CC BY
28О формировании шпилькообразного вихря в вязком круговом
сдвиговом течении
И. Г. Шухман (1), В. Б. Левинский (2)
(1) Институт Солнечно-Земной Физики РАН, Российская Академия Наук, Сибирское отделение,
Иркутск 664033, А/я 4026, Россия,
(2) Faculty of Aerospace Engineering, Technion, Haifa 32000, Israël1
1. Введение
Шпилькообразные вихри (hairpin vorices) представляют из себя пару вращающихся в противоположных направлениях (counter-rotating) параллельных "ног" (legs), соединенных с одной стороны перемычкой, называемой "головой" (head) шпильки. Они наклонены под углом 45° к стенке (к направлению потока) и растут по мере сноса вниз по течению. Такие вихри являются типичным представителем когерентных структур, сопровождающих турбулентность в субкритических пристеночных сдвиговых течениях (boundary layers).
Вторым типичным представителем когерентных структур, наблюдаемых в турбулентных течениях, являются так называемые "стрики" (streaks). Эти стрики представляют из себя модуляции продольной скорости вдоль направления z, нормального к направлению невозмущенного течения х и к направлению у, нормальному к стенке (т.е. spanwise modulations). Эти модуляции, в принципе, достаточно велики (порядка величины полного перепада скорости в ламинарном течении), так что стрики с низкой продольной скоростью соседствуют со стриками с высокой продольной скоростью.
Наиболее полно эти структуры описаны в пионерских работах Head & Bandyopadhyay [1] и Кляйна и др. [2] и более современных обзорах [3,4],
Существование таких структур, а также их связь с турбулентностью, представляет интригующую проблему гидродинамической теории, В течение последних лет появился ряд интересных теоретических работ, посвященных попыткам установления связи стариков с формированием турбулентности в субкритических сдвиговых течениях в каналах.
Следует отметить, что пристальный интерес со стороны исследователей именно к стри-кам связан с тем, что эти когерентные образования являются естественным порождением начальных оптимальных возмущений, которыми являются так называемые продольные вихри (streamwise vortices) [5,6], Мало того, что эти продольные вихри дают наибольший тран-зиентный рост в рамках линейной теории (а именно, приводят за время т = С?(Ее) к модуляциям продольной скорости порядка (Э(е ■ Ее) в стриках, где е <С 1 - мера амплитуды завихренности в начальных streamvise vortices, а Ее - число Рейнольдса), оказывается, что если отказаться от предположения о малости возмущений, можно получить даже гораздо более существенный рост модуляций продольной скорости в стриках. Действительно, как очень наглядно продемонстрировал Waleffe [7], даже очень слабые затравочные продольные вихри за достаточно большое время, порядка четверти оборота продольного вихря вокруг своей оси, т = 0(б-1), способны привести к модуляциям продольной скорости в стриках порядка 0(Umax — Umin) ~ 0( 1), Смысл такого транзиентного роста довольно прозрачен - это просто поворот начального шира (shear tilting) вокруг продольной оси (фактически, это то же самое, что и так называемый Landahl's lift-up effect [8]),
1Present affiliation: KLA-Tencor Corporation, Migdal Ha Emeq 23100, Israël.
Существует и другой сценарий, приводящий к стрикам - это нелинейное слияние пары косых волн [9].
Таким образом, ключевым элементом в современных теоретических моделях перехода к турбулентности (в субкритических течениях) являются стрики. Турбулентность связывается с неустойчивостью этих стриков (streak breakdown) за счет наличия перегибов на z-профиле продольной скорости U(y,z). Очень подробно сценарии перехода к турбулентности через начальные оптимальные возмущения либо в виде streamwise vortices (SV), либо в виде пары косых волн (oblique waves, OW), также приводящих к стрикам, описаны в недавней работе [10]. В этой работе вычислены пороги по амплитуде и время перехода в этих двух сценариях, а также в трех других сценариях, в которых промежуточная стадия не включает стрики, и сделан вывод о том, что механизмы перехода к турбулентности через стрики являются наиболее предпочтительными.
К подобному же выводу приходит и Waleffe в своей серии фундаментальных работ, также связывающих переход к турбулентности с наличием стриков [7,11-17]. В этих работах доказано существование двух дополнительных ветвей нелинейных стационарных (но неустойчивых!) решений в виде бегущих вниз по течению волн (сложнейшая и остроумная программа расчета которых в настоящее время уже полностью реализована автором численно [17]). Эти два решения наряду с исходным устойчивым ламинарным течением (т.е. течением Куэтта или субкритическим (Ее < 5772) течением Пуазейля) представляют три "фиксированных точки" (fixed points) в фазовом пространстве состояний. Waleffe приводит убедительные аргументы в пользу того, что наличие этих двух новых неустойчивых ветвей стационарных решений прямо связано с переходом к турбулентности [15,16]. Одним из трех ключевых элементов в этом самоподдерживающемся процессе Валеффа, приводящем к возможности таких стационарных нелинейных состояний, также являются стрики: возмущения, возникающие при (г) перегибной (inflectional) неустойчивости стриков, подпитывают (ii) streamwise vortices, удерживая их от вязкой диссипации, а они, в свою очередь, поддерживают (да) само существование стриков.
Несмотря на очень изящный и логичный подход, просматривающийся в описанных выше схемах перехода, они оставляют некое чувство неудовлетворенности, вызванное рядом вопросов, которые молчаливо остаются за рамками обсуждения. Совершенно справедливое замечание содержится в статье Reddy et al. [10], которые пишут: "Вообще говоря, возмущения являются случайными и они не имеют форму оптимальных streamwise vortices, косых волн, волн Толмина-Шлихтинга или оптимальных двумерных возмущений. Какие механизмы описывают переход при субкритических числах Рейнольдса, если он вызывается случайным шумом? Ответ на эти вопросы находится за рамками нашей статьи."
Добавим к этому, что схема перехода к турбулентности через стрики настораживает необходимостью прибегать к слишком идеализированной постановке задачи. Эта идеализация заключается в том, что рассматривается модель чисто параллельного течения, неограниченного в продольном и поперечном направлениях, и принимается временная постановка задачи. При таком подходе игнорируется непараллельность течения, которая, как известно, имеет место в пограничных слоях, а также тот факт, что возмущения не возникают в t = 0, а потом свободно развиваются во времени, приводя к турбулентности, а возникают все время и вдоль всего течения (скажем, от неидеальности стенок). К чему приводит игнорирование этих обстоятельств во всех моделях перехода, где базовым элементом является начальная глобальная (формально, бесконечно длинная вдоль потока) структура, совершенно неясно.
Поэтому попытки развития альтернативных подходов, не закладывающих в свою основу предположение о глобальных структурах как о ключевом элементе в сценариях перехода, выглядят довольно естественно.
В работах Head & Bandyopadhyay [1] и Theodorsen [17] высказана гипотеза, что центральную роль в картине турбулентности могут играть трехмерно локализованные возмущения, каковыми как раз и являются шпилькообразные вихри. Их малые размеры наводят на мысль о том, что их формирование и структура не могут зависеть от глобальных свойств течения, В этом состоит существенное преимущество моделей с участием шпилек от моделей, предполагающих наличие протяженных структур, В таких картинах турбулентности шпильки могут рождаться как результат развития мгновенных возмущений от стенок, В дальнейшем они могут развиваться изолированно от остальных частей потока, сносясь вниз по течению, вырастая до максимальных размеров и в конце концов погибая из-за вязкости или взаимодействия (столкновения) с другими шпильками, В настоящее время не существует цельной концепции, связанной с такой картиной. Однако ясно, что её центральным элементом должно являться изучение изолированного локализованного вихревого возмущения.
Подобие характерных особенностей шпилек, возникающих в турбулентных пограничных слоях, и шпилек, искусственно синтезированных в ламинарных течениях (в которых их изучение проводить гораздо проще благодаря предсказуемости их динамики в ламинарном потоке), стимулировали проведение ряда экспериментов по генерации шпилек в ламинарных пограничных слоях [18-21],
Что касается теоретического аспекта изучения локализованных вихревых возмущений, можно, по-видимому, сказать, что за исключением работы Теодорсена [17], который предложил качественную картину преимущественного образования 45° вихрей, аргументируя это тем, что именно такая ориентация является оптимальной с точки зрения достижения максимальной энстрофии, существует единственная теоретическая работа, посвященная попытке объяснения основных особенностей структуры и динамики шпилек в плоском сдвиговом течении,2 Это работа [22], идеи и расчеты которой более повторены в более поздней работе [23], (Обобщение идей этой работы на случай МГД течений можно найти в [24], а стратифицированных течений - в [25]),
В работах [22,23] для изучения локализованного вихревого возмущения авторы воспользовались аналогией между основными понятиями гидродинамики и магнитостатики. Действительно, если мы обратимся к основному уравнению магнитостатики, rot Н = (Ait/с) j, где Н - магнитное поле, a j - плотность тока, мы легко увидим, что оно идентично уравнению rot и = ш, связывающему завихренность ш со скоростью жидкости и. Вспоминая, что в магнитостатике дипольный магнитный момент распределения токов га = | J(r х j) dV ориентирован по нормали к плоскости локализации тока j, мы поймем, что и в гидродинамике величина р = | J(r х ш) dV также будет ориентирована по нормали к плоскости локализации завихренности (или, что то же самое, к плоскости локализации энстрофии и;2). Это значит, что если мы научимся отслеживать динамику р, мы сможем описывать и ориентацию плоскости вихря.
