Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений гиперболического и смешанного типов третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 15-25.

УДК 517.946

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И СМЕШАННОГО ТИПОВ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

У.И. БАЛТАЕВА, И.Б. ИСЛОМОВ

Аннотация. В статье доказана однозначная разрешимость краевых задач для нагруженного дифференциального уравнения третьего порядка с гиперболическим и параболо-гиперболическим оператором. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений сводятся к интегральному уравнению Вольтерра второго рода и, опираясь на это, методом интегральных уравнений доказывается существование и единственность решения краевых задач.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, уравнения смешанного типа, интегральное уравнение, интегральное уравнение со сдвигом, функция Бесселя.

1. Введение

В последние годы в связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги возникла необходимость в изучении нового класса уравнений, получивших название „нагруженное уравнение“. Такие уравнения впервые исследованы в работах Н.Н. Назарова и Н.Н. Кочина. Но ими не был использован термин "нагруженное уравнение". Впервые этот термин был использован в работах А.М. Нахушева, в которых дано наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробная классификация различных нагруженных уравнений: нагруженных дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функциональных уравнений, а также их многочисленные приложения.

Нагруженным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка посвящены работы А.М. Нахушева, М.Х. Шханкова, А.В. Бородина, В.М. Казиева,

A.Х. Аттаева, С.С. Pomraning, E.W. Larsen, В.А. Елеева, М.Т. Дженалиева, Б. Исломова и Д.М. Курьязова, Д.М. Курьязова, К.У. Хубиева, М.И. Рамазанова и др.

Заметим, что краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического, парабологиперболического, эллиптико-гиперболического типов третьего порядка изучены сравнительно мало. Отметим только работы В.А. Елеева, Б. Исломова и Д.М. Курьязова,

B.А. Елеева и А.В. Дзарахохова.

Данная работа посвящена постановке и исследованию аналога задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа

д

— (uxx - Uyy - А и) - ц,и(х, 0) = 0, (1)

U.I. Baltayeya, B.I. Islomoy, Boundary value problems for the loaded third order equations of the hyperbolic and mixed types.

© Балтаева У.И., Исломов Б.И. 2011.

Поступила 7 июля 2011 г.

и краевой задач для нагруженного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

д

— (Ьп) — ^п(х, 0) = 0, дх

где

Ьп

Ь1п = пхх — пу — Ап, у > 0,

Ь2п = пхх пуу Ап, у < 0,

действительные постоянные, причем А > 0.

2. Аналог задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения

гиперболического типа

Пусть I — область, ограниченная характеристиками

АС : х + у = 0, ВС : х — у =1 уравнений (1) и отрезком АВ оси у = 0.

В области I рассмотрим следующий аналог задачи Коши-Гурса для нагруженного уравнения (1)

Задача А. Найти регулярное в области I решение п(х, у) уравнения (1), непрерывное в

I, обладающее непрерывными производными пх,пу вплоть до АВ и АС и удовлетворяющее граничным условиям

п(х,у)|АС = 01(х)

пу(х,у)|АВ = V(х), 0 < х < 1, дп(х,у)

дп

-02 (х),

АС

0 < х < -,

(3)

(4)

где п — внутренняя нормаль, V (х), 0^х), 02(х)

причем 2v(х) = -\/202(0) — 01(0),

заданные функции,

V(х) Є С[0,1] П С2(0,1),

0і (х) Є С1

1

°- 2

02 (х) Є С

П С 2| 0, 2

(6)

Теорема 1. Если выполнены условия (5), (6), то в области Д существует единственное решение задачи .

Доказательство теоремы 1.

При доказательстве теоремы 1 важную роль играет следующая лемма.

Лемма 1. Любое регулярное решение уравнения (1) представляется в виде

п(х, у) = £ (х, у) + ш(х),

где г(х,у) — решение уравнения

д

дх(^хх £уу А^) 0

а ш(х) — решение следующего обыкновенного дифференциального уравнения

ш (х) — Аш (х) — ^ш(х) = Аг(х, 0).

