CC BY
30
УДК 517.956
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
O^. Абдуллаев
Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека,
100174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок E-mail: [email protected]
Мы изучаем существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения второго порядка с двумя линиями изменения типа в двусвязной области. Когда исследуемая область односвязна, аналогичные результаты были получены в работах Д.М. Курязова.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, эллиптико- гиперболический тип, двусвязная область, существование и единственность решения, принцип экстремума, интегральные уравнения
(с) Абдуллаев O.X., 2014
MSC 35M10
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LOADED EQUATION ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE IN A DOUBLY CONNECTED DOMAIN O.Kh. Abdullaev
National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100174, Uzbekistan,
Tashkent c., VUZ gorodok st.
E-mail: [email protected]
We study the existence and uniqueness of the solution of one boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation of the second order with two lines of change of type in double-connected domain. Similar results have been received by D.M.Kuryhazov, when investigated domain is one-connected.
Key words: the loaded equation, elliptic - hyperbolic type, double-connected domain, existence and uniqueness of solution, an extremume principle, the integrated equations
(c) Abdullaev O.Kh., 2014
Введение
В последние годы в связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод, почвенной влаги возникла необходимость в изучении нового класса дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. Отметим что, интересные результаты, посвященные краевым задачам для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов второго порядка, была получена в работах А.М.Нахушева [1], В.А. Елеева [2], В.М. Казиева [3]-[4], И.Н. Ланина [5] Б.И. Исломова и Д.М. Курьязова [6], Д.М. Курьязова [7], М.И. Рамазанова [8] и К.У. Хубиева [9].
Насколько нам известно, краевые задачи для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области не были исследованы.
В данной работе доказывается существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа в двусвязной области.
Постановка задачи
(1)
0
с1 : х2 + у2 = 1, х > 0, у > 0; с2 : х2 + у2 = д2; х > 0, у > 0;
с? : х2 + у2 = 1, х < 0, у < 0; с? : х2 + у2 = д2, х < 0, у < 0, (0 < д < 1) и характеристиками:
А/А? : х - у = (-1)7+1; В/В? : х - у = (-1)7-1 ■ д; (0 < д < 1), (/ = 1,2)
уравнения (1).
Введем обозначения:
Е/ (М-17; ) , Е? (<=/-«;<=/«) , с(<-1)/-‘-<-1/), (/ = 1,2);
П0 = П П (х > 0) П (у > 0), П0 = П П (х < 0) П (у < 0);
А1 = П П (х + у > д) П (у < 0), А1 = П П (х + у < -д) П (х > 0);
А2 = П П (х + у > д) П (х < 0), А2 = П П (х + у < -д) П (у > 0);
Л1 = П П (0 < х + у < д) П (у < 0), ^ = П П (-д < х + у < 0) П (х > 0);
£2 = П П (0 < х + у < д) П (у > 0), £2 = П П (-д < х + у < 0) П (х < 0);
П1 = П0 и П0, £0 = П0 и А1 и А2, £0 = П0 и А1 и А2,
£3 = £1 и£1, £4 = £2 и£2,
Рассмотрим уравнение
uxx
+ sgn(xy)uyy +
1 - sgn(xy) 2
. 1 + sgnx(x + y) . 1 + sgny(x + y) , '
A1---------- ----w(x, 0) — A2--------------- ---------w(0, y)
2
2
в конечной двусвязной области П, ограниченной линиями:
Т2+j = і t :
j-1 i 2
q +(-1)j-1
/j ={t: (-1) j 12 <t <q(2 - j)}; /j ={t: q(j -1) <t <(-1) j 1|};
< t < 2 - Д ; /4+j = {t: 0 < (-1)j-1t < 1} , (j = 1,2),
где , = < х "Р" 7 = 1,
у при / = 2.
П0, А/, 0/, £/ - геометрические фигуры, симметричны, соответственно, фигурам П0, А?, с/?, , (/ = 1,2) относительно прямой х + у = 0.
В области П исследуется следующая задача.
