Модели cтpуй двигателя самолета в поле cпутныx вихрей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XXVII 199 6

№1-2

УДК 629.735.33.015.3

МОДЕЛИ СТРУЙ ДВИГАТЕЛЯ САМОЛЕТА В ПОЛЕ СПУТНЫХ ВИХРЕЙ

Э. С. Тринац, А. Л. Стасенко

Рассмотрена модель трехмерной струи в виде теплого жгута круглого сечения с растущей по длине (вследствие турбулентной радиальной диффу-; зии) погонной массой, увлекаемого поперечной аэродинамической силой в поле скоростей двух спутных вихрей самолета (динамически — осевая модель). Учтены присоединенная масса и сипа плавучести, вызванная градиентом давления воздуха в поле тяготения Земли и вихревом поле. Модель пригодна до удалений от самолета, на которых диаметр диффундирующей струи много меньше расстояний до ближайшего вихря или других струй.

Для удалений от самолета, на которых скорость и температура на оси струи стремятся к их значениям в спутном потоке, принята модель пассивной струи с плоской диффузией и конвективным переносом в поле вихрей (диффузионно-конвективная модель).

Приведены результаты численного исследования для характерного набора параметров перспективного сверхзвукового пассажирского самолета (СПС). Область применения предложенных моделей — проблема экологии озонного слоя атмосферы и высотной авиации.

В настоящее время во всем мире большой интерес вызывают методы оценки возможного воздействия перспективной высотной авиации на атмосферу. Необходимым шагом в этом направлении является изучение следа отдельного самолета, результатом которого должна быть так называемая функция источника (пространственное распределение выбросов его двигателей), используемая далее в качестве начального условия в глобальной динамике атмосферы. Наиболее яркой особенностью следа крылатого летательного аппарата является наличие спутных вихрей, существенно изменяющих форму осей его собственных струй, и пространственное распределение выброшенных примесей, представляющих экологический интерес. Интуитивно ясно, что отбрасывание вниз воздуха, связанное с созданием крылом подъемной силы, стремится доставить эти примеси в более низкие слои атмосферы, однако этому процессу препятствует тенденция к «всплыванию» более теплых (чем окружающая среда) струй. Далее, «наматывание» струй на вихри должно приводить к пленению их газов в более узкой области за самолетом, по крайней мере, до взрыва вихрей.

Для детального описания всех этих цроцессов необходимо численное решение полной системы трехмерных (и, вообще говоря, нестационарных) уравнений динамики вязкого теплопроводного континуума с учетом формы обтекаемого аппарата, физико-химических процессов в следе и локального состояния окружающей атмосферы. Поскольку на современном уровне вычислительной техники решение такой проблемы в полной постановке затруднительно, разумно использование частичного моделирования, учитывающего существенные черты исследуемых процессов. Например, при изучении аэродромной обстановки, парашютного десантирования, полета строем с успехом применяются различные модификации метода дискретных вихрей или простейшая модель П-образного вихря [1]. В работе [2], посвященной экологическим аспектам воздействия самолета на атмосферу, использована модель отдельной струи круглого сечения в поле скоростей отдельного прямого вихря, причем радиальная зависимость его окружной скорости взята из эксперимента. В [3] использовано так называемое кинематически-осевое приближение, согласно которому диффундирующая струя круглого сечения при поперечном перемещении вморожена в поле скоростей двух параллельных бесконечных опускающихся вихрей, циркуляция которых определяется подъемной силой (весом) аппарата. При этом дальнобойность («жесткость на изгиб») и сила плавучести струи были учтены лишь на начальном участке в виде отдельно полученных множителей, описывающих релаксацию к условиям атмосферы.

В настоящей статье рассмотрены две простые модели струйновихревого трехмерного следа крылатого летательного аппарата (дина-мически-осевая и диффузионно-конвективная), также основанные на использовании системы двух вязких параллельных слутных вихрей, воздействующих на «теплые» струи переменной погонной массы. Обратным влиянием струй на динамику вихрей пренебрегается.