Величина р носит название импульса Лэмба (ИЛ) (fluid impulse). Очень важно, что, как показал Бэтчелор [26], импульс Лэмба является интегралом самоиндуцированного движения в неограниченных течениях.
Учитывая все это, а также тот факт, что ИЛ сочетает в себе геометрические размеры вихря с его интенсивностью, мы приходим к выводу, что ИЛ является очень удобной интегральной характеристикой локализованного вихря. Более того, в [22,23] было показано, что благодаря свойству сохранения ИЛ в самоиндуцированном движении, полученное для
2Можно еще отметить работу Валеффа [17], в которой вскользь высказана гипотеза о возможности рождения шпилек либо в результате неустойчивости стриков относительно возмущений варикозного типа, либо в результате динамической самоорганизации так называемых staggered vortices, присутствующих в его картине самоподдерживающегося процесса (см. рис. 7 в [17]).
него уравнение является линейным,. Иными словами, уравнение, описывающее эволюцию ИЛ является нечувствительным к амплитуде вихря. Как следствие этого факта, в [22,23] получен экспоненциальный рост ИЛ любого начального локализованного вихревого возмущения. Инкремент этого роста равен половине величины шира продольной скорости в области локализации вихря, 7 = ^{йЛ / йу)у=у„, и более того, асимптотически вектор ИЛ независимо от его начальной ориентации наклонен под углом 135° к направлению течения. Это означает, что плоскость вихря за время порядка 7-1 становится ориентированной под углом 45° к направлению течения. Оба этих факта находились в хорошем согласии с существующими на тот момент экспериментами с искусственно синтезированными шпильками,
С целью проверки теории в [23] был предложен и проведен эксперимент, описанный в [21], по искусственной генерации шпилькообразного вихря в круговом течении между двумя вращающимися цилиндрами. Идея эксперимента с круговым течением связана с тем, что в отличие от случая плоского течения, в котором нет критерия неустойчивости, а асимптотическая ориентация шпильки всегда 45°, в круговом течении инкремент и угол наклона становятся зависящими от параметра а (см, §2), В теории появляется критерий неустойчивости по а. В эксперименте этот параметр можно варьировать, изменяя угловые скорости вращения цилиндров. Цель эксперимента заключалась в проверке критерия неустойчивости и зависимости ориентации вихря от параметра а, или проще говоря, от угловых скоростей вращения цилиндров.
Проведенный эксперимент [21] в целом продемонстрировал хорошее согласие теории [22,23] с экспериментом.
Однако, несмотря на все достоинства предложенной теории [22,23], в последнее время была выполнена ее ревизия, с целью проверки основных положений, лежащих в ее основе. Была подвергнута сомнению центральная гипотеза теории [22,23] о возможности разделения полной вихревой структуры возмущения на ядро и хвост и введения понятия ИЛ ядра. Поясним, что именно для импульса Лэмба ядра в [22,23] было выведено линейное уравнение, дающее экспоненциальный рост, Шухман и Левинский показали [27,28], что гипотеза о возможности вычленения (выделения) ядра вихря из общей структуры оказалась несостоятельной, В результате оказалось, описание динамики вихря с помощью единственной интегральной характеристики (вектора ИЛ р) невозможно и единственный путь проследить эволюцию вихря - это непосредственное решение системы уравнений для полей завихренности (или скорости), В [27,28] эта задача была решена для слабого вихря в плоском течении. Аналитическое решение, полученное в [27,28] заложило основу для численного моделирования эволюции сильного вихря, которое было выполнено в [29,30], Этот анализ, в целом, подтвердил оправданность подхода, предложенного в [22,23], в котором формирование шпилькообразного вихря представляется как результат нелинейной эволюции изолированного возмущения, настолько локализованного, что в первом приближении можно считать, что оно происходит в течении с постоянным широм, а стенки канала можно считать отодвинутыми на бесконечное расстояние. Прямое численное моделирование в данной модели [29,30], совместно с аналитическим расчетом линейной стадии [27,28], показало, что на определенном этапе эволюции вихрь произвольной начальной ориентации и не имеющий форму шпильки, превращается в шпильку, причем, в пору наиболее быстрого роста интенсивности (т. е, при временах порядка одной-двух единиц адвективного времени) ориентация плоскости локализации вихря составляет примерно 30 -60 градусов независимо от начальной ориентации. Это неплохо соответствует ориентации наблюдаемой в экспериментах в плоском течении. Разумеется, в согласии с обычной теорией гидродинамической устойчивости для данной модели [31], интенсивность вихря на стадии роста увеличивается степенным образом (а не экспоненциально), а после достижения максимума затухает из-за вязкости, В целом, динамика полной энстрофии локализованного вихря в
плоском течении напоминает динамику энергии оптимальных streamwise vortices, с течением времени превращающихся в стрики и в конце концов диссипирующих из-за вязкости [6,32],
В настоящей работе мы попытаемся реализовать ту же программу изучения динамики локализованного вихря в круговом течении, которая была выполнена нами в [27,28] для плоского течения с целью сравнения с экспериментом [21] (о котором у авторов имеется наиболее подробная информация). Здесь мы снова ограничиваемся пока случаем слабых вихрей, доступным для аналитического подхода. Это исследование служит с одной стороны тестом для дальнейшего численного моделирования эволюции локализованного вихря, не обязательно слабого, а с другой стороны оно представляет самостоятельный интерес, иллюстрируя утверждение, высказанное в работе [21] на основе проведенного эксперимента, что недостаточно сильное возмущение не приводит к формированию шпилек.
Структура статьи такова, В § 2 мы формулируем постановку задачи и сводим описание динамики сильно локализованного возмущения в круговом течении к описанию в локальной декартовой системе координат. Это описание соответствует случаю плоского безграничного течения с постоянным широм, но, в отличие от плоского течения, подверженного воздействию силы Кориолиса,
В § 3 с помощью известной техники перехода к лагранжевым координатам в fc-пространс-тве (см., например [32]), мы получаем выражения для компонент поля завихренности,
В §4 исследована динамка полной энстрофии слабого вихря, В частности, определена оптимальная ориентация начального вихря, приводящая к наибольшему усилению вихря в ходе эволюции. Расчеты приведены для конкретного значения "числа Рейнольдса вихря", равного 40, соответствующего эксперименту [21],
В § 5 мы приводим изображения изоповерхностей энстрофии, иллюстрирующие форму и другие геометрические характеристики вихря и роль вращения в его эволюции. Мерой "отклонения" от обычного плоского течения без вращения является параметр а (а = 0 соответствует плоскому течению без вращения). Приводятся расчеты динамики так называемого тензора распределения энстрофии - интегральной характеристики, введенной в [27,28], дающей хорошее качественное представление об угле наклона вихря и соотношениях между его размерами по разным осям,
В § 6 обсуждаются полученные результаты,
2. Постановка задачи, основные уравнения
Рассмотрим круговое течение вязкой жидкости. Такое течение может быть создано в жидкости, заключенной между двумя вращающимися цилиндрами. Это так называемое течение Тейлора-Куэтта, устойчивость которого изучалась многими исследователями (см., например, Ландау и Лифшиц [33]), Если пренебречь влиянием торцов, распределение азимутальной скорости V(r) и, соответственно, и угловой скорости А (г) = V(r)/r в таком течении можно представить в виде
V(r) = Ar + B/r, A(r) = А + В/г2, (2.1)
где А ж В - константы, зависящие от угловых скоростей вращения внутреннего (Ащ) и внешнего (Aout) цилиндров, г - радиальная координата цилиндрической системы координат (r,x,z). Мы, однако, не будем конкретизировать профиль угловой скорости в течении, считая его произвольным. Будем предполагать, что жидкость вращается против часовой стрелки, а угловая скорость растет наружу, то есть
А > 0, dX/dr = А' > 0.
(2.2)
Из этих условий следует, что и угловой момент жидких частиц гУ(г) растет наружу, (гУ)' > 0, или 2 А + г А' > 0. Последнее условие означает, что течение гидродинамически устойчиво (см, например, [33]), Заметим, что при таком выборе профиля угловой скорости аксиальная компонента завихренности течения также положительна:
О (г) = (rV)'/r = 2А + гА' > 0.