Задача I. . Найти функцию м(х,у) со следующими свойствами:
1) м(х,у) е С(П),
2) м(х,у) является регулярным решением уравнения (1) в области П\(ху =
0)\(х+у = 0)\(х+у = ±д), кроме того, му е С(А1В1 иА2В2), их е С(А2В2 иА\В\), причем мх(0,г), му(г,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ ±д, а при г ^ ±1 ограничены;
3) на линиях изменения типа выполняются условия склеивания
му(х,-0) = му(х, +0), (х,0) е А1В1, му(х,-0) = му(х, +0), (х,0) е А2В2, (2)
их(-°у) = их(+0,y), (0,у) е A2B2, их(-0у) = их(+0,y), (0,у) е А1В1. (3)
4) м(х,у) удовлетворяет краевым условиям
и(ху) с= фу(x,у); (x,у) е с/, (4)
u(x, y)
а * = Vj(x, y); (x, y) є а]
u(x y) aj£j = V(t); t є T2+j,
u(x y) b;c; = gj(t); t є tj,
u(x, y)
B;Cj g;(t); t є h,
где ф/(х,у), ф?(х,у), у/(г), £/(г), £?(г), (/ = 1,2) - заданные функции, причем:
£/ (2) = £? (2), ф1(1,0) = Ф2(g,0) = Ыд^ Ф2(0,д) = Ыд^
V; (-1,0) = V2( 1), V; (0, -q) = g1(0), V*(-q, 0) = g2(0), Vj-(x,y) = (xy)rVj(x,y); Vj(x,y) є C (cj),
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
V; (x,y) = (xy)YV*(x,y); V*(x,y) є C ), 2 < 7 < 3,
(11)
Vj(t) є C (/2+j) n C2 (/2+j), gj(i) є c (/j) nc2 (/j), g;(i) є c(/;) n c2 (/;), (12)
Лемма 1. Любое регулярное решение уравнения (1) при ху = 0, х + у = 0 представимо в виде
{ ч / \ , 1 - sgn(xy)
u(x, y) = z(x, y) +---------2-----
1 + sgnx(x + y) Ю (x) + 1 + sgny(x + y) Ю (y)
(1З)
2 2
где г(х, у) - регулярное решение уравнения
и = гхх + ^я(ху)гуу = 0, (14)
, а функции Ю/(г) = | ^(Х) При / = 2 дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения
ю^(х) + Я1 юЦх) + А^(х,0) = 0,хе —1; — ^ и ^;1 , (15)
ї—і;—-1 U [-;і|
L 2J l_2 J
Ї—1;—-1 U \-;1
. 2. .2 -
Ю2(у) + ^2®2(у) + ^2^(0,у) = 0,у е
соответственно.
Доказательство. Пусть функция вида (13), есть решение уравнения (1). Тогда, подставляя (13) в (1), при х > 0, у < 0 и х + у > 0 (х < 0, у > 0 и х + у < 0) имеем
ихх иуу + ^1 и(х 0) = гхх £уу + Ю1 (х) + -^4 Ю1 (х) + 0) = °
т.е. в силу (15) получим, что функция (13) удовлетворяет уравнению (1).
Теперь докажем обратное, т.е. пусть и(х,у) регулярное решение уравнения (1) при х > 0, у < 0 и х + у > 0 (х < 0, у > 0 и х + у < 0), а функция Ю1(х) некоторое решение обыкновенного дифференциального уравнения
Ю'(х) + Я1м(х, 0) = 0. (16)
Докажем справедливость соотношения (13). Учитывая, что функция
л
Ю1 (x) = -^J (x — t)u(t, 0)dt
0
есть частное решение уравнения (16), получим, что функция
х
и(х,у) = г(х,у) — ^ У (х — г)и(г, 0)Л
0
является решением уравнения (1) при х > 0, у < 0 и х + у > 0 (х < 0, у > 0и х + у < 0),
х
где г(х,у) решение уравнения гхх — гуу = 0, а функция м(х,у) = — ^ / (х — г)м(г, 0)Л есть
0
частное решение уравнения (1), следовательно, представление (13) верно.