Доказательство леммы 1

Пусть «(я, у), представленное формулой (7), есть решение уравнения (1). Тогда, подставив (7) в (1), имеем

д д дХ — «уу — Ли) — ^и(х, 0) = — (¿XX — 2уу — Аг) +

+ад"'(я) — Лад'(я) — —ад(я) — — ¿(я, 0) = 0,

то есть удовлетворяет уравнению (1).

Теперь, наоборот, пусть «(я, у) — регулярное решение уравнения (1), а и>(я) — некоторое решение

ад'" (я) — Лад'(я) = —и (я, 0). (10)

Докажем справедливость соотношения (7). Очевидно, что функция

«(я, у) = ¿(я, у) + —у (с^л/Л(я — ¿) — 1)и(*, 0)^£

о

есть решение уравнения (1), где ¿(я, у) — решение уравнения (8), а функция

X

и(я, у) = — J (с^(я — ¿) — 1)и(*, 0)^£

о

есть частное решение уравнения (1). Следовательно, из (1) следует справедливость представления (7), то есть «(я, у) = ¿(я,у) + ад(я).

Из последнего представления следует, что «(я, 0) = ¿(я, 0) + ад(я). Тогда из (10) имеем

ад'''(я) — Лад'(я) — —ад(я) — — ¿(я, 0) = 0,

а функция ¿(я, у) = и (я, у) — ад(я) удовлетворяет уравнению (8).

Лемма 1. доказана.

Учитывая, что функция а сое л/Ля + Ь эт л/Ля + сеУ^х удовлетворяет уравнению (8), при исследовании задачи без ограничения общности можно предполагать, что

ад(0) = ад' (0) = ад''(0) = 0. (11)

Решим задачу Коши для уравнения (9) с условиями (11) относительно ад (я). Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению (9), имеет вид

к3 — Лк — — = 0. (12)

Введем обозначение А = ^.

1) если А > 0, то известно[3], что уравнение (12) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня, которые имеют вид

1 ^3

= и + VI, &2,3 = — ^(«1 + VI) ± — ¿(«1 — VI),

где

Таким образом, решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при А > 0, имеет вид

где

w(x) = J Ti(x,t)z(t, 0)dt, о

Ti(x,t)

3 (ul + uivi + v2)

ef (u1+„) (x-« + V3 (ui + vi) sin ^3 (ui - vi) (t - x) -

ui — vi

— сое (и1 — г^) (£ — я)|е 2(«1+^1)(х *)•

2) если А = 0, то уравнение (12) имеет три действительных корня, причем два из них равны:

3— 3—

к1 = Т’ к2 = кз = — 2Л-

2

Решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при Л = —3 (—/2)3 имеет вид

где

w(x) = J T2(x,t)z(t,0)dt, о

2 f^ А 3 e V?(x~t) (e V?(x-í) _ 3 f^

T2(x,t) = 9(2) f е ?

3) если A < 0, то уравнение (12) имеет три различных действительных корня, которые имеют вид [3]

ki = 2|Vr|cos ^, k2 = 2| cos ^+^, кз = 2| cos ^+^,

3 3 3

где

f

2

3

cos

f

2

3

-i

Соответственно, решение задачи Коши для уравнения (9) с условиями (11), при А < 0, имеет вид

где

w(x) = J T3(x,t)z(t,0)dt, о

:i5)

T3(x, t) =

{(k2 - кз) ek3(x-t) +

(к2 — к1) (к3 — к1) (к2 — к3)

+ (кз — к1) ек2(х-4) — (к2 — к1) екз(х-4)}.

В силу представления (7), задача А редуцируется к задаче А* нахождения регулярного в области Д решения ¿(я, у) уравнения (8), удовлетворяющего условиям

X

X

r

x

¿у(я,у)|АВ = V(я), 0 <я< 1,

16)

¿(я,у)|АС = 01(я) —

д^(я,у)

дп

АС

02(я)-рад'(я), 0 < я < -,

22

17)

где

ад(я) = ТДя, ¿)£(£, 0)Л, (г = 1, 3).

