CC BY
45
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ Том XIII 19 8 2
№ 4
УДК 629.735.33.015.3.025
ВЛИЯНИЕ ЗАТУПЛЕНИЯ ПЕРЕДНИХ КРОМОК НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ
С, Б. Захаров
В приближении теории удлиненных тел рассчитано отрыв* ное обтекание потоком идеальной жидкости треугольных крыльев малого удлинения с затупленными передними кромками. Численный метод базируется на математической модели невязкого отрыва с гладкой поверхности. Приведены результаты расчетов симметричного обтекания крыльев, поперечные сечения которых предствавляют собой эллипсы. Основное внимание уделено исследованию влияния положения линии отрыва в окрестности затупленной кромки крыла на конфигурацию вихревой пелены и суммарные аэродинамические характеристики крыла.
Результаты экспериментов показывают, что характеристики отрывного обтекания треугольных крыльев малого удлинения существенно зависят от формы передних кромок [1]. Существующие же методы расчета [2, 3] таких течений в рамках идеальной жидкости основаны на предположении о наличии у крыла острых кромок даже в том случае, когда учитывается толщина крыла [4]. Такое требование к форме кромок хотя и позволяет существенно упростить задачу (выполнение постулата Жуковского на острых кромках обеспечивает получение единственного решения), ограничивает область применимости этих методов. В тех же случаях, когда эти методы применяются для расчета обтекания треугольных крыльев с затупленными передними кромками, они не обеспечивают нужной точности решения. Затупление кромок приводит к появлению конечного диапазона углов атаки, в котором обтекание является вообще безотрывным. При больших углах атаки отрыв потока имеет место, но дополнительный прирост подъемной силы значительно меньше, чем в случае обтекания тех же крыльев с заостренными кромками [1].
Для расчета характеристик отрывного обтекания крыльев малого удлинения, радиусы затупления кромок которых много больше толщин пограничных слоев, можно использовать метод, основанный
Г
на модели невязкого отрывного обтекания тел с гладкой поверхностью. Эта модель характеризуется неединственностью получаемых решений. В частности, может иметь место однопараметрическое семейство решений с положением линий отрыва в качестве свободного параметра, так же как, например, в задаче о симметричном отрывном обтекании тонкого кругового конуса [5].
Цель статьи —построение таких однопараметрических семейств решений задачи симметричного отрывного обтекания треугольных крыльев малого удлинения, поперечные сечения которых представляют собой эллипсы с малой относительной толщиной, и анализ на основе этих решений влияния положения линии отрыва, затупления кромок и толщины крыла на вихревую систему и суммарные аэродинамические характеристики.
Вопрос о выделении единственного решения из соответствующего однопараметрического семейства решений выходит за рамки данного исследования. Ответ на него может быть получен либо экспериментально (определение положения линии отрыва в каждом конкретном случае), либо теоретически при специальном рассмотрении областей течения, в которых существенную роль играют вязкие силы, и применении соответствующих процедур сращивания решений в этих областях [6].
1. Постановка задачи. Введем прямоугольную декартову, правую систему координат с центром в вершине крыла. Пусть при этом ось Ог направлена вдоль оси симметрии крыла, ось Ох—вдоль размаха, а ось Оу — перпендикулярно осям Ог и Ох. Крыло обтекается потоком газа под углом атаки а. с вектором скорости на бесконечности, лежащим в плоскости (у, г) (рис. 1).
В соответствии с результатами теории удлиненных тел Уорда-Джонса [7] потенциал скорости течения <р(л:, у, х) на расстояниях порядка характерного размера поперечного сечения крыла может быть представлен в следующем виде:
У
с
Рис. !
<?(*, у, г) = -г^(х, у, г),
где при Мэо < 1
о
п при М«,> 1, 5'(0) = 0
2г Єо (г) = 5' (г) 1п - ( 5" (р) 1п (г - ■*) 4?.
6
Здесь Мао — число М набегающего потока, Я(г) — площадь поперечного сечения крыла, О-^Гг^І. Функция является гармонической по переменным л:, у {у\хх 4- <Р^П, =0) и при Xі Ч- у2 -* оо может быть представлена в виде
~ ~ «У + 1 п У х* +У*'
При этом выражение + у, г) удовлетворяет
условию непротекания на поверхности крыла и граничным условиям на вихревых пеленах.