Аналогично доказывается случай х < 0, у > 0 и х + у > 0 (х > 0, у < 0и х + у < 0). Лемма 1 доказана. □
Учитывая, что функции ах + Ь и с + ^у являются решениями уравнения (14), произвольные функции Ю(х) и Ю(у) можно подчинить условиям
ю (1) = ю'(1) = 0 . (17)
З6
Решения задачи Коши (15), (16) и (17), соответственно имеют вид:
1
to1(x) = — Vl^i^y z(t, 0)K (x, t )dt
(18)
где
K (x, t) =
shV—A1 (x — t) при Я1 < О sinv^i (x — t) при Я1 > О
Ю2(у) = — \/|^2Ї z(0, t )K (y, t )dt
(19)
где
K (У, t) =
sh\J—A2 (y — t) при Я2 < О
8т (у — г) при А2 > 0 '
В силу (13) и (17), задача I сведется к задаче I* для уравнения (14) с краевыми условиями:
z(x У) а= Pj(x, У), (x, У) є aJ,
z(x У)
а j j
zfoУ) А;Я; = ^J(t) — Ю/(t), t є /2+j,
jj
z(x y) b,.c; = gj(t) — ®j (t), t є 7J,
z(x y)
B*Cj = g?(t) — ®j(t), t є ^jj,
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Единственность решения задачи
Единственность решения задачи I следует из единственности решения задачи I *. В силу решения задачи Коши-Гурса для уравнения (14) в области Л1 (Л2), удовлетворяющие условиям (22) и
zy(x,0) = Vi(x), x є AiBi(zx(0,y) = V2(y), y є A2B2)
получим
і
Tj (t) = J Vj (s)ds + 2yj
t + 1
~2~
-2Ю;
t + І
~2~
— ^j(1),
(25)
где Ті(х) = г(х, 0) = и(х,0) - о>і(х), (х Є АіВі) и т2(у) = г(0,у) = м(0,у) - ©2 (у), (у Є А2В2). В силу (18) и (19) из (25) соответственно находим
VJ(t) = —Tj(t) + + VJ J TJ(s)KJ(t,s) ds
t+i
2
(26)
и
1
V
Теорема 1. Если
j, s) = { —s) "р“ AJ < 0 (27)
I vAj cosy Aj (^+- — s) при Aj > 0,
n 2
Я,- <-2 (7 = 1,2) (28)
7 < (1 — д)2
то задача Г* не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть ^(х) = ^2(у) = 0. Тогда, так как ^1(1) = ю(1) = 0, то Т1 (1) = 0. Отсюда следует, что Т1(х) имеет хотя бы одну точку нуля в отрезке [д, 1]. Пусть хг(г = 1,п) нули функции т1 (х), тогда рассмотрим отрезок [х1, х2] С АВ. Так как т1 (х1) = т1 (х2) = 0, то функция т1 (х) > 0 или т1 (х) < 0 для всех х е [х1;х2]. Предположим Т1 (х) > 0 (Т1 (х) < 0) , тогда покажем что внутри этого интервала
Т1 (х) не достигает положительного максимума (отрицательного минимума).
Пусть в точке х0 е (х1, х2) функция Т1 (х) достигает свой положительный максимум (отрицательный минимум), тогда в силу (27), (28) с учетом ^(х) = 0 из (26) получим V!(х0) > 0(У1(х0) < 0), а это противоречит известному принципу Зарембо-Жиро [10], согласно которому в точке положительного максимума (отрицательного минимума) должно быть V1(x0) < 0 ^(х0) > 0). Следовательно, т1(х) не достигает
свой положительный максимум (отрицательный минимум) в точке х0 е (х2, х1). Таким образом,
(х) = 0, Ух е [х1, х2]. (29)
Аналогично, выше изложенным методом доказывается, что
Т1 (х) = 0, Ух е [г, г+1] (г = 2, 3, 4,...,п — 1). (30)
Если х1 = д, т.е. т(х1) = т(д) = 0, то из (29) и (30) следует т1(х) = 0, Ух е А1В1, а при х1 = д функция Т1 (х) не может иметь экстремума в интервале (д,х1). Тогда функция т1(х) либо знакопостоянна в [д,^, либо т1 (х) = 0, Ух е [д,х^. В силу (18), (19) с учетом ф2(д;0) = 0 из (13) получим
1
Т1(д) = л/ГЯЦ I Т1(г )К (д, г )Л. (31)
д
Пусть та(х) > 0 (т1(х) < 0), х е [д,х1], тогда учитывая К(д, г) < 0 из (31) имеем т1(д) < 0 (т1(д) > 0). Следовательно, функция т1(х) знакопостоянна в [д,х^. Отсюда, принимая во внимание Т1 (х1) = 0, заключаем, что
(х) = 0, Ух е [д, х1]. (32)
В силу (30) и (32) имеем
(х) = 0, Ух е [д, 1]. (33)
Аналогичным образом доказывается что
Т2(у) = 0, Уу е А2В2.