1. Динамически-осевая модель. Будем предполагать, что при перемещении в продольном направлении х струя диффундирует цилиндрически симметрично, смешиваясь со спутным потоком, как и в случае прямолинейной оси, а ее движение в поперечном направлении (в плоскости у, г) происходит независимо и описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

(Д/я + Ат')^- + (Г] -Гъ)^~ = -дт:(ро° ~Рт)^ +

(1)

Здесь АЖ = пЯ2Ах — объем участка струи радиуса Л и длины Ах; Ат = ртА Ж — его масса (такая запись предполагает, что плотность

Рис. 1. Схема динамически-осевого приближения для крутой струи, искривляющейся в поле вихрей

струи постоянна по ее радиусу и равна рт, а вне струи ступенчато изменяется до рв; рис. 1); А/и' = р^АЖ — присоединенная масса цилиндра, проявляющаяся при ускоренном движении [4]. Второе слагаемое в левой части описывает изменение поперечного импульса подмешиваемой к струе массы спутного потока (вследствие разности их продольных скоростей). В правой части Первое слагаемое — сила Архимеда, возникающая вследствие градиента давления в несущей среде, вызванного как гравитацией, так и спугными вихрями крыла:

V2

9ъ = 9о +~1Г0гъ- (!-2)

Здесь Rz — радиус кривизны линии тока, — единичный вектор внешней нормали к ней. Это выражение связано с градиентом давления d(p - р„) / dRz = V* / Rz в локальной полярной системе координат с переменным центром. Орт e„z можно записать в виде (рис. 2)

•лЕ = «у sin a- 9Z cos а = (1.3)

• - S'-, • £ ’

Наконец, последнее слагаемое — аэродинамическая сила, действующая при поперечном «обдуве» рассматриваемого участка струи

Рис. 2. К определению кривизны линий тока в суммарном поле скоростей спутных вихрей

обоими вихрями; площадь поперечного сечения при этом Д51 = 27?Ах.

В качестве обоснования такого суммирования сил можно указать классический случай нестационарного движения шара при малых числах Рейнольдса [4].

Компоненты суммарного поля скоростей двух вихрей запишем в

виде

*1г=“2^

Ь-Ук)-

(1.4)

Здесь >>к = -ах — уравнение оси вихря, опускающегося в поле скоростей другого, а = -ик/и„ = Г/2 я/и.,0 — угол наклона вихрей относительно вектора скорости полета иж, к — скорость опускания вихрей,

/ — расстояние между вихрями (в частном случае эллиптического рас* 71

пределения нагрузки по крылу длины Ь имеем / = —_£).

Отметим, что для описания поля окружной скорости вблизи ядра спутного зихря в ряде работ используется полуэмпирическая модель Бетца — Дональдсона, в которой ив~ г-1/2 (г — расстояние до ядра вихря). Согласно [2], эта зависимость хорошо интерполирует экспериментальные результаты. Однако, поскольку в других исследованиях [7] она подвергается сомнению как не имеющая строгого обоснования, в настоящей работе использована классическая модель Прандтля (1.4).

Учет двух вихрей позволяет моделировать и случай аппарата с нечетным числом двигателей (когда один из них расположен в плоскости симметрии).

Проведем обезразмеривание системы уравнений (1,1) следующим образом: размеры вдоль у и z отнесем к 1/2; вдоль х — к 1/2а

(поскольку а~1(Г2, такое сжатие оси х = ха/~ позволяет удобнее

представить графически струю и вихри на большом удалении от самолета); все скорости отнесем к скорости полета Ида. Тогда

5х _ / Эх и 2а и

(1.5)

Динамика струи, согласно системе уравнений (1), существенно зависит от скорости ее диффузии (или скорости роста эффективного радиуса сечения К), которая непосредственно определяется нанимаемой моделью турбулентности.

Пусть коэффициент турбулентной вязкости осесимметрично, спутной струи имеет вид

Тоїда можно показать, что радиус струи растет с удалением от среза сопла по закону

г ІУЗ

,2

Ра —

т

(1.7)

Из условия сохранения потока импульса струи (тяги двигателя) для избытка осевой скорости имеем

Принимая для простоты для чисел Прандтля, Шмидта и Льюиса равенство Рг = Бс = Ье = 1, получаем для избытка температуры струи то же выражение:

Далее, для изобаричной (расчетной) струи будем иметь — = —

■ Р» *т

Последние формулы верны начиная с некоторого расстояния от среза сопла xQJ■, определяемого условием ыт(хоу) = иа. Однако на рассматриваемых масштабах сотен и тысяч калибров сопла это расстояние пренебрежимо мало. Кроме того, в начальной области следа, в которой спутные вихри еще не успели сформироваться и «захватить» струи, последние можно считать осесимметричными с прямыми осями; механика и физическая химия таких струй исследованы в [6].

