CC BY
6
УДК 517 9
КРИТЕРИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С ЗЛПЛЗЦЫ БАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ
Р. К. Романовский. Г. Д Анксимова Омский государственный технический университет, г Омск, Россия
Аннстаиия - Для указанного в названии класса систем доказаны необходимые и достаточные усло-
КНЯ IK'l'IIUHCHItHW.thHIlM yeillHHHKIM I II {№111(-Н1|Г| {»лани Киши К 1С[1МИ№1 HV.It-H 1ИЦ1И ItvIM I P. IM МЯ1-
рнчного пучка - символа функционально-дифференциального оператора в левой части системы. Приведен 1111.11И>Г1]1Н]1Ч HllMllfl ||[1НМИ|1.
Ключевые слова: перевод к разностной задаче Кошн. харяктерпзацпя спектра разрешающего оператора.
IВПЕДГШШ
Рл(х1Ш ХКЛМПГ.Я ЩЮДПЛ+ГНИГМ ЖГЛГДОКЖИИ lio irSlJIMH )С1|)ЙЧИММ1И ДЛИ ФДНЫ1К1ЛНГНИЫХ Н [1-4] Рассматривается в полуплоскости П = х [о, ж>) задача Кошн
Т.и = Г)и + |*1|Л?(*)]м(х,* - д) = 0, (v О <= П \ П0,
(1)
и\и -<peL, 11# - Кх [ОД]. Здесь Г> = r?/ot+ Лd¡íА-Лiagfa,, яД л, > > as, аг * О, Л е S;íVxJV. < <*>,
и-(«|,...,||*)\ Е= О,ll^lk = supW <«.}.
Чгрг.ч каждую -П1ЧКУ 11]К1Х1)Д1ГГ ХИ|ЯИГтрИ1Т|-ИИИ I*. yjlHKrtf ниями
Г — (tf, — + \ t — í,) OnrjMiirp Г) да-irr мжимиггсн к «(шГнцгнно« смыглг
D=diag(Dl,...,DJfX (2)
где Dt«4 производная по / вдоль qí. Под решением (1) понимается непрерывная фунхш И : П > ¡CjV с
г л адат ш в П \ Пс вдоль "своих" характеристик qk компонентами, удовлетворяющая (1). Из дальнейшего
л i
следует однозначная разрошнмость (1) в этом классе, обозначаемом далее С .
Исследуется асимптотическое поведение решений задачи (1) сведением к такой же проблеме для разностного уравнения вида ия = Гм^ с компактным оператором 1 в фазовом пространстве Е.
Доказаны необходимые п достаточные условия экспоненциальной устойчивости решении задачи (I) d тер минах нулги ккнчиынспочлгнл deí/\(/l,/í) _ r,v Л(/1,//) — cumhcui «:k-ji;ri\tjia (1)
П. Подготовительные леммы
Построим по <D € Е функции
30<р - fo'[í/£(s)] <py_xj - sj, Bxq> - ['[¿^(sj] <р(х, 1 +t - s\
<р(х- -axt Д)"
dT, v<p= -
<р (х-
, = k = 0,1.
TTHM\»f A 1 1u Фицтуны. (Я) чпдгиит пперияиюы ич Elld ( Е) 2е. Оператор 11 Т0 имеет ограниченный обратный Е —> Е .
3е. Формула Г=(1+Т0 )~1 (Р— Т() задает компактный onepamov Е —> Е . 4° DI > F.nd (Г.)
Рассмотрим задачу Коши в пространстве Е
ип — гия j. п - 0,1»..., г/0 - <р е е.
(3)
(4)
"i
JLbMMA 2. Функция U П > 'ZN является решением класса С sada\u (1) точно тогда, когда поспедоеа-
типьнгхтл
ищ (д,/) = и(д,t + п), (л,/) fe п0? п — 0,1,...,
(5)
является решением (4): U =Г*<р.
А 1
Дгйгткитглкно. ."«ПЩЫКИ* (1) IIJH' U f f,' К ШЧИГ (л7/ + Л I, (.l,/j (= П, . й > 1 1|рГД1"паклмя инггпки: к
Г f1
виде суммы ~J . применяя х обеим частям оператор S и подставляя ия (г,0) — //^ (г, 1). после вы-числешш получим равносильное (1) равенство (I+Tc )ur = (Р Т, )wi|_1 - Обратно, применяя к этому равенству оператор (2), после преобразований с учетом вытекающих нз пего соотношений Kll(*,0) = »ll4(i,l). 0) = (Dun l) ( х. 1) получим для функции П > . определяемой (Ь). равенство (1).
л1
СЛЕДСТВИЕ. Задача (1) однозначно разрешима в классе С .
Обозначим С балахооо пространство кусочно непрерывных ограниченных функций V: IR C'V со скач ками в целых точках с нормой sup |tr|; СХр - банахово пространство кусочно-гладких ограниченных функций
«У: П& Cv со скачками -if. V в целых точках с нормой sup \v\ +sup |. Будем предполагать функции Л* соответственно непрерывными и гладкими слева
JIFMMA Ъ Опщхтюр £. - df (be - А, Д F <T.K*N пишткующип ич С * Г , никит n.qt'iHнчиннтп ипритный : Су —.У С^ точно тогда, когда спектр матрицы А. не пересекается с мнимой осью.