В силу (33) из (18) и (19) следует, что
®1 (х) = Ю2(у) = 0. (34)
В силу (33) и (34) с учетом принципа экстремума для уравнений смешанного типа [11], [12] краевая задача I * с нулевыми данными не имеет отличного от нуля решения, т.е. г(х,у) = 0 в области О. Следовательно, решение задачи I * единственно. Теорема доказана.
В силу (34) с учетом г(х,у) = 0 в области О из (12) имеем, и(х,у) = 0 в О. Единственность решения задачи I доказана. □
Существование решения задачи I.
При доказательстве существования решения задачи I важную роль играют следующие вспомогательные задачи:
Задача II. Найти функцию г(х,у) со следующими свойствами:
1) г(х,у) е С(00) П С2(00\ху = 0) П С1(Л0) решение уравнения (14);
2) гу е С(А1В1), гх е С(А2В2), причем гх(0,г), гу(г,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ д и при г ^ 1 ограничены;
3) удовлетворяет краевым условиям (20) и (22).
Задача Ь. Найти функцию г(х,у) со следующими свойствами:
1) г(х,у) е С(^0) П С2(00\ху = 0) П С1 (00) решение уравнения (14);
2) гу е С(А1В1), гх е С(А2В2), причем гх(0,г), гу(г,0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ —д и при г ^ — 1 ограничены;
3) удовлетворяет краевым условиям (21) и
z(x У)
A * E *
jj
= У/(t) — Ю(t)
где (г) - неизвестные функции, которые определяются далее, а юу(г) (у = 1,2)
определяются из (18) и (19).
Теорема 2. Если выполнены (9), (11) и (12), то решение задачи Г1 существует и единственно.
Доказательство. Единственность решения задачи ^доказывается с помощью следующего принципа экстремума: решение г(х,у) задачи ^ при фу(х,у) = уу(х) = 0 своего положительного максимума и отрицательного минимума в замкнутой области
О достигает лишь на о 1 и о2
В силу единственности решения задачи Коши-Гурса в областях Л1 и Л2 для уравнения (1 *), с учетом юу(г) = 0, (у = 1,2) решение г(х,у) задачи I1 с нулевыми данными тождественно равно нулю, т.е. г(х,у) = 0 в 00. Единственность решение задачи ^(О^ доказана.
Переходим к доказательству существование решения задачи !1(00).
Решение задачи N для уравнения (14) в области О с краевыми условиями (20) и
гу(х, +0) = V1+(x), (х,0) е А1В1, гх(+0, у) = v+(y), (0,у) е А2В2
единственно и представимо в виде [12]
д
Г д Г д
z(x,У) = у Фі(€, n)дПG(^, n;x,y)dS — J ^, n)dnG(^, П;x,y)ds+
а1
а2
1 1 + J v+(t )G(t, 0; x, y)dt + J v+(t )G(0, t; x, y)dt,
(35)
где 0(^,п;х,у) - функция Грина задачи N для уравнения Лапласа в области О0, которая имеет следующий вид [12]
G(^, n; x у) = ln
а {ln v+ln П An v+ln м\ а ( ln( v)+ln м\ Q ( ln( v)+ln М
еі ^ 2nir J еі V 2nir J еі V 2nir J ЄІ V 2nir
ei (!n2—l=^)ei
2п ir
(36)
где V = £ + г'п, V = £ — г'п, Д = х+гу, д = х — гу, г = 11пд, г2 = —1, 0^) = 01 (£ | — Г) —
тэта-функция.
Полагая в (35) у = 0 (х = 0), получим соотношение между т+ (х) и v1+ (х) (т+ (у) и v+ (у)) на А1В1 (А2В2) принесенное из области О0
2 I д 1
т+(х) = £ (— 1)*—1у ф*(^,П)а(^,П;х,0)^+ у v1+(г)G(г,0;х,0)Л+
*= о* д
1
+ J v+(t )G(0, t; x, 0)dt,
(37)
(y) = I (— 1)к—1/ф*(<§,n)^G(^,n;0,y)dS + J v+ (t)G(t,0;0,y)dt+
k=i а* q
+ У v2+(t)G(0,t;0,y)dt I .
