Оценка неравноточно измеренных пространственных данных, полученных методом псевдонормальной оптимизации, и их свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528. 15: 528. 087

ОЦЕНКА НЕРАВНОТОЧНО ИЗМЕРЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДОМ ПСЕВДОНОРМАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ, И ИХ СВОЙСТВА

Амридон Гемзаевич Барлиани

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31

Ираида Яковлевна Барлиани

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры управления и предпринимательства, тел. (983)319-99-31

В статье рассматривается оценка неравноточно измеренных пространственных геодезических данных, полученных методом псевдонормальной оптимизации, и их свойства для коррелатной версии уравнивания. Псевдонормальная оптимизация кардинально отличается от традиционного способа оптимизации по методу наименьших квадратов, так как метод наименьших квадратов приводит к сложным и громоздким процедурам оценки точности результатов обработки геодезических построений из-за сложных формул оценки точности. Заметим, что непосредственное решение условных уравнений связи по методу псевдонормального решения имеет очевидное преимущество перед классическим методом наименьших квадратов. Это выражается в том, что в предложенном методе отпадает необходимость составления и решения нормальных уравнений коррелат. Доказано, что оценки, полученные по методу псевдонормальной оптимизации, являются несмещенными и эффективными оценками. Предлагаемый алгоритм обработки пространственных данных реализован на примере комбинированной геодезической сети.

Ключевые слова: оценка точности, псевдооптимизация, псевдообратная матрица, симметричная матрица, идемпотентная матрица, эффективная оценка, несмещенная оценка, весовая матрица, ковариационная матрица, условные уравнения, геодезический четырехугольник.

Известно, что уравнивание и оценка точности свободных и несвободных геодезических сетей по методу наименьших квадратов успешно выполняется коррелатным способом. Но при этом становится сложной и громоздкой процедура оценки точности результатов уравнивания из-за сложных формул оценки точности. Ниже на основании псевдонормального решения предлагается иная коррелатная версия уравнивания таких сетей.

Для удобства дальнейшего изложения запишем матричную систему линейных условных уравнений

БУ + ю = 0. (1)

Рассмотрим уравнивание свободной и несвободной геодезической сети с неравноточно измеренными величинами. В этих условиях, псевдонормальному

решению системы условных уравнений связи (1) будет соответствовать выражение

1

V = -Р~ 2 В +ш, (2)

1

где В + - псевдообратная матрица к матрице В = В • Р 2 ;

Р - весовая матрица результатов измерений.

Уравненный вектор для неравноточно измеренных величин получим по формуле

1

у = у + V = у-Р2 • В + •ш. (3)

Так осуществляется уравнивание геодезических сетей методом псевдонормальной оптимизации коррелатным способом.

Для оценки точности уравненного вектора результатов измерений к выражению (3) применим теорему Фишера и после несложных преобразований запишем ковариационную матрицу

К~ =ц2(Р-1 -Р 2В + ВР 2). (4)

Необходимо заметить, что при оценке точности результатов уравнивания, как правило, нет необходимости в вычислении полной ковариационной матрицы (4), а нужно оценить точность только каждого параметра. Для этого на основании выражения (4) можно получить простую формулу, позволяющую вычислить среднеквадратическую ошибку любого параметра. Она имеет вид [3]

ту, = ^

1/

г ь +ь 1 1

Р-1.

(5)

Далее необходимо доказать, что оценки, полученные на основе метода псевдонормальной оптимизации в коррелатной версии, являются несмещенными и эффективными.

Теорема. Оценка (3), полученная методом псевдонормальной оптимизации, является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Для этого рассмотрим любую другую линейную несмещенную оценку для вектора ~ . С этой целью без ограничения общности такую оценку можно представить в виде

у = (1-Р 2 В+В + ЕВ)у + Р 2 В+ВУ.

Здесь Е - некоторая п х г-мерная матрица.