18)

С помощью общего представления, аналогично [4] и [5], можно выписать решение уравнения (8) в Д с условиями (16), (17), с учетом (5), (6) и [6]:

х+у

¿(я,у)= V(¿)/о VЛ(я + у — ¿)(я — у — Л) ^ — 01 (0)/о VЛ (я2 — у2)

+

х+у

+01 (+ 01 ( V) + —л/ (Л01 (л) — —202' (л))й1п —^ (*— ^+

х — у 2

+ —л/ (Л01 СО — ^202' (л)) вт —— -у^ ^ — 2 У" 01 (л)х

оо

19)

хBt (0, 2Л; я + у, я — у) ^ ^ ^ (Л01(—¿) — л/202 (—¿)) ^п л/Л(у — ¿)^£—

х — у 2

—^ Bt (0, 2Л; я + у, я — у) ^ / ^Л01 (¿) — —202 (¿)^ эт —Л (—Л + ¿) ^,

где

01 (я) = 01 (я) — ад (я), 02 (я) = 02 (я)--р ад'(я),

у2

В(¿, ¿; я + у, я — у) — функция Римана-Адамара[6], 10 [¿] — модифицированная функция Бесселя [7].

Положив у = 0 в (19), с учетом (18) получим следующее функциональное соотношение, принесенное из области Д на АВ:

где

т(я) + / К(я,Л)т ( - ) ^ = Ф(я), 0 < я < 1,

т (я) = ¿(я, 0),

К (я, л) = г, ( я, 2) + у/г‘ ( 2,21Д ^ Лх(я —8)

^5 +

х

х — у

t

х

х

2уЛ

я Л

22

К * ^ Лтл -,- — - тг -,- ж

2’ 2 / 4 г V 2’ 2

Ф(я) = 201^^ — 01 (0) 1о У^я + I V(¿)/о У/Л(я — Л)

/Ля(я — Л) 01 ( - ) ^¿+

+ Ля j -/"1 о

— /К *(я, 2) (Л01( 2)——г02 (¿и*

о

(22)

К*(я, Л) = эт л/Л(Л — я) + Ая-1 а/Ля(я — 2в) эт л/а" (Л — з)^з,

/1 (я) = —1 (я)/я, -о(я), -1 (я) — модифицированные функции Бесселя [7].

Отсюда заключаем, что интегральное уравнение (20) всегда имеет, причем единственное, решение [8].

Таким образом, доказано, что задача А однозначно разрешима.

Теорема 1 доказана.

3. Исследование задачи С для уравнения (2)

3.1. Постановка задачи С для уравнения (2).

Пусть П — область, ограниченная отрезками АВ, ВВо, ААо, АоВо прямых у = 0, я =1, я = 0, у = Л, соответственно, при у > 0. П2 — характеристический треугольник, ограниченный отрезком АВ оси ОХ и двумя характеристиками

х

х

х

х

АС : я + у = 0, ВС : я — у =1

уравнения (2) при у < 0.

Введем следующие обозначения:

/ = {(я,у):0 < я < 1, у = 0}, П = П и П2 и /.

Регулярным решением уравнения (2) назовем функцию

и (я, у) € С (П)П С С3,1(П1^ С 3,2(П2), удовлетворяющую уравнению (2) в П1 и П2.

Задача С. Требуется найти функцию и(я,у), обладающую следующими свойствами:

1) и(я,у) € С(П);

2) их(иу) непрерывна вплоть до ААо и АС (АВ и АС);

3) и(я,у) является регулярным решением уравнения (2) в областях П1 и П2;

4) на АВ выполняются условия склеивания

иу(я, —0) = иу(я, +0), (я, 0) € /;

5) и(я,у) удовлетворяет краевым условиям

и(я,у)|АА0 = ^(у); и(я,у)|вв0 = ^2(у), их(я,у)|АА0 = ^у^ 0 < у < Л (23)

и(я,у)|АС = 01(я), ^ у) = 02(я), 0 < я < 1, (24)

где п — внутренняя нормаль, ^1(у), ^2(у), ^3(у), 01 (я) и 02(я) — заданные функции, при-

чем

Ы°) = 01(O), ^(у) € С 1[0,1], О' = 1 2), ^3(у) € С[°,1] п С 1(0, ^

(25)

01 (я) € С1

1

0, 2

п сЧ 0,2 ), 02(я) € с

1

0, 2

п с2[ 0,2 ].