Дифференцируя равенства (37) по х (а второе по у), получим
1 1
д 0(г, 0;х, 0^, 1 „ +,, д С(°«0)А + ^,(Х)
дх
ТІ+(Х) = / *+«д ^ X, dt + / V.2+«)-
Fi(x)= I (—1)‘—V ^,n)YnG(«,n;x,0)dS.
а*
Т2+(У)=j v+(,) dt+j V2+w dt+F2(y)
д y
1
где F2(y) = I(—i)fe 11 (<§,n)дпG(4,n;0,y)dS
*=i
а*
Исключив Т. (t) (J = 1,2) из соотношений (26) и (38 получим систему интегральных
уравнений
ІІ
+ (x) + / v+ (t )K (x, t )dt = ф( x) — / v2t )K2(x, t )dt
v+(y) + / v+(t )^2(t, y)dt = Ф2(у) — / v(t )^2(y, t )dt,
(39)
где
ФІx) = У/
x+1
1
+ /|AiI J Ті (t)Ki (x, t) dt — Fi(x),
x+i
2
(40)
Ф2 (y) = У2
y+1
і
+ /|A|I T2(t)K2 (y, t) dt — Fj(y).
y±i
2
2 ln t
K^x, t) = ' ' + K (x, t)+ K(x, —t),
x ln q
(41)
K2(x, t) = KTi(x, —it),
(42)
K (x, t) = — n
1
+I
q
2n
q2nt
q—2nt
q
-2n
t — x 1 — tx n=i V t — q x 1 — q tx 1 — q 2ntx t — q2nx
(43)
Исследуем правую часть интегрального уравнения (39):
Ф * (x) = Ф( x) — j v2t )K2(x, t )dt
= /.2(4 , n ) |d n — j ^ , n ) д G(4i n; x, 0) к —
д ^ дG(4, n;x, 0) д x
а2
а2
in
— /, n) ix(iG(4^)d n + /»«, n) £( d«—
аі аі
— Уі
x + 1
— /|AiI J тІ (t)Ki (x, t) dt — J v2t)K2(x, t)dt
x+i
2
а/і — ^ 2 дx
2
2
t
1
1
1
2
і
+
О
1
/All у Ti (t)Ki (x, t) dt — У v2t)K2(x, t)dt =
x+i
2
1x
2
пу r1 v , ^ V- dx
О
~ ( 1 — x2q4n x2 — q4n Л
+ ?^=1 V x2q4n — 2q2ni x + 1 x2 — 2q2ni x + q4nJ
і
2 i_ Л ГТ-^Л^+2 ,.2) 1—1 д
+I
д x
І — x2q4n x2 — q4n
x2 — 2, x + 1 d 4+
1 — x 2
+
+
x2 + 2, x + 1 d, —
q
, n) дІРІГ1) d 4 — 2 / »«, n) ^ di—
q
;i„)*(л di—* (^ л—
= ^1 (х) + ^2(х) + Яз(х) + ^4(х) + ^5(х). (44)
Исследуем функцию ЛЦх) при х ^ 1 (х ^ д).
В силу (10) учетом вида 01 из (44) имеем
«1(х) = — 2/ф, , v/1-І2) «г+2 (1 — «2)1—1 д
^ Vx2q4n + 2q2n%x + 1 x2 + 2д2и%x + q4n
1 Y-1
— п У ^ if % ’ /1 — % 21 i n ^ " d % = Rii(x) + Ri2(x) + Ri3(x). (45)
0
Исследуем функцию R11(x) при x ^ 1 (x ^ q). В силу (10) из (45) имеем
|Rn(x)l< • r(3Y+5^2 ) x^rrF (Y+3;i;3lTY;^) +
~Г , ^) Г (ifY) ^ (i+xl2) +
+““ Г(a+3) ^ (i^x2)2F (Y + 3;2;_-Y;(r+l)2) +
+,.„„« Г(3-1) Г(*+9 x(i + x)(i -x)Y-2F (Y+i,3r+3; y-1; (1 -x)2) +
+ • Г(2) (i + x2)¥ 4 2 ; 2 '2 ; (1 + x)V +
1
+const ■ J %Y+2(1 - %)1-1 |Lii (x, %)| d%.