Поясним кратко соображения, приводящие к формуле (1.7). На основном участке гомобарической струи ее плотность, скорость и температура уже мало отличаются от соответствующих значений в спутном

потоке Роо, «оо, Тт, так что их эксцессы б(х, г) = —— (где с = р, и

. са ~с» '

или Т) эволюционируют согласно общему уравнению диффузии (здесь х, г, Я отнесены к радиусу сопла га):

(1.8)

Если турбулентная кинематическая вязкость постоянна в пространстве (ут / утв = 1), решение этого уравнения имеет вид

е(х, г) = -=^-ехР

'*2J

X = const. (1.9)

Здесь под радиусом струи понимается величина R(x) = (4х /, такая, что при г = R эксцесс е(х, R) в е раз меньше своего значения на оси ет = е(х, 0). Предэкспоненциальный множитель % выбирается

из упомянутого выше условия постоянства потока импульса струи (равного силе тяги одного двигателя), имеющего вид в размерных переменных:

ягв2А,ив (ua-u„) = xR2 (х)рхик [ит (х) - ы*, ] или в принятых безразмерных обозначениях:

= (1.9а)

«в-И=о ]Р(*) ' '

Заметим, что полученный при этом радиус стру# можно записать в виде соотношения R2 = 4х / Ree, которое следует рассматривать как ре-

шение дифференциального уравнения для среднеквадратичного отклонения при постоянном коэффициенте диффузии (вошедшем в Re*,):

д1Р 4 (1.10)

дх Re,

00

В реальности турбулентная кинематическая вязкость струи ут изменяется с удалением от среза сопла. Формула (1.6) является следующим уточнением зависимости этой вязкости: в ней линейный масштаб турбулентности считается пропорциональным радиусу струи R, а масштаб турбулентных пульсаций скорости — эксцессу средней скорости на оси ит(х) - и„. Используя (1.9, а), можно записать ут / утв = % / R, а дифференциальное уравнение (1.10) для искомого среднеквадратичного отклонения Л2 обобщить в виде

_ . 4___ут 4<эс_

дх Re00 ута ’

где <; — поправочный множитель, позволяющий уточнить смысл радиуса струи. Решение последнего уравнения имеет вид: -1) =

= 4дхх / Re00. Подстановка R -> {12д/5с / Ке*,)1/3 х -> оо в (1.9), а затем результата в (1.8) дает <; = 1 / 2. Заметим, что в выражении (1.7) единица в квадратных скобках при х = 0 дает радиус сопла > а не

но

нулевое значение; она не изменяет рассмотренной асимптотики х -> да, но позволяет «забыть» о возможных особенностях в членах уравнений, в которые 2? входит в знаменатель. Приведенные ниже результаты показывают, что радиус струи на интересующих нас удалениях становится существенно больше радиуса сопла.

Итак, система уравнений динамики струй в проекциях на плоскости у, z примет вид:

а и„

Эи*

£•11 + дх I р,

Рт

оо у

Ртк 2

V Р°° J

Я2дх

= 11-^ лт

2ы_

Лт

1*0' ~ ~ ^у)сР

%л.

а

ду

я

дх

1 +

Рт

Роо у

+ (®А -»£«)-

Рт^2

РсО

Д2Эх

7ІІ?

ГГ дУ

аи<-аї"’»’

гг

где

= -2а

1-г

1 + £

= -2а(у + х)

(у + *) +(1-г) .-(у + х) +(1 + г) 1 ! 1

(у+іУ+а-гУ1 (.и-х)2 +(1+*)

(1.12)

ит + II иа_

к ^00

Тт 4 II ( т ха

Тт т \ -1 00

-1

єт>

єт =

Рт

(1.12а)

Коэффициент сопротивления цилиндра Сд(Кек) при поперечном обтекании в поле вихрей зависит от числа Рейнольдса

Бб]С = 25 1^;

1_

12■

У]\—иа0\'к, в определение которого входит вязкость по-

перечного потока ук.

При оценке величины св возникают, по крайней мере, две трудности. Во-первых, обтекаемый участок струи представляет собой «жидкий» цилиндр, не обладающий стенками, для которых характерно известное условие прилипания и отрыва. Учет этого факта привел бы к необходимости решать задачу о возникновении течений внутри самой струи, что сильно усложнило бы рассматриваемую простую модель. Во-вторых, вязкость вихрей ук может изменяться в широких пределах, а ее величина трудно предсказуема. В рамках классической гидромеханики для потенциального вихря с радиальным распределением окружной скорости ~Г / г+ она строго равна нулю, а Яек -> оо и у± = 1. Если

считать вязкость обусловленной только молекулярным хаоссом, то оценки для характерных условий поперечного обтекания струй дают величины Не* > 104-105 и, следовательно, Однако в реальности

кинетическая вязкость спутных вихрей на порядки больше молекулярной, хотя и существенно меньше значения для слоя смешения осесимметричной струи со спутным потоком (последнее обстоятельство приводит к тому, что струя успевает сильно размыться и деформироваться, в то время как ядро вихря остается еще очень тонким). Кроме того, вязкость ук может нести в себе информацию о заранее непредсказуемых характеристиках турбулентности внешней атмосферы, увлекаемой спутными вихрями. Для случая постоянного значения ук известно классическое решение:

у± = 1 - ехр

Г (1±г)2+т12 167ГУ,, X

ц = у + х

(т| — ордината, отсчитываемая от опускающегося вихря).