(26)

Теорема 2. Если Л > 0 и выполнены условия (25) и (26), то в области П существует единственное решение задачи С.

Доказательство теоремы 2.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 2. Любое регулярное решение уравнения (2) (при у = 0) представляется в виде

и (я, у) = £ (я, у) + т(я),

где ¿(я, у) — решение уравнения

0 = д I ¿хх — ¿у — Ая, у > 0,

дя \ ¿хх — ¿уу — Л^, у < 0, т(я) — решение следующего обыкновенного дифференциального уравнения

(27)

(28)

т (я) — Ат (я) — —т(я) = А^я, 0). (29)

Доказательство леммы приводится аналогично как лемма 1.

Учитывая, что функция аеУ^х + ЬеТ^х + с удовлетворяет уравнению (28), функцию т(я) можно подчинить условиям

т(0) = т (0) = ш"(0) = 0. (30)

Решение задачи Коши для уравнения (29) с условиями (30) соответственно представимо в виде (13), (14), (15) при рассмотрении А > 0, А = 0 и А < 0, причем

Т(я,я) = Т/(я,я) = 0, Т"(я,я)= —, (г = 1, 3).

В силу представления (27), уравнение (2) и краевые условия (23), (24), с учетом (30),

сводятся к виду (28)

¿(я,у)|АА0 = ^(у); ¿(я,у)|вв0 = ^2(у) — т(1)

дг(я,у)

дя

АА0

¿(я

дг(я,у)

,у)|ас = 01(я) — 0 < я < 2,

дп

32)

33)

= 02(я)-----т;(я), 0 < я < -.

АС V2 2

3.2. Вывод основных функциональных соотношений

Как нам известно из задача А, решение уравнения (28) с краевыми условиями (32), (33

и

дг(я,у)

ду

V(я), 0 < я < 1

(34)

у=о

дается формулой (19).

Положив у = 0 в (19), с учетом (30), и

z(я, 0) = т(я), 0 < я < 1, получим функциональное соотношение, принесенное из области П2 на АВ:

где

т(х) + / К(х,і)т ( - ) ¿і — / /о л/Л(х — і) V(і)^і = /і(х),

(36)

х

^Л;

х

+—л/к * (я ■ 2

о

где К (я, Л) представима в виде (21). Обозначив

+ Лх J /"і

о

і

Л0і ( 2)—^20^ 2))

(37)

У1(я) = т(я) + у К(я,*)т^2) ^ —

о

из (37), пользуясь формулой обращения для таких уравнений [9]:

(38)

v (х) =

/1(хЯ = Л(х) — Л / ,/і(і)/гі [^А(х — -)

¿і,

с учетом (26) и (38) находим V(х) относительно т(х) в виде

V(х) = т;(х) — Л / т(і)" -\/Л(х — і)

+ / т I 2) І К'(х,і) — Л / К (в,і)/і У/Л(х — в)

о

¿в І ¿і—

(39)

—Л(х) + Л/ /і(і)/і ^А(х — і)

¿і.

В силу свойства задачи С и с учетом (34), (35), из уравнения (28) в П1, устремляя у ^ — 0, получаем [4]:

т"(я) — Лт (я) = к + V (я), (40)

где к — неизвестная константа, подлежащая определению.

Равенство (40) является вторым функциональным соотношением между т(я) и V(я), принесенным из области П1 на АВ.

3.3. Существование решения задачи С

Решая уравнение (40) относительно т(я) с условиями

т (0) = Рі(0) т'(0) = ^3(0),

(41)

имеем

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

т(я) = Г зЛл/А(я — ¿Ь(¿ЫЛ — V(1 — сЛл/Ля) +

^о л (42)

+ ^1(0)сЛл/Ая + —^ ^3(0)зЛл/Ля.