(2.3)
Пусть теперь в момент времени £ = 0 в этом течении возникает малое трехмерное возмущение, которое локализовано в окрестности точки с координатами (без ограничения общности можно считать г* = 0), Мы хотим проследить эволюцию этого возмущения.
Переходя в систему координат, связанную с вихрем (то есть вращающуюся с угловой скоростью А* = (0,0, А*), А* возмущенных завихренности и> и скорости и:
(0,0, А»), А* = А(г*)), запишем линеаризованную систему уравнений для
ди>
(17-V) ш - (w-V) U - (O-V) и - 2(A*-V) и = рАш,
и>
curl и.
(2.4)
Здесь
U = (0,£/х,0), Ux = V(r) — А* г, О = curl U = (0,0,0), О = (rV)'/r - 2А, = О - 2А*.
(2.5)
где О и О - скорость и завихренность фонового течения во вращающейся системе отсчета, записанные в проекциях на оси цилиндрической системы координат, Б = (вг, вх, З^).
Введем локальную декартову систему координат, связанную с точкой локализации возмущения, Выберем начало отсчета где-нибудь в области локализации вихря. Пусть ось х (или, что то же самое, ось направлена вдоль отрицательного направления х, ось у (или х2) направлена наружу вдоль радиуса, а ось г (или х3) ориентирована вдоль обычной оси г цилиндрической системы координат (см, рис, 1), В этой координатной системе в области
Рис, 1: Локальная декартова система координат, связанная с вихрем.
локализации вихря для скорости и завихренности течения имеем следующие приближенные выражения
О = (0,0, Оз), П3 = О (г) - 2А, « о, - 2А, = гД',.
(2.6)
что позволяет записать исходную систему уравнений, ограничиваясь главным порядком по малому параметру где 6 - характерный размер локализации вихря. Используя также
соленоидальность поля завихренности (сЦуи; = 0) запишем:
;1> (2-7)
(2-8) (2.9)
дшх дт дшх СХ 2 OX i — а Ш2 дщ dxi V О*
дш2 дт дш2 СХ 2 ОХ 1 ■ + 0>1 - ди3 дх2 V О*
duii dxi дш2 дх2 дш3 дх3 0,
где А = д2/дх\ + д2¡дх\ + д2/дх\ - лапласиан. Мы ввели безразмерное время
т = ГМ = (2А + гА')** > 0 (2.10)
и безразмерный параметр а (или с):
2А* 2А*
Q* 2А* + гД1
1 — а. (2.11)
Легко видеть, что из условий, наложенных на угловую скорость А (г), следует, что параметр а может варьироваться только в диапазоне 0 < а < 1.
Заметим, что мы можем вместо т в качестве эволюционной переменной использовать азимутальный угол поворота х жидкой частицы на радиусе г»: х = |ат-
Обсудим смысл различных предельных значений параметра а. Предельный случай а = 0 (или с = 1) соответствует обычному плоскопараллельному сдвиговому течению. Действительно, записывая параметр а в форме
2 У{г,)/г,
а
(rV)!Jn '
мы видим, что в случае, когда радиус кривизны становится бесконечно большим, г* —^ сю, а градиент скорости стремится к конечному значению, Vj —^ const, параметр а —^ 0, Заметим, что при а = 0 система уравнений (2.7)-(2.9) переходит в соответствующую систему уравнений, описывающую эволюцию вихря в плоскопараллельном течении с однородным широм скорости (см, например, [27,28]),
Предельный случай а = 1 (или с = 0) соответствует твердотельному вращению, А' = 0 (отсутствует шир угловой скорости). Заметим, что хотя этот случай является довольно простым, тем не менее наличие вращения (даже без шира и вязкости) приводит в трехмерном случае, благодаря действию силы Кориолиса, к нетривиальной эволюции поля завихренности,3 Далее мы будем несколько подробнее рассматривать эти два предельных случая. Случай плоскопараллельного течения а = 0 представляет независимый интерес и рассматривался (в невязком пределе) в [27,28], а случай твердотельного вращения а = 1 допускает более
3Заметим (см. (2.6)), что в круговом течении с твердотельным вращением шир локальной линейной скорости также равен нулю ({Д = —(А'г)*у = 0). Таким образом, случай твердотельного вращения аналогичен случаю плоскопараллельного течения без шира.
Однако есть существенное различие между параллельным течением без шира и круговым вращением без шира угловой скорости. В параллельном течении без шира завихренность (в случае отсутствия вязкости) сохраняется. В круговом течении с твердотельным в вращением завихренность не сохраняется из-за силы Кориолиса.
существенное аналитическое продвижение и может служить в качестве теста для случаев с произвольным а.
На рис, 2 в качестве иллюстрации приведено теоретическое распределение угловой скорости А (г) и параметра а для одного из экспериментов, описанных в работе [21]. (Фактическое распределение А (г) при этих радиусах цилиндра и их скоростях вращения в эксперименте [21] слегка отличается от рассчитанного.)
1 (г.р.т.) 1 = А+В/г2
60 Г А = 128.1818 г.р.т.
В = -245454.5 г.р.т. тт2 ^^^ г#=52.5тт
50 =50 тт ^^ Я«* = 60 тт,— а ~ -------------
30^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 52г* 54 56 58 60 г (тт)
а
Рис. 2: Радиальное распределение угловой скорости А (г) и параметра а для эксперимента, описанного в [21] Положение вихря, показанное черным кружочком, соответствует а = 0.305.
Напомним, что параметр а играет очень важную роль также и в теории, представленной в [21,23]. В этих работах было показано, что импульс Лэмба "ядра" вихревого возмущения, р1, направление которого ассоциируется с нормалью к плоскости локализации вихря, при а < 1/2 экспоненциально растет с инкрементом неустойчивости 7мьс, пропорциональным VI - 2а: _
р ~ ехр {-у мьс 7мьс =
Л
V А'-2А\ . ,-
Заметим, что согласно теории [21,23] этот инкремент нарастания "импульса Лэмба ядра", 7мьс, не зависит от ни от вязкости (числа Рейнольдса), ни от амплитуды возмущения.
Напомним также, что, согласно теории [21,23], в результате этой неустойчивости между направлением импульса Лэмба ядра р1 и положительным направлением оси х = устанавливается угол, равный 1;о
Ф;ш,с = иге! ни [(1 - 2о)1/2],
так что, согласно этой теории, при а —^ 1/2 плоскость вихря становится ориентированной по нормали к течению, а при а, —^ 0 - под углом 45° по направлению к течению.
В частности, для а = 0.305 (см. рис.) теория [21,23] дает для направления вектора р1 значение Фмьс ~ 32°, что соответствует ориентации плоскости вихря по отношению к направлению течения под углом 58° (или, что то же самое, под углом 32° по отношению к направлению вдоль радиуса).
д От рк2 О* -cfci )(jJi аш2 -0к2 h(huj2 -к2 - k2Ui) = 0,
(—- [дт Рк2 О* , 9 ^ 0к2 к2(кгш2 -к2 к2шг) = 0,
3. Вывод выражений для компонент возмущенной завихренности
Как и в случае плоскопараллельного течения, рассмотренного в [27,28], решение системы (2.7)-(2.9) проще всего получить переходя в фурье-пространство, и затем совершая переход к лагранжевым переменным.
Итак, совершим фурье-преобразование
fi(r, к) = (2тгy3JdV Mr, г) e-ikr, fi(r, г) = Jd3k /,(т, к) eikr,
где fi означает компоненты завихренности uii или скорости щ Здесь и далее мы будем обозначать через г координаты точки в локальной декартовой системе координат, г = (хг,х2,х3) = (x,y,z). Используя соотношение между фурье-компонентами завихренности и скорости
и(т, к) = 1-—-, (3.1)
где к2 = к 1 + Щ + к2, получим из (2.7)-(2.9):
и /и . . и .. \
(3.2)
(3.3)
klUJi + к2ш2 + к3ш3 = 0. (3.4)
Перейдем от набора независимых переменных т, ki, к2, к3 к новому набору независимых переменных т, ki, q, к3, где который представляет собой не что иное как Лагран-жевы переменные в fe-пространстве, Будем далее рассматривать завихренность ш как функцию лагранжевых переменных, то есть ш = и;¡(т. к\. </. ко). При этом d/dr = (0/От),, = (д/дт)и2 + cki(d/dk2)T. Вводя оператор М = d/dr + ь>к2(т), где к2(т) = р2 + к2(т), к2(т) = g+(cr) ki, р = (Щ + Щ)1/2 = const, выражая из (3,3) щ через ш2 и подставляя в (3,2), получим выражение для "вертикальной" завихренности ш2
М[к2(т)Мш2]+ак23ш2 = 0. (3.5)
Подстановка
LOi = uji exp [-{v/Q.*)^к2(т') dT') (3-6)
переводит уравнение (3,5) в уравнение
^[к2(т)^}+ак23ш2 = 0. (3.7)
В случае плоскопараллельного (а = 0) течения, уравнение (3,7) переходит в соответствующее уравнение для "вертикальной" завихренности ш2 [27,28], Как и в [27,28], для решения (3,7) очень удобно перейти к сферическим переменным в fe-пространстве. Положим
ki = к cos/3 cos ф (= рсозф), к2 = к sin к3 = к cos/3 sin ф (= рвтф),
где (3 = /3(т) = arctan[fc2(r)/p], tanф = к3/кг, причем — |-7г < /3 < |7г, 0 < ф < 2тт. Введем еще (для дальнейшего) понятие начального начального волнового вектора Q = (ki,q, к3),
Рис, 3: Поверхность постоянной энстрофии |и>(т = 0,г)|2 = const начального гауссовского вихря.
