Локализованные конвективные вихри в вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конвективные течения.... Вып. 2

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ КОНВЕКТИВНЫЕ ВИХРИ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Д.В. Князев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, Академика Королёва, 1

Описание локализованных в пространстве вихревых образований является одной из центральных проблем гидродинамики и представляет несомненный интерес для целого ряда приложений. В настоящей работе в рамках одного класса точных решений уравнений Навье - Стокса в приближении Буссинеска исследована задача об однородно закрученном по высоте осесимметричном локализованном вихре. Для числа Прандтля, равного единице, показано, что радиальная структура вихря определяется разностью вертикальных градиентов температур на оси вихря и на бесконечном удалении от неё. Установлена связь между горизонтальным масштабом вихревого образования и градиентом температуры на бесконечности. Построены точные аналитические решения, являющиеся конвективными аналогами изотермических вихрей Бюргерса и Салливана.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И КЛАСС ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ

Движение неравномерно нагретой вязкой жидкости в поле силы тяжести описывается системой уравнений Буссинеска:

где Р - давление, отнесённое к постоянной средней плотности жидкости. Остальные обозначения стандартные.

(11)

Т-ЬТ

------+ у УТ = %ЬТ , йы у = 0

© Д.В. Князев, 2005

Рассмотрим вращательно-симметричное стационарное движение вязкой жидкости над непроницаемой плоскостью г = 0 . Ось г цилиндрической системы координат (г, р, г) совместима с осью симметрии течения. Будем интересоваться такими решениями системы (1.1), которые в рассматриваемой области (кроме, может быть, точки г = +¥) всюду регулярны и поле скоростей которых затухает на бесконечности (покой). В соответствии с этим дополним уравнения Буссинеска граничными условиями:

Краевое условие Эуг/Эг| = 0 выражает требование аналитич-

ности (представимости в виде степенного ряда) поля скорости на оси симметрии вихря, а последнее уравнение из (1.2) - условие динамического равновесия неравномерно нагретой жидкости на бесконечности.

Для отыскания вращательно-симметричных стационарных решений задачи (1.1), (1.2) воспользуемся одним из классов точных решений уравнений гидродинамики, предполагающим линейную зависимость вертикальной составляющей поля скорости от высоты:

и вертикальная координата. Штрих обозначает дифференцирование по переменной х. Новые неизвестные функции этой переменной, и , V, в, В , и постоянные Т0, в¥ являются безразмерными.

Выбор способа обезразмеривания гидродинамических полей в

(1.3) продиктован тем, что движение рассматривается в полубеско-нечной области, не имеющей характерного линейного размера. Из

(1.2)

(1.3)

Р = 2(п)2 (В(х) + 21Т, -1 ), Т = Ь (Т - гв{х))

где х = Г

= г 2 • У Я V П , ^ = г • у я ¡Vі - безразмерный квадрат радиуса

величин g, V, С можно получить единственный безразмерный

комплекс - число Прандтля Рг , а также сформировать комбинации

УgV , обладающие размерностями длины и скорости.

При помощи представления (1.3) уравнения (1.1) редуцируются к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений для нахождения и , в:

2хит = (и — 2)и" — и'и' + в¥ — в

(1.4)

— хв'' = I и — — в — ив (1 5)

Рг У Рг) (15)

Для выписанной выше системы точка х = 0 является особой, так как в ней обращаются в нуль коэффициенты при старших производных. Задавшись целью получить всюду гладкие решения (1.4), (1.5), в граничные условия для этой системы необходимо включить дополнительные требования, обеспечивающие аналитичность функций и и в на оси симметрии вихря (х = 0) и в её окрестности.

Вследствие (1.2) - (1.5) краевые условия запишутся в виде:

А п ' в^—во — и0и0 в Рг в

х = 0: и = 0, и =----------------------------------------0-^-° , в =-иово

2 2 0 0

(1.6)

х : и = 0, и = и¥ , в = в¥

где в0 = в(0), и0 = и (0), и¥ = и(¥), в¥ = в(¥) - конечные постоян-

ные, вступающие в качестве параметров задачи.

Интегрируя (1.4) - (1.6), найдем неизвестные В(х) и у(х):

,2

\ га ' и ("У (5)

х) = В0 + и------------+ I-------— ёв

’ 0 4х 0 252

х (в

| ехр I | (и (¿)/2?) Ж

У ( х) = У 0

Л

ёв

(1.7)

| ехр I | (и (¿)/2?) Л ёв

0

0

0

Здесь В0 и У¥ - постоянные интегрирования.

2. АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ Р = 1

Как отмечается в [1], задача (1.4) - (1.6) значительно упрощается при совпадении характерных тепловых и вязких диффузионных времён, то есть при Рг = 1. В этом случае между в(х) и и(х) имеется связь:

в = А(А + и'), А2 = в¥> 0 (2.1)

а система (1.4), (1.5) редуцируется к одному нелинейному уравнению третьего порядка

2хит = (и — 2)и" — ии — Ли (2.2)

с граничными условиями

х = 0: и = 0, и = и0, и" = — — (и'0 + А)

2 (2.3)

х ® ¥ : и = 0

Постоянная в¥ , пропорциональная вертикальному градиенту температуры на бесконечности, согласно неравенству из (2.1), не отрицательна. Это означает, что жидкость подогревается снизу, со стороны непроницаемой плоскости г = 0 , температура которой постоянна и равна 4Т0/¡3 (см. (1.3)). Таким образом, существование стационарных локализованных вихрей исследуемого здесь типа возможно только в условиях неустойчивой (подогрев снизу) температурной стратификации среды.

Наличие масштабного преобразования

х = \А\ 1 х*=в¥ 2 х*, и = и* (2.4)

без ограничения общности позволяет считать, что в (2.2), (2.3) А = ±1 (А = 0 не представляет интереса). Смысл преобразования (2.4) заключается в том, что горизонтальный масштаб конвективного вихря уменьшается с ростом вертикального градиента температуры на бесконечности по обратному коренному закону.

Система (2.2), (2.3) представляет собой однопараметрическую задачу Коши с параметром и", значения которого должны быть выбраны таким образом, чтобы было выполнено условие (2.3) при х ® ¥ (при этом и ® и¥ = const). Параметр и" определяет скорость вертикального движения жидкости на оси вихря и связан с разностью градиентов температуры на оси и на бесконечном удалении от неё (см. (2.1)):

U = г^' (2.5)

&

Знак “+” при в (2.5) выбран в связи с тем, что исследования

показали отсутствие локализованных (то есть удовлетворяющих

(2.3)) решений (2.2) при А < 0 .

Уравнение (2.2) имеет точные решения:

A

х

и = a , и = a - Ax , и = 4 - Ax + be 2 , a , b - const (2-6)

Нетрудно увидеть, что при a = 0 первое решение из (2.6) удовлетворяет граничным условиям (2.3), а значит, является решением нашей задачи (и0 = 0). Найденное решение тривиально и описывает покоящуюся жидкость. Второе решение из (2.6) удовлетворяет всем условиям (2.3) при x = 0 (a = 0), но не удовлетворяет условию на бесконечности. То же самое можно утверждать и относительно третьего решения при b = -4 . Значения и0 для второго и третьего решений равны соответственно -A и A . То обстоятельство, что внутри интервала (-A; A) значений и0 лежит точное решение u ( x) = 0 , может служить указанием на то, что все решения краевой задачи (2.2), (2.3) расположены в данном диапазоне значений первой производной на левом конце области интегрирования.

Заметим, что изложенные выше рассуждения справедливы для A > 0 . Действительно, численный анализ при A = 1 показывает, что все решения (2.2), (2.3) удовлетворяют условию и0 е (-1; 1) (в соответствии с (2.4) для произвольного A > 0 имеем и0 е (-A; A)).

Поскольку точка x = 0 является особой для уравнения (2.2), численное интегрирование нужно производить от некоторого значения x = d > 0 , близкого к нулевому. Решение на отрезке x е [0,d] при-

ближённо ищется в виде ряда Маклорена с использованием уравнения (2.2) и начальных условий к нему из (2.3).

На рисунках 1 и 2 изображены безразмерные профили компонент скорости и вертикального градиента температуры для и0 = -0.9 и и0 = 0.9 . В обоих случаях всю область течения можно разбить на три части: ядро вихря (1), периферия вихря (2) и область квазипо-тенциального течения (3). Существенные качественные отличия в поведении рассматриваемых здесь двух типов вихрей проявляются главным образом в приосевой зоне (ядре).

При и0 = -0.9 (рис. 1) течение в ядре одноячеистое, температура на оси симметрии вихря максимальна. Вращаясь почти твердотель-но (vp ~ r), жидкость подтекает к оси (vr —r) и поднимается

вдоль неё вверх с пространственным ускорением, близким к постоянному (vz ~ const ■ z ). Аналогичным образом ведёт себя изотермический вихрь Бюргерса [2, 4], которому в случае конвекции соответствует второе точное решение из (2.6), при a = 0 .