Согласно экспериментам в аэродинамических трубах, величина ак =

лежит в пределах 2 • 10“4... 5 • 10-3; летные эксперименты дают ак~ 10“5.

Заметим, что искомая «ось» деформируемой струи, определяемая системой (1.11), не проникает к ядру вихря, поэтому радиус кривизны линий тока течения в плоскости у, г, порожденного обоими вихрями, можно найти для простоты в предположении у± = 1:

_1_

-Кг

(1+г'2)

2^(у + х)4 + 2(1 + г2)(у + £)2 +(1-г2)21

_ I

[(У + *)2 + 1 - г2]3

2 г(у + х)

(у + х)2+ 1-г2

В частности, в плоскости симметрии (г = 0) кривизна нулевая.

Система уравнений (1.11) решалась одношаговым методом Рунге — Кугга четвертого порядка точности (Ду~ Дг= 10-3).

На рис. 3 приведен пример расчета для некоторого «характерного» перспективного СПС при следующем наборе параметров: а = 0,765 -Ю-2; Та / Тт = 650/216,7, К; иа / ию = 1000 / 500, м/с; X = 2 / 3; Ке» = 10; масштаб оси х Ьх = 3270 м; вдоль осей у и г / / 2 = 25 м. Два двигателя расположены в точках x0j = = 0,

г0;=±0,2.

Рис. 3. Формы струй характерного тяжелого сверхзвукового самолета в динамически-осевом приближении (продольный и поперечный масштабы отличаются на два порядка)

С учетом отмеченных выше неопределенностей в описании сд(Кек) численные эксперименты проведены для следующих случаев:

1) для функциональной зависимости сд(11ек), соответствующей стандартной кривой [4, 5] для цилиндра; значение ак = 10~2;

2) для ряда постоянных значений Сд = 1; 10;..., 104, -» «, соответствующих в пределе полному увлечению струи вихрями и переходу к рассмотренному ранее [3] кинематически-осевому приближению. Начальное значение этого ряда соответствует обтеканию жесткого цилиндра при больших, но докритических числах Кек<106 (по-видимому, закритический режим обтекания вообще неосуществим для «жидкого» цилиндра).

Первому из этих двух случаев из рис. 3 соответствуют сплошные кривые, второму — штриховые. В отдельных точках х даны вертикальные штрихи и круги радиуса Л(х), условно изображающие сечение

из

струй в рассматриваемой модели и вычисленные согласно (1.7). Видно, в частности, что струи отбрасываются вниз на расстояние не более чем 250 м, что оправдывает использованное выше предположение постоянства плотности атмосферы. Штрихпунктром изображены оси вихрей, точками — результаты расчета до х = 50, которые в приведенном масштабе не поместились на виде сбоку (плоскость у,х).

Полученные результаты свидетельствуют о существенном влиянии инерционности струи при поперечном обдуве в поле скоростей спут-ных вихрей. Если при кинематически-осевом приближении [3] ось струи «наматывается» на ближайший вихрь, то рассмотренная динами-чески-осевая модель дает однократное опускание струи под вихрь, уход в сторону и затем монотонное всплывание при всех рассмотренных выборах коэффициента сопротивления сд(11ек). Между тем видно также, что форма «осей» струй зависит от степени увлечения их вихрями, причем сравнение штриховых (сд = 1) и сплошных (сд(11ек) — стандартная кривая для цилиндра) линий свидетельствует в пользу последних, если сопоставить их с часто наблюдаемыми с земли конденсационными следами самолетов (на высотах порядка 10 км). В будущем рассмотренная динамически-осевая модель может оказаться полезным инструментом, который позволит, например, уточнить значения компонентов тензора кинематической вязкости ут, ук путем сравнения результатов расчетов и экспериментов по специально организованной визуализации следа самолета на высотах, характерных для СПС-2 (£20 км).

2. Диффузионно-конвективная модель. Естественно, рассмотренная выше модель струи круглого сечения перестает быть верной заведомо до того, как растущий радиус струи «коснется» оси вихря или другой струи.