Так как составляющие вектора У являются постоянными величинами, на основании теоремы Фишера получим ковариационную матрицу для вектора у

Ky = (I — P 2 B + B + EB)Ky (I — P 2 B + B + EB)T. 2 —1

Учитывая, что Ky = ц P , после несложных преобразований получим

Ky = \i2(P—1 — P 2B + BP-1 + EBP—1)(I — P 2B +B + EB)T. (6)

Для удобства дальнейших выводов введем следующие обозначения:

1

D1 = (P—1 — P 2 B + BP—1 + EBP—1);

D2 = (I — BTB +TP 2 + BTET).

С учетом введенных обозначений предварительно найдем произведение двух матриц

1 1

D1 • D2 = (P—11— P 2 B+BP—1 + EBP—1)(I — BTB +TP 2 + BTET ) =

1 1 = P—1 — P—1BTB +TP 2 + P—1BTET — P 2B + BP—1 + 1 1 1 +P 2B +BP—1BTB +TP 2 — P 2B+ BP—1BTET + EBP—1 — 1

—EBP—1BTB +TP 2 + EBP—1BTET.

1 1

1 t T__T

Учитывая, что BP— B = BP 2P 2B = BB и тот факт, что B B = BB" , после преобразований получим

D1 • D2 = P—1 — P 2 B + BP 2 + EBP—1BT ET . С учетом этого ковариационную матрицу (6) перепишем так:

1

1

1

1

1

1

1

Ky = ^2(P-1 -P 2B + BP 2 + EBP-1BTET). Учитывая выражение (4), получим

Ky = K~ + ц2EBP-1BTET . (7)

Так как симметричная матрица EBP 1BTET неотрицательно определена, то можно записать

Ky > K~. (8)

Строгое равенство в выражении (7) выполняется только тогда, когда

EBP 1BTET равняется нулю. А это будет выполняться при условии E = 0.

Отсюда следует доказательство теоремы. Действительно, i-й диагональный элемент ковариационной матрицы Ky равен дисперсии i-й компоненты вектора

y . Поэтому из (8) следует неравенство для дисперсий оценок параметров уравненного вектора результатов измерений

2.2 о Л > о ~

yi - уГ (9)

что и требовалось доказать.

Точно таким же образом можно доказать несмещенность и эффективность оценки вектора поправок V к измеренным величинам.

Найдем несмещенную оценку ц2 для генеральной дисперсии единицы ве-

са а 2 . Для этого рассмотрим вектор остатков

V = -P 2 B+ю. (10)

1

1

1

Известно, что вектор невязок ш является вектором истинных ошибок функций. Поэтому его можно записать как линейную комбинацию от истинных случайных ошибок наблюдений, так как измерения выполнены неравноточно, следовательно эту зависимость можно записать следующим образом:

1 1 1 ш = ш(е) = -ВР 2 (У-у) = ВР 2 (у-У) = ВР 2 е = Вг.

С учетом этого выражение (10) можно записать

1 1 1

V = -Р 2 Б+ю = -Р 2 В+В в, и Ут = -вТВТВ + ТР 2

Тогда можно записать, что

1 1

гТ рт/\- Л/ЛТ_еТд"Т д" + ТР 2\р/_р 2 о" + о",

M(VT PV) = M[(-sTBT B + TP 2)P(-P 2B +B s)]

1 1

= M[sTBTB + TP 2PP 2B + B s].

1 1

Так как матрица P 2 PP 2 равна единичной матрице, получим

M(VTPV) = M[sTBT B + TB +B s].

Известно, что BT B + T = B + B , и тот факт, что B + BB + B = B + B , поэтому последнее выражение можно переписать так

M(VTPV) = M[sTB + B s].

Введем обозначение C = B+B . Очевидно, что матрица C является симметричной, поэтому недиагональные элементы, расположенные в матрице симметрично, равны друг другу.

Исходя из симметричности и идемпотентности матрицы C, следует

M (VTPV ) =ic,s2 +^Сг] ss j,

i=1 i * j

где i, j = 1, 2, ..., n; C и Ci]- - диагональные и недиагональные элементы матрицы C соответственно.