1
где Lii(x,і) = I
n=1
x ■ q / 2q— і x
x2q4n + 1 \ q4nx2 + 1
+
q4nx (1 — x2q4n) ( (q4nx2 + і)2 V
2q-2иj x q4nx2 + 1
+
x2 + q4n
1
2q j x
x2 + q4n
\ x(x2 — q4n) / 2q2иj x
у (x2+q4n)2 V x2+q4n
Очевидно что, функция L11(x, %) G C([q, 1] x [0,1]), т.е. |L11(x,t)| < const, следовательно, в силу свойств гипергеометрических функций имеем
|R11(x)| < const.
Аналогично доказывается, что
|R12(x)| < const и |R13(x)| < const. Следовательно, из (46),47) и (45) получим, что
|R1(x)| < const
Точно так же находится оценка для функции R2(x), т.е.
|R2(x)| < const.
Теперь исследуем функцию R3(x). В силу (44) с учетом вида 02 имеем
(46)
(47)
(48)
(49)
x — £
x — і q2x2
x2 — 2і x + q2 і — 2і x + q2x2
+I
x2 і — q2nx
і - q2nx
q2nx — q4^
1 \ q2x2 — 2q2n і x + q4n q2 — 2q2n і x + q4nx2 x2 — 2q2n і + q4
q
^ + 2 /.2(і,nЖп)У , 2 2
vV — і2
xq2n — q4n і x2
1 — 2q2n і x + q4n+2x2
x
x
д x
x + і
x^ — q2nx
і + q x
x2 + 2іx + q2 і + 2іx + q2x2 n=1 Vq2x2 + 2q2иjx + q4n q2 + 2q2иjx + q4nx2
q2nx + q4^
xq2n + q4nx2
x2 + 2q2n і x + q4n+2 1 + 2q2n і x + q4n+2x2
%Y+1 n Y -1(% + n )
X %---1 (% + 1) d% = R31 + R32 + R33.
x in q
Исследуем функцию R3i(x). Выполнив замену % = qt из (50) получим
Г(у + 2)Г (^i ( ^ Y (x — q)2 -
|R3i(x)|< const-----------------. \ '' 2 . _2 F у + 2;1;—;Ч-Я- 1 +
зг+з^ x2 + q2
2 x2 + q2
(50)
1
2
2
x
+
+ const
+const ■
+const ■
r—з
x
r( (x2+q2)2
F Y + 2; 2;
5 — Y (x — q)2
2 x2 + q2
+
72 ) 1 „ ( „ , 3 — у (1 — xq)2\
F ( 7 + 2;i;^^; ! , _2v2 I +
3y+^ 1 + q2x2
r—з
x
r( 3Y?i) (i+q2x2)2
F 7 + 2; 2;
2 1 + q2x
5 — Y (1 — xq)2
2 1 + x2q2
+
+const ■
П 3?) г(і+ї) x2(^„W—з
(x2 + q2) 2
) x2(x — q)Y—3 / 7 + 1 37 + 1 7 — 1 (x — q)2\ +
(x2 + q2) ^ v 2 ; 2 ; 2 ;x2 + q2J
Г (2) (x2 + q2)^+
Г
+const
з—Л r(1+Л
2') x2(i — xq)y 3 /7+ 1 37+ 1 Y — 1 (1 — xq)2
-3
F
r (2) (1 + e2x2^1^ V ^ 2 ' 2 • 1 + x2q2
1
+const -J t r+1(i — t) |L3i (x, t )| dt.
+
где
L3i(x t) = I
n=1
2xqt — q2n ^ 2q2n+itx ^ 1 ^ 2qx (q2n — 2qtx) (qx — q2nt)
q2x2 + q4n
q2x2 + q4n
(q2x2 + q4n)
2
x
1
2q2n+1tx q2x2 + q4n
2q4nx(xq2n — qt)
+
q
2n
q2 + q4nx2
1
2q2n+itx q2 + q4nx2
4n^-v /-.2л / 2q2n+1tx ^ 2 ^2n
(q2 + q4nx2)2
1
+
q
2 + q4n+2
x2 + q
q2 + q4nx2 / x2 + q4n+2
—2 2nn o„2n+1
(1 2q2n+1tx Л 1
\ x2 + q4n+2 )
(51)
2q2n(x — q2n+it )2 / 2q2n+itx \ 2 q2n(1 — 2q2n+itx)
1
x2 + q4n+2
2q2n+1tx
1
2q4n (1 — q^tx) (xq2n+2 — qt) / (1 + q4n+2x2)2 V
1 + q4n+2x2 \ 1 + q4n+2x2
2qn+itx Л — 2
+
(1 + q4n+2x2)
причем
|L31(x, t)| < const.
