Лиевые и тройные лиевые дифференцирования на алгебрах локально измеримых операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Key words: vector covering maps of metric spaces; functional equations; the delay.

УДК 512.7

ЛИЕВЫЕ И ТРОЙНЫЕ ЛИЕВЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА АЛГЕБРАХ ЛОКАЛЬНО ИЗМЕРИМЫХ ОПЕРАТОРОВ © И.М. Жураев

Ключевые слова: алгебра фон Неймана; локально измеримый оператор; дифференцирование; лиевое дифференцирование; тройное дифференцирование; центрозначный след. Доказано, лиевое и тройные лиевое дифференцирование на алгебрах локально измеримых операторов имеет стандартный вид, т. е. однозначно разлагается в сумму дифференцирования и центрозначного следа.

Пусть А - произвольная ассоциативная алгебра. Линейный оператор О : А А называется (ассоциативным) дифференцированием, если О(ху) = О(х)у + хО(у) при всех х,у Є Є А. Каждый элемент а Є А определяет дифференцирование Оа в алгебре А по правилу Оа(х) = ах — ха = [а,х], х Є А . Дифференцирования вида Оа называются внутренними. Линейный оператор Ь : А ^ А называется тройным лиевым дифференцированием, если Ь([[х,у],г]) = [[Ь(х),у],г] + [[х,Ь(у)],г] + [[х,у],Ь(г)]], Ух,у,г Є А, где [х,у]= ху — ух коммутатор элементов х, у .

Обозначим через 2(А) центр алгебры А. Линейный оператор т: А 2(А) называется центрозначным следом на А , если т(ху)= т(ух) для всех х,у Є А. Каждый центрозначный след на алгебре А является примером лиевого дифференцирования, не являющегося, как правило, ассоциативным дифференцированием.

Пусть Н - гильбертово пространство над полем комплексных чисел С , В(Н) - алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в Н, М - подалгебра фон Неймана в В (Н) .

Множество ЬБ(М) всех операторов, локально измеримых относительно М, является унитальной * -алгеброй над полем С относительно операций сильного сложения и умножения и перехода к сопряженному оператору, при этом М есть * -подалгебра в ЬБ(М) [3, §2, 3].

Следующая теорема устанавливает связ между ассоциативнимы дифференцированиями и тройными лиевыми дифференцированиями в * -алгебре - ЬБ(М) .

Теоремаї. Если алгебра фон Неймана не содержит прямого абелево слагаемого, то любое тройной лиево дифференцирование Ь: ЬБ(М) ^ ЬБ(М) имеет вид Ь = О + т, где О — ассоциативное дифференцирование и т — центрозначный след из ЬБ(М) в 2(ЬБ(М)).

Пусть теперь М - алгебра фон Неймана типа Iо , либо типа III. В этом случае, как показано в [1], [2], любое (ассоциативное) дифференцирование на ЬБ(М) является внутренним. Таким образом, из теоремы 1 вытекает следующее

Следствие 1. Пусть М алгебра фон Неймана типа Iо либо типа III. Тогда любое тройное лиево дифференцирование Ь : ЬБ(М) ^ ЬБ(М) представимо в виде

Ь = О + т,

где О — внутреннее дифференцирование на ЬБ(М), а т — центрозначный след на ЬБ(М) .

2526

Рассмотрим линейное пространство [LS(M),LS(M)] = ai[xi, yi] : xiy yi G LS(M),ai G

_ i=1

G C,i = l,n,n G N} . Для алгебр фон Неймана, имеющих тип Iо , в [4] установлено, что [LS(M), LS(M)]= LS(M) .

Поэтому из теоремы 1 вытекает следующая

Т е о р е м а 2. Пусть M — алгебра фон Неймана типа Iо . Тогда любое тройное лиево дифференцирование в LS(M) является ассоциативным дифференцированием.

Имеет место следующая

Теорема 3. Для любого лиевого дифференцирования L : [LS(M ), LS(M )] ^ LS(M ) существует ассоциативное дифференцирование на LS(M), являющееся продолжением L на LS(M) .

Следствие2. Если M — алгебра фон Неймана типа 1о, то любое лиево дифференцирование в LS(M) является ассоциативным дифференцированием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Albeverio S., Ayupov Sh.A., Kudaybergenov K.K. Structure of derivations on various algebras of measurable operators for type I von Neumann algebras, J. Func. Anal. (2009). V. 256. P. 2917-2943.

2. Ayupov Sh.A., Kudaybergenov K.K. Additive derivations algebras of measurable operators J. Operator Theory. V. 67. (2). (2012). P. 101-116.

3. Muratov M.A., Chilin V.I. Algebras of measurable and locally measurable operators pratsi In-ty matematiki NAN Ukraini. Kyiv, 2007. V.69. 390 p. (Russian).

4. Чилин В.И., Жураев И.М. Коммутаторы локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа // Материалы Республиканской научной конференции. 9-10 ноября 2012. Ургенч 2012. Т. II. С. 122-124.

Zhurayev I.M. LIE AND TRIPLE llE DERIVATIONS ON ALGEBRAS LOCALLY MEASURABLE OPERATOR

We prove that every Lie and triple derivation on algebras of locally measurable operators is in standard form, that is, it can be uniquely decomposed into the sum of a derivation and a center-valued trace.

Key words: von Neumann algebras; locally measurable operator; derivation; Lie derivation; triple derivation; center-valued trace.

УДК 517.977

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

© В.А. Зайцев

Ключевые слова: дискретная система; билинейная система; периодическая система; глобальная асимптотическая устойчивость.

Установлены достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами с дискретным временем.

Рассматривается билинейная управляемая система с дискретным временем

х(к + 1) = (А(к) + п\(к)В\(к) + ... + иг(к)Вг(к))х(к), к Є ^, х Є Мп. (1)

2527