После введения переменной (времени) І — ХІІІИсо трехмерная стационарная задача об отрывном обтекании рассматриваемого крыла сводится к двумерной нестационарной (автомодельной) задаче отрывного обтекания равномерно расширяющегося по времени
Рис. 2
эллиптического контура 1() потоком несжимаемой жидкости (рис. 2, а).
Для решения последней воспользуемся методами теории функций комплексного переменного. В плоскости поперечного сечения крыла введем комплексную переменную С=.*-}-/:У и рассмотрим картину течения в произвольный фиксированный момент времени. Пусть конфигурация и интенсивность вихревых пелен и заданы в параметрическом виде
Сі,о=сі.2(г, о, о<|г|<|г;,2|,
I
где Г — циркуляция отрезка вихревой пелены, отсчитываемая от ядра (действительный параметр). Звездочкой здесь и ниже обозначены величины или их значения в точках отрыва потока.
Сформулируем следующую задачу: требуется найти комплексную скорость течения 1/(С, і), регулярную вне контура £=А0+£,14-имеющую заданный скачок на вихревых пеленах и Ьг
(1/+(С, і) — V-(С, 0Іс{і„і,= ті.а(5, 0=1 /%1.
где значками „-}-u и „ —“ обозначены значения V с двух сторон пелены, if —линейная плотность циркуляции, а также удовлетворяющую граничным условиям непротекания на контуре L0 и затухания возмущений на бесконечности
^(С> 0|С| —СО ~* iv. Wос.
Искомая комплексная скорость, удовлетворяющая всем указанным условиям, может быть легко получена, если известен соответствующий комплексный потенциал течения. Для нахождения последнего воспользуемся конформным отображением внешности эллипса с полуосями a(t) и b(t) в плоскости переменного С на внешность окружности с радиусом R(t) в плоскости комплексного переменного о — \ 4- П)(рис. 2, б)
.=4-р+ <?-*)• т.
где d = ay\— ег, = 4-е), t — Ь а — относительная толщина
крыла. Обратное отображение при этом имеет вид
В частном случае симметричной картины отрывного обтекания для комплексного потенциала № (з, () рассматриваемого течения имеем
л (0+-Щ
Здесь и ниже переменная с чертой обозначает величину, комплексно сопряженную данной. Связь между комплексным потенциалом и искомой скоростью течения в плоскости переменного С выражается обычным образом
0-2>
Коль скоро комплексная скорость течения для произвольного фиксированного момента времени получена, конфигурация и интенсивность вихревых пелен в следующие моменты времени могут быть получены в результате решения задачи Коши для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений [8]
У[С1,»(Г, о. *]. 0<|Г|<|ГЬ|. (1.3)
являющихся следствием выполнения условий непрерывности давления и нормальной составляющей скорости течения на вихревых пеленах.
2. Метод решения. Сформулированная выше задача Коши (1.1) — (1.3) применима к вихревым пеленам, уже находящимся на данный фиксированный момент времени в потоке. Для получения отрезков вихревых пелен, сходящих с поверхности крыла в поток на промежутке времени от данного до следующего, в работе [9] было предложено использовать уравнение для плотности циркуляции в точке отрыва к* и выражение для скорости перемещения точки
отрыва V* по гладкому контуру тела при условии р — г, где р— радиус кривизны вихревой пелены, г — радиус кривизны поверхности тела
(■л") = — + »* = («*-)*; (2.1)
здесь г/*- — касательные составляющие скорости с внешней и внутренней сторон пелены соответственно, —нормальная составляющая скорости на пелене, 5 — длина дуги.
Как показано в работах [5], [10], интегрирование уравнения (2.1) при р = г совместно с уравнениями (1.1) — (1.3) приводит к получению единственного решения, удовлетворяющего условиям Брял-люэна—Билля: в точках отрыва нулевой градиент давления и кривизна пелены равна кривизне тела. Анализ асимптотики течения в окрестности точки отрыва позволяет раскрыть неопределенность выражения в круглых скобках уравнения (2.1), возникающую в том случае, когда ищутся решения, не удовлетворяющие условиям Бриллюэна — Билля. Как известно [6], эти решения характеризуются бесконечной кривизной вихревой пелены в точке отрыва и, следовательно, бесконечным градиентом давления в этой точке. Раскрытие неопределенности в (2.1) приводит к уравнению, в которое входит произвольная функция, а в случае автомодельного течения— произвольная постоянная [10], не определяемая в рамках идеальной жидкости. Подбирая значения этой постоянной, можно получать решения автомодельных задач отрывного обтекания с различным положением точек отрыва. Именно такой способ неявного задания положения отрыва использовался в работе [5] для получения однопараметрического семейства решений невязкого симметричного отрывного обтекания тонкого кругового конуса.