При u0 = 0.9 (рис. 2) температура на оси вихря минимальна и, монотонно нарастая внутри ядра, достигает максимального значения на его границе. При этом непосредственно у оси образуется «глаз», внутри которого частицы среды, опускаясь вниз, сбегаются к оси. Вне глаза (но в пределах ядра) формируется восходящий дивергентный поток. Таким образом, в приосевой области складывается двухячеистая структура движения жидкости. Изотермическим аналогом двухячеистого вихря является вихрь Салливана [3, 4], которому в неоднородно нагретой жидкости соответствует третье точное решение (2.6).

Периферийную область вихря можно назвать также переходной или инерционной, поскольку через неё сопрягаются (“сшиваются”) интенсивные течения в ядре и крайне слабые, стремящиеся к состоянию покоя, движения в квазипотенциальной зоне. Для потоков с положительными и отрицательными значениями параметра и0, по абсолютной величине близкого к единице, на периферии вихря характерно быстрое затухание вертикального движения и падение азимутальной скорости. Подсос жидкости в направлении ядра осуществляется таким образом, что примерно в середине инерционной области модуль радиальной составляющей поля скорости достигает своего максимального значения, а затем монотонно убывает с увеличением радиуса.

Рис. 1. Безразмерные профили компонент скорости и вертикального градиента температуры: А = 1, у0 = (^)1/3, и¥ = -0.9

Рис. 2. То же при А = 1, у0 = (&ї)т и и¥ = 0.9

Своим происхождением переходная область обязана конвекции, так как при изотермическом течении вязкой несжимаемой жидкости, как показывают примеры вихрей Бюргерса и Салливана, эта область отсутствует, и полное затухание движения на бесконечности оказывается невозможным. Другим аргументом, свидетельствующим в пользу конвективного происхождения переходной области, служит то, что с убыванием |и¥| в увеличивающейся периферийной области возникают многоячеистые структуры (полубеско-нечные по вертикали), характерные для гравитационной конвекции в целом.

В области, названной ранее квазипотенциальной, рассматриваемая система стремится к состоянию динамического равновесия, то есть движение затухает. Поле скорости в этой зоне близко к полю скорости, создаваемому вихрестоком,

V = (2,Г,0), 2 = 2яуи¥ , Г = 2л/2ягу„ (2.7)

2рг

расположенным на оси г , с мощностью <2 и циркуляцией Г . Вязкий конвективный вихрь подсасывает к себе жидкость, создавая потенциальное течение вида (2.7).

Заключение. Перечислим основные свойства описанных выше конвективных вихрей (для Рг = 1). Локализованные конвективные вихри существуют лишь в условиях подогрева снизу, от подстилающей непроницаемой плоскости. Горизонтальный масштаб этих образований уменьшается с ростом абсолютной величины вертикального градиента температуры на бесконечном удалении от оси симметрии по обратному коренному закону. Радиальная структура вихря определяется разностью величин вертикальных градиентов температуры на оси и на бесконечности (распределение температуры на бесконечности следует считать заданным), при этом решение задачи существует лишь в ограниченном диапазоне значений этой разности. Течение жидкости вне вихря близко к потенциальному, индуцированному вихрестоком.

Автор выражает благодарность профессору С.Н. Аристову за предоставление темы и неоценимую помощь при проведении исследований.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке из

средств Гранта PE-009-0 АФГИР и РФФИ (№ 04-01-96063).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Aristov S., Knyazev D. Convective fronts in viscous incompressible fluids // Patterns and Waves. St. Petersburg, 2003. P. 98-102.

2. Burgers IM. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. 1948. V. 1. P. 171-199.

3. Sullivan R.D. A two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations // J. Aerosp. Sci. 1959. V. 26. № 11. P. 767-768.

4. Алексеенко С.В., Куйбин ПА., Окулов В.Л. Введение в теорию концентрированных вихрей / Институт теплофизики им. С.С. Ку-тателадзе СО РАН. Новосибирск, 2003. 503 с.

LOCALIZED CONVECTIVE VORTEXES IN VISCOUS FLUID

D.V. KNYAZEV

Abstract. Description of spatially localized vortexes is one of general problems in hydrodynamics and is of great interest for many applications. In the current paper within the framework of one class of exact solutions of the Boussinesque equations the problem of homogeneously height-swirled axial-symmetric localized vortex is studied. For the Prandtl number equal to one it is shown that the radial vortex structure is determined by the vertical temperature gradient difference at the vortex axis and at infinity. The relation between a horizontal dimension of the vortex and a temperature gradient at infinity is found. Exact analytical solutions, which are the convective analogies of the Burgers and Sallivan isothermal vortexes, are developed.