Количественные взаимосвязи характеристик оптовых и розничных потребительских рынков Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИКА

(Специальность 08.00.13)

© 2013 г. Е.В. Черепанов УДК 330

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ХАРАКТЕРИСТИК ОПТОВЫХ И РОЗНИЧНЫХ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ РЫНКОВ

Введение

Базовые категории современной экономики были заложены в середине XIX в. Но до сегодняшнего дня в основном эти категории известны в описательном виде («кривая ценности возрастает с ростом спроса на товар и выпукла вверх», «спрос падает с ростом цены» и т.п.) Целью данной работы является определение вида фундаментальных взаимосвязей между основными характеристиками базовых категорий производства, потребления и торговли.

Основой наших рассуждений служит мысль У.С. Джевонса [1, p. 282287] о том, что «законы экономики носят настолько сложный характер, что проявляются только для совокупностей и должны изучаться методом средних». На «современный язык» это может быть «переведено» так: «Экономические законы носят стохастический характер и должны изучаться статистическими методами». Следовательно, необходим эконометрический подход к решению проблемы.

Под «эконометрией» понимается научное направление, изучающее «количественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей. Модели, используемые в эконометрии, обеспечивают получение численных результатов на базе статистической, прогнозной и плановой информации. Иногда эконометрию расширительно трактуют как моделирование экономических процессов вообще, включая и абстрактные теоретические модели» [2, с. 600]. По-видимому, наиболее полно особенности эконометрии изложены в фундаментальном труде С.А. Айвазяна и В.С. Мхи-таряна [3]. Стоит отметить, что базовая суть эконометрии (или эконометрики) этими авторами понимается несколько иначе, чем было указано непосредственно выше.

У.С. Джевонс [4, р. 158-159] ввел понятия полезности товара и его ценности., чем, по существу, заложил основу «теории обмена, которая является следствием теории полезности» [1]. В современном понимании полезность товара

- это его способность удовлетворять потребности покупателей. А потребности

- это необходимость или желание покупателя получить некоторые блага, связанные со свойствами приобретаемого товара, т.е. нечто, что он связывает с удовлетворением, исходя из социальных представлений, своего личного образа жизни или нужды. В таком же смысле высказался Дж. Винер: «Благосостояние есть поток полезности, а полезность означает удовлетворение... Какова бы ни была сущность благосостояния, все согласны с тем, что для человека она скорее субъективная и внутренняя, чем объективная и внешняя» [5].

Индивидуальный спрос (на данный товар) отдельно взятого покупателя -это количество товара, которое этот покупатель готов приобрести в данных условиях потребительского рынка. Суперпозиция индивидуальных спросов покупателей изучаемого потребительского рынка образует совокупный спрос на данный товар п, который можно рассматривать как функцию его цены р: п = п(р). Законы потребления, по существу, определяются законами социальной психологии. Но их изучение с экономических позиций оправдано лишь в тех случаях, когда это делается в целях разработки эффективных стратегий продвижения товаров на новые потребительские рынки [6]. Вопросы количественного выявления ожиданий и предпочтений покупателей и их социальных категорий автор рассматривал в работах [7, с. 167-188; 8, с. 48-61; 9; 10].

Совокупный спрос определяет количество данного товара на данном рынке, которое совокупный покупатель хочет и может приобрести в предлагаемых ему условиях. Потребление - это количество реально купленного (за единицу времени) товара (в зависимости от его цены и цен товаров-конкурентов). Под «единицей времени» понимается период, за который фиксируется состояние рынка. Таким образом, потребление - это реализованный (за единицу времени) спрос. Совокупный спрос измерим, поскольку он объективно проявляется в форме потребления товара за единицу времени.

Перед ознакомлением с ниже изложенным материалом, читателю было бы полезно просмотреть работы [11, с. 313-333; 12, с. 107-117; 13, с. 154-166], поскольку предлагаемая статья является прямым развитием материала, изложенного в указанных публикациях.

1. Категории потребительского многотоварного конкурентного рынка

Рассмотрим рынок из m видов конкурентных товаров. Пусть j -й товар за единицу времени куплен в объеме nj. Под функцией ценности набора из m конкурентных товаров понимается функция U(пх,...,пм), которая по каждому аргументу монотонно возрастает и выпуклая вверх. Последнее утверждение отражает закон убывающей ценности: покупка (к+1)-й единицы товара для потребителя всегда менее ценна, чем покупка к-й единицы этого товара.

