CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 1, С. 21-29
УДК 517.98
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ИДЕАЛЬНЫХ ^-ПРОСТРАНСТВАХ ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ
А. А. Алимов, В. И. Чилин
Посвящается памяти профессора, Иномжона Гуламджановича Ганиева
Известно, что на любой коммутативной алгебре фон Неймана (П, у) каждое дифференцирование тождественно равно нулю. В то же время, на коммутативной алгебре ^0(П, у) всех комплексных измеримых функций, заданных на неатомическом пространстве с мерой (П, у), всегда существуют ненулевые дифференцирования. При этом каждое дифференцирование на ^то(П,у), принимающее значения в нормированном идеальном подпространстве X С ^0(П,у), обязательно является нулевым. Аналогичный факт остается верным и для квазинормированных идеальных подпространств X С ^о(П, у).
естественно возникает вопрос о существовании ненулевых дифференцирований, определенных ня у), со значения ми в ^-нормируемом идеальном пространстве X С ^0(П,у), т. е. идеальном пространстве, снабженном монотонной ^-нормой. Мы даем необходимые и достаточные условия для полных ^-нормируемых идеальных пространств X, обеспечивающие наличие ненулевых дифференцирований 5 : ^то(П,у) ^ X. В частности, показано, что в случае порядковой полунепрерывности ^-нормы || • каждое дифференцирование 5 : у) ^ (X, || • ||х) является нулевым. В то же
время, наличие неатомического идемпотента 0 = е € X, у(е) < то, для которого топология сходимости по мере в е • X совпадает с топологией, порожденной ^-нормой, обеспечивает существование ненулевого дифференцирования из ^то(П,у) в X. Примерами таких ^-нормируемых идеальных пространств служат алгебры (П, у) для неатомических измеримых пространств (П, у), наделенные ^-нормой \\fWn = /„ ^¿у. Для таких ^-пространств имеется не менее континуума попарно различных ненулевых дифференцирований из (П, у) в (^0(П, у), || • ||п).
Б01: 10.23671/У]МС. 2018.1.11393.
Ключевые слова: дифференцирование, идеальное пространство, ^-норма.
1. Введение
Известно, что любое дифференцирование на С*-алгебре В всегда непрерывно по норме [11, 4.1.3], и в случае, когда алгебра В коммутативна, на ней нет ненулевых дифференцирований. В частности, для коммутативных алгебр фон Неймана ^»(П, А, у) всех комплексных существенно ограниченных измеримых функций, заданных на измеримом пространстве с мерой (П, А, у), любое дифферепцирование па ^»(П, А, у) тождественно равно нулю. В то же время, на коммутативных *-алгебрах £о(П, А, у) всех комплексных измеримых функций, заданных на неатомическом пространстве с мерой (П, А, у), существует не менее континуума попарно различных ненулевых дифференцирований [1, 2].
© 2018 Алимов А. А., Чилин В. И.
В случае коммутативных АШ*-алгебр В = С^(У), С) критерием существования ненулевых дифференцирований 5: В ^ Сс^(У), С) служит отсутствие свойства ст-дистрибутивности у полной булев ой алгебры У всех проектор ов из В [9] (зде сь Q( У) — стоуновский компакт, отвечающий полной булевой алгебре У и С^(У), С) (соответственно, У), С)) — комплексификация алгебры С(Q(У), М) всех непрерывных действительных функций / : Q(У) ^ М (соответственно, комплекспфикацпя алгебры всех непрерывных функций / : Q(У) ^ [-то, +то], принимающих значения ±то лишь на нигде не плотных множествах)).
Следующим шагом в изучении свойств дифференцирований, заданных на алгебре А, у) и принимающих значения в алгебре (П, А, у), стало исследование существования ненулевых дифференцирований, у которых область значений содержится в нормируемых идеальных подпространствах (НИП) X С ^0(П, А, у). В работе [5] доказано, что любое такое дифференцирование обязательно является нулевым. Затем в работе [3] аналогичный результат был получен уже для квазинормируемых идеальных подпространств X С (П, А, у).
