CC BY
18
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Чемерис О.А. Коректн'ють формулювання умови геометричноУ задач'1 у науков'ш дiяльностi студент'1в // ф!зыко-математична освта : науковий журнал. - 2017. - Випуск 2(12). - С. 161-164.
Chemerys Olga. Correctness Of Formulation Of Geometrical Problem Specification Is In Scientific Activity Of Students // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2017. - Issue 2(12). - Р. 161-164.
УДК 378.514
О.А. Чемерис
Житомирський державний унверситет '¡мен'! 1вана Франка, УкраУна
olgachemerys@i. ua
КОРЕКТН1СТЬ ФОРМУЛЮВАННЯ УМОВИ ГЕОМЕТРИЧНО1 ЗАДАЧ1 У НАУКОВ1Й Д1ЯЛЬНОСТ1 СТУДЕНТ1В
Анота^я. Стаття присвячена методичним особливостям науково-досл'дницько'У дЯльностi студент'в фiзико-математичного факультету при написання курсових та дипломних робiт з геометр) Наголошено на важливост'1 пошуковоУ д'1яльност'1, яка сприяе науковй творчост'1 та методичнй пiдготовцi майбутшх фахiвцiв. Велика увага придляеться принципу визначеност'1 у геометричних задачах, який е важливим критер>ем для створення авторських завдань. Наведено приклади узагальнень базових елементiв в умов для обчислення та побудови р>зних геометричних ф'1гур (трикутник'1в, чотирикутник'!в, багатокутнишв та багатограннишв). Пiдiбрано типовi задачi на самостйне опрацювання матер'алу тем конструктивно)' планiметрii, з неявним заданням числових даних та не розв'язан '1 циркулем та лiнiйкою. Описано зв'язок алгебраУчного методу розв'язування задач на побудову iз коректшстю умови. Зазначено, що принцип визначеност'1 фiгури дае змогу зрозум>ти завдання, алгоритм'зуе нашi дп при розв'язаннi та дозволяе досить просто дiстати в'дпов'дь на запитання.
Ключовi слова: наукова робота, теоретичн досл'дження, розв'язування геометричних задач, принцип визначеност '1, алгебраУчний метод; задач '! на побудову.
Постановка проблеми. Науково-дослщницька дiяльнiсть студенев е необхщною умовою формування методично'1 компетентности майбутшх учителiв математики та Тх професшного становлення. Основна мета такоТ дiяльностi: допомогти студентовi визначити й розвивати науковi штереси геометри, поглибити фаховi знання й удосконалити вмшня, сформувати навички роботи з джерелами науково-методичноТ шформаци, виявити здатшсть до творчоТ дiяльностi, тдготувати до самостшних педагопчних дослщжень, сприяти становленню високого рiвня методичноТ компетентность
Приклади науково-дослщницькоТ дiяльностi для студенлв фiзико-математичного факультету: подготовка повщомлень та iсторичних довщок, виконання курсових роб^, шдивщуальних дослщницьких завдань, виконання дипломних дослщжень, участь студенев у рiзних науково-методичних конференщях та семiнарах тощо. Такий досвщ допомагае осмислити студентом необхщш теоретичнi знання i перевiрити рiвень методичних умiнь, готовнiсть до майбутньоТ професи.
За навчальним планом у пщготовц бакалавра за напрямом 014.04 Середня осв^а (Математика) традицiйним е виконання майбутшми вчителями на другому-третьому роках навчання курсовоТ роботи з алгебри, геометри чи математичного аналiзу. Кращi студенти мають також змогу писати дипломну (бакалаврську) роботу за математичним напрямом.
При написанш теоретичних робп" головною ознакою дослщницькоТ дiяльностi студентiв е наукова новизна з позицш стандартних методiв: свое базове означення термов, iнше об^рунтування математичного твердження, власне розв'язання задачi чи авторська задача тощо. Реалiзацiя кожного пункту не можлива без так званих критерпв: наприклад, щоб сформулювати означення чи теорему, слiд Тх формулювати через iншi, введенi рашше; в процесi доведення чи розв'язання слщ дотримуватись логiчних правил виведення та мiркувань; для формулювання умови задачi користуються принципом визначеностi тощо.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
Аналiз актуальних дослiджень. Теоретичним дослщженням науковоТ роботи студенев рiзних спещальностей присвяченi працi М. Братко, О. Колесников, А. Конверський, В. Круглик, В. Марцин, I. Рассохи, Г. ЦехмiсфовоT.
Питаннями науковоТ фаховоТ пiдготовки майбутнiх учителiв математики в рiзнi часи займалися вiдомi науковц та методисти: В. Бевз, Ю. Колягiн, О. Мордкович, З. Слепкань, М. Шкiль, Н. Шунда. На сучасному етат окремi аспекти професiоналiзацN пiдготовки майбутнiх учителiв математики в УкраТш дослiджують такi математики-методисти: М. Бурда, Л. Бтоусова, С. Семенець, О. Скафа, Н. Тарасенкова, О. Чашечникова, В. Шарко та iншi.