характеризуемого в сферических координатах углом 0О = arctan(g/p) (а также углом ф и абсолютным значением Q = у/р2 + q2), так что tan/?0 = tan/i — ст cos ф, — |-7г < 0О < |7г. В результате уравнение (3.7) трансформируется в обыкновенное дифференциальное уравнение, содержащее вместо производных по времени т производные по угловой координате /3, а функция ¿¡>2 теперь рассматривается как функция переменной /3, которая параметрически зависит еще от ф и р:
"Параметр" к сам является функцией ф: к2 = (а/с2) tan2ф.
Уравнение (3.8) требует постановки начальных условий при ¡3 = 0О, которые несложно получить из начальных условий, задаваемых при т = 0.
Далее мы будем рассматривать в качестве начального возмущения гауссовский вихрь, подробно описанный ранее в [27,28]:
ш(т = 0, г) = VF х /1, где F = (тг1/20)"3 oxp(-r2/í2). (3.9)
Напомним, что этот вихрь представляет типичное вихревое возмущение дипольного типа. Область локализации абсолютного значения завихренности представляет собой тор (см. рис. 3), плоскость которого ориентирована по нормали к вектору импульса Лэмба fi, а вихревые линии представляют собой окружности, параллельные этой плоскости. Характерный размер такого вихревого образования равен 8. В фурье-представлении
= (¿)3 (k Х ^ <-"M-\k2S2). (3.10)
Далее мы ограничимся случаем симметричных (относительно плоскости z = 0) вихрей, то есть положим /i3 = 0. Решая уравнение (3.8) с начальными условиями, следующими из (3.10), получим выражения для компонент ü>,¿, записанные в сферических координатах лагранжевых переменных Q (то есть в переменных Q, р0, ф):
¿>i(T'Q) = J^ Р Ci(r; [3q, Ф) exp(-|Q2í2), (3.11)
(2 = HiF-2 + H2FI,
cos2 d)
Ci = - eos ф [c {HXF\ + H2F3) + tan /3 C2], Сз = с {HXF.\ + H2F3) - sin ф tan /3 C2,
S1I1 (j)
и tan /3 = tan /30 + ст cos ф. Здесь обозначено
Hiifio, Ф) = fJ>i sin ф — [J,з cos ф,
sin 2фл
- (ai sin ф tan /Зо — а2 tan ф + я3 tan /30 . с cos ф
(3.12)
/3=arctan(/3crfcr cos ф)
/3=arctan(/3o+cr cos ф)'
Р2(р0,ф,т) = \¥130(р,р0,ф) Р4(р0,ф,т) = Ш/3о/3(р,р0,ф)
Н2(Ро, Ф)
и введены 4 функции
Е1(р0,ф,т) = \у(р,р0,ф) Р3(р0,ф,т) = ш13(р,р0,ф)
В (3.13)
Ш(Р, Ро; ф) = Ф(Р, ф) Ф(р0, ф) - Ф(Р, ф) Ф(/30, ф),
нижний индекс у \¥ (т.е. Р или р0) означает частную производную по соответствующей переменной, а функции Ф(Р, ф) и Ф(Р, ф) - это соответственно четное и нечетное относительно р = 0 решения уравнения (3.8), т.е. Ф(0, ф) = 1, Ф'(0, ф) = 0, Ф(0, ф) = 0, Ф'(0, ф) = I.4 Возвращаясь от Шi к а^, то есть умножая на "вязкую" экспоненту (см. (3.6))
/3=arctan(/3o+ ст cos ф) /3=arctaii(/3o+cr cos ф>)1
(3.13)
E = exp[-(v/n*) к (t')(Ít'
получим для компонент завихренности выражение, аналогичное (3.11), но с единственным отличием: теперь в нем вместо характерного масштаба 6 фигурирует новый "вязкий" масштаб
п = т^.^кт)
c¿Í(T, Q)
■рО(т;Р0,ф) exp(-¡Q2D2'
(2тг)
(3.14)
и
/ 4т
D = S \ 1 + — [1 + СТ COS Ро sin Ро cos ф + | (ст)2 COS2Ро cos2ф]. у лв
Мы здесь ввели число Рейнольдса, связанное с параметрами вихря.
V
(3.15)
Назовем его числом Рейнольдса вихря, в отличие от обычного число Рейнольдса, которое в принятой модели ввести невозможно - в задаче отсутствует масштаб длины (см. также [32]). Легко понять, что в невязком пределе, и —^ 0 (Де —^ сю), вязкий масштаб £> совпадает с 5.
4Заметим, что функции Ф(/3, ф) и Ф(/3, ф) могут быть представлены ввиде
ФОМ) = (eos (í)-mF(~
m ml "2'""2 ' 2
; sin2/3), Ф(/3, ф) = sin fi (cos0)~mF{
1 —m 1—m 3
2 ' 2 ' 2
in 2f3),
; sin'
где ^(а, 6; с; г) - гипергеометрическая функция и ш = тп(ф) = — 1/2+^/1/4 — к2, однако, оказывается, что для наших целей проще решать непосредственно уравнение (3.8) численно, не прибегая к гипергеометрической функции.
Совершая обратное фурье-преобразование и выполняя ту же последовательность процедур, что и в [27,28], мы найдем компоненты завихренности в физическом пространстве. Имеем
2 г71"/2
uji(r,r) = --g^ J cos2/30 d/30
(3.16)
хГЛФПЯ Л- r4^ocoseow3 r02COS2e04 / r2 coscojo D* D JI2 w~
Здесь
COS ©o = COS во sin fio + sin во COS Po COS(Ф — (fio) (3.17)
- угол между векторами Q и Гц. Сферические координаты начального положения жидкой частицы (в локальной системе координат) г(т = 0) = г0, то есть значения г0, в0, <ро, входящие в (3,16) и (3,17), связаны с декартовыми координатами ее текущего положения или, что то же самое, с координатами точки наблюдения г = (xi,x2,x3), соотношениями
Го = ]/+ Х2т)2 + Х2 + X2, COS во = —, COS^o = , (3.18)
r0 yj(xi +х2т)2 + х23
Выражения (3,16) и (3,17) совместно с выражениями (3,12) для компонент Q и выражениями (3,18), связывающими декартовы координаты точки наблюдения г = (xi,x2,xs) с начальными сферическими координатами жидкой частицы г0, в0 и <р0, позволяют рассчитать линейную эволюцию слабого гауссовского вихря. Результатам этого расчета посвящен следующий параграф. Напомним,
что применимость линейной теории ограничена условием |uj|max где
имеется ввиду максимальное значение абсолютной величины завихренности в вихре. Это, в частности, означает, что данное условие должно быть выполнено и для начального гауссовского вихря, т.е. |u;|max = 0.154/i/J4 -С О*, или ¡л < 6.49 Q* S4. Здесь ¡л = |¿¿|,
В заключение этого параграфа приведем полезные асимптотические выражения для функций I-).....,i в предельных случаях параллельного течения с широм (а —>■ 0, с —>■ 1) и твердотельного вращения (а —>■ 1, с —^ 0): При а —» 0. с —У 1:
F1 = Pо-A F2 = 1, F3 = - 1, /<:, = 0. (3.19)
При а —^ 1, с —У 0:
cos ф
Fi = —с cosfio --г sin(7r), F2 = cos(7r), F3 = — cosíjr),
| sin ф |
F4 = -- —í— I sm ^ I sin(7т), где 7 = 7(/3Q, ф) = cos/301 sin^ С cospo cos ф
(3.20)
4. Динамика интенсивности вихря в ходе линейной эволюции. Зависимость от начальной ориентации и от числа Рейнольдса.
Определим плотность энстрофии как Ь = [сиг1ад(т,г)]2 = и>2(г), и соответственно полную энстрофию вихря
£ = У ш2(т, г) ¿V. (4.1)
В [27,28] показано, что полная энстрофия служит весьма удобной характеристикой меры интенсивности локализованного вихря. Действительно, определяющий ее интеграл (4,1) быстро сходится на больших расстояниях (ш ~ г-4), в отличие ряда других характеристик, например, импульса Лэмба или полной энергии.