В настоящей работе использовалось явное задание точек отрыва на эллиптическом контуре. Такой прием хотя и приводит к нарушению уравнений движения в процессе установления решения, является оправданным для автомодельных задач, характеризующихся условиями
Т[* —(«*+)*-
Процесс установления решения в этом случае ускоряется, поскольку отсутствует колебательное движение точек отрыва по контуру тела, имеющее место в процессе решения с неявным заданием положения отрыва.
Некоторым недостатком рассматриваемого подхода является невозможность получения решения, точно удовлетворяющего условиям Бриллюэна—Билля. Однако положение точки отрыва, соответствующей указанному условию, может быть определено с приемлемой точностью вследствие отсутствия сходимости процесса установления при более ранних (вверх по потоку) положениях точек отрыва.
В остальном используемый численный метод соответствует методу работы [5], включающему в себя: дискретизацию вихревой пелены; интегрирование системы уравнений движения дискретных вихрей по регуляризирующей схеме первого порядка точности; использование модели ядра пелены (вихрь — разрез); улучшенную аппроксимацию скорости на расстояниях по нормали к вихревой пелене, меньших шага дискретизации.
3. Результаты расчетов. Ввиду большого числа параметров в рассматриваемой задаче расчеты проводились при фиксированном значении относительного угла атаки а = а/у = 1,5, где /—полу-, угол при вершине крыла в плоскости (л*, г) для трех крыльев с относительными толщинами s—1/7; 1/10; 1/14. Согласно экспериментальным данным [11J при фиксированном значении относительного угла атаки линии отрыва на эллиптических конусах с уменьшением относительной толщины стремятся к образующим, проходящим через вершины эллипсов, оставаясь на подветренной стороне их поверхности. Исходя из этого, в качестве диапазона изменений положения линии отрыва была выбрана окрестность концов больших полуосей эллипсов. Условимся в дальнейшем называть эту окрестность окрестностью затупленной кромки, а самой кромкой — геометрическое место вершин эллипсов, в которых кривизна максимальна.
Введем в сечении z=const криволинейную систему координат л*!, Абсцисса хА отсчитывается от кромки вдоль контура эллипса, ордината у,—по внешней нормали к контуру. Координаты точки отрыва в этой системе координат обозначим через х*, ^ = 0. Для конфигурации вихревой пелены в окрестности точки отрыва приближенно справедливо представление
и соответственно в предельном случае отрывного обтекания, удовлетворяющего условиям Бриллюэна —Билля,
где у"=0— координаты точки отрыва в этом предельном случае.
Коэффициенты с0, с} являются функциями а, є, а коэффициент с0 является еще и функцией (х\* — х\).
На рис. 3 справа показаны окрестности затупленных кромок с областями исследованных положений линий отрыва на всех трех крыльях. Верхние границы областей (см. рис. 3) выбирались произвольным образом. Что касается нижних границ рассмотренных
уА
0,7 х/ а.
Рис. 3
б
областей, то их можно приближенно принять за границы существования решений (приближенно соответствуют решениям с выполнением в точках отрыва условий Бриллюэна—Билля). Как уже отмечалось выше, точное получение решений, удовлетворяющих этим условиям, невозможно при использованном в данной работе приеме прямого задания положения точек отрыва. Поведение нижних границ исследованных областей положения линии отрыва свидетельствует о стремлении х** к кромке крыла с уменьшением « относительной толщины £ и, следовательно, радиуса затупления кромки (—е2).