Мета CTaTTi: навести приклади умов задач, зокрема з конструктивно'! плашметри, та проаналiзувати Тх з точки зору принципу визначеносл; сформулювати поради для створення авторських задач на геометричш ф^ури.
Виклад основного матерюлу. Практична частина науково-дослщницькоТ роботи може мiстити як методичнi розробки, так i унiкальнi висновки самого автора, а також задачу власне сформульоваш дослiдником. Складання задачi - це особливий творчий процес, який набагато корисшший за розв'язування готових задач iз поабнишв. Розв'язуючи задачу учш та студенти нiколи не переймаються питанням про те, якi дан мають бути в умовi, щоб задача була визначеною, а це е важливе питання в математик, зокрема, в геометри.
Для складання геометричноТ задачi слщ мати справу ¡з рГзними спiввiдношеннями, комбшуючи ям ми одержуемо новГ, а отже й р!зш початковi данi для умов задач.
У ход! розв'язування геометричних задач на обчислення чи побудову ми досить часто зус^чаемось ¡з вщновленням шуканих елементiв за так званими основними заданими елементами.
Загальновщомою е теорема [1, с. 11-15], яка виражае найважлившу ознаку визначеност'1 ф'!гури\ кожна геометрична ф^ура визначаеться заданням певного числа незалежних елеменлв. Тобто, будь-яку геометричну ф^уру можна побудувати, якщо вибрати достатню N ктьмсть TT елементiв (умова м^мальносл). Для рГзних ф^ур - число N рiзне. Так, трикутник загального розташування задаеться трьома елементами серед яких м^мум один - лшшний: три сторони; двГ сторони та кут; сторона та два кути; три медiани; сторона, висота та кут; два кути та радiус вписаного кола тощо. Для рiвнобедреного чи прямокутного трикутнимв ктьшсть незалежних елементiв зменшуеться до 2, для рГвностороннього трикутника - до одного.
При вивчення чотирикутнишв та !'х по6удовГ переконуемось, що квадрат визначаеться одним елементом; ромб i прямокутник - двома; паралелограм, прямокутна чи рiвнобiчна трапеци - трьома; трапещя, вписаний чи описаний чотирикутники - чотирма, а чотирикутник загального розташування -п'ятьма.
Досвщ показуе, що принцип визначеносл геометричноТ фкури е ефективним засобом свщомого засвоення основних питань шктьного курсу геометри. Також з точки зору принципу визначеносл ф^ури, що задаються тим самим числом N, вщносяться до одного класу, отже мають схож! властивосл.
До питання щодо знаходження числа елеменлв, що визначають фГгуру, пщходять з конструктивного пщходу. Так, для задання довшьного тетраедра потрГбно шГсть елеменлв (три для основи та три для визначення вершини), а для правильноТ трикутноТ шрамщи потрГбно лише два тощо.
Наведемо приклади узагальнень:
• довтьний n-кутник визначаеться 2n-3 елементами;
• довтьна n-кутна призма чи шрамща визначаеться 2n елементами;
• довтьний n-гранний кут визначаеться як n-кутник;
• довтьний багатогранник з n вершинами (n>2) визначаеться 3n-6 елементами (якщо гран е трикутниками).
Для шдготовки до залГку з конструктивно! плашметри пропонуемо наступне завдання, наприклад, на побудову прямокутного трикутника.
Завдання. З'ясувати можли&сть та опрацювати самостшно побудову прямокутного трикутника (позначення: a, b - катети, с - гiпотенуза, m - медана, h - висота, l -бсектриса, а, в - гостр'1 кути прямокутного трикутника) за заданими елементами (див. табл. 1). Таблиця може бути доповнена Вашими вар>антами.
СвГдоме засвоення учнями, студентами принципу визначеносл геометричноТ фкури мае велике освГтне значення, адже можна самим придумувати умову задач! (наприклад, при написанш курсових та дипломних робп" для розкриття певноТ теми).
Цтавими е задачТ без числових даних. Наприклад, чи можна знайти кути р>внобедреного трикутника, якщо його ортоцентр належить вписаному колу? Тобто за рГвшстю радiуса вписаного кола вщрГзковГ, що з'еднуе центр вписаного кола з ортоцентром, визначити кути рiвнобедреного трикутника. Маемо рГвшсть двох лшшних елеменлв, отже форма трикутника буде вщомою, а значить i кути (сприймання задачi полегшуеться ¡з знанням принципу визначеносл).
Зазначений принцип ткно пов'язаний з геометричними задачами на побудову i може бути успiшно застосований до складання i розв'язування багатьох типових задач.
Якщо в умовi задано т елементiв, то можна намагатись побудувати шукану фiгуру або будувати окремi фiксованi складовi частини фкури (допомiжний трикутник, допомiжне коло тощо).
Таблиця 1
Вибiр початкових даних для умови задачi на побудову прямокутного трикутника
умова а Ь с а в 1ь К
а —
Ь —
с —
а —
в —
—
1ь —
К —
Розглянемо наступну задачу: побудувати трикутник за основою а, кутом при вершинi а та висотою Иа, проведенною до основи. Ця задача легко розв'язуеться методом геометричних мкць точок (шукану точку (вершину трикутника) знаходимо як перетин ГМТ_1 (з яких вiдрiзок видно тд заданим кутом) та ГМТ_2 ^вновщдалених на вщстань висоти вщ заданоТ прямоТ). Якщо фiксувати основними елементами просту фiгуру, яка буде допомiжною, то це - описане коло навколо шуканого трикутника.
