Коррелатная версия уравнивания и оценки точности геодезических сетей с равноточно измеренными величинами методом псевдооптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528. 15: 528. 087

КОРРЕЛАТНАЯ ВЕРСИЯ УРАВНИВАНИЯ И ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ С РАВНОТОЧНО ИЗМЕРЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ МЕТОДОМ ПСЕВДООПТИМИЗАЦИИ

Геннадий Григорьевич Асташенков

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет, 630008, Россия, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113, доктор технических наук, профессор, кафедра инженерной геодезии, тел. (383)266-46-48, e-mail: [email protected] [email protected]

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31

Вячеслав Георгиевич Колмогоров

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор-консультант кафедры геома-тики и инфраструктуры недвижимости, тел. (383)361-07-09, e-mail: [email protected]

В геодезической практике существует много задач, для решения которых нет необходимости в привязке сети к исходным твердым пунктам, например, при создании геодезического обоснования с целью выноса проекта инженерных сооружений, при наблюдениях за деформациями инженерных сооружений и др. Более того, при уравнивании геодезических сетей (особенно обширных) коэффициенты условных уравнений вычисляются приближенно, что может привести к плохой обусловленности или даже вырожденности системы нормальных уравнений. При вырожденности системы нормальных уравнений задача уравнивания методом наименьших квадратов не имеет решения. А при плохой обусловленности матрицы коэффициентов нормальных уравнений результаты уравнивания по методу наименьших квадратов, вероятно будут иметь большие искажения. Поэтому в статье предлагается новый подход, основанный на методе псевдонормальной оптимизации, который успешно решает выше поставленные задачи в отличие от метода наименьших квадратов.

Ключевые слова: коррелатная версия, псевдооптимизация, псевдорешение, уравнивание, нивелирная сеть, псевдообратная матрица, рекурсивный алгоритм.

Уравнивание геодезических сетей коррелатным способом заключается в уточнении результатов измерений таким образом, чтобы уравненные значения измеренных величин удовлетворяли всем математическим условиям, вытекающим из геометрической формы сети. При строгом решении задачи сумма квадратов поправок к измеренным величинам должна быть минимальной. При этом оценки измеренных величин, полученные в результате уравнивания, дают возможность вычислить более точные значения искомых параметров [1-8].

Таким образом, коррелатным называют способ уравнивания по методу наименьших квадратов, при котором в качестве исходной системы выступают так называемые условные уравнения связи, вытекающие из геометрии геодези-

ческой сети. Эту систему для истинных величин можно записать следующим образом:

Ф(71; Т2, У3, —, ¥п) = 0.

(1)

где У, - истинные значения измеренных величин.

Подставляя в систему уравнений связи (1) вместо истинных значений У, их измеренные значения у., в правой части получаем некоторые остатки (невязки), то есть

ф(Уь У2> Уз,—' Уп) = Ю

(2)

Невязки ю. являются истинными ошибками соответствующих функций Ф.. В общем виде система уравнений (2) является нелинейной. Поэтому, чтобы решить эту систему, ее необходимо привести к линейному виду путем разложения в ряд Тейлора, и тогда получается линейная система уравнений вида

ф(У1* У2,—* Уп) +

1

дУ\

V+

V Уо

^дФЛ

_I

ду V Уо

У + — +

АдФ.Л

_I

ду V уо

Уп + Я = 0' (3)

где V. - поправки (приращения) аргументов у. функции; дФ . ^

—- - частные производные функции (2) по аргументам у , при этом

ду. 1

V . у о

знак ( )0 означает, что частные производные вычисляются по результатам измерений у ;

Я. - остаток (нелинейная часть разложения).

Пренебрегая остатком Я., систему уравнений (3) можно записать в матричной форме

ВУ + ю = 0.

(4)

Здесь:

т

V1 = (у У2 у — Уп) - вектор-столбец поправок к результатам

изме-

рений;

Т

ю = (ю1 ю2 ю3 — юг) - вектор-столбец невязок;

В =

( В11 В12 В13 ' В1п

В21 В22 В23 " В2п

В31 В32 В33 ' " В3п

уВг1 Вг 2 Вг з

В

- матрица коэффициентов условных урав-

гп У

нении поправок.

