Достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации билинейной периодической управляемой системы с дискретным временем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассмотрим линейное пространство [LS(M),LS(M)] = ai[xi, yi] : xiy yi G LS(M),ai G

_ i=1

G C,i = l,n,n G N} . Для алгебр фон Неймана, имеющих тип Iо , в [4] установлено, что [LS(M), LS(M)]= LS(M) .

Поэтому из теоремы 1 вытекает следующая

Т е о р е м а 2. Пусть M — алгебра фон Неймана типа Iо . Тогда любое тройное лиево дифференцирование в LS(M) является ассоциативным дифференцированием.

Имеет место следующая

Теорема 3. Для любого лиевого дифференцирования L : [LS(M ), LS(M )] ^ LS(M ) существует ассоциативное дифференцирование на LS(M), являющееся продолжением L на LS(M) .

Следствие2. Если M — алгебра фон Неймана типа 1о, то любое лиево дифференцирование в LS(M) является ассоциативным дифференцированием.

ЛИТЕРАТУРА

1. Albeverio S., Ayupov Sh.A., Kudaybergenov K.K. Structure of derivations on various algebras of measurable operators for type I von Neumann algebras, J. Func. Anal. (2009). V. 256. P. 2917-2943.

2. Ayupov Sh.A., Kudaybergenov K.K. Additive derivations algebras of measurable operators J. Operator Theory. V. 67. (2). (2012). P. 101-116.

3. Muratov M.A., Chilin V.I. Algebras of measurable and locally measurable operators pratsi In-ty matematiki NAN Ukraini. Kyiv, 2007. V.69. 390 p. (Russian).

4. Чилин В.И., Жураев И.М. Коммутаторы локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана типа // Материалы Республиканской научной конференции. 9-10 ноября 2012. Ургенч 2012. Т. II. С. 122-124.

Zhurayev I.M. LIE AND TRIPLE llE DERIVATIONS ON ALGEBRAS LOCALLY MEASURABLE OPERATOR

We prove that every Lie and triple derivation on algebras of locally measurable operators is in standard form, that is, it can be uniquely decomposed into the sum of a derivation and a center-valued trace.

Key words: von Neumann algebras; locally measurable operator; derivation; Lie derivation; triple derivation; center-valued trace.

УДК 517.977

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

© В.А. Зайцев

Ключевые слова: дискретная система; билинейная система; периодическая система; глобальная асимптотическая устойчивость.

Установлены достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения билинейной управляемой системы с периодическими коэффициентами с дискретным временем.

Рассматривается билинейная управляемая система с дискретным временем

х(к + 1) = (А(к) + и\(к)В\(к) + ... + иг(к)Вг(к))х(к), к Є х Є М™. (1)

2527

Здесь A(k),Bi(k) £ Mn,n, где Mn,n — пространство вещественных n х n-матриц ( i = 1,r ); и = co\(u\,... ,ur ) £ Rr — вектор управления. Обозначим через X (k,m) ( k ^ m, k,m £ Z ) матрицу Коши невозмущенной системы (т. е. системы (1) с и = 0 )

x(k + 1) = A(k)x(k). (2)

Определение 1. Система (1) называется согласованной на промежутке [0, $), если для любой матрицы G £ Mn,n найдется управление u(j ) £ Rr, j = 0,... ,$ — 1, которое переводит решение матричного уравнения

Z (k + 1) = A(k)Z (k) + (Ui(k)B\(k) + ... + ur (k)Br (k))X (k, 0), Z £ Mn,n,

из точки Z(0) = 0 в точку Z($) = G. Система (1) называется согласованной, если существует $> 0 такое, что система (1) согласованна на [0,$).

Определение согласованности для систем с непрерывным временем было введено в работах [1, 2].

В работе [3] были получены достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации системы (1) с постоянными коэффициентами A(k) = A, Bi(k) = Bi. При этом для стационарной дискретной системы (1) в работе [3] был использован подход, аналогичный тому, который использовался при доказательстве известной теоремы Джарджевича-Куинна

0 стабилизации стационарной билинейной системы с непрерывным временем. В работах [4, 5] метод Джарджевича-Куинна был развит для нестационарных систем с непрерывным временем с периодическими по времени коэффициентами. Объединение методов, использованных в работах [3] и [4, 5], дает следующий ниже результат, который обобщает результаты работы [3] (и других работ), полученные для дискретных систем вида (1) с постоянными коэффициентами, на дискретные системы вида (1) с периодическими коэффициентами.

Будем предполагать, что выполнены следующие условия.

У1. Система (1) является T-периодической, т. е. A(k + T) = A(k), Bi(k + T) = Bi(k),

1 =lr, k £ Z, T > 0.

У2. Матрица A(k) невырожденна для всех k £ Z.

У3. Невозмущенная система (2) устойчива по Ляпунову.

Теорема 1. Предположим, что выполнены условия У1, У2, У3 и система (1) согласованна. Тогда существует T -периодическое по времени управление u(k,x), k £ Z, x £ Rn, которое глобально асимптотически стабилизирует нулевое решение системы (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Попова С.Н., Тонков Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 1687-1696.

2. Зайцев В.А., Тонков Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщико-ва // Изв. вузов. Математика. 1999. № 2. С. 45-56.

3. Byrnes C.I., Lin W., Ghosh B.K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // System & Control Letters. 1993. Vol. 21. P. 255-263.