Рассмотрим вопрос об усилении или ослаблении вихря в зависимости от начальной ориентации и от числа Рейнольдса и найдем оптимальную ориентацию начального вихря, то есть такую ориентацию, при которой вихрь достигнет максимального усиления в ходе эволюции прежде, чем затухнет из-за вязкости,5
Мы можем выразить интеграл (4,1) через интеграл в Фурье-пространстве:
£
(2тг)3 У |w(r,fe)|2(i3fc,
и воспользоваться выражениями (3,16) для ш^т,к). Введем также приведенную полную эн-строфию £ = С/Со, где £о = (л/^тг3/2^5)-1 (¿¿|2 - значение полной энстрофии в начальный момент времени. Приведенная энстрофия зависит от времени, параметра а, а также от числа Рейнольдса вихря, Кг, и от начальной ориентации вектора импульса Лэмба характеризуемой единичным вектором п = £ = £(т; тг, Де, а). Легко понять, что усилению вихря соответствуют значения £ > 1, а ослаблению С > 1. Следовательно мы можем рассматривать приведенную полную энстрофию в качестве коэффициента усиления. В результате получаем
где
'п
£(т; п, Re, а) = У^ ¿ц{т', Re, а) щп
»,.7=1
3 f71"/2 fw (1ф г
- / dfio COS во / COS ф (F3 sin во + cF4 eos fio У
2irJo Jo D5 L
(4.2)
eos /30 . 2,íFi. a
--— sin' ф (— tan fio
eos 2fi с
Fo
¿12 = ¿21 = ~ +cF4 COS Д))
COS2fi eos ф с с
¿13 = ¿23 = ¿31 = ¿32 = 0,
# )5
tan ,/„/-', + F,
3 /"7r/2 fw аф г
--/ dfio eos fio / eos fio eos ф F3 (F3 sin fio
2ttJO JO D5 L
cos2fio sin2ф Fi 1
^22
3 ГЧт a Ít?2 2Д , eos2fio
— / dfio eos fio / F3 eos fio H--
2-kJo Jo D5 v eos2fi
3 Г'2,п n Г #
£)5
¿33 = — f dfio eos fio f —— [(F3 sinfi0 sin ф — cF4 eos fio — 2-kJo Jo D5 L si
cos2/30
F2
tan
eos 2фЛ sin ф J
(4.3)
i--— eos2ф (— tan fio %ш2ф — F2)2
cos2p с
Здесь D = D(t, fio, ф)/б.
Рассмотрим некоторые предельные случаи.
(i). Параллельное течение. Легко убедиться, что в случае параллельного течения, а, = 0, выражения (4.3) для ¿ц совпадают с соответствующими выражениями в [27,28]. В этих
5В этом смысле постановка вопроса совершенно аналогична той, что принята в теории оптимальных возмущений, однако здесь максимизируется не полная энергия, а полная энстрофия, причем по единственному параметру (углу наклона плоскости начального вихря), вместо большого числа параметров, характеризующих абсолютно произвольное начальное возмущение (см. [5,6,32,34]).
Рис, 4: Параллельное (а = 0) вязкое (Re = 40) течение. Приведенная полная энстрофия (радиальная координата) в зависимости от угла наклона а (угловая координата) для нескольких значений т (помеченных на самих кривых). Цифры в конце радиальных лучей означают угол (в градусах), которому соответствует наибольшее усиление в данный момент времени.
работах подробно рассмотрена эволюция энстрофии вихря в зависимости от углов начальной ориентации вихря. Было показано, что в невязком случае энстрофия асимптотически растет степенным образом: С ос т2 (ср. также с [32]),
Наибольшего усиления достигают симметричные вихри, /13 = 0, Для таких вихрей единственным параметром, характеризующим их ориентацию, является угол наклона начального импульса Лэмба ¡i к положительному направлению оси х: tana = [Jv/lH-
Рисунок 4 иллюстрирует зависимость усиления вихря от начальных углов для случая параллельного вязкого течения с Re. = 40, Здесь, как и в невязком случае (см, [27,28]), наиболее усилившимися к данному моменту времени оказываются вовсе не те вихри, которые быстрее всего растут в начале эволюции (т. е, а = 45°), а углы несколько иной ориентации. Наибольшего усиления достигают вихри с оптимальной ориентацией & 63°, причем это максимальное усиление невелико - при таком (достаточно малом числе Рейнольдса) оно равно примерно 4 и достигается при ropt rí 6.5 (см, ниже, а также [29,30]),
На рисунке 5 показана эволюция коэффициента усиления для случая вязкого параллельного течения для нескольких базовых значений углов начальной ориентации а = 0°; 45°; 90° и 135°, Видно, что для углов а = 0°, 45°, и 90° при т rí б — 6.5 достигается максимальное усиление, после чего вихри затухают. Видно также, что вихрь с а = 135° вообще не усиливается.
Конечность стадии усиления вихря (так называемый транзиентный рост), и, что еще более существенно, наличие .максимальной амплитуды вихря, которая может быть достигнута в ходе эволюции изначально слабого вихря, имеют важные следствия для образования шпиль-кообразных вихрей. Мы обсудим более подробно этот вопрос в §6,
Интересно, что включение вязкости приводит к сужению области углов ориентации, для которых вообще возможно усиление вихря (хотя бы временное) вокруг направления 45° (и
А
С
0.0 —1—1—1—1—1—1—1—1—1—1 т 01 23456789 10
Рис. 5: Параллельное (а = 0) вязкое (Ее = 40) течение. Эволюция коэффициента усиления вихря для четырех углов начальной ориентации - а = 0°; 45°; 90° и 135°.
225°). В то время, как в невязком случае (см. [27,28]) в конце концов (то есть, начиная примерно с момента времени г = 4) начинают усиливаются вихри любой ориентации (даже если в начале эволюции они и не усиливались), в вязком случае существуют области углов, в которых вихри могут только ослабляться.
Рисунок 6 иллюстрирует это утверждение. На нем показаны изолинии £ > 1 коэффициента усиления на плоскости (а, г) для случая достаточно большой вязкости, Ле = 20 и Ле = 40 (для подчеркивания роли эффекта сужения области возможного усиления). Видно, что диапазон возможных углов усиления сужается с ростом вязкости, как и сама величина максимального усиления.
В [27,28] мы уже обсуждали этот вопрос в связи со старой гипотезой Теодорсена [17]) о механизме преимущественного формирования 45-градусных вихрей в параллельных течениях. Несмотря на то, что, как мы показали в [27,28], в результате эволюции образовываются вовсе не 45-градусные вихри, тем не менее, тот факт, что усиливаться могут 'только те вихри, начальная ориентация которых довольно близка к 45 градусам,, подтверждается нашими расчетами. Оказывается, что учет вязкости в этом смысле работает в пользу гипотезы Теодорсена (хотя в самих его рассуждениях вязкость не играла никакой роли).
(п). Круговое течение с твердотельным, вращением. Для этого случая (а = 1) получаем с помощью (3.20) ¿и = ¿22 = ¿33 = (1 + 4т/Леу5/2, ¿12 = ¿21 = ¿13 = ¿зг = ¿23 = ¿32 = 0, так что в невязком случае полная энстрофии сохраняется £(т; п. Ле = оо,1) = 1, как это и должно быть, а при наличии вязкости она диссипирует, независимо от начальной ориентации вихря: £(г: п. Ле, 1) = (1 + [т/Лс) :>: '2.
(да), С помощью (4.3) несложно также рассчитать эволюцию энстрофии на начальной стадии, то есть при малых т, т 1. Имеем для симметричных вихрей:
1 п
£(т; а, Ле, а) = 1 + т[|(1 - а) зш(2а) - —] + 0(т2). (4.4)
Отсюда видно, что на начальной стадии наиболее быстро нарастает вихрь с углом наклона а = 45° (или 225°) однако, если вязкость достаточно велика, Ле < 20/(1 — а), даже 45-градусные вихри вначале ослабляются. При а = 1, в полном соответствии с (и), вихри любой ориентации затухают: £^1 — 10т/Ле.
Для Ле = 40 (именно это значение числа Рейнольдса характерно для эксперимента [21])
Рис. 6: Параллельное (а = 0) вязкое течение. Контуры коэффициента усиления C(r;a:Re:a) = const на плоскости (т — а), (а) - Re = 20 и (6) - Re = 40. Незакрашенные области соответствуют ослаблению вихря, С < 1.
ослабление интенсивности вихря имеет место для всех начальных углов наклона а, если
а > 0.5. (4.5)
Обратим внимание, что на первый взгляд кажется, что условие (4.5) согласуется с критерием устойчивости [21,23] для импульса Лэмба ядра р1. Однако, надо иметь ввиду, что наш критерий ненарастания интенсивности вихрей всех начальных ориентации на начальной стадии эволюции, то есть (dt/dr)
< 0, зависит от числа Рейнолъдса
т=0 '
20 , ,
а > 1 - —, (4.6)
Не
в то время как критерий роста импульса Лэмба ядра р1 в теории [21,23] от числа Рейнольдса не зависит. Так что данное совпадение следует считать случайным.