Принимая во внимание, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий и что элементы матрицы C являются неслучайными величинами, получим

M(VTPV) = X CM(s2) + X C.M(sis]). (11)

i = 1 i * j

2 2

Учитывая, что M (8 О = а и М(8.8 .) = 0, выражение (11) перепишем в

виде

п

М(УТРУ) = а2 2 Си = а21гС, (12)

I = 1

где №С - след матрицы С.

Известно, что след любой квадратной матрицы равен сумме ее диагональных элементов. Чтобы найти след матрицы С в выражении (12), вместо матрицы С подставим ее значение

М (8ТС8) = а 2^С = а 2*г (В + В). (13)

Так как матрица В + В является идемпотентной, след этой матрицы равен ее рангу. Используя свойства ранга произведения матриц, можем записать

гк (В + В) = шш[ гк (В +), гк (В)]. (14)

Известно, что

гк (В +) = гк (В) = г = п-к, поэтому можно записать

К (В + В) = г = п-к. (15)

Следовательно, окончательно можно получить

М(УТРУ) = а21г(К(В + В)) = а2(п - к).

Из этого следует, что

ц 2 = а2 = утруп-к, (16)

является несмещенной оценкой дисперсии ошибок а2, т. е. ) = а .

Таким образом, оценки, полученные методом псевдонормальной оптимизации, являются несмещенными и эффективными (в смысле наименьшей дисперсии) оценками.

Рассмотрим пример уравнивания и оценки точности геодезического четырехугольника, в котором измерены направления на всех пунктах и все стороны (рисунок).

С

У12

В

У9 У8 . 5,

54

В

51

А

52

Геодезический четырехугольник с измеренными направлениями и сторонами

Среднеквадратические ошибки измеренных горизонтальных направлений и сторон равны соответственно

тт

1,41"; т = 7 мм.

При уравнивании линейно-угловых сетей веса измеренных направлений принимаются равными единице, то есть Рнап = 1, а веса измеренных сторон определяются по формуле

Ps = т2 /т2 = 1,988 1/49 = 0,041

ь нап/ 5 '

Приступим к уравниванию и оценке точности геодезического четырехугольника, в котором измерены 12 направлений и 6 сторон (см. рисунок).

На первом этапе определим общее число условных уравнений, для этого воспользуемся формулой

гнап = В + 3п + 3,

где В число всех измеренных направлений; 5 число измеренных сторон; п число пунктов в построении.

Число условных уравнений фигур определим по формуле

/ = Ы-Р-д +1,

где N - число углов на пунктах, образованных измеренными направлениями;

P - число сторон, составляющих построение; q - число условий горизонта. В этих условиях:

гнап = 12 + 6-12 + 3 = 9; f = 8-6-0 +1 = 3.

Таким образом, при уравнивании четырехугольника (см. рисунок) возникает девять условий, из которых три условия фигур и шесть условий длин сторон. Применительно к рисунку условные уравнения фигур имеют вид:

1) -Vy + Vy -Vy + Vy -Vy + Vy +©! = 0;

1 3 5 6 10 11

2) -Vy + Vy -Vy + Vy -Vy + Vy +Ю2 = 0;

1 2 4 6 8 9

3) -Vy + Vy -Vy + Vy -Vy1 + Vy +®3 = 0.

4 5 7 9 12

При последовательности нумерации сторон, отраженной на рисунке, условные уравнения для измеренных длин сторон составляются в схематичной последовательности, исключающей включения зависимых условий:

s s s

4) —2соб(у6 - Уз) УУ5 с°8(У6 - УЗ) Уу6 с°8(уи - ую) + р 5 р 6 р 10

s

+ -Р-со8(Уп - Уш) ^ + 8ш(уп - У10) ^ - 8ш(у6 - Уз) + ю4;

s s s

5) —2с°8(У3 - У1) К + -^с°8(У3 - У1) + -^с°8(Уп - Уш) У -

р 1 р 3 р 10

-^3со8(У11 - У10) ^ + 8Ь(У3 - У1) - 81п(У11 - У10) ^ + ®з;

s s s

6) ^с°8(У9 - У7) ^--4со8(У9 - У7) --3со8(У12 - У11) ^ +

р 7 р 9 р 11

+ ^с°8(У12 - У11) Ут + 8т(У12 - У11) К3 - 81п(У9 - У7) + ®6;