Экономический смысл ценности товаров заключается в том, что каждый набор товаров приносит определенную «пользу», некое «благо» совокупному покупателю, и, следовательно, обладает определенной полезностью. А ценность это выражение полезности данного набора товаров п в день-

гах. Деньги являются единой шкалой измерения полезности, позволяющей сравнивать ценность товаров различной природы и качества.

Потребительская цена Pj j- го товара - это среднестатистическое отношение суммарного количества отданных (в единицу времени) покупателями за него денег Vj к количеству приобретенного товара nj. Спрос - это векторная функция п(р) от вектора цен p . Спрос определяет количество товаров разного вида, представленных на рынке, которое совокупный покупатель хочет и может приобрести в заданных условиях. Функция потребления задает векторную величину количества фактически купленных (за единицу времени) товаров (в зависимости от заданного вектора цен). Совокупный спрос, проявляясь в форме потребления товаров, измерим.

Стоимость nj единиц j -го товара имеет вид

Суммарная стоимость купленных на розничном рынке (за единицу времени) товаров V имеет вид

= (1.2)

Потребительский излишек (или излишек потребителя) W, введенный в экономическую науку Ж. Дюпюи [14, р. 332-375], является мерой выгоды совокупного покупателя от приобретения товаров в заданных объемах

^n2,■■■,пш :

= (1.3)

(1.4)

Общепринято считать, что совокупный покупатель стремится «максимально выгодно» для себя (в среднестатистическом смысле) сформировать потребительскую корзину приобретенных товаров. Но, понятие «максимально выгодно» требует уточнения [15, с. 117-122]. Наиболее часто используют принцип оптимума потребителя (ПрОП), который [16, гл. 4] представим в виде

Из критерия (1.4) методом множителей Лагранжа [17] получаем:

(1.5)

.

Постоянство цен везде далее понимается только для небольших промежутков («единиц») времени. Такой подход правомерен и часто применяем1. Отсюда

Отметим, что соотношения (1.6) справедливы и для монопольного рынка (при т = 1 и А = 1). Разумеется, об использовании ПрОП на монопольном рынке говорить не приходится. Но оказывается, что из простых соображений можно доказать, что на монопольном рынке предельная ценность товара равна его цене. Используя это обстоятельство [12], совместно с условием максимизации прибыли монополиста, удается математически описать количественные взаимосвязи характеристик монопольного рынка.

Смысл ПрОП очевиден: при любом бюджете потребительского рынка затраты на покупки товаров распределятся так, чтобы максимизировать ценность совершенных покупок. Например, Г. Саймон [18] считает, что «в основе теории потребления лежит предположение о том, что совокупный покупатель стремится к максимизации полезности купленных товаров».

Но эта точка зрения не бесспорна [15]. Можно полагать, что в реальности любой субъект экономической деятельности максимизирует совсем не получение благ от покупки, а меру выгоды от своих действий.

Для производителя выгода выражается величиной прибыли (а не выручкой от реализации товара, которая имеет для него смысл полезности от продажи этих товаров). Как и для продавца, который отличается от произ-

1 Например, в классической механике при изучении непрерывного сложного движения рассматривается мгновенная скорость, которая, по существу, представляет собой среднюю скорость в данную (очень малую) единицу времени.

водителя только природой своих издержек. Для покупателя же мерой выгоды выступает не ценность купленного товара, а связанный с покупкой излишек потребителя.

Противореча своей выше процитированной мысли, Г. Саймон отмечает, что «согласно большинству психологических теорий, побуждение к действию происходит из наличия неудовлетворенных желаний и исчезает после их удовлетворения» [18]. Если в теории производства, как верно считает Г. Саймон, основой служит критерий максимизации прибыли: P = max, то в теории потребления его аналогом может выступать не ПрОП, а критерий W = max, который можно назвать «критерием максимума выгоды (КМВ)».

