CC BY
9
ЛИНЕЙНЫЕ ПО МОЩНОСТИ ПОГЛОЩАЕМОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПОПРАВКИ К СПЕКТРАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ «ГРЯЗНОГО» СВЕРХПРОВОДНИКА И ОТКЛИК СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ДЕТЕКТОРОВ
А.В. Семенов, А.А. Корнеев, А.В. Смирнов, К.В. Смирнов, Р.В. Ожегов, О.В. Окунев, Г.Н. Гольцман, И.А. Девятов*
216
Аннотация. В статье развит метод расчета малых поправок к спектральным функциям пленки «грязного» сверхпроводника, возникающих под действием поглощаемой мощности электромагнитного излучения. Метод пригоден в случае спектральных функций произвольного вида, что позволяет применять его для расчета отклика сверхпроводниковых детекторов излучения различного типа.
Ключевые слова: спектральные функции сверхпроводника, линейный отклик, сверхпроводниковые детекторы.
Summary. The article describes the method for calculation corrections to the spectral functions of dirty superconducting film arising under the influence of absorbed power of electromagnetic radiation. The method is suitable for arbitrary form of spectral functions and thus applicable for calculations of response of superconducting detectors of various types.
Keywords: spectral functions of a superconductor, linear response, superconducting detectors.
В современных сверхпроводниковых детекторах электромагнитного излучения используется чувствительность транспортных свойств сверхпроводникового абсорбера или джозефсоновской структуры к функции распределения квазичастиц /, которая становится неравновесной при поглощении мощности электромагнитного сигнала. Помимо функции распределения квазичастиц, транспортные характеристики зависят также и от вида спектральных функций, например, для кинетической индуктивности «грязной» сверхпроводниковой пленки справедливо выражение [1]
171 = Ох|¿£(1 -2/)(1твЯе в + 1т^Яе ^) , (1)
где О х = 2а2 О N - удельная проводимость нормального металла, а С и ^ - запаздывающие функции Грина теории Узаделя [2]. Если спектральные функции
* Научные исследования были проведены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. и ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России» на 2007-2013 гг.
не меняются под действием поглощаемой мощности, как, например, в детекторах с наведенной сверхпроводимостью в абсорбере, то задача вычисления отклика сводится к вычислению функции распределения и подстановке ее в формулу для транспортной характеристики типа (1). Однако для ряда детекторов влиянием поглощенной мощности на спектральные функции пренебрегать нельзя - такая ситуация реализуется в детекторах с собственной сверхпроводимостью абсорбера. Исследованию относительной величины возникающих поправок и построению способа их расчета в линейном по мощности сигнала приближении и посвящена настоящая работа.
Мы рассматриваем частный пример «грязной» сверхпроводниковой пленки при низкой температуре Т << Д, где Д - параметр порядка. Этот пример непосредственно относится к вычислению отклика детектора на кинетической индуктивности сверхпроводниковой полоски, однако способ расчета легко обобщается и на другие случаи.
В линейном приближении поправку к кинетической индуктивности (1) можно представить в виде суммы двух слагаемых
5А = _ 2|с1БЫ 1тИ2 йЕГа.пЬ(Е/2Т)5 1т И2 ^ + 5^ А0 | йЕ 1апЪ(Е ИТ)1т И2 ~ Ь0 А0 '
Эти два слагаемые имеют разное происхождение. Поправка Б1Ь связана с изменением функции распределения квазичастиц, в то время как происходит от изменения спектральных функций. Нас в дальнейшем будет интересовать Изменение в спектральных функциях имеет два источника: появление в запаздывающем уравнении Узаделя члена с переменным полем и изменение величины параметра порядка под влиянием измененной функции распределения квазичастиц:
5 1тИ2 =5 1т Н +5 1т Н =5 1т И2 + 5Ь 1т И2 (3)
5 21 =5 2а1 + 5 2Ь1 .
Оценим относительный вклад поправок 52дЬ и 5<2)Ь, воспользовавшись аналитиками из бестокового случая. Удобнее оказывается сравнить поправки не к Ь, а к Д. И Ь, и Д даются интегралами по энергии от спектральных функций, поэтому в линейном приближении поправки к ним совпадают с точностью до коэффициента порядка единицы.
Запаздывающее уравнение Узаделя для бестокового пространственно-однородного случая с учетом переменного поля выглядит следующим образом [1; 3]:
- ¡ЕЕ - ¡АО + а {(О+ + в_)Е + (Е+ + Е_)о}= 0. (4)
Здесь а = е2ПЕ2 /Ю2 , Е и ю - амплитуда и частота переменного электромагнитного поля, В - коэффициент диффузии пленки. Для расчета поправки к
217
Д необходимо решение этого уравнения в области энергий Е порядка нескольких Д. Поэтому в пределе ю >> Д можно заменить гриновские функции С±, от «смещенного» аргумента Е ± ю на их асимптотики при |Е| >> Д: С±^-1, После этого упрощения уравнение приобретает БКШ - форму с точностью до замены Е^-Е+21 а,
- ¡(Е + 21а)р - ¡АО = 0.