s s s

7) —^со8(УЗ - У4) К + -^со8(УЗ - У4) V + -^с°8(уХ1 - уп) V -

р 4 р 5 р 11

s

--5со8(У12-У11) ^ + 81п( УЗ - У4) К4 -81п(У12-Ун) К5

5 5 5

8) -6С08(У3 - У2) уу2--~С08(У3 - У2) Уу3--1С08(уХ1 - Уш) У +

Р 2 р 3 р 10

+ -^С°8(У12 - УШ) УЛ2 + 8Ь(У12 - У10) У55 - 81п(У3 - У2) У56 + ®8;

55

56

5 5 5

9)--— С°8(У8 - У7) Уу_ + "6с°8(У8 - У7) у + -^С°8(Уп - УШ) У

Р 7 р 8 р

У10

5

-Р"С08(У12 - У10) Уу12 - 81П(У12 - У10) Уч + 8ЧУ8 - У7) У56 + Ю9.

Вектор-столбец невязок условных уравнений можно вычислить

Чл

ш =

ш.

ш,

ш,

ш-

ш

Чш9 у

' (У3- У1) + (У—- У5) + (У11- Ую)-180°л

(У6 - У4) + (У9 - У8) + (У2 - У1) -180°

(У5 - У4) + (У9 - У7) + (У12 - У11) -180° 5181П(У11 - У10) - 52 8т(У6 - У5)

52 8*п(У3 - У1) - 53 8*п(Уп - У10)

53 8*п(У12 - У11) - 54 8*п(У9 - У7)

54 81п(У5 - У4) - 55 81п(У12 - У11)

55 8*п(У12 - У10) - 56 81п(У3 - У2)

56 8*п(У8 - У7) - 518*п(У12 - У10)

V

^-1,2" 3,2" 1,6" 1,4 мм -3,0 мм 14,6 мм 2, 3 мм 4, 5 мм V-17,7 мм

У

У

На основании этих формул и исходных данных была сформирована матрица коэффициентов условных уравнений, далее преобразованная матрица услов-

1

ных уравнений В = В • Р 2 . Для выполнения уравнивания и оценки точности по рекурсивному алгоритму вычислим псевдообратную матрицу к преобразованной матрице условных уравнений. Она равна