Перегляд даних в умовi для вщшукання допомiжноУ фiгури допомагае проаналiзувати умову задачi з точки зору ТТ визначеностi, а отже е ключем до складання iнших задач на вщпрацювання конкретного методу. Наприклад, побудувати трикутник за: 1) стороною, протилежним кутом, медiаною, проведеною до щеТ сторони; 2) кутом, проведеними з вершини цього кута медiаною або висотою, радiусом описанного кола тощо (у цих задачах збер^аеться метод розв'язання).
Слщ також вмiти не лише будувати ту чи шшу ф^уру за даними елементами, а й знаходити iншi елементи за даними. Побудова ф^ури за перелтом допомiжних показуе, як обчислити будь-який невщомий елемент фiгури (наприклад, знайти висоту трапеци за даними ТТ основами та дiагоналями; визначити кут трикутника за висотою, медiаною та бкектрисою проведеним з одшеТ вершини тощо).
АлгебраТчний метод розв'язування геометричних задач на побудову е ушверсальним, хоча i не завжди простим та наочним. До цього методу можна застосувати принцип визначеносп фкури, осктьки вiн включае в себе як складову обчислювальш моменти, тобто за заданими неосновними елементами можна знайти потрiбнi для базовоТ побудови. Але застосування алгебри у задачах на побудову не завжди дае можливiсть розв'язати ТТ за допомогою циркуля та лiнiйки. Приклади задач, ям не можуть бути розв'язаш циркулем та лiнiйкою: 1) побудувати трикутник за периметром та радiусом описанного кола (маемо рiвняння четвертого степеня); 2) побудувати трикутник за трьома бкектрисами (маемо рiвняння третього степеня) та шшк
Висновки. При написанш наукових робiт з геометри, що стосуються аналiзу теоретичного матерiалу, з точки зору методики геометри корисно показувати практичне значення на прикладi розв'язання задач за темою дослщження. Складання власних задач сприяе виробленню методичного досвщу, який шдвищуе рiвень професiоналiзму майбутнього фахiвця. Зокрема, принцип визначеносп фiгури дае змогу зрозумп"и умову задачi, алгоритмiзуе нашi дГТ при розв'язаннi та дозволяе досить просто д^ати вiдповiдь на запитання.
Список використаних джерел
1. Людмилов Д.С. Складання i розв'язування текстових задач у середнш школi / Дмитро Людмилов : Поабник для вчителiв. - КиТв : «Радянська школа», 1967. - 174 с.
2. Боравльов А.П. Аналiз у розв'язуванш задач на побудов / Анатолш Боравльов, 1ван Ленчук : Навч. поаб. -КиТв : Вища шк., 2002. - 191 с.
3. Цехмiстрова Г.С. Основи наукових дослщжень / Галина Цехмiстрова : Навчальний посiбник. - КиТв: Видавничий Дiм «Слово», 2004. - 240 с.
References
1. Liudmylov D.S. Skladannia i rozviazuvannia tekstovykh zadach u serednii shkoli / Dmytro Liudmylov : Posibnyk dlia vchyteliv. - Kyiv : «Radianska shkola», 1967. - 174 s.
2. Boravlov A.P. Analiz u rozviazuvanni zadach na pobudov / Anatolii Boravlov, Ivan Lenchuk : Navch. posib. - Kyiv : Vyshcha shk., 2002. - 191 s.
3. Tsekhmistrova H.S. Osnovy naukovykh doslidzhen / Halyna Tsekhmistrova : Navchalnyi posibnyk. - Kyiv: Vydavnychyi Dim «Slovo», 2004. - 240 s.
CORRECTNESS OF FORMULATION OF GEOMETRICAL PROBLEM SPECIFICATION IS IN SCIENTIFIC ACTIVITY
OF STUDENTS Olga Chemerys
Zhytomyr State University of the name of Ivan Franco, Ukraine Abstract. The article is devoted to the methodological peculiarities of research activities of students of physics and mathematics faculty in writing course and diploma works on geometry. Stressed the importance of search activities promotes scientific creativity and methodological training of future specialists. Great attention is paid to the principle of certainty in the geometric task, which is an important criterion for the creation of copyright problems. Examples of generalizations of the basic elements in condition for computing and plotting various geometric shapes (triangles, quadrilaterals, polygons and polyhedra). Selected sample tasks for independent study of the material the constructive planar geometry with implicit assignment of numeric data and not solved by compass and ruler. Describes the relationship of the algebraic method of solving problems on the construction with the correctness conditions. It is noted that the principle of certainty of the figure allows us to understand the problem, algorithmize our actions in the solution and makes it easy to answer the question.
Key words: the advanced study, theoretical researches, untiing of geometrical tasks, principle of definiteness, method of algebra; tasks are on a construction.
