те — f)], Pj (z) (j п) выражаются через 8it fh ft и производные Рок) (z) ,

ф“ {г, 9, z) = Q0 (г) + Qj (z) cos 9 г + Q2 (2) sin J- 9 г3'2 + ... ,

где Q2=/iQi; Qo. Qi — неизвестные функции. При п= 1, 1 >36° предыдущие выражения справедливы, а при я=1, 7 <36° имеем

?=/i (г)/•2(р1_1)+, /i(z)<0,

Ф+ (г, z) = Р0 (z) + Pj (г) cos р, 9 + ... ,

ф~ (г, 9. 2) = Qo (2) + Q, (г) cos 9 г + Q2 (г) sin (2рх — 1) 9 г2^-‘ +

где р,=—, Q2=/1Q1; Р0, Ри Qo, Qi — неизвестные функции.

71 — 7

Здесь снова при Qi>0 получим неблагоприятный бесконечный градиент давления на линии отрыва в области «—».

Рассмотренные выше задачи допускают различные обобщения. Так, первые члены разложений в последней задаче об отрыве потока с клиновидной кромки не изменяют своего вида в случае у=у(г),

если формально подставить р, (г) =------------— . Это приведет лишь

* — 7 (*)

к появлению членов типа r2+* In* г, порядок которых выше, так как rk In* г -» 0 при г—» 0.

Отметим, что этот подход без каких-либо принципиальных трудностей может быть применен к нестационарным течениям и течениям с разными константами Бернулли в областях « + », «—». То же самое можно сказать, если F0 является свободной поверхностью.

Выражаю глубокую признательность С. К. Бетяеву за обсуждение результатов и ряд ценных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бетяев С. К- Эволюция вихревых пелен. — В сб.: Динамика сплошной среды со свободнымии поверхностями. Чебоксары, 1980.

2. Acker berg R. С. Boundary-layer separation at a free streamline. — J. Fluid Mech. 1970, vol. 44, part 2.

3. С lap worthy G. J., Mangier K- W. The behaviour of a conical vortex sheet on a slender wing near the leading edge. — ARCR & M,

1977, N 3790.

4. Pull in R. I. The large-scale structure of unsteady self-similar rolled-up rortex sheets. — J. Fluid Mech., 1978, vol. 88, part 3.

Рукопись поступила 6/XII 1984 г.