Каждое квазинормируемое пространство является метризуемым топологическим векторным пространством, имеющим ограниченную окрестность нуля (см., например, [7, гл. 1, §3]). В то же время имеются важные примеры идеальных подпространств X С (П, А, у) с метризуемой векторной топологией, не имеющих ограниченную окрестность нуля. Таковыми, в частности, являются ^-нормируемые идеальные подпространства в ^0(П, А, у), т. е. идеальные пространства, снабженные монотонной ^-нормой. Примерами таких пространств служат сами алгебры ^0(П, А, у), наделенные ^-нормой ||/||п = /п 1+|/| порождающей топологию сходимости по мере [7, гл. 2, §2], а также алгебры ^-интегрируемых измеримых функций
с ^-нормой ||/Н^ = 1о§(1 + |/ |)^у [6]. Это означает, что в случае неатомического пространства с мерой (П, А, у) существуют ненулевые дифференцирования, заданные на алгебре А, у) и принимающие значения в ^-нормируемом идеальным подпро-
странстве (^0(П, А, у), Н ■ ||п) [1]. Как уже выше упоминалось, для таких пространств с мерой и НИП X С ^0(П, А, у) уже не существует ненулевых дифференцирований 5 : А, у) ^ X.
Вопрос о нахождении критерия для существования ненулевых дифференцирований, определенных па А, у) и принимающих значения в ^-нормируемых идеальных
пространствах, до сих пор оставался открытым. В настоящей работе устанавливаются необходимые и достаточные условия для полных ^-нормируемых идеальных пространств X С ^0(П, А, у), обеспечивающие наличие ненулевых дифференцирований
Пусть Ж — поле комплексных чисел С либо действительных чисел М. Пусть (П, А, у) (П, А, у)
с мерой, что
у — счетно аддитивная функция, определенная па ст-алгебре А подмножеств множества П со значениями в расширенной полупрямой [0; то]; (И) если ^ С Е е А и у(Е) = 0, то ^ е А;
5 : А, у) ^ X.
2. Предварительные сведения
(iii) для любого множества E G A ненулевой меры существует такое множество F G A, что F С Ей 0 < y(F) < то;
(iv) булева алгебра V^ всех классов ^^^^^^^^^ных множеств из A порядково полна.
В этом случае полная булева алгебра V^ имеет разделяющее семейство конечных вполне аддитивных мер (такие булевы алгебры называются мулътинормированны-ми [8, 1.2.10]). В мультинормированной булевой алгебре V^ всегда существует разбиение {в» }iej единиц ы 1, для которого каждая булев а алгебра в» ■ V ^ = {g G V ^ : g ^ в«} имеет строго положительную конечную счетно аддитивную меру, i G I [8, 1.2.1].
Обозначим через Lo(K) = Lo(K)(VM) = Lo(П, A, у)(К) *-алгебру всех классов эквивалентности равных у-почти всюду комплексных (действительных) функций, определенных па (П, A,у), а через L^(K) = L^(K)(VM) = L^(n, A,y)(K) — коммутативную банахову *-алгебру всех комплексных (действительных) существенно ограниченных измеримых функций, заданных на (П, A, у), снабженную равномерной нормой. Ясно, что самосопряженная часть Jz?q(C) = {/ G Jz?o(C) : / = /} *-алгебры Jzfo(C) (соответственно, L^,(C) = L^(C) ПLoh(C)) совпадает с Lo(R) (соответственно, с L^(R)). При этом булева алгебра V^ отождествляется с полной булевой алгеброй всех идемпотентов в Lo (K).
При естественном определении частичного порядка в Lo(R) алгебрa Lo(R) является расширенной порядково полной векторной решеткой [8, 1.4.2]. Для любого элемента f G Lo(K) определим его носитель с помощью равенства
s(f) = 1 - sup {в GV, : в ■ f = 0}.
