Существенно нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 М.Е. Лернер

СУЩЕСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Для гиперболического нелинейного уравнения общего вида ставится краевая задача в характеристическом треугольнике лишь с нелокальными краевыми условиями на всей его границе. Разрешимость задачи редуцируется к разрешимости системы трех нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Для волнового уравнения дается формула решения этой задачи, а для линейного уравнения без производных первого порядка, в частности для телеграфного уравнения, показывается ее разрешимость. Для гиперболического линейного однородного уравнения второго порядка с исчезающим инвариантом Римана в характеристическом квадрате ставится краевая задача с нелокальными краевыми условиями на его сторонах и заданием значения искомой функции в одной из его вершин. Показывается однозначная ее разрешимость.

1. Пусть А - открытый треугольник с вершинами в точках 0(0,0), А(0,1), 5(1,0) и точка Q(хД-х) е АВ, Q1 (х,0) и Q2 (0,1 - х) - ее проекция соответственно на 0В и 0А, 0 < х < 1. Рассмотрим в области А уравнения

иху = Я(х, У, и, р, д), и = и(х, у), р = их (х, у), д = иу (х, у), (1)

иху = ./ к У), /(x, У)е С0 (а) , (2)

иху = f (х, у) - а(х, уУ)их - ь(х, у)иу - с(х, у)и , (3)

где а(х,у),Ь(х,у)е С1 (а+ с(х,у)е С0 (А).

В качестве продолжения постановки и исследования краевых задач, содержащих лишь нелокальные краевые условия [1-3], рассмотрим следующую задачу.

Задача 1. Найти функцию и(х, у) со свойствами:

1) и(х,у)е С0(А)пС1 (А),иху е С0(А);

2) и(х, у) такова, что я (х, у, и, р, д )е С0 (АхЛ), Л = (-¥< и <+¥+х(-¥< р <+¥+х

X (- ¥ < д < +¥+ ;

3) и(х,1 - х) - и(х,0) = у1 (х), 0 < х < 1,у1 (х)е С1 (0 < х < 1);

4) и(1 -У,у)-и(0,у) = У2(у), 0<у < 1,У2(у)е С1 (0<у < 1),У:(1) = У2(1) = 0 .

Т е о р е м а 1. Для уравнения (2) решение задачи 1 единственно и определяется формулой

х у х 1-х 1-у у

и( у + = у!(1 - у + + у 2(1 - х) + И f ( л f ( , t - | | f( t)<1эЖ . (4)

0 0 0 0 0 0

Т е о р е м а 2. Пусть функция и(х, у) является решением системы (5) - (7) интегро-дифференциальных уравнений

х у

и(х, у) = У! (1 - у) + У2 (1 - х) + ЦЯ(, ( и(, t), иб. ( t), и( ( t) -

0 0

х 1-х 1-у у

IIЯ ( Д;и^, t),и6, ( t),и( ( t+dsdt - IIЯ ( t; и( Д), и5 ( Д), иг ( Д ))dsdt, (5)

0 0 0 0

у

их (х, у) = -у 2 (1 - х) + I я (х, (; и(х, t + их (х, t+ и((х, t + + -

0

1-х х

- I я(х, ( и(х, t), их (х, t), и (х, t)— + I я(1 - х, ( их (1 - х, t), и(1 - х, t) — , (6)

0

0

uy (x y) = -y i(1 - y)+J g ( y; u(s y+ us (s, y+ uy (s, y) +s

+

+

y 1-y

J g (l - y,(; u(1 - y, t), Uy (1 - y, t), ut (1 - y, t ) +t - J g (s, y; u (s, y), us (s, y), Uy (s, y) +s . (7)

Тогда функция и(х, у) является решением задачи 1 для уравнения (1).

В справедливости теорем 1 и 2 можно убедиться непосредственно, пользуясь формулами (8), (9):

г х 1-х Л / 1-х х

II г^, Д ^|dsdt =! г (х, Д — -I г (,1 - х — ; (8)

JX

\

y

1-y

= -J r(1 - y, t)dt + J r(s, y+ .

(9)

Т е о р е м а 3. Для телеграфного уравнения

и его обобщения

Xy

Xy

+ ku = f (x, y), k = const, f (x, y)e C0 (a)

+ C(x, y)u = f (x, y), C(x, y)e C0 (A), f (x, y)e C0 (a)

решение задачи 1 существует и единственно.

Доказательство следует из соотношения (3) для указанных уравнений и метода последовательных приближений (см. [4], с. 211-216).

