Автомодельная задача об отрывном истечении идеальной жидкости из диффузора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII 1982 № I

УДК 532.527

АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОБ ОТРЫВНОМ ИСТЕЧЕНИИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ ДИФФУЗОРА

А. В. Воеводин

Рассмотрена автомодельная задача об истечении идеальной несжимаемой жидкости из расширяющегося канала (диффузора). Для плоского нестационарного истечения предложена нерадиальная схема с отрывом потока от стенок диффузора (в отличие от известной стационарной радиальной схемы Гамеля для истечения вязкой жидкости). Описан численный метод исследования течения, который может быть использован нри решении других задач об отрыве с гладкой поверхности. Приведены результаты расчетов, иллюстрирующие поведение решения при изменении показателя автомодельности, угла раскрытия диффузора и относительной скорости движения точки отрыва.

Среди многообразных отрывных течений наиболее сложными при теоретическом исследовании в рамках теории идеальной жидкости оказываются течения с отрывом нотока от гладкой поверхности обтекаемого тела. Сложность решения задачи в этом случае обусловлена тем, что при обычных граничных условиях затухания возмущений вдали от тела и непротекания на его поверхности уравнения Эйлера допускают целое семейство решений. В рамках идеальной жидкости вопрос о выборе из этого семейства единственного .физически реального решения остается открытым. Для его решения необходимо учитывать физическую природу возмущений, порождающих отрыв, как-то: вязкость, вихре-генератор, ударная волна и т, п. Для случая стационарного самонндуцирован-ного отрыва основные результаты в этом направлении содержатся в работе [1]. Рассмотрение локальной задачи в окрестности точки отрыва должно дать критерий отбора физически реального решения в каждом конкретном случае. Причем, управляя возмущениями, можно, по-видимому, реализовать как набор течений, отвечающих семейству решений уравнений Эйлера, так и безотрывное течение. Этим определяется целесообразность рассмотрения течений с отрывом от гладкой поверхности в невязкой постановке.

Реальное течение даже при соответствующем задании внешних условий может в целом не быть автомодельным. Однако существует промежуточный этап развития отрывного течения, когда вихревая пелена уже сформировалась, а диссипацией завихренности еще можно пренебречь. Характеристики течения при этом будут близки к автомодельным. Таким образом, решение автомодельной задачи представляет собой промежуточную асимптотику решения полной задачи на указанном этапе развития течения.

Пример исследования такого рода задачи содержится в работе [2], где методом установления рассчитано отрывное обтекание кругового конуса малого удлинения. Было показано, что существует однопараметрнческий набор решений, отличающихся друг от друга положением линии отрыва. При этом оказа-

лось, что одно из этих решений отвечает конечному градиенту давления в точке отрыва (условие Бриллюэна — Билля), а остальные — бесконечному градиенту давления.

В настоящей работе для расчета плоских автомодельных задач об отрыве с гладкой поверхности нредложен метод последовательного уточнения модели пелены, который является обобщением метода [3], примененного ранее для расчета течения с отрывом от острых кромок. Этот метод, как и метод установления, не нуждается в задании начального приближения для формы и интенсивности вихревой пелены, но в отличие от него требует значительно меньших затрат машинного времени. Возможности метода иллюстрируются на примере решения задачи об отрывном истечении жидкости из плоского диффузора. Как показывают экспериментальные исследования [4], реальная картина такого течения является сложной н определяется взаимодействием многих факторов. Поэтому исследуется упрощенная модель этого течения.

1. Постановка задачи. Рассмотрим в рамках идеальной несжимаемой жидкости следующую автомодельную задачу об отрыве потока от стенок плоского расширяющегося канала (рис. 1). Пусть при *<0 жидкость покоилась. В момент времени I — 0 в вершине диффузора начинает работать источник, интенсивность которого <3 (/) пропорциональна £2л-1, где п — параметр автомодельности, и зарождается отрыв, причем точки отрыва при движутся вдоль стеиок диф-

фузора с одинаковой скоростью v=>Ktn~{, где К — размерная постоянная,

(? (/)

Обозначим через ф0 Угол полураскрытия диффузора, а через т — - —~2П—Г

2тс/С,“ г

безразмерную интенсивность источника.