Ясно, что s(f) G VM и s(q) = q для любого q G V^. Кроме того, идемпотент q G V^
является носителем для f G Lo(K) в том и только в том случае, когда q ■ f = f, и из равенств в ■ f = f, в G V^, следует, что в ^ q.
Для произвольного непустого подмножества M С Lo(K) его носитель s(M) определяется равенством s(M) = sup{s(f): f G M}.
Ненулевое линейное подпространство X в Lo (K) называется идеальным пространством (сокращенно ИП), если из f G X g G Lo(K) и неравенства |g| ^ |f | следует, что g G X. Если X — ИП в Lo(K) и s(X) = 1, то X называют фундаментальным идеальным пространством в Lo (K).
Нетрудно видеть, что ненулевое линейное подпространство X в Lo (K) является идеальным пространством тогда и только тогда, когда L^ ■ X = X.
Пусть X — произвольное линейное пространств о над полем K. Функц ия || ■ || : X ^ R F
(i) ||x|| > 0 для всех x = 0;
(ii) ||ax|| ^ ||x|| для всех x G X и всех скаляров a G K с |a| ^ 1;
(iii) lima^o ||ax|| = 0 для всех x G X;
(iv) ||x + y|| ^ ||x|| + ||y|| для всех x, y G X.
Если || ■ || есть F-норма на X, то функция d(x,y) = ||x — y|| определяет трапсляци-
X
XX
(см., например, [7, гл. 1, §2]). Если (X, || ■ ||) является полным метрическим пространством, то пара (X, || ■ ||) называется F-прострапством.
Говорят, что F-норма || ■ || на идеальном прострапстве X С Lo(K) монотонна, если из соотношений f, g G X, |g| ^ IfI следует, что ||g|| ^ ||f ||. F-нормированным идеальным пространством (идеальным F-пространством) в Lo (K) называется идеальное простран-
ство в ^о(К), снабженное монотонной ^-нормой (соответственно, полной монотонной ^-нормой).
3. Дифференцирования на со значениями в ^-нормированных идеальных пространствах
Линейный оператор 6 : — ^о(К) называется дифференцированием, если
6(ху) = 6(х)у + х6(у) при всех х,у £ .
Носитель дифференцирования 6 есть идемпотент в(6) = 8ир{в(6(/)) : / £ В случае,
когда образ дифференцирования 6 содержится в идеальном пространстве X, всегда верно неравенство в(6) ^ в(Х) (ср. [5, теорема 3.4]).
Отметим также, что из [1, §2, предложение 2.3] вытекает справедливость следующих равенств: 6(е) = 0 и 6(е ■ /) = е ■ 6(/) для любых е еУ^ /
Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие для существования ненулевых дифференцирований из в ^о(К) (см. [1, 9]).
Теорема 3.1. Для булевой алгебры V^ следующие условия эквивалентны: (г) существует ненулевое дифференцирование из в ^о(К); (гг) мультинормируемая булева алгебра V не является атомической. Следует заметить, что существуют фундаментальные идеальные пространства X в ^Ъ (К), те совпадающие с ^о (К), для которых имеются ненулевые дифференцирования
6 : ^те
— ^о (К) с образом, лежащим в X (см. [5, пример 5.1]). Пусть е — ненулевой идемпотент из алгебры ^о(К), т. е. е £ Будем говорить, что ИП X в ^о (К) является е-щсширенным., если е ■ X = е ■ ^о(К). В этом случае всегда справедливо включение е £ X. В ситуации, когда булева алгебра V^ является непрерывной, т. е. не имеет атомов, идеальное пространство X = не является е-рас-ширенным для любого ненулевого е £
Согласно [5, теорема 3.3], имеет место следующее утверждение: Утверждение 3.2. Если X — ИП
в ^о (К) и 6: ^те —У ^о (К) — ненулевое дифференцирование с образом ), лежащим в ^^о в(6) ■ X = в(6) ■ ^о(К). Из теоремы 3.1 и утверждения 3.2 вытекает
Следствие 3.3. Пусть X — идеальное пространство в ^о(К). Если существует ненулевое дифференцирование 6: — X, то X является в(6)-расширенным, при этом булева алгебра в (6) ■ не является атомической.