На рисунке 7 показана эволюция полной приведенной энстрофии в зависимости от начальной ориентации вихря при т < 5 для невязкого случая и для случая Re = 40. Показаны три значения параметра а: а = 0.1; 0.3 и 0.5.
На рисунке 8 показана эволюция коэффициента усиления (приведенной полной энстрофии) £ для а = 0.1; 0.3; 0.5 и 0.9 при четырех базовых углах начальной ориентации -а = 0°; 45°, 90° и 135°. Показан вязкий случай с Re = 40 и невязкий случай.
Из рисунков видно, что в вязком случае (Re = 40) критерий ненарастания вихрей всех начальных ориентаций, то есть, а > 1 — 20/Re, относящийся к начальной стадии эволюции, т -С 1, в некотором смысле является универсальным, поскольку его можно распространить и на более поздние стадии, т = 0( 1). Действительно, мы видим, что при Re = 40, начиная с а = 0.5, вихри с любой начальной ориентацией в ходе эволюции практически только ослабляются.
Напомним, что в невязком случае дело обстоит несколько иначе - здесь, если вихрь даже и затухает на начальной стадии (то есть если 90° < а < 135° или 270° < а < 315°), со временем он все равно начинает усиливаться (см. левый столбец на рис. 8). Однако, этот рост, как и в случае параллельного течения, является не экспоненциальным (как это можно было бы ожидать из теории [21,23]), а степенным - £ ос rs. Более того, показатель роста s, равный 2 в случае параллельного течения а = 0, уменьшается с ростом а. Как мы уже отмечали выше, при а = 1 роста интенсивности вихря вообще нет, s = 0.
Вообще говоря, этот результат ожидаем заранее, поскольку, как мы уже отмечали это в § 2, исследуется развитие вихря в круговом течении, являющемся гидродинамически устойчивым. Поэтому максимально быстрый рост, который здесь можно было ожидать - это степенной рост, причем этот рост обязан трехмерности рассматриваемого возмущения (мы уже несколько более подробно обсуждали этот вопрос в [27,28] на примере плоскопараллельного течения).
На рис. 9 показано максимальное по углам начальной ориентации а усиление вихря, которое может быть достигнуто к моменту времени т, для нескольких значений а = 0. Наибольшее значение на каждой кривой соответствует глобальному оптимальному значению (global optimal). Угол наклона, которому соответствует этот global optimal, т.е. aopt и само значение £0pt приведены в таблице 1.
Итак, из рис. 7 и 9 и таблицы 1 мы видим, что слабые вихри при принятом числе Рейнольдса при наличии вращения если и усиливаются, то очень незначительно. Видно, также, что значение оптимального угла наклона слабо зависит от величины вращения (от а), однако вращение довольно сильно влияет на саму величину глобального усиления. Оптимальный момент времени при больших а наступает раньше.
Рис, 7: Круговое течение с а = 0.1; 0.3 and 0.5. Приведенная полная энстрофия (радиальная координата) в зависимости от угла наклона а (угловая координата) для нескольких значений т (помеченных на самих кривых). Показаны случаи Re = оо pi Re = 40.
Inviscid
(a) a
0.1 A
L
Re = 40
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0123456789 10
L (b) a
2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 0.0
0123456789 10
0.3
14 12 10 8 6 4 2 0
1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 t 0.0
123456789 10
(c) a
0123456789 10
0.5
<45o 1.0
135° 0.8
0.6
-"О0 0.4
- 0.2
-1 t 0.0
10
0123456789 10
(d) a
45 t
L
0123456789 10
0.9
3
0
0 5 1 0 1 5 20 25 30 35 40
0 5 10 15 2 0 2 5 30 3 5 40
L
o
t
t
L
2
Рис. 8: Круговое течение a = 0.1; 0.3; 0.5 pi 0.9. Эволюция коэффициента усиления вихря для вязкого (Re = 40) pi невязкого (Re = оо) случаев для четырех углов начальной ориентации - а = 0°; 45°; 90° pi 135°. (о) - а = 0.1, (Ъ) - а = 0.3, (с) - а = 0.5.
Том но моноо, возможно, что болоо значительный рост можно наблюдать в размерах вихря, том более, что в экспериментах усиление вихря часто связывают прежде всего с его геометрическим ростом.
Анализ одной только интенсивности вихря, выполненный в этом параграфе, также не позволяет нам также ничего сказать об ориентации вихря в моменты наибольшего усиления.
В принципе, знание полного поля завихренности позволяет нам судить о динамике геометрических характеристик вихря, например, по форме изоповерхностой энстрофии (которые для некоторых углов начальной ориентации и некоторых моментов времени будут приведены в §5). Однако, такой способ представления динамики формы вихря, хотя и является весьма наглядным, требует для иллюстрации довольно большого количества рисунков, соответствующих разным начальным углам и разным моментам времени (а также различным ракурсам одного и того же вихря).
В [27,28] нами был предложен еще один "инструмент", позволяющий (хотя бы грубо) еле-
а T~opt ®opt, C-opt,
0.00 6.5 63.3° 4.03
0.05 4.7 63.1° 3.05
0.10 4.0 64.0° 2.52
0.20 3.4 66.6° 1.85
0.30 2.8 68.7° 1.46
0.40 2.3 69.7° 1.21
0.50 1.7 67.6° 1.05
Таблица 1: Оптимальные параметры для Re = 40
t
Рис, 9: Влияние вращения на транзиентный рост слабого вихря при Re = 40. Максимальное по углам начальной ориентации а уершенргс вихря, которое может быть достр1гнуто к моменту времени т, для значений а = 0; 0.05; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4 и 0.5.
дить за динамикой геометрии вихря. Это тензор распределения энстрофии, подтвердивший свою эффективность в случае плоского течения, причем как для слабых, так и для сильных вихрей [29,30], Его обобщением на случай кругового течения мы займемся в следующем параграфе,
5. Динамика геометрических параметров вихря
На рис, 10 показана эволюция формы изоповерхностей энстрофии для двух значений параметра а, а = 0 (параллельное течение) и а = 0.3 для Re. = 40 при оптимальных углах начальной ориентации (то есть, при а = 63.3° для а = 0 и а = 68.7° для а = 0.3). Для иллюстрации выбрана изоповерхность и!2(т;г)/и!21глх(т) = 0.7, где и>21гах(т) означает максимальное по объему значение энстрофии в момент времени т.
Видно, что сперва начальное тороидальное распределение энстрофии превращается в пару изолированных симметричных "сосисок", лежащих в плоскости, наклоненной под углом к направлению течения и вытянутых вдоль него. Их можно было бы отождествить с ногами шпильки, если бы на одном из краев этой пары произошло перезамыкание, создающее голову шпильки. Однако, как мы видим из этого рисунка, для слабых начальных вихрей, рассматриваемых в настоящей работе, образования шпильки не происходит. После прохождения момента максимального усиления ropt между "сосисками" образуется симметричная перемычка, приводя к слиянию ног. Можно сказать, что стадия предшествующая полной диссипации вихря, состоит из вытягивания области локализации вихря вдоль течения и расплывании его в z - направлении (spanwise direction), но шпилька при этом не образуется. Этого следовало
х=0 т=1 т=2 х=4
2 10-1-2
XIБ
Рис, 10: Эволюция формы изоповерхности энстрофии и2(т]т)/и^глх(т) = 0.7 при Ее = 40 и оптимальных значениях угла начальной ориентации гауссовского вихря: (о) и (Ь) - для кругового течения с а = 0.3 (с) и - для параллельного течения а = 0,
ожидать, поскольку как мы показали в [27,28], свойства симметрии линеаризованных уравнений для плоского течения запрещают образование шпильки. Легко показать, что точно также обстоит дело и для кругового течения.
Однако этот запрет снимается, если мы рассматриваем сильные вихри, поскольку точные (нелинейные) уравнения уже не накладывают никаких ограничений, связанных с симметрией, Действительно, как показано в прямых численных экспериментах [29,30] с сильными затравочными вихрями в плоском течении (а, = 0), шпильки действительно образуются на определенной стадии эволюции.
Сравнение формы вихря для случаев плоского и кругового течений, показывает, что наличие вращения приводит к существенно более сильному увеличению (за счет силы Кориолиса) его размеров в ¿-направлении, нежели в плоском течении. Рисунки для случая твердотельного вращения, а = 1 (не приведенные здесь, поскольку в этом случае вихрь диссипирует с самого начала и не представляет особого интереса с динамической точки зрения) показывают, что в этом случае размер вихря с вдоль г (ширина) превышает его больший размер (.т?/)-плоекоети
а (длину). В этом случае можно рассчитать асимптотику размеров для больших т:
ä=Wiü5(i+ilT)' 6=WIHi+ilT)-
Здесь b - меньший размер в (жу)-плоскости, т. е. толщина (см. определения чуть ниже).