В декартовой прямоугольной системе координат ОХУ с началом в вершине расширяющегося канала потенциал течения Ф (X, У, /) должен удовлетворять уравнению Лапласа при следующих граничных условиях: непротекание на стенках диффузора, отсутствие скачков давления и нормальной составляющей ско-

Рис. 1

<з ______

рости при переходе через пелену, Ф —1п Я + О (1/Я) при I? = у Х2+У?->■ оо.

Рассмотрим задачу в плоскости безразмерной комплексной переменной X + / У

г = х-\-1у~— ^п—.Введем безразмерную независимую переменную ц = 1 —

XV

— Г/Г* и безразмерный потенциал а (г) = +ш—\ » гДе циркуляция Г отсчиты-

Л *

вается от свободного конца пелены, Г* — полная циркуляция одной спирали вихревой пелены, Ф= Ие (Н7). Тогда граничные условия на пелене приведут к следующему уравнению ее эволюции:

яг + (2л-I) (1-9) ^ = (I)

ш7 аг

здесь г=^х — 1у. В плоскости г точки отрыва имеют координаты (1/л, 0) и (1/лсоз2^0, 1/Я81п2^0).

Потенциал «, удовлетворяющий условию непротекания и условию на бесконечности, можно записать, воспользовавшись конформным отображением области течения на всю плоскость с горизонтальным разрезом. Такое отображение задается формулой (д = С + й) = г*^0, а потенциал <*> в плоскости ц имеет вид:

. ^ . 0 Г, {* — М?)

= те 1пг + I 1п-------------=— - 4ц,

2т J р. — ц(?)

Г*

где б= ^рп—\ — безразмерная интенсивность вихревой пелены.

Перепишем уравнение (1) с учетом выражения для потенциала <л:

Зя-1

(2л — 1)(1 —?) 2п~1 ~

(7_____I____-______1____.

2/ ) \ {X — {X (?) р _ ■ (д)) 2^0 г

о

Прн стремлении г к точке отрыва это уравнение дает следующую связь между б

и производной —

йц ! *

2 ~ п

йг

И-СЗл-1)-^

где С.-(4-)*’-

Нелинейное сингулярно интегро-диффереициальное уравнение (2) эволюции вихревой пелены вместе с уравнением (3) позволяет определить форму и интенсивность вихревой пелены в зависимости от параметра автомодельности п и угла при вершине диффузора 2<|^- Так как в рамках идеальной жидкости положение линии отрыва от гладкой поверхности неопределенно, в задаче появляется еще один свободный параметр т.

2. Особенности численного решения задачи. Наиболее совершенной из существующих в иастоящее время моделей двумерной вихревой пелены является модель, состоящая из внешней части (0<;<7<1^), которая представляется N

т, (Я) <1ц

С0 л

(д)У + Т|М?) *0

(3)

(2)

криволинейными отрезками, и внутренней части которая заменя-

ется дискретным вихрем (ядром). Для исключения неоднозначности в потенциале скорости вводится разрез, соединяющий дискретный вихрь с концом внешней части пелены [5]. Такая модель принята и в настоящей работе. Для определения координат ядра Используется условие отсутствия суммарной силы, действующей иа систему „вихрь — разрез', которое запишем в следующем безразмерном виде:

_ _ 6? О)

(Зп — \)гс — (2п — 1)*^ = -^- , (4)

*с

где индексы с и N использованы для обозначения ядра и последней точки внешнего участка пелены.

В окрестности точки отрыва (?<^1) форма вихревой пелены описывается соотношениями

х(д) = Р1Я + 0 (<72), у (Я) = Р9 <?3'2 + О ($5/2).