В+

V

-0,1615 -0,1726 0,0725 -0,1071 -0,0986 -0,0528 -0,0272 -0,0230 -0,0557

-0,0250 0,2469 -0,1787 0,1316 0,1036 0,0735 0,0734 0,0909 0,0932

0,1865 -0,0744 0,1063 -0,0245 -0,0050 -0,0206 -0,0461 -0,0680 -0,0375

-0,0948 -0,0500 -0,1551 -0,0469 -0,0478 -0,0608 -0,1030 -0,0530 -0,0192

-0,1591 0,0506 0,0840 0,0506 0,0102 -0,0004 -0,0074 -0,0145 0,0113

0,1138 0,1023 0,0331 -0,0734 -0,0396 -0,0181 -0,0226 -0,0114 -0,0241

-0,1337 0,1016 -0,2001 -0,0447 -0,0287 0,0022 -0,0218 -0,0400 -0,0592

0,2395 -0,2649 0,0685 0,1285 0,1196 0,0834 0,1014 0,0977 0,1016

-0,1057 0,1633 0,1316 -0,0838 -0,0909 -0,0856 -0,0796 -0,0577 -0,0423

-0,2648 0,1540 -0,1545 -0,0081 0,0278 0,0005 -0,0101 -0,0210 0,0043

0,1143 0,0042 -0,1374 0,0332 -0,0160 -0,0140 0,0240 0,02090 0,0216

0,1505 -0,1582 0,2919 -0,0252 -0,0118 0,0135 -0,0138 0,0001 -0,0259

0,1620 -0,0874 0,0686 0,1768 0,1241 0,0562 0,0429 0,0311 -0,0404

0,1681 -0,1338 0,0784 -0,0531 0,1069 0,0485 0,0509 0,0378 -0,0184

0,0276 -0,0936 0,1057 -0,0983 -0,1077 0,0822 0,0514 0,0256 -0,0367

0,0294 -0,1506 0,1251 -0,1034 -0,0913 -0,1084 0,0579 0,0254 -0,0532

0,0570 -0,0638 0,0851 -0,0482 -0,0507 -0,0629 -0,1208 0,0474 -0,0238

-0,2654 0,3492 -0,3112 0,1021 0,0505 -0,0014 -0,0641 -0,1063 0,1177

у

По формулам (10) и (3) рассчитывается вектор поправок к измеренным направлениям и сторон, а также вектор уравненных значений этих величин.

Чтобы произвести оценку точности, необходимо вычислить среднеквадра-тическую ошибку единицы веса, воспользовавшись следующей формулой:

\УТРУ

г

= 1,28 ''/мм.

Для оценки точности по формуле (5) определим средние квадратические ошибки уравненных отметок.

Результаты уравнивания и оценки точности горизонтальных направлений и сторон сведены в таблицу.

Итоговая таблица результатов уравнивания и оценки точности горизонтальных направлений и сторон

Направления Измеренные Веса Поправки из Уравненные Среднеквад-

и стороны значения измеренных уравнивания значения ратические

направлении величин направлений ошибки

и сторон и сторон

1 00°00'00,0" 1 0,07'' 00°00'00,00'' 1,02''

2 49°18'22,8" 1 -0,32'' 49°18'22,41'' 0,88''

3 83°34'51,9" 1 0,25'' 83°34'52,08'' 1,01''

4 00°00'00,0" 1 1,05'' 00°00'00,00'' 1,03''

5 46°13'33,6" 1 -0,61'' 46°13'32,94'' 0,99''

6 99°47'15,9" 1 -0,44'' 99°47'14,41'' 1,07''

Направления Измеренные Веса Поправки из Уравненные Среднеквад-

и стороны значения измеренных уравнивания значения ратические

направлений величин направлений ошибки

и сторон и сторон

7 00°00'00,0" 1 -1,13" 00°00'00,00" 1,00''

8 35°17'16,5" 1 1,23" 35°17'18,86" 0,84''

9 66°1Г41,0" 1 -0,10" 66°11'42,03" 0,97''

10 00°00'00,0" 1 -0,24'' 00°00'00,0" 1,05''

11 42°51'24,6" 1 0,60'' 42°51'25,44" 1,00''

12 110°26'11,6" 1 -0,36'' 110°26'11,48" 1,06''

S1 486,316 0,041 -0,0058 486,3102 3,08 мм

S2 411,158 0,041 -0,0022 411,1558 3,09 мм

S3 600,709 0,041 -0,0102 600,6988 3,24 мм

S4 606,923 0,041 0,0032 606,9262 3,50 мм

S5 474,076 0,041 0,0022 474,0782 3,33 мм

S6 788,819 0,041 0,0087 788,8277 3,79 мм

Необходимо отметить, что непосредственное решение условных уравнений связи по методу псевдонормального решения на основании рекурсивного алгоритма имеет очевидное преимущество перед классическим методом наименьших квадратов. Это выражается в том, что в предложенном методе отпадает необходимость составления и решения нормальных уравнений коррелат. Также для оценки точности результатов уравнивания получены простые формулы, которые упрощают решение этой задачи. Необходимо отметить также, что предложенный метод решает задачу уравнивания и оценки точности как свободных, так и несвободных геодезических сетей с неравноточно измеренными величинами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барлиани А. Г. Методы обработки и анализа пространственных и временных данных : монография. - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. - 176 с.

2. Albert A., Sittler R. Conditions for positive nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses // SIAM J. Appl. Math. - 1969. - Vol. 17. - P. 434-440.

3. Ben-Israel A., Wersan S. J. An elimination method for computing the generalized inverse for arbitrary complex matrix // J. Assoc. Comput. Mach. - 1963. - Vol. 10. - P. 532-537.

4. Boullion T., Odell P. Theory and Application of Generalized Inverse // Proceedings of symposium at Texas Technological College. - March 1968.