Причем В^ - коэффициенты условных уравнении поправок, получаемые

по выражению:

В,

г \

д ф _1_

V } уо

В системе условных уравнении (4) число уравнении меньше числа неизвестных (г < п). Поэтому данная система допускает множество возможных решении, из которых выбирают решение, удовлетворяющее условию наименьших квадратов, то есть

ф = уту = шт.

(5)

Для решения поставленнои задачи используется метод Лагранжа. Но при этом становится сложнои и громоздкои процедура оценки точности результатов уравнивания из-за сложных формул оценки точности. Ниже на основании псевдонормального решения предлагается иная коррелатная версия уравнивания таких сетеи.

Рассмотрим уравнивание свободнои геодезическои сети с равноточно измеренными параметрами. В этих условиях псевдонормальному решению системы условных уравнении связи (4) будет соответствовать выражение:

У = -В+ю. (6)

Здесь матрица В+- псевдообратная матрица к исходнои матрице условных уравнении связи В , она должна удовлетворять всем условиям псевдообратных матриц [1, 2, 9-16].

Поскольку выражение (6) имеет простую структуру, можно предложить удобную формулу для вычисления поправок к измеренным величинам. Она будет иметь вид:

V =-

(7)

В данном случае задача сводится к непосредственному вычислению псевдообратной матрицы В+ к исходной матрице В . На основании рекурсивного алгоритма, приведенного в работах [2, 16], можно получить алгоритм вычисления псевдообратной матрицы. Для этого матрицу исходной системы условных уравнений связи нужно записать следующим образом:

' Ь1 ^

ь2 ь3

В

ь

V Ьг У

(8)

где ь - вектор-строка, имеющий вид:

Ь = (Ь1Ъ Ьi2, Ь 13:

Ь т ).

Необходимо адаптировать рекурсивный алгоритм вычисления псевдообратной матрицы к условиям, когда при каждой рекурсии последовательно присоединяются строки матрицы (8). В этих условиях известный рекурсивный алгоритм псевдообращения матрицы можно переписать следующим образом:

в; = (в;_ 1 - в;_х • е. • ь.

в.).

(9)

При уравнивании любых геодезических сетей (как свободных, так и несвободных) матрица условных уравнений связи В имеет полный ранг, равный числу условных уравнений (4). Поэтому после каждой рекурсии в выражении (9), вектор-столбец в. всегда будет определяться по формуле

в.

С

7

Т

11С1

(10)

где вектор-строку С можно рассчитать по выражению

С . = ь . _ Л. • В.-1. Здесь вектор-строка Л. определяется по формуле

(11)

Л = ь • В11.

(12)

2

Стоит заметить, что для первои рекурсии в выражении (11) матрица В1-1 будет равна первои строке матрицы условных уравнении (8), то есть:

Во = V

После каждои рекурсии матрица В{-1 будет расширяться на одну вектор-строку. Например, для второи рекурсии она будет соответствовать матрице

В,

( V

V Ъ2 У

и т. д.

Очевидно, что для вычисления псевдообратнои матрицы необходимо иметь псевдообратньш вектор-столбец В^. Этот вектор можно вычислить по следующеи формуле:

Во =-12 . (13)

1Ы2

Далее, используя выражения (9), (12), (11) и формулу (10), постепенно расширяя размерность матрицы В^ после г - 1-кратного обращения к этим выражениям, получаем псевдообратную матрицу

В+ = Ву .

После установления псевдообратнои матрицы В+ по формуле (6) или (7), находится вектор-столбец поправок к результатам измерении У . В итоге урав-ненныи вектор результатов измерении вычисляется по известнои формуле:

У = У + У = У - В + Ю . (14)

Таким образом, решается задача уравнивания геодезических сетеи с равноточно измеренными величинами по методу псевдооптимизации.

Теперь необходимо рассмотреть вопрос оценки точности функции при коррелатном способе уравнивания. Для этого на первом этапе нужно получить ковариационную матрицу вектора невязок. Сначала необходимо проанализировать условные уравнения связи. Известно, что вектор невязок Ж является вектором истинных ошибок функции. Поэтому его можно записать как линеиную функцию (комбинацию) от истинных ошибок наблюдении, то есть:

ю = Ю(0) = -В(¥ - У) = В(У - У), (15)

где У - вектор истинных значений измеренных величин;

у - вектор измеренных значений;

0 - вектор истинных ошибок измерений.

