Коррелатная версия уравнивания и оценка точности геодезических сетей на основе итерационного алгоритма Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 528. 15: 528. 087

КОРРЕЛАТНАЯ ВЕРСИЯ УРАВНИВАНИЯ И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ НА ОСНОВЕ ИТЕРАЦИОННОГО АЛГОРИТМА

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31

Михаил Викторович Ковальчук

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, магистрант, ИГиМ, тел. (952)915-26-05

Денис Александрович Пятков

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, магистрант, ИГиМ, тел. (952)925-66-27

В статье предлагается корреляционная версия уравнивания и оценки точности геодезических сетей на основе итерационного алгоритма псевдообращения матриц.

Ключевые слова: нивелирная сеть, псевдообратная матрица, свободные и несвободные геодезические сети, итерационный алгоритм.

CORRELATED ADJUSTMENT AND NETWORK ACCURACY EVALUATION ON THE BASIS OF ITERATIVE ALGORITHM

Amridon G. Barliani

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St, Ph.D., Assoc Prof., Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (983)319-99-31

Mikhail V. Kovalchuk

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St, Postgraduate student, tel. (952)915-26-05

Denis A. Pyatkov

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St, Ph.D., Post-graduate student, tel. (952)925-66-27

Correlated version of network adjustment and its accuracy evaluation on the basis of iterative algorithm of pseudoinverse matrix are offered.

Key words: leveling network, pseudoinverse matrix, free- and non-free networks, iterative algorithm.

Известно, что уравнивание и оценка точности свободных и несвободных геодезических сетей по методу наименьших квадратов успешно выполняется коррелатным способом. Но при этом становится сложной и громоздкой процедура оценки точности результатов уравнивания из-за сложных формул

оценки точности. Ниже на основании псевдонормального решения предлагается иная коррелатная версия уравнивания таких сетей.

Для удобства дальнейшего изложения необходимо записать матричную систему условных уравнений связи:

БУ= 0.

(1)

Тога псевдонормальному решению системы условных уравнений связи (1) будет соответствовать выражение [2]:

V =-в

(2)

В выражениях (2) (3) матрица В+ псевдообратная матрица к исходной матрице условных уравнений связи Б, она должна удовлетворять всем известным условиям [1, 3].

Поскольку выражение (2) имеет простую структуру, поэтому можно предложить удобную формулу для вычисления поправок к измеренным величинам. Она будет иметь вид:

1

(3)

где

Ъ+ - 1-ая

I

строка псевдообратной матрицы В"1

Ъ+Ш 1

2

- квадрат

евклидовой нормы.

Необходимо отметить, что при оценке точности результатов уравнивания нет необходимости в вычислении полной ковариационной матрицы (3.35), а ограничиваются определением среднеквадратических ошибок уравненных измерений. Для любых уравненных результатов измерений среднюю квадратическую ошибку можно получить по формуле:

тУ = ц

У,

1 -

ъ+ъ 1 ]

(4)

В данном случае I = ].

В выражении (4) ц- среднеквадратическая ошибка единицы веса, определяемая по формуле:

ц=

V1V

п - к

(5)

Для того чтобы получить псевдонормальное решение по формуле (2)

необходимо знать псевдообратную матрицу условных уравнений связи Б+. Известно, что прямоугольная матрица уравнений связи В размеров г х п состоит из линейно независимых строк. Тогда на основании характеристического многочлена матрицы и присоединенной матрицы

2

2

можно предложить итерационный алгоритм получения псевдообратной матрицы [3]:

В = ВВТ,

=1гв1, С=В - V; 1

В = ВС , Я = - ¡тВ, С = В - ЯI;

2 11' 2 2 2 2 2'

в = ВС , Я = - ¡В, С = В - ;

3 1 2' 3 3 3' 3 3 3 '

В = ВС 15 Я =1 ¡тВ , С = В -Б1.

т 1 т -1 т 2 т т т т

(6)

В данном случае т - ранг матрицы условных уравнений связи В. Совершенно очевидно, что в этих условиях С 1 будет являться

присоединенной матрицей для матрицы В, а Я - определителем матрицы В

. Поэтому, можно записать выражения для вычисления псевдообратной матрицы, а именно:

В+ = ВТ—С Я

т -1'

(7)

В качестве примера уравнивания и оценки точности возьмем свободную нивелирную сеть с равноточно измеренными превышениями. Схема нивелирной сети представлена на рис. 1. На рисунке измеренные превышения выписаны напротив каждого нивелирного хода.

Рис. 1. Свободная нивелирная сеть

т

Пусть высота репера = 100,234 м, и она временно фиксирована.

В данной сети число измеренных превышении п = 6, а число необходимых к = 3. Следовательно, число избыточных измерений г = п—к = 3. Таким образом, число независимых условных уравнений связи будет равняться трем.