Исключая из (39) и (42) функцию V(я), с учетом условия склеивания, получим интегральное уравнение со сдвигом относительно т(я):

х х

т(я) — / К1(я,Л)т(¿)^£—/К2(я,Л)т (|) ^ =

о . о , (43)

к

где

= — | ^1 — сЛ—Ля^ + Ф1 (я),

К1(я, Л) = сЛ—Л(я — Л) — —Л зЛ—Л(я — з)^ —Л(з — Л)

х / х

К2(я,Л) = ——Л(я — 5) | К/(8,Л) — К(¿, ¿)_Г1 —Л(5 — z)

г \ г

Ф1(я) = ^1(0)сЛ—Ля + —^3(0)зЛ,—Ля — У^ К1(я,Л)/1 (¿)^£. (44)

о

Полагая

х

а(я) = Ф1 (я) — — ^1 — сЛ—Ля) + У К2(я,Л)т ^¿, (45)

о

уравнение (43) запишем в виде

т(я) — J К1(я,Л)т(¿)^£ = а(я), 0 < я < 1. (46)

о

Следовательно, уравнение (43) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое безусловно и однозначно разрешимо в классе С(0 ^ я ^ 1). Таким образом, решение уравнения (46) имеет вид

х

т(х) = а(х) + / (47)

о

где Д1(я,Л) — резольвента ядра К1(я,Л).

Равенство (47) с учетом (45) и формулы Дирихле имеет вид

х

т(я) — [ К*(я,*)т Г2^ ^ = Ф2(я), (48)

где

х

К*(я,Л) = К2(я,Л)^У К2(^, ¿)Д1(я, 5)^5,

г

х

х

х

Ф2(х) = Фі(х) + Ri(x,t)^i(t)dt — —

1 — chV—x + ^1 — chV—tjR1(x,t)dt

Отсюда заключаем, что уравнение (48) всегда имеет, и притом единственное, решение, которое представимо в виде [8]

т(х) = Ф2(х) + / R2(x,t^2 ( 2 ) dt, 0 < х < 1,

(49)

где К2(х,ї) — резольвента ядра К2^(х,ї).

Отсюда, в силу условия т(1) = ^2(0) — ^(1), однозначно определяются к.

После определения т(ж) функцию V(ж) и и>(ж) находим из (39) и (18).

Таким образом, решение задачи С в области П2 с учетом (18) и (19) определяется однозначно по формуле (27), а в области Пі приходим к задаче для ненагруженного уравнения третьего порядка [4].

Итак, решение задачи С в областях П1и П2 можно построить из (27) с учетом (18), (19) и задачи Г11 [4].

Таким образом, задача С однозначно разрешима.

Теорема 2. доказана.

X

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифф. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.

2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифф. уравнения. 1983. Т 19, № 1. С. 86-94.

3. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение. 1966. 335 с.

4. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажонов М. Краевые задачи для уравнений парабологиперболического типа. Т.: ФАН. 1986. 220с.

5. Салахитдинов М.С. Уравнение смешанно-составного типа. Т.: Фан. 1974. 156 с.

6. Сабитов К.Б. Построения в явном виде решений задач Дарбу для телегрфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. 1. // Дифф. уравнения. 1990. Т. 26, № 6. С. 1023-1032.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука. 1966. Т. 2. 296 с.

8. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959. 224 с.

9. Салахитдинов М.С. Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Т.: Фан, 1982. 166с.

10. Исломов Б., Балтаева У.И. Аналог задачи Дарбу для нагруженного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // ДАНРУз 2010. № 5.

11. Балтаева У.И. Краевые задачи для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка Дис. канд. физ.-мат. наук., Ташкент, 2008, 111 с.

Умида Исмаиловна Балтаева,

Ургенчский Государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: [email protected]

Бозор Исломович Исломов,

Институт математики и информационных технологий АН РУз, ул. Дурмон, 29,

110100, г. Ташкент, Узбекистан E-mail: [email protected]