< Согласно утверждению 3.2 имеем, что в(6) ■ X = в(6) ■ ^о(К), в частности, е := в(6) £ X. Ясно, что сужение 6е дифференцирования 6 на е ■ = ^те(е ■ У^) есть ненулевое дифференцирование со значениями в е ■ X = е ■ ^о (К) = ^о (К)(е ■ ). В силу теоремы 3.1 булева алгебра е ■ те является атомической. >
Обозначим через V меру Лебега на от резке [0,1] и чере з Ау — ст-алгебру всех измеримых по Лебегу подмножеств из [0,1]. Пусть Vv — полная булева алгебра всех классов всюду равных множеств из Ау. Если — непрерывная булева алгебра (т. е. не имеет атомов), то в силу [4, гл. 2, следствие 7.6] существуют такие ненулевой элемент е £ у(е) = 1, правильна булева подалгебра Vо(e) в булевой алгебре е ■ и изоморфизм ^ го булевой алгебры Vv на булеву алгебру Vо(e), что у(^>(д)) = V (д) для всех д £ Vv (напомним, что булева подалгебра Vо(e) в булевой алгебре е ■ называется правильной, если точные верхние и нижние грани любого подмножества из Vо (е) одинаковые в Vо(e) и в е ■ V^).
Заметим, что в случае, когда — неатомическая булева алгебра, всегда существует такой ненулевой элемент е £ что булева алгебра е ■ VJU непрерывна [12, гл. 3, §2, теорема 8]. Это означает, что для любой неатомической булевой алгебры всегда найдутся такие ненулевой элемент е £ и правильная булева подалгебра Vо в булевой алгебре е ■ о е ■ V ^ есть непрерывная булева алгебра, а булев а подалгебра V0 изоморфна
булевой алгебре Vv.
Пусть 0 = е £ ^ и Vо — правильная булева подалгебра в булевой алгебре е ■ Обозначим через & (^^о) множество всех тех / £ ^о(К)(е ■ V^), для которых спектральные идемпотепты {Яе / ^ А} {1т / ^ А} принадлежат Vь для всех А £ Ж. Известно, что &(К)^) есть *-подалгебра в ^Ь(К)(е ■ и &(К)^) = ^(К)^)•
Следствие 3.4. Если X ИД63>ЛЬН06 ПРОСТРАНСТВО В (К) И 6 : ^те — ^о(К) — ненулевое дифференцирование с образом, лежащим в X, то существуют такие ненулевой пдемпотент е £ X и правильная булева подалгебра VЬ в булевой алгебре е ■ чт о е ■ Vм есть непрерывная булева алгебра, &(K)(VЬ) = ^(К)^^ С X и *-алгебра &(К)^^ *-нзоморфна *-алгебре ^ (К)(^).
< Доказательство вытекает из следствия 3.3. >
С помощью следствия 3.3 устанавливается также следующее достаточное условие, обеспечивающее отсутствие ненулевых дифференцирований на ^те(К), принимающих значения в ^-нормированных идеальных пространствах.
Теорема 3.5. Пусть (X, У ■ Ух) _ Г-нормированное идеальное пространство в (К), в котором ||п ■ /Ух Т < при п — <х для каждого 0 < / £ X. Тогда любое дифференцирование 6: ^те — X является нулевым.