Кривизна пелены при Р2 — 0 равна нулю (условие Бриллюэиа — Билля), а при Рз = О (РР) — бесконечна. В расчетах принято, что для первых двух криволинейных отрезков (0 < <<?2 <35^. 1)

х = РъЯ> У = РгЯ1> (5)

При этом полагалось, что показатель степени 7—3/2, а если при этом оказыва-

йг = Рх.

2=1/л

Для получения коиечно-разностиого вида уравнения (2) рассмотрим его

(1^ (1, .

в контрольных точках ц* =-----------(£ = 2, 3, ..., #), где переменная

к 2

Як _ ^ ■ . При этом производные удобно вычислить по близлежащим

точкам посредством двухточечного дифференцирования, а интегралы при

— методом трапеций. В результате получим следующую систему

уравнений:

Зл-1

лось, что />2<ССЯр, то принималось 7=5/2. Таким образом,

1 ая

(2л — 1)

, * 2л-1 , ,

гь-1

4-1

#+1

А = 2, 3...............М, (6)

я Я%-~ Я% д ^/ + 1 ^/-1 „ _ , ^ л У N Я Ы— л

где А% 2 > А]— 2 при 3-^у < Л/, ^ , л^+1 “

— I —Яи. При й<<3 интеграл в правой части вычислялся по формуле Симпсона,

а при й>3 —методом трапеций. Аналогично получим конечно*разностный вид уравнений (3) и (4):

(Зп —\)гс — (2я — 1) 4- ~ Ву( * --------х

1/Й ^ } Рс I Рс — Рс )

/ 2Pg i '2 "V^ yr. 4/ \ £o я

!+<*.- .) P, = M +0 ^ ,« + gC; (Ca-~c>T?-J -V ' <*>

где C2 = SlIlSl.; Cj = Aj, j >2.

При некоторых значениях определяющих параметров расстояние от контрольной точки z*k до отрезка Zj, z}-_\ или z^, *ь~1 может оказаться достаточно малым. Тогда скорости, индуцируемые этим отрезком пелены в точке z\, будут вычисляться с большой погрешностью. Такая ситуация может иметь место, если пелена подходит близко к стенке диффузора, а также при сближении ее соседних витков. Чтобы точность вычислений не уменьшалась в первом случае при

2у;-< I Zj — zHl I , />3,

или во втором случае при

I zk - г) ( < I 1 I » ! J— k I > 3>

вводилась в рассмотрение дополнительная точка пелены, которая помещалась

при д — ^ ^%/'~1 на КРИВ0Й г (?) — ai + д2 Я + аг Я2 + а* Я3> проходящей через

точки Zj^, zj, Zj_lt Zj_2. Соответственно изменялось положение близлежащих контрольных точек.

Система уравнений (6) — (8) решалась итерационным способом, описанным в [3]. Для получения необходимой для процесса итераций начальной формы вихревой пелены использовался метод последовательных приближений, изложенный в той же работе. Суть этого метода состоит в последовательном уточнении модели пелены посредством наращивания, шаг за шагом, числа элементов и протяженности ее внешней части.

Особенностью задач об отрыве с гладкой поверхности является неприменимость для ее решения модели пелены, состоящей из одного дискретного вихря, соединенного разрезом с точкой отрыва. Поэтому в качестве исходной для метода последовательных приближений использовалась модель, в которой внешняя часть пелены состоит из двух криволинейных отрезков, описываемых соотношением (5). При этом в задаче имеется только пять неизвестных (Р1г Ръ Re(zc), Im (zc) и G), и хорошее начальное приближение может быть получено методом подбора.'

3. Результаты расчетов. Применение метода последовательных приближений позволило рассчитать форму и интенсивность вихревой пелены для нескольких характерных сочетаний параметров п, Ф0 и т, а также наиболее естественным образом исследовать сходимость результатов вычислений по относительной иитенсивности внешней части пелены <?дг.

На рис. 1 приведен пример, иллюстрирующий поведение безразмерной интенсивности G при уточнении модели пелены. Видно, что более грубая модель дает завышенные значения интенсивности. Когда внешняя часть пелены имеет достаточно большую протяженность и ее интенсивность составляет более 35% от полной интенсивности, изменение величины G при увеличении qN не превосходит, для приведенного примера, 4%. Отметим, что полученная в работе [3] для случая отрывного обтекания комбинации крыло — фюзеляж малого удлинения зависимость G = G(qN) имеет аналогичный характер.