Его решение
О =
Р =
Е + 2iа
4(Е + На)2 - А2 -А
д/(Е+2аТ^Д2"
Уравнение самосогласования для параметра порядка в низкотемпературном (Т << Д) пределе при этом имеет вид
А = -"к^лс1ЕИе Р = Х Ие
А
д/(Е + 2/а )2 - А2
(5)
При выполнении соотношения а << Д оно легко решается аналитически с результатом Д = Д0 - 2а, где Д0 = 2юпехр (-1/Х) - решение уравнения самосогласования в БКШ случае. Таким образом, 5Д/Д0 = -2а/Д0 и
5 2aL 2а
-ос
К
А
(6)
218
Поправка к Д из - за изменения функции распределения квазичастиц в пределе Т << Д также вычисляется аналитически и дается выражением
5А = - 2|0 *Е5/ И Р
А 0 ГЛ(1Е Ие Р 0
(7)
Для оценки входящего сюда интеграла оценим Б/. В приближении «времени рекомбинации» (избыточные квазичастицы порождаются переменным полем, и затем рекомбинируют без релаксации по энергии), Б/~атгес. В нижней части диапазона энергий квазичастиц, т.е. вблизи Д, Б/ будет заведомо больше этой оценки из-за прихода квазичастиц с вышележащих уровней. В случае БКШ вида спектральных функций и в пределе Т << Д,
т (Е = А)=
юг
л/Тд
ехр
Ал
Т
поэтому для 5/ будем иметь
5/ (Е = А)>
а
х4гА
Ю,
\2
А
V У
ехр
Отсюда и поправки к Д и Ь имеют относительную величину того же порядка,
5 2ЬЬ
и
а
Хл/ТА
Ю,
2
А
V У
ехр
(8)
Сравнив оценки для 52дЬ и 52ЬЬ, легко видеть, что при Т << Д поправка 52дЬ абсолютно несущественна.
Ввиду этого можно отбросить в уравнении Узаделя член с переменным полем, и уравнение становится тождественным уравнению Узаделя в равновесном (без переменного поля) случае:
1Е¥ - ¡АО + ГСИ = 0.
(9)
Отличие от равновесного случая остается лишь в уравнении самосогласования
А = -Х | йЕ/ь Ие И,
(10)
содержащем неравновесную «функцию распределения» /ь = 1 - 2/ Таким образом, при низкой влияние переменного поля на спектральные функции происходит лишь опосредованно, через изменение параметра порядка под воздействием измененной функции распределения
Получим теперь из уравнения Узаделя формулу для поправок к спектральным функциям. Для этого в исходном уравнении (9) представим Г, О, и Д в виде ^ = + 5Е, О = О0 + 5О, Д = Д0 + 5Д, где _Р0, О0, - решение уравнения при Д = Д0 (значение параметра порядка в равновесном случае), а 5Е, 5О, 5Д - линейные по поглощаемой мощности поправки. Произведя линеаризацию, приходим к уравнению
- ¡(Е + 1Гв0)5Г -¡(А0 + 1ГГ0)5в - 1в05А = 0 (11)
Исключив отсюда 5 О посредством условия нормировки для функций Грина (в линеаризованном виде оно выглядит как О05О - Е05Е = 0 ), получаем формулу, выражающую 5Е через 5Д и равновесные спектральные функции:
где
Е =
5Е = Е5А
- о1
(Е + ¡Г^К +(А0 + ¡ГИ) ^
219
(12)
Таким же образом из уравнения самосогласования (10) (подставив /ь = /Ь0 - 25/, /ьо = 1аиЬ(£/2Т)) получаем выражение для поправки к параметру порядка
Ш D
5А = -X J dEfL0 Re 5F + 2X J dEf Re F0
0 .
(13)
0
0
Система (12) и (13) решается следующим образом. Взяв от (12) действительную часть, домножив ее на /ь0 и проинтегрировав по Е в пределах от 0 до юп, получаем слева одно из слагаемых, входящих в правую часть (13). Добавив теперь к обеим частям получившегося равенства второе слагаемое из правой части (13), получаем замкнутое (в том смысле, что не содержащее алгебраическое уравнение относительно 5Д, из которого
о
Подставив теперь найденное 5Д в (12), находим 5F.
Таким образом, задача вычисления отклика детектора сводится к расчету функции распределения квазичастиц при равновесных (не модифицированных излучением) спектральных функциях.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Семенов А.В., Девятов И.А., Куприянов М.Ю. Теоретический анализ работы сверхпроводящего детектора микроволнового излучения на кинетической индуктивности // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88. - Вып. 7. - С. 514-520.
2. Usadel K.D. Generalized diffusion equation for superconducting alloys // Phys. Rev. Lett. - 1970. - Vol. 25. - Issue 8. - P. 507-509.
3. Anthore A., Pothier H., Esteve D. Density of states in a superconductor carrying a supercurrent // Phys. Rev. Lett. - 2003. - Vol. 90. - Issue 12. - P. 127001 (4 pages). ■
5А =
(14)
Ш D
220