< Предположим, что существует ненулевое дифференцирование 6: — X. В силу следствия 3.3 найдется такой ненулевой идемпотент е £ X, что ИП X е-расширенно и булева алгебра е ■ не является атомической, в частности, существует счетное дизъюнктное разбиение {еп}П=1 идемпотента е, Для которого еп = 0 при всех п. Используя сходимость У к ■ е„||х Т < ПРИ к — выберем но мер кп тек, чтобы ||кп ■ е„|х > п. Так как е ■ X = е ■ ^ (К), то найдется такое 0 < / £ е ■ ^ (К) С X, для которого еп ■ / = кп ■ еп. Имеем
п < ||кп ■ еп|х = ||еп ■ /||х ^ ||/||х п
отсутствие дифференцирований 6: — X. >
Дадим иллюстрацию к теореме 3.5 на примере Г-нормированного идеального пространства log-интeгpиpyeмыx измеримых функций
^(О, А,у) = |/ £ ^(О, А,у) : I log(1 + |/1) ^у < с Г-нормой ||/||1оё = /п log(1 + |/1) ^у [6]. Если 0 < / £ ^Оё(О, А, у), то
1|п ■ / ||ьё = J log(1 + |п ■ /1) ^у — < при п — то. п
Следовательно, в силу теоремы 3.5, любое дифференцирование 6: — (О, А, у) является нулевым.
В то же время, если рассмотреть Г-нормированное идеальное пространство А, ¡л), наделенное ^-нормой ||/||п = /п ё/л, то согласно теореме 3.1, в случае
(П, A, у)
вания на алгебре Lx(n, A,у), принимающие значения в (Lo(n, A,у), || ■ ||п). При этом ||n-/||n = Jq \ ^ ^ 1 Для любых элементов / G А,у) и натуральных чисел п.
Это означает, что достаточное условие ||n ■ f ||x t то при n ^ то для каждого 0 < f G X из теоремы 3.5 не является необходимым для отсутствия ненулевых дифференцирований 5: Lx ^ Lo(K), принимающих значения в F-нормированных идеальных пространствах. Выделим класс F-нормированных идеальных пространств (X, || ■ ||х) С Lo(K), для
F
(X, || ■ ||х) имеет порядково полунепрерывную F-норму, если из условий 0 < fn < fn+i, fn G X, n G N, sup ||fn|x < то
следует существование такого 0 ^ f G X, что fn t f •
Если F-нормированное идеальное пространство (X, || ■ ||x) имеет порядково полунепрерывную норму, 0 < f G X и supn^i ||n ■ f ||x < TO т0 существует такое 0 ^ g G X, что n ■ f t g) чт0 влечет равенства g = 0 и f = 0. Из полученного противоречия вытекает, что любое F-нормироваппое идеальное про странство (X, || ■ ||х) с порядково полунепрерывной нормой удовлетворяет условиям теоремы 3.5. Поэтому верна следующая
Теорема 3.6. Если (X, || ■ ||x) — F-нормированное идеальное пространство в Lo(K),
F
5: Lx ^ X является нулевым.
4. Критерий существования ненулевых дифференцирований со значениями в идеальных F-пpocтpaнcтвax
В этом разделе устанавливается основной результат настоящей работы, дающий необходимые и достаточные условия для идеальных ^^^^^^^анств X С ^0(Ж), обеспечивающие существование ненулевых дифференцирований 5: ^ X.
Напомним определение (о)-топологии в частично упорядоченном множестве (2,
Говорят, что сеть (х а }аеА С 2 (о)-сжодмтсл к элементу х £ 2 (обозначение: ха у х), если существуют такие сети (жа}ае^ и (уа }ае^ в 2, что ха ^ ха ^ уа для всех а £ А
И Ха т X Уа 4 х.
Сильнейшая из топологий Ь в 2, для которых (о)-сходимость сетей влечет их сходимость в топологии называется (о)-топологией в (2, которая обозначается через ¿о(2). Если 2 = (М), у(П) < то, то (о)-топология ¿0(^0(М)) метризуема и сходимость последовательностей в этой топологии совпадает со сходимостью по мере [7, гл. 3, §9].