Это значит, что совокупный покупатель стремится не к максимизации полезности приобретенных товаров, а к удовлетворению своих реальных потребностей при условии максимизации выгоды от их покупки. Количественной мерой его выгоды выступает излишек совокупного потребителя. Этот взгляд на оптимизацию структуры совокупной покупки автором был исследован в работах [11; 9, гл. 6]. В работе [13] автором был рассмотрено выявлении функциональных связей между характеристиками потребления и производства с использованием ПрОП. Отметим, что математически результаты решения указанной проблемы с использованием критерия W = max разительно отличаются от аналогичных результатов, полученных на основе использования ПрОП, что вполне естественно.

В итоге размышлений на эту тему, автор пришел к выводу о том, что формирование структуры совокупной покупки на розничном и оптовом потребительских рынках принципиально отличаются, что обусловлено относительным характером категорий полезности, издержек и выгоды. И для корректного рассмотрения процесса «производство-потребление» необходимо, кроме производителей товаров и совокупного покупателя на розничном рынке, введение еще одного экономического субъекта - совокупного посредника.

Цели производителей, посредника и совокупного покупателя кардинально различны. На розничном рынке для покупателя целью является удовлетворение своих насущных потребностей, минимизируя связанные с этим собственные потери, а не получение максимума ценности купленных товаров (связанное с избыточными для него затратами). Вывод: структура совокупной покупки на потребительском рынке формируется по критерию W = max.

Пример. Есть три человека, с сопоставимыми объемами свободных финансовых средств, нуждающиеся в обновлении личного автотранспорта. И всем нравится марка «Форд». Но первый покупает малолитражку «Форд Эскорт», поскольку его личные потребности обусловлены только ежедневными поездками в офис фирмы, где он занимает скромную должность клерка. Второй покупает внедорожник «Форд Эксплорер», поскольку его образ жизни связан с частыми выездами на природу. Третий купил «Форд Мондео», поскольку в своей корпорации он служит менеджером среднего звена, и его социальный статус полностью соответствует именно такого класса автомашине.

На оптовом рынке совокупный посредник (целью которого является перепродажа купленных товаров, а не их использование по назначению) стремится максимизировать совокупную ценность приобретённых товаров. Следовательно, он должен руководствоваться критерием U = max, т.е. ПрОП, который точнее было бы назвать «принципом оптимума оптового покупателя».

Далее мы рассмотрим использование критериев P = max (для производителей товаров и продавцов на розничном рынке), U = max (для покупателей-оптовиков) и W = max (для покупателей на розничном рынке).

Критерий максимума выгоды (КМВ) для покупателей розничного рынка следует записать в виде

где W - потребительский излишек для совокупного покупателя розничного потребительского рынка. В качестве условия, накладываемого на критерий оптимизации, естественно рассматривать не заданный уровень совокупной стоимости товаров = const, а уровень потребления я = const; выража-

ющийся суммарным количеством купленных (однотипных) товаров. Смысл КМВ состоит в том, что каким бы ни был суммарный уровень потребления n, структура совокупной покупки будет такова, чтобы обеспечить максимум выгоды (потребительского излишка) совокупному покупателю. Этот принцип будет использован нами как априорное предположение для получения вида функций, описывающих структуру покупок совокупным покупателем на многотоварном конкурентном розничном потребительском рынке.

Используя метод множителей Лагранжа [17], из (1.7) получаем:

^(n) = W{n) -\-pn- pJ^nj = тах(п); р = const, п е 31®. (1.8)

W{n) = тах(тГ); = тг = const;

(1.7)

Из критерия (1.8) следуют следующие условия:

(1.9)

Логично считать, что КМВ (1.7) в теории розничного потребления должен рассматриваться с тем же почтением, с каким в теории фирмы рассматривается критерий максимизации прибыли.

2. Критерий максимизация прибыли производителя

Рассмотрим оптовый потребительский рынок, на котором представлено т видов конкурентных товаров. На этом рынке производители выступают в роли продавцов, а оптовики - в роли покупателей.

Для упрощения изложения, что не снижает его общности, будем считать, что каждый /- й товар в объеме произведен одним производителем.