4. Зайцев В.А. Обобщение теоремы Джарджевича-Куинна и стабилизация билинейных управляемых систем с периодическими коэффициентами. I // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 1. C. 101-110.

5. Зайцев В.А. Обобщение теоремы Джарджевича-Куинна и стабилизация билинейных управляемых систем с периодическими коэффициентами. II // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 3. C. 348-357.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана РФФИ (проекты 12-01-00195-а, 12—01—31077-мол-а).

Zaitsev V.A. SUFFICIENT CONDITIONS FOR GLOBAL ASYMPTOTIC STABILIZATION OF BILINEAR DISCRETE-TIME PERIODIC CONTROL SYSTEMS

2528

The sufficient conditions are obtained for global asymptotic stabilization of zero solution for a bilinear discrete-time periodic control system.

Key words: discrete-time dynamical system; bilinear system; periodic system; global asymptotic stability.

УДК 519.234.4

УСРЕДНЕННАЯ ЭНТРОПИЯ КАК ХАРАКТЕРИСТИКА КОНСЕРВАТИВНОСТИ УЧАСТКОВ ГЕНОМА

© О.А. Зверков, А.В. Селиверстов, В.А. Любецкий

Ключевые слова: энтропия; консервативные участки генома; пластомы.

На основе предложенного нами понятия усреднённой энтропии проведён широкомасштабный поиск консервативных сайтов в пластидах водорослей.

Постановка задачи и определение усреднённой энтропии. Главную роль в геноме организма играют два типа участков: гены (кодирующие участки) и регуляторные участки, которые включают и выключают (экспрессируют) работу генов. Эти участки располагаются в лидерных областях (т.е. в областях перед геном, не перекрывающих предшествующий ген). К регуляторным участкам относятся промоторы, сайты связывания рибосомы и других регуляторных белков, боксы регуляторных сайтов и соответствующие им факторы, вторичные структуры, и т.д. Все они характеризуются, в частности, повышенной консервативностью на фоне окружающих областей генома. Нами предложена модель, которая основана на оценке степени консервативности участка с помощью усреднённой энтропии. Это позволяет решать важную задачу поиска консервативных и в т. ч. регуляторных участков в любых геномах. Здесь приводятся результаты поиска, полученные с помощью этой модели, для случая пластомов (геномов пластид) диатомовых и динотомовых водорослей.

Рассматривается множественное выравнивание лидерных областей ортологичных (родственных) генов. Пример выравнивания показан на рис. 1.

ІМС_001713 АААА===Т АААТТ АААТ АТТ АТТТ=ААААТ ДАТ АТ АбТТАСТТТААСАСТТТТАААСТ ААААТ ААСТ ДАТ

ІМС_008588 ===АТАССААСТАСААТАТТААТТ=ААААТААТАТТТТТАСТТТАТТАЄТТТТАААСТАЕААТА6ААААТ

імс_008589 аатататтаттттааатаататттааааатаатататттастттааєааттттааастаєааттататтт

1МС_014267 ===============АТААТААТААААААТААТАТТТТТАСТТТ6ТА6АТТТТАААСТААААТТАТААТТ

МС_014287 ===============АТААТАСТААААААТААТАТТТТТАСТТТАААСАТТТТАААСТААААТТАТААСТ

І\ІС_014808 АААТТСТСАААЄТАААТАТТАТТТАААААТААТАТАТТТАСТТТЄАОААТТТТАААСТАОААТТАТАТТТ ІМС_015403 ААА6АААТААСТААААТАТТТАТТ=ААААТААТАТТТТТАСТТТАЄТААТТТТАААСТААААТТААААТТ 1МС_016731 ===========ТАААТТАТТАТТА=ААААТААТААТТТТТСТТТАСТАТТТТТАААСТААААТТАТААСТ

ІЧС_001713 ААСААТАТААЄТТАТТТТЄТТАТТТАААСТТТСАСТАА=====АААТТ=ТАТАААТТААЄСАТТТТАААА [\IC_008588 ААСАТТАТСОЄТТАТТТТАТТАСТТААААТТТТАТТАА=====АААТТ=аАСААА=ТААВВАТТТААААА 1МС_008589 А6САТТАТАССТТАТТТТСТТАТТТААААТТТТААТАА=====АААТТ=ТАТАААТТАА6САТТТТАААА

ІМС_014267 ААТАТТАТТЄЄТТАТТТТАТТАСТТААААТТТСАТТАА=====АААТТ=ОАТААА=ТААЄСАТТТТСААА 1МС_014287 ААТАТТАТТ66ТТАТТТТАТТАСТТААААТТТСАТТАА=====АААТТ=САТААА=ТАА6САТТТТАААА

МС_014808 А6САТТАТА66ТТАТТТТ6ТТАТТТААААТТТТААТАА=====АААТТ=ТАТАААТТААССАТТТТАААА

МС_015403 ААСАТТАТСССТТАТТТТАТТАСТТААААТТТ=АТТАА=====АААТТ=йАТААА=ТАА6САТТТААААС

МС_016731 ААСАТТАС6ЄСТТАТТТТАТТСАТТААААТТТСАТТААСАТТТАААТТАААТААА=СААЄСАТТТТААА=

Рис. 1. Часть множественного выравнивания лидерных областей перед геном ус/12.

Вначале указаны номера пластомов. Звёздочкой помечены столбцы с нулевой энтропией, точками — столбцы с минимальной ненулевой энтропией, знаком = показана делеция.

2529