Пусть (X, Н ■ ||х) С ^Ъ(Ж) — идеальное Обозначим через ¿(Xвек-
торную топологию в Хн = {/€Х:/ = /}, порождаемую Е-нормой || • ||х- Дословно повторяя доказательство теоремы VII.2.1 из [7, гл. 7, §2], получим, что сходимость по ^^^^ме ||/п — /||х ^ 0 /п, / £ Xh, влечет существование подпоследовательности (/Пк}£=1> (о)-сходящейся к /. Следовательно, верно следующее сравнение топологий Ь^) и ¿о^).
Утверждение 4.1. Если X —идеальное F-пространство в ^0(Ж), то ¿0(X^ ¿(X
Нам понадобится следующее свойство топологии ¿(X
Утверждение 4.2. Если (X, || ■ ) _ идеальное F-пpocтpaнcтво в ^0(Ж), е £ то е ■ X^ = (е ■ / : / £ Xтеть ¿(X-полное подпространство в X
< Пусть /п, / £ X и ||/п - /||х — 0. Тогда
||х = ||17п-71 Их = 1|1/™-/1Их = ||/п-/Их^°-
Это означает, что X^ есть замкнутое подмножество в (X, || ■ ||х), и поэтому (X|| ■ ||х) является полным метрическим пространством. Следовательно, для полноты е ■ Xн С X достаточно установить ¿(X^-замкнутость множества е ■ X
Если е ■ /п = /п £ е ■ Xh, / £ Xh и ||/п — /||х — 0, то, как отмечалось выше, существует подпоследовательность {/пккоторая (о)-сходится к /. Следовательно,
/пк = е ■ /пк —— е ■ /, что влечет равенство / = е ■ /, и поэтому / £ е ■ X\ >
Для идемпотента е = [Е] £ X П у(Е) < обозначим через ¿(е ■ Xтопологию в е^^, индуцируемую топологией ) из Xа через ¿^(е^— топологию сходимости по мере в идеальном пространстве е ■ X\ индуцируемую из ^о(К)(е ■ V^).
Следующая теорема дает критерий существования ненулевых дифференцирований со значениями в идеальных Г-пространствах.
Теорема 4.3. Для идеального Г-пространства (X, || ■ ||х) в ^о(К) следующие условия эквивалентны:
(г) существует ненулевое дифференцирование из в X;
(гг) существует такой ненулевой идемпотент е = [Е] £ X у(Е) < < что булева алгебра е ■ да является атомической и топология ¿(е ■ Xсовпадает с топологией сходимости по мере ¿Де ■ X
< (г) (гг): Если существует ненулевое дифференцирование из в X, то согласно следствию 3.3 найдется такой ненулевой идемпотент е = [Е] £ X, у(Е) < что е■ Xh = (Ж)(е■ V^). В силу утверждения 4.1 имеем, что ¿0(е■ Xh) ^ ¿(е■ Xh). Поскольку у(Е) < к, то (о)-топология ¿0(е ■ Xh) = (Ж)(е ■ V^) метризуема и сходимость последовательностей в (о)-топологии ¿0(е■ X^) совпадает со сходимостью по мере [7, гл. 3, §9]. Это означает, что ¿Де ■ Xн) ^ ¿(е ■ Xh). Так как топологические векторные пространства (^о(Ж)(е ■ ), || ■ ||х) и (^о(Ж)(е ■ ), || ■ ||е) являются Г-пространствами, то из [10, ч. 1, гл. 2, следствие 2.12 (с1)] следует, что ¿м(е ■ Xh) = ¿(е ■ Xh).