Теперь перейдем поставленной задаче, а именно к оценке точности результатов уравнивания геодезических сетей с равноточно измеренными величинами для предложенного алгоритма.

Прежде всего, нужно вычислить ковариационную матрицу вектора поправок. Применив к выражению (6) теорему обобщенной оценки точности Фишера [2], можно получить:

Ку = В+Ка В+т.

2 Т

Учитывая тот факт, что Кю = ц ВВ , получаем, что

Ку = В+КЖВ+т = ц 2 В+ВВТ В+т.

На основании свойств псевдообратных матриц известно, что матрица В+В является квадратной, симметричной и идемпотентной, поэтому

В+В = (В+В)т.

Тогда

Ку = ц 2( В+В)2. (16)

Как уже отмечалось ранее, матрица В+В является идемпотентной. В связи с этим окончательно можно записать:

Ку = ц2В+В. (17)

На основании выражения (17) после простых преобразований можно получить удобную формулу для вычисления любых элементов ковариационной матрицы (17)

КУц = ц

ь. Ь1

2

где Ь- .-я вектор-строка псевдообратной матрицы В+;

Ь^ -7'-й вектор-столбец матрицы условных уравнений связи В ;

, 2 Ь Ь1

квадрат евклидовой нормы.

При этом Ку.. - коэффициент ковариации (ковариационныи момент) оце-

У

нок У. и У.. Коэффициент ковариации характеризует как степень рассеяния

значении двух переменных относительно их математических ожидании, так и взаимосвязь этих переменных.

Теперь можно переити к оценке точности уравненного вектора измерении. Для этого в выражение (14) вместо вектора-столбца невязок Ж нужно подставить его значение согласно (15), тогда получим следующее выражение:

~ = У - В+ВУ + В+ВУ.

Так как компоненты вектора истинных значении измеренных величин У являются неслучаиными величинами, на основании известнои теоремы оценки точности получим, что

К~ = ц 2(I - В+В)(1 - В+В)т. Раскрыв скобки в этои формуле, получим выражение

К~ = ц 2(1 - ВтВ+т - В+В + В+ВВт В+т).

Так как известно, что матрица В+В симметрична, предварительно получим:

К~ = ц 2(I - 2В+В + В+ВВ+В).

Из своиств псевдообратных матриц известно также, что В+ВВ + = В +, в связи с этим можно получить окончательную формулу вычисления ковариаци-оннои матрицы уравненного вектора ~У :

К~ = ц2(I - В+В), (18)

где I - единичная матрица размеров п х п.

После анализа и преобразования выражения (18) можно записать простые формулы для вычисления любых элементов ковариационнои матрицы уравненного вектора ~У . При этом диагональные элементы можно рассчитать по сле-дующеи формуле:

2 , 2

К= ц 2(1 - Ь+ Ь ), (19)

а недиагональные элементы - по выражению

К у . = ц 2(1 - ь; Ь! -). (20)

'Ун

. ]

2

Необходимо отметить, что при оценке точности результатов уравнивания нет необходимости в вычислении полной ковариационной матрицы (18), можно ограничиваться определением среднеквадратических ошибок уравненных измерений. На основании выражения (19) можно записать удобную формулу, позволяющую вычислить среднеквадратические ошибки любых уравненных результатов измерений:

.+ - 2

ту. = цЛД _ КЬ1 . (21)

В данном случае . = у.

Наконец, можно приступить к оценке точности функции уравненного вектора измеренных величин. Для этого известным образом необходимо составить и привести к линейному виду весовую функцию для т оцениваемых элементов:

F(у ; У) = ^0 ; ¥Т~ - ¥ТУ, (22)

где F0( у1, у2, у3, • -, уп) - матрица, состоящая из постоянных величин;

F - матрица коэффициентов производных функций по аргументу у у; ~у - вектор уравненных измерений; У - вектор истинных значений измеренных величин.

Применив, как и прежде, к выражению (22), теорему обобщенной оценки точности, после несложных преобразований, получим ковариационную матрицу векторной функции

KF = ц2F(I - В;В)Fт. (23)

Среднеквадратические ошибки элементов функции можно рассчитать по формуле

. =л/%. (24)

где KFii - диагональные элементы ковариационной матрицы (23).

Рассмотрим пример уравнивания и оценки точности нивелирной сети (рисунок) с одним исходным репером 7 и равноточно измеренными превышениями, выписанными напротив каждого нивелирного хода. Исходный репер имеет отметку х7 = 28,400 м.