На рис. 3 слева в координатах х, у (см. рис. 2, а) сплошными линиями в том же масштабе показано изменение положения ядер вихревых пелен для исследованных диапазонов положений линии отрыва. Стрелкой показано направление изменения положения ядер пелен, соответствующее перемещению линии отрыва от верхних к нижним границам исследованных диапазонов. Значками на кривых показано положение ядер вихревых пелен при отрыве с кромок (х* = 0). Малое смещение точек отрыва в окрестности затупленных кромок (особенно на подветренной поверхности крыла) приводит к существенному смещению ядер вихревых пелен, тем большему, чем меньше г. Для сравнения там же показано положение ядра вихревой пелены для треугольной пластины с острыми кромками [3] в случае выполнения на этих кромках постулата Жуковского. Порядок расположения кривых для различных £, а также анализ результатов работы [4] о влиянии малой толщины на характеристики отрывного обтекания треугольных крыльев с острыми передними кромками позволяют предположить наличие простого механизма вытеснения вихревой спирали по ординате у на подветренной поверхности крыла. Если из ординаты положения ядра вихревой пелены вычесть ординату верхней поверхности крыла при той же абсциссе, то получатся кривые, изображенные в нижней левой части рис. 3. Поведение этих кривых, приведенных к „плоской" (у = 0) подветренной поверхности крыла, свидетельствует о стремлении полученных решений по положению ядер вихревых пелен к решению для плоской треугольной пластины с острыми передними кромками с уменьшением относительной толщины и при условии максимально раннего отрыва с наветренной поверхности крыла (выполнении условий Бриллюэна—Билля в точках отрыва).
На рис. 4 показаны зависимости коэффициента нормальной силы С,у рассматриваемых крыльев от координаты точки отрыва в окрест-
Рис. 4
ности затупленной кромки. Коэффициент нормальной силы отнесен к коэффициенту нормальной силы Сл/0 треугольной пластины с острыми кромками: С^/х2— 18,82 при а =1,5(3]. Максимальное значение коэффициента нормальной силы, так же как и в случае отрывного обтекания кругового конуса [5], имеет место при выполнении в точках отрыва условий Бриллюэна —Билля. С уменьшением относительной толщины крыла £ наблюдается рост этого максимального значения и его стремление к коэффициенту нормальной силы треугольной пластины с острыми кромками.
На рис. 5 изображены конфигурации вихревых пелен для крайних точек исследованного диапазона положений линии отрыва на крыле с относительной толщиной £=1/10.
Проведенные исследования показывают, что даже незначительное смещение положения линий отрыва в окрестности затупленных передних кромок на подветренной поверхности крыла (в расчетах это смещение не превышало 3% полуразмаха) приводит к существенному уменьшению дополнительной нормальной силы, обусловленной отрывом потока. Например, для крыла с относительной
толщиной £=1/10 дополнительная нормальная сила уменьшается на 62%.
Сказанное выше свидетельствует и о возможности создания численного метода расчета характеристик отрывного обтекания крыльев малого удлинения с толщиной и затупленными передними кромками в рамках модели идеальной жидкости. Для его эффективного использования необходим способ максимально точного определения (экспериментального или теоретического) положения линий отрыва в окрестности передних кромок при данных конкретных условиях обтекания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bartlett G. Е., Vidal R. G, Experimental investigation of influence of edge shape on the aerodynamic characteristics of low aspect ratio wings at low speeds. JAS, vol. 22, N 8, 1955.
2. БелоцерковскийС. М., Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., .Наука", 1978.
Н
3. S m i t h J. Н. В. Improved calculations of leading-edge separation from slender, thin, delta wings. Proc. Roy. Soc., A 306, 1968.
4. Судаков Г. Г. Расчет отрывных течений около конических крыльев малой толщины. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 5, ЛГ» 6, 1974.
5. Захаров С. Б. Расчет невязкого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 7, № 6, 1976.
6. С ы ч е в В. В. О ламинарном отрыве. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.
7. Ward О. N. Linearised theory of steady high-speed flow. Cambrige University Press, 1955.
8. Никольский А. А. О „второй" форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков). ДАН СССР, т. 116, № 2, 1957.
9. Ильичев К. П., Постолооский С. Н. Расчет нестационарного отрывного обтекания тел плоским потоком невязкой жидкости. „Изв. АН СССР, МЖГ-, 1972, № 2.
10. Б е т я е в С К., Захаров С. Б., Молчанов В. Ф., С у д а-к о в Г. Г. Некоторые задачи теории отрывных течений идеальной жидкости и газа. Труды одиннадцатых чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К. Э. Циолковского. М., ИИЕТ АН СССР, 1978.
11. J о г g е п s е п L. Н. Elliptic cones alone and with wings at supersonic speeds. NACA Report 1376, 1958.
Рукопись поступала 22jl 1981