II. Пусть V - открытый квадрат с вершинами О(0,0), А(0,1), В(1,1), С(1,0). Рассмотрим в V уравнение (3) при f (x, y) ° 0, т. е. уравнение

Lu = uxy + a(x, y )ux + b(x, y )uy + c(x, y )u = 0, (10)

где a(x,y),b(x,y)e C1 (v+c(x,y)e C0 (v).

Задача 2. Найти функцию u(x, y) со свойствами:

1) Lu ° 0 в V ;

2) u e C0 (V)n C1 (V), uxy e C0(V);

3) u(x,1+ - u(x,0+ = y(x), 0 < x < 1, y(x)e C1 (0 < x < 1+;

4) u(1, y) - u(0, y) = j(y), 0 < y < 1, j(y)e C1 (0 < y < 1+, y(1+ = y(0+ = j(1+ = j(0+ = 0;

5) u(0,0+ = u0 = const.

Т е о р е м а 4. Решение задачи 2 существует и единственно, если

h(x, y) = Qx (x, y) + a(x, y)b(x, y)- c(x, y)° 0 в V ;

1 1

Ja(x, t +t Ф 0, 0 < x < 1; Jb(t, y)dt Ф 0, 0 < y < 1.

(11)

(12)

Доказательство. Пусть t(x) = u(x,1+, t (x)e C1, 0 < x < 1; n(y) = uy (0,y), n(y)e C0 (0 < y < 1+.

Тогда функцию u(x, y) в V можно представить по формуле (1.27) [5]:

u(x, y ) = N (x, y)

:"(x) + J N- (x, t +P(x, t)n (t)dt

(13)

где

N(x, y) = exp-j - Ja(x, t +t k P(x, y) = exp<j- Jb(t, y)dt I.

Отсюда, пользуясь нелокальными условиями 3) и 4) и условием 5) для нахождения функций т (х) и V (у), получим систему интегральных уравнений (14), (15):

т (х +=1 *(0-Д Д п (++Ту5) • <14)

37

0

0

0

0

0

0

0

0

0

nW+T^Hr^Mdt=4^0 mVL' (15)

r(У, У ) оУ r (y, у) r (y, у)

где

r(у, t) = N(1, у)N-1 (1, t)P(1, t) - N(0, у)N-1 (0, t)P(0, t); (16)

г(у, у) = ехР|}Ъ( У^| 1; т(У) = У)“ Н( У)• (17)

В силу свойств функций а(х, у), Ъ(х, у) и с(х, у) уравнение (15) является интегральным уравнением Вольтера второго рода и, следовательно, однозначно разрешимо, причем

V (у) е С ° [°,1] • Отсюда из (14) следует, что функция т(х) однозначно определена и

т(х)е С1 [°,1] • Из сказанного и (13) следует теорема 4.

Замечание 1. Здесь в отличие от [2] удалось доказать разрешимость задачи 2 для линейного гиперболического уравнения с младшими членами. Легко видеть, что к тому же результату пришли, если бы вместо квадрата V был взят прямоугольник с любыми размерами.

III. Пусть область D есть разность двух квадратов D0 = O0 A0B0C0 и D1 = OABC ; O0 (0;0), A0 (0;3), B0 (3;3), C(3;0); O(l;l), A(l;2), B(2;2), C(2;l). Пусть также O1 и C1 - проекции точек О и С на O0C0; A1 и B1 - проекции точек А и В на A0B0; O2 и A2 - проекции точек О и А на O0A0;

C2 и B2 - проекции точек С и В на C0 B0. Рассмотрим прямоугольники V1 = OCC1O1,

V 2 = BCC2 B2, V 3 = ABB1A1, V 4 = OAA2 O2.

В области D рассмотрим уравнение(10) при a(x,у),b(x,у)є C1 (d), c(x,у)є C0 (d) .

Задача 3. Найти функцию u(x, у) со свойствами:

1) Lu ° 0 в D \ s, s = OO1 u CC1 u A1A u B1B u B2 B u C2 C u A2 A u O2 O;

2) uє C0(D)n C1 (Vi )nC1 (V2 )n C1 (Vз )n C1 (V4)

uу є C0 [D \ (AlOl u BlCl u A2B2 u O2C2 u)];

3) u(l,0) = u0 = const;

4) u(x,l) — u(x,0) = y1 (x), 1 <x<2, y1 (x)є C1 (l< x<2),y1 (l) = y1 (2) = 0;

5) u(2,у)-u(1,у) = jl(у),0йуй 1,jl(у)єC1 (0йуйl);4і(0) = jl(1) = 0;