Сравнение расчетов изоповерхностей энстрофии для вязкого (Re = 40) и невязкого случаев показывает, что в обоих случаях ориентация плоскости вихря практически одна и та же, хотя учет вязкости приводит к расплыванию всех размеров по сравнению с невязким случаем.
С целью грубого, но более компактного, описания геометрии области локализации энстрофии и ее наклона мы ввели в [27,28] тензор распределения энстрофии (TED). Напомним, что этот тензор определен следующим образом:6
Tg = J dVu>2(r) XiXj. (5.1)
Как любой симметричный тензор он может быть приведен к главным осям, х[, где он имеет диагональный вид:
Ai 0 0
Т' = 0 А2 0
0 0 Аз
Здесь А* - собственные значения матрицы Тц, т.е. решения характеристического уравнения Det ||Тц — А^'Н = 0. Тогда направление одной их главных осей, которое соответствует наименьшему из этих трех значений А, является направлением, которое следует отождествить с нормалью к плоскости вихря. А сам вихрь вытянут вдоль направления, которое соответствует наибольшему значению А.
Можно также ввести качественное определение размеров вихря щ вдоль соответствующих главных осей х\
Имея ввиду далее только симметричные относительно плоскости г = 0 распределения энстрофии, (р,з = 0), введем также следующие обозначения осей. Пусть наименьший размер (он соответствует одной из главных осей, лежащих в плоскости (ху)) называется Ъ. Далее, второй размер, соответствующий той из оставшихся главных осей, которая тоже лежит в плоскости (ху), назовем а и третий размер, вдоль главной оси, совпадающей в случае симметричных вихрей с осью г, назовем с.
На рис. 11 показано схематическое распределение энстрофии в проекции на плоскость (ху), а также поясняется смысл размеров области локализации вихря а и Ь вдоль главных осей и угла наклона Ф.
В случае симметричных вихрей тензор имеет вид
А С 0
f = С в 0
0 0 D
6Заметим, что если имеет место смещение центра распределения энстрофии, как это происходит в случае сильных вихрей (см. [29,30]), то есть если X^ = вУш2 Х]/вУш2 ф 0, определение тензора (6.1) следует обобщить: Ту = / вУш2(т) (Х{ - - Х^).
long principal axis
X,
Рис. 11: К пояснению тензора распределения энстрофии.
Такой тензор приводится к главным осям простым поворотом плоскости (.Т1,.Т2) вокруг оси хз = г (= х'3) на угол Ф, где
и имеет в этих осях диагональный вид. Пусть ось х[ совпадает с "короткой" главной осью. Тогда Ах = \[А + В- 5], Д2 = \[А + В- в] и А3 = £), где 5 = А-В)2 + 4С2, а угол между положительным направлением оси х и направлением нормали к плоскости вихря (то есть осью х'г) есть
Знание выражений для компонент завихренности позволяет нам рассчитать динамику ориентации вихря и его размеров. Результаты таких расчетов приведены на рисунках.
На рис. 12 показана эволюция размеров осей а.Ъъс для параллельного (а = 0) вязкого (1?е = 40) течения при четырех значениях базовых углов а (ср. с результатами прямого численного моделирования, приведенными в [29,30]) Сопоставляя рис. 12 с соответствующим рисунком для невязкого параллельного течения из [27,28] мы видим, что отличие в параметрах вихря в этих двух случаях не слишком существенное. Угол наклона практически не зависит от вязкости а размеры вихря в вязком случае слегка больше, чем в невязком.
На рис. 13 показана эволюция размеров и углов наклона для а = 0.3 при четырех начальных значениях угла наклона а = 0°; 45°; 90° и 135°. Приведены расчеты для невязкого случая и для 1?е = 40 (невязкий случай показан пунктиром).
Из рисунков (для динамики угла наклона Ф(т)) видно, что независимо от начальной ориентации, к моменту времени т0р1; (равного 2.8 для а = 0.3) ориентация плоскости вихря практически одинакова и составляет Фа=о.з(тЪрО ~ 65°. При больших временах наклон плоскости вихря становится все более горизонтальным. Также обстоит дело и в случае плоского течения а = 0 (см. рис. 12). Здесь к оптимальному моменту времени т0р1; = 6.5 вихрь уже практически горизонтален, независимо от его начальной ориентации Фа=о(тЪрО и 81°.
Видно также, что несмотря на не очень значительный транзиентный рост интенсивности вихря при 1?е = 40, геометрический рост более является более существенным. В частности, "удлинение" вихря, то есть увеличение размера а (вдоль оси, ориентированной, как мы теперь видим, в основном, вдоль течения) продолжается и при т > торЬ. то есть после прохождения вихрем пика своей интенсивности. В конце концов длина вихря неизбежно становятся столь велика, что мы выходим за рамки принятого здесь локального подхода (ср. также с [21]).
(5.3)
Ф = I arctan(—-—— ) + \тт (1 + s), s = sign (.4 — В).
(5.4)
Axes ä,b,c
(а> a = 0
a = 0
1 t
t
t
t
Рис. 12: Случай параллельного течения, а = 0. Эволюция параметров вихря при Ее = 40. "Оси" а, Ь и с для 4 начальных значений угла наклона а:(о) - а = 0°, (6) - 45°, (с) - 90°, (¡1) - 135°, (е) - 135° (в более крупном масштабе) и (/) - угол наклона Ф для 10 начальных значений а: а = 0°, 45°, 90°, 135°, 140.625°, 180°, 225°, 270°, 315°, 320.625°.
6. Обсуждение
Обсудим, в каком соответствии находятся результаты проведенных расчетов для эволюции слабого вихря с результатами предыдущей теории Levinski & Cohen [21-23] и эксперимента [21].
Прежде всего, подчеркнем, что как в настоящей работе, так и в [22,23] принята абсолютно одинаковая постановка задачи: в момент времени t = 0 в круговом течении возникает локализованное вихревое возмущение, размер которого столь мал, что можно пренебречь влиянием границ (стенок цилиндров) и во вращающейся системе отсчета перейти к описанию в локальной декартовой системе координат. Однако, здесь мы, в отличие от [21-23], не стали прибегать к исследованию эволюции "импульса Лэмба ядра", введение которого, как мы уже показали в [27,28], некорректно, а аналитически рассчитали полное поле завихренности. Напомним, что здесь мы пока ограничились рамками линейного приближения. Тем не менее, сравнение результатов данной работы с результатами [22,23] вполне правомерно и для слабых вихрей, поскольку теория [21-23] нечувствительна к амплитуде вихря, и претендовала на описание вихрей любой амплитуды.
1. Вместо экспоненциального неограниченного роста импульса Лэмба ядра с инкрементом
а = 0.3
Sizes a,b,c
0 2 4 6
t
Sizes a,b,c
8 10
0 2 4 6 8 10
135 y t
t
0 2 4 6
t
8 10
0 2 4 6 8 10
t
8 10
Рис, 13: а = 0.3. Размеры вдоль главных осей а, Ь (в плоскости ху) и с (вдоль оср1 г) и угол Ф для 4 различных начальных значений ориентации плоскости вихря: а = 0°, 45°, 90° и 135°. Сплошные линии соответствуют невязкому случаю, пунктир - Не = 40. (Кривые Ф(т) для вязкого и невязкого случаев практически неразличимы.)
Imlc = — 2а в [22,23] мы имеем только транзиентный рост интенсивности вихря
(степенной рост с последующим экспоненциальным спадом) и монотонный степенной рост его размеров. Но даже транзиентный рост интенсивности имеет место не для любой ориентации начального вихря, а только для вихрей с наклоном плоскости в некоторой (хотя и достаточно широкой) окрестности 45° к направлению течения (см. рис.6 и 7),
2. Интересно, что благодаря удачной игре численных параметров, критерий нарастания вихря, полученный в [21,23], т.е., а < 0.5, и критерий, полученный в настоящей работе, а < 1 — 20/Re, совпадают при значении Re = 40, приблизительно равному значению "числа Рейнольдса вихря" в эксперименте [21].
3. При достаточно больших временах плоскость вихря становится "горизонтальной", т.е. касательной к поверхности цилиндра, (или, что то же самое, угол наклона нормали к плоскости локализации вихря, Ф, стремится к 90°). В теории [22,23] этот угол стремится к конечному значению Ф —^ Фмьс = arctan(Vl — 2а),
4. Для значений 0.3 < а < 0.4, имеющих место в эксперименте [21], угол Фмьс лежит в интервале 24° < Ф < 36°. Это означает, что плоскость вихря в эксперименте и в старой версии теории [21,23] значительно ближе к вертикальному (радиальному) направлению (см. рис.17 и рис.18 в [21]г ), нежели это следует из приведенных здесь расчетов (см. рис.12). Здесь этот угол на стадии наиболее быстрого роста интенсивности вихря, т.е. при т ~ 1 — 1.5 (см. рис. 9 а,Ъ) составляет примерно 50° — 55°. (Заметим, что указанный временной интервал для этих значений а соответствует азимутальному смещению вихря = |ат примерно от 9 до 15 градусов, что неплохо согласуется с рис. 18 работы [21].)