В силу теоремы банаха об обратном операторе это утверждение равносильно следующем*/: уравнение
— g ijih jikkxih g с Cf имгхг1 гдиж 7гкгнног jjrilirhhf if t= точно toi747i, кигдн imiklllhhtrn'.] укг«йнн1!г
условие. Доказательство достаточности проводится повторением с очевидными отличиями доказательства аналогичного утверждения d [5.С. 119] для .¡спресыаного случая. Если U €l r - собственное число А с соб
ственным вектором f, уравнение &V — 0 имеет, помимо решения V — 0, еще решение нз С* : V — и" f , тем самым условие леммы необходимо.
Ш. ХА?АКТЕГЮАШ1ЯС0БСШЕШ[ЫХ ЧИСЕЛ ОПЕГАТОРА Г В силу структуры спектра компактного оператора в банаховом пространстве спектр оператора Г состоит нз точки ¿f — О и не более чем счетного множества собственных чисел с единственной возможней предельной точкой с, — 0 - Следующий результат является базовым для дальнейшего. Поставим в соответствие оператору (1) матричный пучок
А(1, а) - Л1+ ЦА + ГV*dB(s), л, и € С. (6)
J§
ТЕОРЕМА 1. Число # 0 является собственным числом оператора Г точно тогда, когда при некотором Ц С i Rh некотором A us множества М^ = (А = 111.» + 2Лп1. k € Z} выполняется равенство
detA(i,//) = 0. (7)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. I. Пусть пара (Л,уЫ), // fc /'R, удовлетворяет (7) и вектор / t=CN, / — 1, таков, что Д (А. и) f = 0 . Положим £ = У , (р — е" ** f, € П0. Очевидно, (р ь Е. Прямое вычисление да-
ет: (Т IT0)tp - (Р— Т, . тем самым Тф - .
П. Пусть £ ^ О, Г> = %<р при некоторой (р С Е , (р Ф 0 . В силу п. -1° леммы . Т)<р С Е- Так как ^2bxit fc ^ щ полная ортогональная система на [o.l] - существует Я G М> такое, что
A(x) = (oV>(r,f),/iiO (S)
Функция (8) непрерывна н ограничена на осн. Зафиксируем последовательность 4* 0. Построим после-ловагельность кусочно-j лдцкиа. 1 .jcu_b.na слева функций <рп : П0 —>CN со скачками г/»д. ipnl на шргзках {% = П е 1,0 < Z < 1} такую, что |<ря <р\ I |D<ра < п = 1,2,.... Имеем:
Г<РЯ=4(<Р. Iff,). <7Я=*> ' (9)
С учетом выбора гд и н. 4° леммы 1 верна оиенха
I оп | 4- |D<7, | < const • sn, и = 1,2,.... (10)
Представим (9) в виде
¿(11 Тф)|>я + С7,) + Т.?, - Рфщ9 п - 1,2,....
Применяя к t ¡fir им частям ouqiiimji О . кыполняя :«мгну
(j>n = к*1 1де Л — число (8). и интегрируя полученное ревснствс по отрезку [(х\0), (хД)]. после вычнеленнё с учетом DSф = ф. DP (р - 0 найдем.
Р. \ = (djth - A )hu = вж (д ), л = 1,2,..., (11)
А = А 1 *<»(*)], Л =
o^O^jV^D + ^K
А.
Нетрудно убедиться:
heCa9 h teC'.A
Так как, с учетом // ^ 0, ||йч||с к СОШГ >0 (и > и, ввиду (10), ва —> 0 в С^, из (11) вытекает:
оператор £ «г? имеет ограниченного обратного Ср —► С V Тем самым в силу леммы 3 существует // € I К такое. чти выполняете* равенство <ВД(//1 — А) — 0. равносильное (7) с матрицей (б).
IV. ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ Имея в виду установленное леммой 2 соответствие между решениями задач Копи (1), (/1), примем следую щее определение.
Будем говорить, чго решение и — 0 системы (1) экспоненциально устойчиво, если это имеет место для решения и =0 уравнения (4)" для регте*-тгй .та дачи Коттт (4) верна при некоторых Л, V > 0 оценка
ГЧ£яе"""Н. "-12..........(12)
ТЕОРЕМА 2. Решение и — 0 системы (1) зхслочсщиально устойчиво точно тогда, козда при каждом £I •= 7 И урин ним пи (7) ни пкмгп А. -киршей г рапльшт чштпн/ А. > 0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть требование теоремы вьшолняется. Применение теоремы 1 дает: в этом случае спектр Г целиком лежит б круге < 1. Ввиду замкнутости спектра существует Г € (0,1) такое, что спектр I лежит я круге < г Из формулы Коити-Рисся
г> - (ъи| (§1 - г )"' <р*4
следует оцешеа (12) при а = г max (/Т - Г)-* II, V — In Г-
lil-r I I
lil-
Пусть требование теоремы не выполняется: для некоторой пары (Л, U), удовлетворяющей (7), Re А > С1. Re ¿1 = 0. Тогда последовательность
А(1,н)/=0,/х0, я = 0,1,..., - решение уравнения i'4). не удовлетворяющее опенке (121.
ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждаем теорем 1,2 сохраняются, если в (1) А = Z 1 • diag(í7,... .<7V) Z
V. 11ГИМЕ?
Рассмотрим систему управления теплопереносом в бесконечном стержне с запаздыванием в управляющем устройстве
IDu( дс, î) + Вси(*,*)+b(j [xyt—l) - ü, (x, í) s П Ш0,
|c-(x,r) = d м(х,г), 2, |IIo=Ç)€E, (13)
и - Т . А- 0 (ср)~1 • А)- 0 0 , Ь-
Я. 0 .0 AJ А.
Здесь Тл/ - температура п плотность теплоього потока. р. С. к - плотность, удельная теплоемкость и теп-лопрозодпосп», £ - Еремя релаксации. Ь.(1 - векторы управляемости и наблюдаемости. С - сигнал обратной связи. Е - Банахово пространство непрерывных ограниченных функции <р \ 110 —>■ Е&2 с нормой $11р <р\. Нетрудно убедиться, что матрица А подобна матрице -¿г), а = к (сср )"' -
ОиПГМЛ (13) |фМ Ь — О ОПИГМНИП 1П1Л<)11Г'|)ГН<К'. КС1Гр.КНГ Н [Ь1\1 К-1К ГИМГрбоЛИЧГСКОЙ ¡гяшощкжоднсх-ти б], в частности, возмущения распространяются вдоль стержня с конечной скоростью а Система (13) имеет вид (1) при
- 0 при 5 = 0; В0 прп € (0.1); Вц +Ьа* при 5 = 1. Подстановка в (б) дает - Я1 + ¡аА +-Б0 + е V. При Ь = 0 имеем: <1еГ д(0.0) = <1е^0. Тем
глммм при итпсутсткипугцпннкнчн нг* кынолнмгггч ¡р^Гк^киниг ш^гмы ?.. и рпигниг и — О Г.ИПГМЫ (I Я) НГ является экспоненциально устойчивым. Покажем: при условиях
0<ЫХ <(l-*)'\ Ь2 =d2 =0
(14)
решение U ~ 0 экспопепцпалыю устойчиво. Вычнслешш дают
U
&(Л,р) = Л(;Л-А), А = -
к 3 (l+s¿)
-> _ СР
0|ГК>,И глгдугт дня ^/-корнс-й (7) ракенпно у/' I —¿я) (-i + à^/jéT* J, у =1,2 ГТи.ЦЧЙННККЯ
À — ОС +■ i СО нрнводи1 ci о к виду
M¡ =срк" {p+qi),
р — и + а {а4 — со: ) + l\dx {j 1 + ¿xr |cus ta + utoсз]е~а,
sî11ûp
(15)
= <у|\ I 2
lea i ¿v/j ccosíü (Il са)
со
]
Пусть выполняется требование (14) к CL 2: 0. Возможны два случая 1. а> - U . В этом случае р+oi ~ а + scT + ¿^ 11 + sa)c * > 0
f)x 0 Ия опечки | q \>\ d>|r(or), r(û') = Isa-l-b^d^ < sa + 1 + £ г учетом
r (0) = (1 + + f )"'> 0, r (a) = Ífc +^í/, (l + ьсг)еа > 0 след>ет: в этом случае q 0. Таким образом. при >c.iodhh Re Я > С нрлвая -íiicit уравнения (15) заведомо не дшлаегш квадратом mhhmoj o muía и корни уравнения (7) не лежат на мнимой осп. В енлу теоремы 2 отсюда следует требуемое.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Романовский Р ТС, Начярук F. M О дихоточопт .линейных автономных сигтям ф^ллционально-дифферешшальныхуравнений" Матем. заметки. 2014. T. S5. 1 С. 12Я-135.
2. Романовский Р. К., Назарук Е. М. Прямой метод Ляпунова для линейных систем фуикционально-дифференщшльных уравнений в пространстве Соболева// Снб. лит. журн. 2014. Т. 55. № 4. С. 846-857.
3. Романовский PK, Назарук Е. М Дихотомия решений функционально-дифференциальных уравнений в пространстве Соболева// Днфференц. уравнения 2015. Т. 51. № 4. С. 459—471.
4. Романовский Р. К.. Назарук Е. М. Дихотомия решений дифференциально-разностных уравнений в пространстве Соболева, / Докл. Акад. Наук. 2015. Т. 461. № 4 С. 394-397.
5. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970. — 534 с.
6. Лыков A.B. Проблема тепло-ыассообмена. - Минск: Наука и техника. 1976. - 307 с