5. Boullion T., Odell P. Generalized Inverse. - New York, Calcutta : Matrices Wiley-Intersience, 1971.

6. Greville T. N. E. The pseudoinverse of a rectangular matrix // SIAM Review. - 1959. -Vol. 1. - P. 38-43.

7. Penrose R. A. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. - 1955. -Vol. 51. - P. 406-413.

8. Барлиани А. Г. Свойства оценок равноточно измеренных величин, полученных методом псевдонормальной оптимизации коррелатным способом // Вестник СГУГиТ. - 2017. -Т. 22, № 1. - С. 50-57.

9. Асташенков Г. А., Колмогоров В. Г., Барлиани А. Г. Коррелатная версия уравнивания и оценки точности геодезических сетей с равноточно измеренными величинами методом псевдооптимизации // Вестник СГУГиТ.- 2016. - Вып. 4 (36). - С. 50-65.

Получено 23.09.2017

© А. Г. Барлиани, И. Я. Барлиани, 2017

EVALUATION OF INQUISIALLY MEASURED SPATIAL DATA AND THEIR PROPERTIES OBTAINED BY THE METHOD OF PSEUDOONORMAL OPTIMIZATION (CORRELATED VERSION)

Amridon G. Barliani

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Applied Informatics and Information Systems, phone: (983)319-99-31

Iraida Ya. Barliani

Siberian State University of Geosy stems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Management and Entrepreneurship, phone: (983)319-99-31

The article considers the estimation of non-equal-measured spatial geodetic data obtained by the pseudonormal optimization method and their properties for the correlative version of the adjustment. Pseudonormal optimization is fundamentally different from the traditional method of least-squares optimization, since the least-squares method leads to complex and cumbersome procedures for estimating the accuracy of the results of geodetic construction processing due to complex precision estimation formulas. We note that the direct solution of the conditional communication equations by the pseudonormal solution method has an obvious advantage over the classical method of least squares. This is expressed in the fact that the proposed method eliminates the need to compile and solve normal correlate equations. It is proved that the estimates obtained by the pseudonormal optimization method are unbiased and effective estimates. The proposed algorithm for processing spatial data is implemented using the example of a combined geodetic network.

Key words: accuracy estimation, pseudo-optimization, pseudo-inverse matrix, symmetric matrix, idempotent matrix, effective estimation, unbiased estimator, weight matrix, covariance matrix, conditional equations, geodesic quadrangle.

REFERENCES

1. Barliani, A. G., & Barliani, A. G. (2016). Methods of processing and analysis of spatial and temporal data [Metody obrabotki i analiza prostranstvennykh i vremennykh dannykh]. Novosibirsk: SSUGT [in Russian].

2. Albert, A., & Sittler, R. (1969). Conditions for positive nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses. SIAM J. Appl. Math., 17, 434-440.

3. Ben-Israel, A., & Wersan, S. J. (1963). An elimination method for computing the generalized inverse for arbitrary complex matrix. J. Assoc. Comput. Mach., 10, 532-537.

4. Boullion, T., & Odell, P. (1968). Theory and Application of Generalized Inverse. Proceedings of symposium at Texas Technological College.

5. Boullion, T., & Odell, P. (1971). Generalized Inverse. New York, Calcutta: Matrices Wiley-Intersience.

6. Greville, T. N. E. (1959). The pseudoinverse of a rectangular matrix. SIAM Review, 1, 38-43.

7. Penrose, R. A. (1955). A generalized inverse for matrices. Proc. Cambridge Phil. Soc., 51, 406-413.

8. Barliani, A. G. (2017). Properties of estimates of equicontinuously measured quantities obtained by pseudonormal optimization using the correlative method. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 1(33), 50-57 [in Russian].

9. Astashenkov, G. A., Kolmagorov, V. G., & Barliani, A. G. (2016). The Correlated version of the equalization and estimation of the accuracy of geodetic networks with equidistantly measured quantities by the pseudo-optimization method. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 4(36), 50-65 [in Russian].

Received 23.09.2017

© A. G. Barliani, I. Ya. Barliani, 2017