Это значит, что хотя старая теория [21,23] давала хорошее согласии с экспериментом для ориентации вихря, в новой, исправленной, версии теории такого хорошего совпадения с экспериментом уже нет. Не исключено, что в нелинейном варианте совпадение с экспериментом будет несколько лучше.
5. Свойства симметрии линеаризованных уравнений, описывающих эволюцию слабых вихрей, как и рисунки изоповерхностей энстрофии, показывают, что шпилькобразные вихри в круговом течении, также как и в плоском [27,28], сформироваться не могут. Результатом эволюции здесь являются либо два параллельных веретенообразных вихря ("сосиски"), не соединенных перемычкой (головой), либо, перемычки (перемычка) расположены симметрично по отношению к переднему и заднему краю этих "сосисок". Однако, в случае достаточно сильных начальных вихрей, как показало прямое численное моделирование в [29,30] для плоского течения, начальный вихрь, благодаря взаимодействию с самоиндуцированным полем скорости (не учитываемым в линейной теории) становится несиммметричным и трансформируется в шпильку.
Поэтому встает задача нахождения "пороговой амплитуды шпилъкообразований путем прямого численного моделирования вихрей в круговом течении. Эта задача тем более актуальна, что как показывают и непосредственные результаты эксперимента [21], шпильки начинают образовываться только начиная с некоторой пороговой амплитуды величины "suction", отсоса жидкости, который и приводит к созданию затравочного вихря в [21].
Как показали результаты настоящей работы, в случае слишком слабых затравочных вихрей недостаточно сильный транзиентный рост, может не позволить вихрю выйти за рамки линейной эволюции и привести к образованию шпильки.
Заметим также, что эффекта пороговости по амплитуде теория [21-23] также не предсказывала.
7Во избежание путаницы поясним, что направление вращения на рисунках в [21] противоположно принятому в настоящей работе.
Резюме. Таким образом, проблема установления соответствия между экспериментом [21] и результатами расчетов (следующих из принятого и здесь и в [21-23] "локального" подхода), как для порога амплитуды образования шпильки так и для ориентации её плоскости, остается открытой и требует численного решения нелинейной задачи об эволюции сильного вихря. Этому должна быть посвящена следующая работа.
Авторы благодарны С. М. Чурилову за полезные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Head M. R. and Bandyopadhyay P. "New aspect of turbulent boundary-layers structure", J. Fluid Mech., 107, 297-338 (1981).
2. Kline S. J., Reynolds W. C., Schroub F. A. and Runstadler P. W. "The structure of turbulent boundary layers", J. Fluid Mech., 30, 741-773 (1967).
3. Robinson S. K. "Coherent motions in the turbulent boundary layer", Ann. Rev. Fluid Mech., 23, 601-639 (1991).
4. Smith C. R. and Walker J. D. A. "Turbulent wall-layer vortices", Fluid mechanics and its applications, 30, 235-290 (1995).
5. Trefethen L. N., Trefethen A. E., Reddy S. A. and Driscoll T. A. "Hydrodynamic stability without eigenvalues", Science, 261, 578-584 (1993).
6. Butler K. M. and Farrel B. F. "Three-dimensional optimal perturbation in viscous shear flow", Phys. Fluids, A 4, 1637-1650 (1992).
7. Waleffe F., "Hydrodynamic stability and turbulence: Beyond transients to a self-sustaining process", Stud. Appl. Math., 95, 319-343 (1995).
8. Landahl M. T. " Wave breakdown and turbulence", J. Fluid Mech., 28 735-756 (1975).
9. Schmid P. J. and Henningson D. S. " A new mechanism for rapid transition involving a pair of oblique waves", Phys, Fluids, A4, 1986-1989 (1992).
10. Reddy S. C., Schmid P. J., Buggett J. S. and Henningson D. S. "On stability of streamwise streaks and transition thresholds in plane channel flows", J. Fluid. Mech., 365, 269-303 (1998).
11. Waleffe F., Kim J. and Hamilton J. M. "On the origin of streaks in turbulent shear flows", in Turbulent Shear Flows 8: Selected Papers from, the Eight International Symposium on Turbulent Shear Flows, Munich, Germany, 9-11 September 1991, edited by F.Durst, R.Friedrich, B.E.Launder, F.W.Schmidt, U.Schumann and J.H.Whitelaw (Springer, Berlin, 1993), 37-49.
12. Waleffe F. "Transition in shear flows. Nonlinear normality versus non-normal nonlinearity", Phys. Fluids, A 7, 3060-3066 (1995).
13. Waleffe F. "Self-sustaining process in shear flows", Phys. Fluids, A9, 883-900, 1997.
14. Waleffe F. "Three-dimensional coherent states in plane shear flows", Phys. Rev. Lett., 81, 4140-443 (1988).
15. Waleffe F. "Exact coherent structures and their instabilities: toward a dynamical-system theory of shear turbulence", in Proceedings of International Symposium on "Dynamics and Statistics of Coherent Structures in Turbulence: Roles and Elementary Vortices", Tokyo, Japan, October 21-23, 2002.
16. Waleffe F. "Homotopy of exact coherent structures in plane shear flows", Phys. Fluids, A 15, 1517-1534 (2003).
17. Theodorsen T. "Mechanism of turbulence", Proc. 2nd Midwestern Conf. on Fluid Mech. Ohio State University (1952).
18. Acalar M. S. and Smith C. R. "A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 1. Hairpin vortices generated by a hemisphere protuberance", J. Fluid Mech., 175, 1-41 (1987).
19. Acalar M. S. and Smith C. R. "A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 2. Hairpin vortices generated by fluid injection", J. Fluid Mech., 175, 43-83 (1987).
20. Hagen J. P. and Kurosaka M. "Corewise cross-flow transport in hairpin vortices - The "tornado effect" ", Phys. Fluids, A 5, 3167-3174 (1993).
21. Malkiel E., Levinski V. and Cohen J. "The evolution of a localized vortex disturbance in external shear flows. Part 2. Comparison with experiments in rotating shear flows", J. Fluid Mech., 379, 351-380 (1999).
22. Levinski V. "On the dynamics of a three-dimensional disturbance in the external shear flow", Preprint of Institute of Limnology, Irkutsk, 19 pp., 1991.
23. Levinski V. and Cohen J. "The evolution of a localized vortex disturbance in external shear flows. Part 1. Theoretical considerations and preliminary experimental results", J. Fluid Mech., 289 159-177 (1995).
24. Levinski V., Rapoport I. and Cohen J. "A new criterion of non-linear instability for localized vortex disturbance in shear flows of weakly conducting liquids", Phys. Fluids, 9(6), 1847-1849 (1997).
25. Levinski V. "The evolution of a localized vortex in stably stratified shear flows", Proceedings of the 5th International Symposium on stratified flows, 91-96. Vancouver, Canada, 10-13 July, 2000.
26. Batchelor С. K. "An introduction to Fluid Dynamics", Cambridge U.P., 1967.
27. Шухман И. Г. и Левинский В. Б. "Эволюция трехмерно-локализованных вихрей в сдвиговых течениях. Линейная теория", Электронный журнал "Исследовано в России", 6, 47-87 (2003), http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/006.pdf
28. Shukhman I. С. and Levinski V. "Evolution of 3-D localized vortices in a parallel flow with constant shear. Linear stage" , Submitted to J. Fluid. Mech. (2003).
29. Suponitsky V., Cohen J. and Bar-Yoseph P. Z. "The development af a localized vortex disturbance in uniform shear flow - the effect of initial amplitude" In Proc. 43d Israel annual Conference on Aerospace Sciences, February 2003; also In Proc. 29 Israel Conference on Mechanical Engineering, May 2003.
30. Suponitsky V., Cohen J. and Bar-Yoseph P. Z. "Numerical investigation of the evolution of a localized vortex disturbance in uniform shear flow", submitted to AIAA Journal (2003).
31. Drazin P. G. and Reid W. H. "Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press (1981).
32. Farrel B. F. and Ioannou P. J. "Optimal excitation of three-dimensional perturbations in viscous constant shear flow", Phys. Fluids A5 (6), 1390-1400 (1992).
33. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. "Теоретическая физика. IV. Гидродинамика", Москва, Наука (1986).
34. Farrel В. F. "Optimal excitation of perturbations in viscous shear flow", Phys. Fluids 31, 2093-2102 (1988).