6

Схема нивелирнои сети

В даннои сети число измеренных превышении п = 11, а число необходимых к = 6 . Следовательно, число избыточных измерении г = п - к = 5 . Таким образом, число независимых условных уравнении связи будет равняться пяти. Эти условные уравнения поправок запишутся так:

Здесь

- у - У2+У9=ю1 V + У3 - У7 = ®2

-У3 -У4 + У =Ю3

У6 - У8 - У10 = Ю4 У4 + У5 - У11 = ®5

®1 = -У1 - У2 + У9 = -0,002 м ®2 = У2 + У3 - У7 = 0,028м ®3 = -У3 - У4 + У8 = -0,022 м ®4 = У6 - У8 - У10 =-0,064 м ®5 = У4 + У5 - У11 = 0,001 м

по сути невязки условных уравнении поправок.

Следовательно, матрица коэффициентов условных уравнении поправок В равна

Г \ ^ Г-1

в =

Ь2 Ь3

Ь.

0 1 0 0 0 0

1 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 1 0

-10 0 0

0 10 0 0 -10

1

0^ 0 0 0

ч Ь5) ^ 0 0 0 1 100 000 -1,

а вектор-столбец невязок:

Ш = (-0,2 2,8 - 2,2 - 6,4 0,1) см.

Для получения вектора поправок к результатам измерении необходимо определить псевдообратную матрицу В+ по рекурсивному алгоритму (9) с учетом формул (12), (11) и (10)

В"

-0,382 979 -0,148 936 -0,063 830 -0,021 277 -0,021277

-0,234 043 0,297 872 0,127 660 0,042 553 0,042 553

0,085106 0,297 872 -0,319149 -0,106 383 -0,106 383

-0,042 553 -0,127 660 -0,340 426 -0,113 475 0,219 858

0,021277 0,063 830 0,170 213 0,056 738 0,390 071

0,021277 0,063 830 0,170 213 0,390 071 0,056 738

-0,148 936 -0,446 809 -0,191489 -0,063 830 -0,063 830

0,042 553 0,127 660 0,340 426 -0,219 858 0,113 475

0,382 979 0,148 936 0,063 830 0,021277 0,021277

-0,021 277 -0,063 830 -0,170 213 -0,390 071 -0,056 738

-0,021 277 -0,063 830 -0,170 213 -0,056 738 -0,390 071

Тогда компоненты вектора поправок находятся по формуле (7): У = (0,07 - 0,33 - 2,07 -1,15 0,52 2,69 0,40 -1,02 - 0,07 - 2,69 - 0,52) см.

Далее необходимо переити к оценке точности результатов уравнивания. Для этого на первом этапе наидем среднеквадратическую ошибку единицы веса по следующеи формуле:

ц =

УТУ

0,002194 86

п - к

5

= 0,0210 м.

По формуле (21) рассчитываются среднеквадратические ошибки уравнен -ных превышении.

Вестник СГУГиТ, вып. 4 (36), 2016 Результаты выполнения этих операций сведены в итоговую таблицу. Результаты уравнивания и оценки точности измеренных превышений

Номера Измеренные Поправки Уравненные Среднеквадратические

превыше- превышения к измеренным превышения ошибки уравненных

ний (м) У превышениям (м) V] (м) у превышений (см) Шу

1 4,123 0,000 7 4,123 7 1,64

2 -3,230 -0,003 3 -3,233 3 1,43

3 -2,565 -0,020 7 -2,585 7 1,37

4 4,379 -0,011 5 4,367 5 1,39

5 0,632 0,005 2 0,637 2 1,64

6 -2,346 0,026 9 -2,319 1 1,64

7 -5,823 0,004 0 -5,819 0 1,56

8 1,792 -0,010 2 1,781 8 1,39

9 0,891 -0,000 7 0,890 3 1,64

10 -4,074 -0,026 9 -4,100 9 1,64

11 5,010 -0,005 2 5,004 8 1,64

Для сравнительного анализа произведем оценку точности уравненных параметров (отметок определяемых реперов). Для этого известным образом составим матрицу весовых коэффициентов, и она равна

^ =

(1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

< 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 у

Далее по формуле (23) определим ковариационную матрицу уравненных отметок:

КР =

0,000 271 0,000 168 0,000 187 0,000 205 0,000 177 0,000 196

0,000 168 0,000 271 0,000 252 0,000 233 0,000 262 0,000 243

0,000 187 0,000 252 0,000 427 0,000 308 0,000 339 0,000 367

0,000 205 0,000 233 0,000 308 0,000 383 0,000 271 0,000 346

0,000 177 0,000 262 0,000 339 0,000 271 0,000 520 0,000 305

0,000 196 0,000 243 0,000 367 0,000 346 0,000 305 0,000 576

На основании этой матрицы по формуле (24) определим среднеквадрати-ческие ошибки уравненных отметок:

т^ =70,000 271 = 1,65 см; т% = >/0,000 271 = 1,65 см; тх = ^0,000 427 = 2,07 см; т% = ^0,000 383 = 1,96 см; тх = ^0,000 520 = 2,28 см; тх = л/0,000 576 = 2,40 см.

5 6

Необходимо отметить, что непосредственное решение условных уравнений связи по методу псевдонормального решения на основании рекурсивного алгоритма имеет очевидное преимущество перед классическим методом наименьших квадратов. Это выражается в том, что в предложенном методе отпадает необходимость составления и решения нормальных уравнений коррелат, также для оценки точности результатов уравнивания получены простые формулы, которые упрощают задачу оценки точности. Необходимо отметить также, что предложенный метод решает задачу уравнивания и оценки точности как свободных, так и несвободных геодезических сетей.

В заключение стоит отметить, что аналогичным образом по предложенному алгоритму выполняется уравнивание и оценка точности плановых и пространственных геодезических сетей. Отличие заключается только в разнице вычисления коэффициентов условных уравнений связи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения : монография. -Новосибирск : СГГА, 2010. - 135 с.

2. Барлиани А. Г. Методы обработки и анализа пространственных и временных данных: монография. - Новосибирск : СГГА, 2016. - 188 с.

3. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Новый этап развития геодезии - переход к изучению деформаций блоков земной коры в районах освоения угольных месторождений // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23) - С. 3-9.

4. Карпик А. П. Разработка методики качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 137-142.

5. Маркузе Ю. И., Голубев В. В. Теория математической обработки геодезических измерений : учеб. пособие для вузов / под общ. ред. Ю. И. Маркузе. - М. : Академический Проект: Альма Матер, 2010. - 247 с.

6. Машимов М. М. Уравнивание геодезических сетей : учеб. пособие для вузов. - М. : Недра, 1979. - 367 с.

7. Папазов М. Г., Могильный С. Г. Теория ошибок и способ наименьших квадратов. -М. : Недра, 1968. - 302 с.

8. Эльясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений. - М. : Наука, 1976. - 416 с.

9. Барлиани А. Г. Метод Гревилля при уравнивании геодезических сетей // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 271-273.

10. Падве В. А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК-оптимизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2011. - № 2. -С.34-42.

11. Albert A., Sittler R. Conditions for positive nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses // SIAM J. Appl. Math. - 1969. - 17. - Р. 434-440.

12. Ben-Israel A., Wersan S. J. An elimination method for computing the generalized inverse for arbitrary complex matrix // J. Assoc. Comput. Mach. - 1963. - 10. - Р. 532-537.

13. Boullion T., Odell P. Theory and Application of Generalized Inverse // Proceedings of symposium. - Texas Technological College, March 1968.

14. Boullion T., Odell P. Generalized Inverse. Matrices Wiley-Intersience. - New York, Calcutta, 1971.

15. Greville T. N. E. The pseudoinverse of a rectangular matrix // SIAM Review. - 1959. -1. - 38-43.

16. Penrose R. A. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1955. -51. - 406-413.

Получено 17.10.2016

© Г. Г. Асташенков, А. Г. Барлиани, В. Г. Колмогоров, 2016

CORRELATED VERSION OF ACCURACY ASSESSMENT EQUALIZATION OF GEODETIC NETWORKS WITH EQUAL OBSERVATIONS BY MEANS OF PSEUDOOPTIMISATION

Gennadiy G. Astashenkov

Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering, 630008, Russia, Novosibirsk, 113 Leningradskaya St., D. Sc., Professor, Department of Engineering Geodesy, tel. (383)266-46-48, e-mail: [email protected] [email protected]

Amridon G. Barliani

Siberian State University Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (983)319-99-31, e-mail: [email protected]