(гг) (г): Предположим, что существует такой ненулевой идемпотент е = [Е] £ X, у(Е) < для которого булева алгебра е ■ не является атомической и топология ¿(е ■ Xсовпадает с топологией сходимости по мере ¿Де ■ XПоскольку метризуемое топологическое векторное пространство (е ■ X■ Xполно (см. утверждение 4.2), то е ■ Xh есть замкнутое подпространство в (^(Ж^е ■ ¿^(^(Ж^е ■ ^))). Осталось заметить, что у(Е) < е ■ С е ■ Xн и, в силу идеальности пространства е ■ Xверно включение ^те(Ж)(е■ ) С е■ Xh. Следовательно, (е■ Xh)-зaмыкaниe подпространства е ■ X^ содержит ¿Де ■ Xн)-замыкание подпространства ^те(Ж)(е ■ ). Последнее замыкание совпадает с ^(Ж^е ■ V). Это означает, что е ■ Xн = (Ж)(е ■ Vм) (соответственно, е ■ X = ^о(С)(е ■ V^)), т. е. идеальное Е-пространство X является е-расширенным.
Так как булева алгебра е■ не является атомической, то согласно теореме 3.1 существует ненулевое дифференцирование 61 из ^те(К)(е^^) со значениями в ^о(К)(е ■ ). Определим линейное отображение 6: (К) — (К), полагая 6(/) = 61 (е-/), / £ Ясно, что 6 есть ненулевое дифференцирование из ^те(К) в ^о(К)(е ■ V^) С X. >
Литература
1. Ber A. F., Chilia V. I., Sukochev F. A. Non-trivial derivations on commutative regular algebras // Extracta Math.-2006.-Vol. 21, № 2.-P. 107-147.
2. Ber A. F. Derivations on commutative regular algebras // Sib. Adv. Math.—2011.—Vol. 21, № 3.— P. 161-169. DOI: 10.3103/S1055134411030011.
3. Вер А. Ф., Левитина Г. В., Чилин В. И. Дифференцирования со значениями в квазинормируемых бимодулях локально измеримых операторов // Мат. тр.—2014.—Т. 17, № 1.—С. 3-18.
4. Bennet С., Sharpley R. Interpolation of Operators.—N. Y.: Acad. Press Inc., 1988.
5. Левитина Г. В., Чилин В. И. Дифференцирования на идеалах в коммутативных AW*-алгебрах // Мат. тр.—2013.—Т. 16, № 1.-С. 63-88.
6. Dykema К., Sukochev F., Zanin D. Algebras of log-integrable functions and operators.—10 Sep 2015.— 11 p.—arXiv:1509.03360vl [math.OA],
7. Kalton N. J., Peck N. Т., Roberts James W. An F-space sampler.—Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1984.—(London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 89).
8. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—M.: Наука, 2003.
9. Кусраев А. Г. Автоморфизмы и дифференцирования в расширенной комплексной /-алгебре // Сиб. мат. журн.—2006.—Т. 47, № 1.-С. 97-107.
10. Рудин У. Функциональный йнйлю. —М.: Мир, 1975.
11. Sakai S. C*-Algebras and W*-Algebras.—N. Y.: Springer-Verlag, 1971.
12. Vladimirov D. A. Boolean Algebras in Analysis.—Dordrecht: Springer, 2002.—604 p.—(Math. Appl.; vol. 540.)
13. Vulikb B. Z. Introduction to the theory of partially ordered spaces.—Groningen: Wolters-Noordhoff Sci. Publ. Ltd., 1967.-387 p.
Статья поступила 7 декабря 2017 г.
Алимов Акром Акварович Ташкентский исламский университет, проректор, доцент кафедры естественных ниу к УЗБЕКИСТАН, 100011, Ташкент, Абдулла Кодирий, 11 E-mail: [email protected]
Чилин Владимир Иванович
Национальный университет Узбекистана,
профессор кафедры алгебры и функционального анализа
УЗБЕКИСТАН, 100174, Ташкент, Вузгородок
E-mail: [email protected], [email protected]
DERIVATIONS WITH VALUES IN AN IDEAL F-SPACES OF MEASURABLE FUNCTIONS
Alimov A. A., Chilin V. I.