Поскольку наибольшие значения продольной скорости и температуры (на «оси» струи) с увеличением расстояния от аппарата х быстро стремятся к соответствующим значениям в атмосфере (1.12, а), в дальнейшем пренебрежем силами инерции и плавучести. В результате получим модель «пассивной струи», диффундирующей в поле скоростей спутных вихрей:

дс 1

дх Леа

&г]2 * дгг

где с — массовая концентрация любой химически инертной примеси, Ле = ию1 / 2у“ = Ле*, / / 2га, т) = у + х, vц = vy -1.

В последнем уравнении не появляется каких-либо новых безразмерных комплексов. Обратим внимание на то, что оно записано В системе координат х, г), г, связанной с опускающимися вихрями (уравнение их осей в системе х, у, Z■ ук = -х, zк = ±1). Кроме того, в по-

следнем уравнении для простоты принято предположение постоянства вязкости v/v® =1, которое легко может быть заменено более детальной

информацией о тензоре коэффициентов переноса в вихревом следе.

Поскольку диффундирующая примесь может в принципе проникнуть к оси, в выражениях для скорости вихревого поля (1,4) учтена вязкость ядра вихря: у± * 1, ак = 2-10-4.

Численное решение параболического уравнения (2.1) получено на равномерной сетке по схеме дробных шагов с расщеплением по направлениям, в которой на каждом этапе используются неявные схемы, обеспечивающие безусловную устойчивость решения в целом: разбиение расчетного поля (-2,5 < г| < 2,5; - 3 < г < 3): Дг| = Дг = 0,09;

Д х = КГ4; время счета до расстояния х = 0,5 порядка 20 мин на VAX 750.

Результаты расчетов приведены на рис. 4 для самолета с двумя двигателями, расположенными в точках т|0г- = 0; Zq,- = ±0,6; безразмерные параметры а = 0,78 ■ 10“2, Re = 250. Показаны линии постоянных значений концентрации пассивной примеси, отнесенной к ее максимальному значению ст в каждом сечении jc = const. Видно развитие совместных процессов диффузии и конвективного переноса примеси с удалением от самолета, а также тенденция «наматывания» струи на вихрь. Однако используемое разбиение расчетного поля не позволяет разрешить «тонкую структуру» распределения примеси вблизи оси вихря, для чего необходимо использование адаптивных сеток.

П

0,5 О -0,5 0,5 О

-BUS

V

О -0,5 -1

Рис. 4. Пространственно-временная эволюция концентрации химически пассивных выбросов двигателя за самолетом в диффузионно-конвективном приближении

Таким образом, осесимметричную струю (с учетом конденсации водяного пара и сорбции каплями вредных компонентов [6]), динами-чески-осевое приближение для круглой диффундирующей струи с искривляющейся осью и диффузионно-конвективное приближение для «пассивной струи» можно рассматривать в качестве последовательных физико-математических моделей для описания сложного трехмерного следа крылатого летательного аппарата, пригодных на различных удалениях от него. Однако для сопряжения этих отдельных моделей в единую непрерывную картину следа требуется дальнейший анализ с более общих позиций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Strickland J. Н. An approximate method for calculating aircraft downwash on parachute trajectories. AIAA — 10 th Aerodynamic Deceleration Systems Technology Conference, April 18 — 20, 1989. A Collection of Technical Papers // AIAA Paper.- 1989, N 89-0899-CP.

2. Miake-Lye R. C., Martinez-Sanchez М., Brown R. C.,

Kolb С. E. Plume and wake dynamics, mixing and chemistry behind an HSCT aircraft // AIAA Paper.— 1991, N 3158.

3. Гринац Э. С., Стасенко А. Л. Моделирование воздействия вихрей на струн самолета и хемосорбция окислов азота каплями воды // Препринт ЦАГИ.— 1992, № 68.

4. Бир кг о ф Г. Гидродинамика.— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963.

5. Прандтль Л., Титьенс А. Гидро- и аэромеханика,— М.—Л.:

ОЖГИ НКТП СССР. Т. I, 1932. Т. II, 1935.

6. Кашеваров А. В., Стасенко А. Л. Хемосорбция окислов азота каплями воды в спутной струе // Ученые записки ЦАГИ.— 1994. Т. 25,

№ 3—4.

7. В era R, К. Do inviscid vortex Sheets roll-up. // Project Document CF 9010. National Aeronautical Laboratory.— Bangalore, India.— May 1990.

Рукопись поступила 27/IX1994 г.