Vyacheslav G. Kolmogorov

Siberian State University Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., D. Sc., Professor, Department of Department of Geomatics and Property & Infrastructure, tel. (383)361-07-09, e-mail: [email protected]

In geodetic practice there are many tasks for which it is not necessary to bind to initial solid points, for example, when creating geodetic control with setting out engineering constructions, when observing deformations of engineering constructions and so on. Moreover, in equalizing geodetic networks (especially large) the coefficients of conditional equations are calculated approximately, that can lead to ill conditioning or even singularity of normal system equations. In singularity of normal equation systems the equalizing task by means of least squares does not have a solution. And in improperly stipulated matrix of normal equations' coefficients, the equalization results by means of least squares will probably have strong distortion. That's why this article offers a new approach, based on pseudo-normal optimization method, which successfully solves the tasks mentioned above as opposed to least squares method.

Key words: correlated version, pseudo optimization, pseudo solution, equalization, leveling network, pseudo inverse matrix, recursive algorithm.

REFERENCES

1. Barliani, A. G. (2010). Razrabotka algoritmov uravnivaniya i otsenki tochnosti svobodnykh i nesvobodnykh geodezicheskikh setey na osnove psevdonormalnogo resheniya [Development equalization algorithms and the accuracy of its assessment, the free and non-free geodetic networks based on solutionspseudonormal decision]. Novosibirsk: SSGA [in Russian].

2. Barliani, A. G. (2016). Metody obrabotki i analiza prostranstvennykh i vremnnykh dannykh [Methods of processing and analysis of spatial and temporal data]. Novosibirsk: SSUGT [in Russian].

3. Karpik, A. P., Kalenitsky, A. I., & Solovitsky, A. N. (2013). New stage of development of geodesy - the transition to the study of the deformation of crustal blocks in the areas of development of coal deposits. VestnikSGGA [VestnikSSGA], 3(23), 3-9 [in Russian].

4. Karpik, A. P. (2013). Development of the method of qualitative and quantitative assessment of the inventory information. Izvestia vusov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya Vuzov. Geodesy andAerophotography], 4, 137-142 [in Russian].

5. Marcuse, Y. I., & Golubev, V. V. (2010). Teoriya matematicheskoy obrabotki geodezicheskikh izmereniy [The theory of mathematical processing of geodetic measurements]. Moscow: Academic Project: Alma Mater [in Russian].

6. Mashimov, M. M. (1979). Uravnivanie geodezichescikh cetey [Adjustment geodetic networks]. Moscow: Nedra [in Russian].

7. Papazov, M. G., & Grave, S. G. Teoriya oshibok i sposob naimenshikh kvadratov [Theory of errors and the method of least squares]. Moscow: Nedra [in Russian].

8. Elyasberg, P. E. Opredelenie dvizheniya po rezultatam izmereniy [Motion determined by the results of measurements]. Moscow: Nauka [in Russian].

9. Barliani, A. G. (2008). Greville's method in the adjustment of geodetic networks. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2008: T. 1, ch. 1 [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2008: Vol. 1, Part 1] (pp. 271-273). Novosibirsk: SSGA [in Russian].

10. Padve, V. A. (2011) Potential universal synthesized OLS algorithm optimization of geodetic data. Izvestia vusov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya Vuzov. Geodesy and Aerophotography], 2, 34-42 [in Russian].

11. Albert, A., & Sittler, R. (1969). Conditions for positive nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses. SIAM J. Appl. Math., 17, 434-440.

12. Ben-Israel, A., & Wersan, S. J. (1963). An elimination method for computing the generalized inverse for arbitrary complex matrix. J. Assoc. Comput. Mach., 10, 532-537.

13. Boullion, T., & Odell, P. (March, 1968). Theory and Application of Generalized Inverse. In Proceedings of symposium at Texas Technological College.

14. Boullion, T., & Odell, P. (1971). Generalized Inverse. Matrices Wiley-Intersience. New York: Calcutta.

15. Greville, T. N. E. (1959). The pseudoinverse of a rectangular matrix. SIAM Review, 1, 38-43.

16. Penrose, R. A. (1955). A generalized inverse for matrices. Proc. Cambridge Phil. Soc., 51, 406-413.

Received 17.10.2016

© G. G. Astashenkov, A. G. Barliani, V. G. Kolmogorov, 2016