Отсюда в силу свойств гипергеометрических функций из (51) имеем
|R31(x)| < const(x - q)Y-3 (2 < у < 3).
Точно также, оценивая функцию R32(x), получим
|R32(x)| < const.
(52)
(53)
2
1
1
|R3(x)| < const(x — q)Y 3 (2 < y< 3). Аналогично выше изложенным методом можно оценить R4(x):
|R4(x)| < const(x — q)Y—3 (2 < y< 3).
Нетрудно заметить, что R3(x) и R4(x) при x^ 1 ограничены. Рассмотрим функцию Rs(x). В силу (43) из (44) имеем
(54)
(55)
1
R5 (x) = — J v+(t )K2(x, t )dt,
(56)
где
K2(x, t) = -п
1
it
it + x 1 + itx
+I
n=1
q
2n
+
q2nit
q—2nit
it + q2nx 1 + q2nitx 1 + q
2n
itx
q
2n
it + q2nx
1
it
it — x 1 — itx n=
q—2"й q—2n
q
2n
q2nit
1 \ it — q2nx 1 — q2nitx
1 — q 2nitx it — q2nx
+
2ln | it | x ln q
причем K2(x,t) Є C([q, 1] x [q, і]), т.е.
|K2(x,t)| < const. (57)
В силу (57) с учетом класса функции v2(t) е C2(q, 1) из (56) следует, что
|R5(x)| < const. (58)
Таким образом, в силу (48), (49), (54), (55) и (56) с учетом (10), (12), имеем, что
Ф1М е C2(q, 1), причем Ф|^) может иметь особенность порядка меньше единицы
при x ^ q, а при x ^ 1 ограничена.
Аналогичным образом доказывается, что Ф2(у) е C2(q, 1), причем может иметь особенность порядка меньше единицы при y ^ q, а при у ^ 1 ограничена.
Система сингулярных интегральных уравнений (44) точно так, как и в [11]-[13], известным методом Карлемана-Векуа [14] сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода, разрешимость, которой следует из единственности решения задачи I1.
Решая первое уравнение системы (39), находим
v++(x) = Ф2(x) + У' Ф2(» )R?i(x, t )dt = Ф( x) — j v2t )K2(x, t )dt+
+
Ф(t) — J v2s)K2(t,s)ds I i?i(x,t)dt,
1
1
т.е.
v(x) = Ф( x) + j ф1» )Ri(x, t)dt — j v2t)K2(x, t)dt (59)
где Ri(x,t) - резольвента ядра K^x,t), а
і
K2(x, t) = K2(x, t)+ f K2(x, t )Ri(x, t )dt
причем |R?1(x, t)| < const, |K2(x, t)| < const .
Подставляя найденные значение vjx) (т.е (59)) во второе уравнение системы (39) получим интегральное уравнение относительно v2y):
1
v2y) + / v2t )K2(t, y)dt = Ф2(у) (60)
где
K2(t, y) = K2t, y) — / K2 (t, s)K2(y, s)dsct2(y) = Ф2(У) —
фіt) + У ФІs)^i(t,s)ds J K2(y,t)dt
q
причем |<ї>2(у) | < const, |K|(x, t)| < const
Известно, что решение интегрального уравнения (60) имеет вид [14]:
і
v2y) = ф 2 (у) + / Ф2 (t )R2(t, y)dt (61)
q
где R2(x,t) - резольвента ядра K|(x,t),
і
<^2(y)= A(y) + /Щ J T2(t)K2 (y, t) dt —
y+1
2
і і 1 /|ЯЦ J Ti(s)Ki (t,s) ds +J /аЦ| Ti(s)Ki (t, s) Ri(s,z)dzds
V q ^ /
^2(t, y)dt, (62)
здесь А (у) известная функция, которая зависит от заданных функций. Подставляя (61) в (59) находим
v(x) = <Ї»І(x) — IK2(x,t)dt f <C>2(s)R2(s,t)ds
і
і
і
і
і
і
Краевая задача для нагруженного уравнения ... ТББЫ 2079-6641
ф^(х) — Уі ^ ^ — ^1/(х) + л/АЦ У т1(г)кі (хг)^г+
х+1
2
її і +/|я1^У ^і(х, г)Ж J ті(^)Кі (г, 5) ^я +
г+1
2
УІ ( ^у1 ) - ^/(г)
/?1(х, г )Л—
-1 сФ2(г)К2(х, г)^г ч
Далее, исключив У2(у) из (26) и (61) с учетом (62) получим:
/И/^2(г,у)^г У Т2(я)К2(г,я)^я + т2(у) — у2 (^+“1 — лі(у)
г+1
2
где
і
Аі(у) — В(у) — А (у) + ^ (В(г) — А(г)) Л2(г, у)*
1 1
\
т1(я)К1 (г,я) ^я + / т1(я)К1 (г,я)/?1(я,г)^г
г+1
ч 2
ч г+1 2
Кг(у, г )^г
/