It is known that any derivation on a commutative von Neumann algebra (fi, ^) is identically equal to zero. At the same time, the commutative algebra L0 (fi, of complex measurable functions defined on a non-atomic measure space (fi, admits non-zero derivations. Besides, every derivation on with the values in an ideal normed subspace X C L0(fi, is equal to zero. The same remains true for an ideal quasi-normed subspace X C L0 (fi,
Naturally, there is the problem of describing the class of ideal F-normed spaces X C L0 (fi, for which there is a non-zero derivation on LTC(fi, with the values in X. We give necessary and sufficient conditions for a complete ideal F-normed spaces X to be such that there is a non-zero derivation S : (fi, ^ X. In particular, it is shown that if the F-norm on X is order semicontinuous, each derivation S : (fi, ^ X is equal to zero. At the same time, existence of a non-atomic idempotent 0 = e e X Me) < f°r which the measure topology in e • X coincides with the topology generated by the F-norm implies the existence of a non-zero derivation S : (fi, ^ X. Examples of such ideal F-normed spaces are algebras
J?o(fl, fj.) with non-atomic measure spaces (CI, fj.) equipped with the F-norm ||/||n = fn j^jjd/j,. For such ideal F-spaces there is at least a continuum of pairwise distinct non-zero derivations S : (fi, y) ^ (L0|| • ||n).
Key words: derivation, an ideal space, F-norm.
References
1. Ber A. F., Chilin V. I., and Sukochev F. A. Non-trivial derivations on commutative regular algebras. Extmcta Math., 2006, vol. 21, no. 2, pp. 107-147.
2. Ber A. F. Derivations on commutative regular algebras, Sib. Adv. Math., 2011, vol. 21, no. 3, pp. 161— 169. DOI: 10.3103/S1055134411030011.
3. Ber A. F., Chilin V. I. and Levitina G. B. Derivations with values in quasi-normed bimodules of locally measurable operators, Sib. Adv. Math., 2015, vol. 25, no. 3, pp. 169-178. DOI: 10.3103/S105513441503 0025.
4. Bennet C., Sharpley R. Interpolation of Operators. Academic Press, Inc., 1988.
5. Chilin V. I., Levitina G. B. Derivations on ideals in commutative AW*-algebras, Sib. Adv. Math., 2014, vol. 24, no. 1, pp. 26-42. DOI: 10.3103/S1055134414010040.
6. Dykema K., Sukochev F., and Zanin D. Algebras of Log-Integrable Functions and Operators. ArXiv: 1509.03360vl [math.OA], 10 Sep 2015. 11 p.
7. Kalton N. J., Peck N. T., and Roberts James W. An F-Space Sampler. Cambridge, Cambridge University Press, 1984. London Math. Soc. Lect. Note Ser., vol. 89.
8. Kusraev A. G. Dominated Operators. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2000. Math, and its Appl., vol. 519.
9. Kusraev A. G. Automorphisms and derivations on a universally complete complex /-algebra, Siberian Mathematical Journal, 2006, vol. 47, no. 1, pp. 77-85. DOI: 10.1007/sll202-006-0010-0.
10. Rudin W. Functional Analysis. New York, McGraw-Hill Book Company, 1973.
11. Sakai S. C* -Algebras and W*-Algebras. New York, Springer-Verlag, 1971.
12. Vladimirov D. A. Boolean Algebras in Analysis. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 2002. Math, and its Appl., vol. 540.
13. Vulikh B. Z. Introduction to the Theory of Partially Ordered Spaces. New York, Gordon and Breach, 1967.
Received 7 December, 2017
Alimov Akrom Akbarovich Tashkent Islamic University, Vice-Rector, Associate Professor
11 Abdulla Kodiriy Ave., Tashkent, 100011, Uzbekistan E-mail: [email protected]
Chilin Vladimir Ivanovich National University of Uzbekistan, Professor Vuzgorodok, Tashkent, 100011, Uzbekistan E-mail: [email protected], [email protected]