После получения формы вихревой пелены с необходимой долей интенсивности ее внешнего участка было проведено исследование решения при изменении параметров т, п и ^о- Форма пелены при различных сочетаниях этих параметров показана на рис. 2. На этом рисунке штрихпунктирной линией показано положение оси диффузора 'для разных значений п. При фиксированных ф0 и л увеличение относительной интенсивности источника т приводит к тому, что пелена занимает все большую область в плоскости х, у, а ее внешняя часть при фиксированном имеет меньшую угловую протяженность. Уменьшение т приводит к стягиванию пелены к точке отрыва.

Рост размеров пелены и уменьшение угловой протяженности ее внешней части происходит также при уменьшении угла полураствора диффузора (т, «&= = const). Сильное влияние на форму пелены оказывает изменение параметра

Рис^ 2

автомодельности п. При уменьшении этого параметра угловая протяженность внешнего участка пелены быстро растет, и в пределе при я-* 0,5 вся завихренность сосредоточивается в ядре. Отметим также, что форма ближайшего к точке отрыва участка пелены при всех исследованных значениях параметров менялась очень слабо. На рис. 3 показана зависимость безразмерной интенсивности пелены О от относительной интенсивности источника тп для различных п и ф0.

Для проверки справедливости асимптотики (5) при всех исследованных значениях параметров вычислялось отношение Р2/Р®/2. На рис. 4 показана зависимость этого отношения от т, ф0 и п. Каждая из осей абсцисс, по которой отло-жено значение т, или п, соответствует кривой, для которой остальные два параметра фиксированы. Ограниченность отношения Рз/Р^2 нри всех рассмотренных значениях параметров указывает на справедливость асимптотики (5) с 7 = 3/2. Таким образом, полученное численное решение в широком диапазоне определяющих параметров не удовлетворяет условию Бриллюэна — Билля в точке отрыва. Это находится в полном соответствии с результатом работы [6], где из анализа локальной задачи о нестационарном отрыве сделан вывод о том, что в нестационарных течениях это условие в точке отрыва реализуется не всегда.

Давление в любой точке плоскости х, у с точностью до константы определяется интегралом Лагранжа:

Р дФ 1 Г/ дФ \* ( дФ

Т = ~ 2 |_\ дХ ) + / ] '

Рис. З

где

дФ

dt

= ф *2я-2 Re ^2rt __ м nz .

ЙФ

~дХ

dm

dz

р — плотность жидкости.

На рис. 5 в качестве примера приведено распределение коэффициента дав-2 Р

ления ср='—-—2д-Т вД°ль стенки диффузора для ф0=45°, /1 = 0,875 н четы-р/С^ ^

рех значений относительной интенсивности источника. При приближении пелены к оси х наблюдается относительный рост пика разрежения, расположенного нод ядром вихревой пелены.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сычев В. В. О ламинарном отрыве, „Изв. АН СССР, МЖГ*,

1972, №3.

2. Захаров С. Б. Расчет невязкого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки. .Ученые записки ЦАГИ-, т. VII, № 6, 1976.

3. Воеводин А. В. Исследование неединственности решения задачи об отрывном обтекании системы крыло — фюзеляж малого удлинения. .Ученые заниски ЦАГИ*, т. X, № 1, 1979.

4. Kline S. J. On the nature of stall. „J. Basic Eng., Trans ASME*, ser. D> N 3, sept. 1959.

5. Smith J. H. B. Improved calculation of the leading-edge separation from slender delta wing. Royal aircraft establishment. Tech. Rep.

66070, 1966.

6. С ы ч e в В и к. В. Асимптотическая теория нестационарного отрыва. „Изв. АН СССР, МЖГ', 1979, № 6.

Рукопись поступила lljVI 1980 г.