6) u(x,2)-u(x,l) = y2(x),2йxй3,y2(x)є C1 (2йxй3);y2(2) = y2(з) = 0;

7) u(3,у)-u(2,у)=42(у),1 йуй2,42(у)єC1 (1 йуй2);4(1) = 42(2) =0;

8) u(x,3) - u(x,2) = y3 (x),1 й x й 2,y3 (x)є C1 (l й x й 2);y3 (l) = y3 (2) = 0;

9) u(2,у)-u(l,у) = 4з(у),2йу й3,43(у)є C1 (2йу й3); j(2) = 43(з) = 0;

10) u(x,2)-u(x,l) = y4(x),0йxй 1,y4(x)є C1 (0й xй l);y4(0) = y4(l) = 0;

11) u(1, У) - u(0, У) = 44 (У), 1 й У й 2,44 (У)є C1 (1 й У й 2); 44(1) = 44(2) = 0 •

Т е о р е м а 5. Решение задачи 3 существует и единственно, если:

h(x,у) = ax(x,у) + a(x,у)b(x,у)-c(x,у)°0 в Vi uV2 uV3 uV4 ; (18)

1 2

Ja(x, t)dt) 0, 1 й x й 2; Jb(t, у)dt ^ 0,0 й у й 1; (19)

0 1

2 3

Ja(x, t)dt) 0, 2 й x й 3; Jb(t, у)dt ^ 0,1 й у й 2; (20)

1 2

3 2

Ja(x, t)dt) 0, 1 й x й 2; Jb(t, у)dt Ф 0,2 й у й 3; (21)

2 1

2 1

Ja(x, t)dt) 0, 0 й x й 1; Jb(t, у)dt Ф 0,1 й у й 2 . (22)

0

Доказательство.

1. Пусть и1 (х,у) (/' = 1,4) - следы искомой функции и(х, у) в Vг • Тогда функция иг (х, у) существует и единственна по теореме 4 в силу соответственно условий (19) - (22) доказываемой теоремы и свойств инварианта Римана к(х, у) относительно линейных преобразований переменных [4].

Действительно, рассмотрим, например, функцию и1 (х, у). Заменой переменных х = х/ +1, у = у' квадрат V1 преобразуется в квадрат V = (° < х < 1)х (° < у < 1), условия 3) - 5)задачи 3 -соответственно в условия 5), 3) и 4) задачи 2. Отсюда по теореме 4 следует существование и единственность функции и1 (х, у). Аналогично доказывается существование и единственность

функций иг (х, у)( = 2 — 4) с учетом и(1,°) = и2 (2,1) = и3 (1,2) = и4 (°,1) = и° в силу свойств функций У г (х) и 41 (у)Л = 1,4 .

2. Функция и12 (х, у) - след искомой функции и(х, у) в квадрате V12 = (2 < х < 3)х (° < у < 1) -существует и единственна как решение в нем задачи Гурса с данными:

1) и12 (2,у) = их (2,у),° < у < 1;

2) и12 (х,1) = и 2 (х,1), 2 < х < 3 ;

3) и1 (2,1) = и 2 (2,1) = и °.

Аналогично находятся следы искомой функции и(х, у) в остальных «угловых» - квадратах области В, чем и завершается доказательство теоремы 5.

Замечание 2. Доказанная теорема указывает на возможность постановки разрешимой существенно нелокальной краевой задачи в двусвязной области, причем с нелокальными краевыми условиями лишь на части границы области.

Замечание 3. Если к условиям задачи 3 добавить требование Ьи ° °, (1 < х < 2)х (1 < у < 2)

и и е С0 (в° ), то получится существенно нелокальная краевая задача в односвязной области с нелокальными условиями на части границы области и расположенной внутри него замкнутой линии - сторонах квадрата.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лернер М.Е. Две существенно нелокальные краевые задачи для уравнений эллиптического типа // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. восьмой межвуз. науч. конференции. Ч. 3. Самара: СамГТУ, ИА РФ, 1998. С. 63-66.

2. Лернер М.Е. Существенно нелокальные краевые задачи для уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 1999. Вып. 7.С. 178-18°.

3. Лернер М.Е. Репин О.А. Существенно нелокальная краевая задача для уравнений с частными производными // Математические заметки. 2°°°. Т. 67. Вып. 3. С. 478-48°.

4. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных // М.: ИЛ, 1957. 443 с.

5. Лернер М.Е. Принципы максимума и краевые задачи для гиперболических уравнений, систем уравнений и уравнений смешанного типа в неклассических областях. Самара: СамГТУ, 2°°1. 193 с.

6. Митин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1959. 232 с.