Данную систему уравнений связи можно переписать в форме условных уравнений поправок:

V — V + V + ж = 0 14 5 1

V — V + V + Ж = 0

2 5 6 2

V + V — V + Ж = 0

3 4 6 3

Здесь

Ж = У —

У — У4 + У5

Ж = У г, —

= 0,036 м = 3,8 см = —0,046 м = —4,6 см

У2 — У5 + Уб

Ж = У4 — У3 — У6 = 0,074 м = 7,4 см

по сути невязки условных уравнений поправок.

Следовательно, матрица коэффициентов условных уравнений поправок В равна:

В =

10 0 —1 1 0 0 1 0 0 —1 1 0 0 —1 1 0 —1

(8)

а вектор-столбец невязок:

Жт = |0,038 — 0,046 0,074 • (9)

Чтобы найти псевдообратную матрицу В+ по формулам (4) нужно построить цепочки матриц:

3 —1 —1 — 6 -1 —1 — 16 4 4

В = ВВТ = 1 —1 3 —1 , ^ = 1гВх = 9, С = — 1 — 6 —1 ; в = ' 2 4 — 16 4

—1 —1 3 -1 —1 —6 4 4 — 16

^ = —24, С =

2 ' 2

8 4 4 16 0 0 0 0 0

4 8 4 ; в = ' 3 0 16 0 , ^3 = 16, С = ' 3 0 0 0

4 4 8 0 0 16 0 0 0

Так как С = 0, то по формуле (5) можно найти псевдообратную

матрицу:

Вн

0,50 0,25 - 0,25 - 0,25 - 0,25 0,00 0,25 0,50 - 0,25 0,00 - 0,25 0,25 0,25 0,25 - 0,50 - 0,50 0,00 - 0,25

На основании формулы (3) рассчитаем элементы вектора поправок к измеренным превышениям:

Ут = |-0,026 -0,005 0-035 -0,009 -0,021 0,030|.

Для оценки точности найдем среднеквадратическую ошибку единицы веса по следующей формуле (5):

33,48 / = у—^— = 3,34 см.

Далее по данному алгоритму вычисляются уравненные превышения и их среднеквадратические ошибки, которые сведены в табл. 1.

т

Таблица 1

Уравненные превышения и их среднеквадратические ошибки

Номера превыше ний Измеренные превышения (м) У Поправки к измеренным превышениям (м) Уравненные превышения (м) У Среднеквадратические ошибки уравненных превышений (см) т~ У

1 9,868 -0,026 9,842 2,36

2 10,345 -0,005 10,340 2,36

3 20,147 0,035 20,182 2,36

4 56,559 -0,009 56,550 2,36

5 46,729 -0,021 46,708 2,36

6 36,338 0,030 36,368 2,36

Тот факт, что среднеквадратические ошибки уравненных превышений одинаковы, показывает равноточность измеренных параметров и симметричность уравниваемой свободной нивелирной сети.

Аналогичным образом выполняется уравнивание и оценка точности несвободных высотных и плановых геодезических сетей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск: СГГА, 2008. Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.

2. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения: монография. -Новосибирск: СГГА, 2010. - 135 с.

3. Барлиани А. Г. Корреляционная версия уравнивания и оценки точности геодезических сетей по методу псевдонормального решения уравнений // ГЕО-Сибирь-2010. VI Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2010 г.). - Новосибирск: СГГА, 2010. Т. 1, ч. 1. - С. 202-206.

4. Падве В. А. Потенциал универсального синтезированного алгоритма МНК-оптимизации геодезических данных // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2012. -№ 4. - С. 34-42.

5. Падве В. А., Мурзинцев П. П. Нормальные случайные погрешности измерений в геодезических сетях и их МНК - оценка // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23). - С. 1016.

6. Падве В. А., Мурзинцев П. П. Две теоремы об отношении дисперсий уравненных измерений, дисперсий МНК - поправок и дисперсий исходных измерений // Вестник СГГА. - 2011. - Вып. 1 (14). - С. 17-20.

7. Результаты применения гравиметрии и высокоточного нивелирования при локализации участков повышенного геодинамического риска на месторождениях углеводородов / А. И. Каленицкий, Э. Л. Ким, М. Д. Козориз, В. А. Середович // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 1 (20). - С. 10-16.

8. Падве В.А. Универсальный синтезированный алгоритм МНК-оптимизации и вычислениях псевдообратных матриц // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10—20 апреля 2012 г.). — Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. — С. 95-100.

9. Балиани А.Г., Егорова С.А. Исследование рекурсионного алгоритма псевдообращения на возмущение исходных данных // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10—20 апреля 2012 г.).

— Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. — С. 90-94.

10. Балиани А.Г., Егорова С.А. Единый рекурсионный алгоритм уравнивания и оценки точности геодезических наблюдений // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10—20 апреля 2012 г.).

— Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 1. — С. 85-89.

© А. Г. Барлиани, М. В. Ковальчук, Д. А. Пятков, 2014