Интегрируя обе части полученного равенства от у до 1 и учитывая, что т2(1) = ^2(1) получим следующее интегральное уравнение для определения Т2(у):
1 1
у 4+1
2
2я— 1
Т2(у) — /1А2Ї У Ж J Т2 (я)^^ У ^2(г, г)К (г, я) — 2у2 ( — /А1 (г )^г—у2(1)
т.е.
Т2(у) — У Т2(я)^(я,у)^я — 2у^У-+^^ ^УА1(г)^г—у2(1)
4+1 у
2
1 1
где N (я, у) — / Л / ^2(г, г)К (г, я) у 2я—1
После того как найдены т1(х) и У1(х), т2(у) и У2(у), решение задачи 11 можно восстановить в области По как решение задачи N (35), а в областях Ау(7 — 1,2) как решение задачи Коши-Гурса. Теорема 2 доказана. □
Теорема 3. £сли выполнены (9), (11 и (12), то решение задачи 12 существует и единственно.
Доказательство. Теорема 3 доказывается аналогично как теорема 2.
Пусть г(х,у) - решение задачи I2, тогда однозначная разрешимость задачи I2 эквивалентно сведется к однозначной разрешимости задач І1 и І2, где неизвестную
1
1
1
1
1
1
1
функцию у/(х) (7 = 1,2) можно определить, склеивая на линии х + у = 0 решение задачи Гурса в областях О/ и Оу с краевыми условиями (7),
z(x y) Bj.£j. = hj(x) — ®j(x)
и (В),
z(x y)
*p * = (x) — fflj(x),
jj
соответственно, где hj(x) и h?(x) являются следами на x+y = q и x + y = — q решения
задач Ii и I2 в областях Лу и Л?, соответственно.
Следовательно, в силу (13), (17), (18) и (19) задача I однозначно разрешима. □
Библиографический список
1. Нахушев. А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1976. Т.12. №1. С.103-108.
2. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифф. уравнения. 1994. Т. 30. №2. С. 230-237.
3. Казиев В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1978. Т. 14. №1. С.181-184.
4. Казиев В.М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения // Дифф. уравнения. 1981. Т.17. №2. С.313-319.
5. Ланин И.Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка // Дифф. уравнения. 1981. Т.17. №1. С.97-106.
6. Исломов Б.И., Курьязов Д.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения второго порядка // ДАН РУз. 1996. №1. С.3-6.
7. Курязов Д.М. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. // УзМЖ. 1999. №5. С. 40-46.
8. Рамазанов М.И. О нелокальной задаче для нагруженного уравнения гиперболо-эллиптического типа в прямоугольной области // Сибирский математический журнал. 2002. Т.2. № 4. С. 75-81.
9. Хубиев.К.У. Об одной задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа // Доклады АМАН. 2005. Т. 7. №2. С.74-77.
10. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.
204 с.
11. Бицадзе А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. Матем. Института АН СССР. 1953.
Т.41.
12. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Нелокальная краевая задача в двусвязной области для уравнения смешанного типа с негладкими линиями вырождения // Доклады АН СССР. 1988. Т. 299. №1. С.63-66.
13. Исломов Б., Абдуллаев О.Х. Краевая задача типа задачи Бицадзе для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области // Доклады АМАН. 2004. Т. 7. №1. С.42-46.
14. Мусхелешвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с
Поступила в редакцию / Original article submitted: 24.04.2014