При краткосрочном рассмотрении оптового рынка (когда его параметры неизменны) затраты -Я производителя /- го товара можно представить в виде

где -Я и % - соответственно постоянные и переменные затраты (в единицу времени!) производителя j -го товара. В выражении (2.1) удельные переменные затраты ^ = зависят от объема продаж и, следовательно, от времени, но в любую данную единицу времени ^ можно считать константой. Общепринято считать [16; 18], что в основе теории производства лежит принцип максимизации прибыли Р. Исключение составляют некоторые частные задачи: захвата нового сегмента рынка, вытеснения с рынка данного конкурента и т.п.

Прибыль производителя Р} от продажи /- го товара определена в виде

где - стоимость /-го товара:

У} = -р,пи} = 17т, (2.3)

а Р.? - оптовая цена /- го товара. Это позволяет записать критерий максимизации прибыли в виде

где переменные удельные затраты = 5,/п, мы считаем постоянной величиной только для данной (малой) единицы времени.

Критерий (2.4) дает:

(2.5)

Из выражения из (2.5) следует:

где п} > п,, а параметр п, характеризует качество /- го товара и равно минимальному его количеству, производство которого еще приносит прибыль. Из выражения из (2.5) следует, что

где > гс,, а параметр п , характеризует качество /- го товара. Численно п, равно минимальному количеству j- го товара, производство которого имеет торговый смысл (приносит прибыль). Введем новые переменные:

причем операторы дифференцирования по переменным «дзэта» имеют вид

(2.8)

Перейдя к переменным (, из (2.6) получаем выражение вида

3. Производственная функция (издержки производителей)

Будем исходить из того, что оптовый рынок определен качеством представленных на нем товаров, совокупным спросом торговцев и затратами производителей. Оптимальная торговля в среднестатистическом смысле должна обеспечивать выполнение условий (2.5) в каждую единицу времени.

Будем полагать функцию затрат = 5(ПД с точностью до параметров, единой для всех аргументов. Структура совокупной покупки покупателей на оптовом рынке подчинена ПрОП, т.е. критерию условной максимизации суммарной ценности купленных товаров, поскольку целью торговцев является перепродажа товара, а не его использование по прямому назначению.

Пусть для совокупного посредника, который здесь выступает как покупатель, и, и - ценность купленного количества /- го товара и излишек потребителя при этой покупке, соответственно. Используя выражение (1.5), в этом случае (с учетом того, что = гс;) правомерно записать:

Используя соотношение Vj = и] - и учитывая выражение (2.9), в качестве гипотезы, которую нам предстоит обосновать, примем условия вида

(3.2)

(3.3)

В силу (3.1) и (3.2) запишем выражение вида

Сравнив выражения (3.4) и (2.9), получаем, опуская для краткости индексы, уравнение вида

Продифференцировав выражение (3.5), получаем уравнение вида

+ 2 = А5(0. (3.6)

Используя результат [19, п.2.2.103], общее решение уравнения (3.6) определяется с помощью цилиндрической функции -,,00 минус первого порядка

[20, п. ХП.А] 5(0 = которая, в свою очередь, выражается через

функции Бесселя Л, 00 и Неймана К00 [15, п. ХП.А] в виде

где ъ - комплексная переменная, а С, С е £ - комплексные константы.

Избыточно общее выражение для переменных затрат производителя j- го товара запишем в виде

Ясно, что определение функции затрат над полем комплексных чисел не имеет реального экономического смысла, в связи с чем нам предстоит привести это выражение к некоторой функции, области определения и прибытия которой являются полем действительных неотрицательных чисел.

Функция Неймана ^(г) [20, п. ХШ.А.2] всегда определяет комплексное число с ненулевой мнимой частью. Следовательно, в выражении для нам необходимо принять С = 0. Используя представление функции Бесселя /. ХГ) в виде ряда [20, п. ХШ.А.2]

получаем выражение:

Приняв с = г.5у'Т(г2 = -1 ,5,Лё 31®), получаем вид функции переменных затрат производителяj- го товара, которую называют производственной функцией:

Используя определение модифицированной функции Бесселя [15, XIII.B) в виде U*) = ZZ(z/2)2k*/[kir{k+ v +1)], можно записать:

Учитывая (3.8), функцию переменных издержек производителя j- го товара можно представить в виде s¡ = £Л/Х7^(25, ё 34®. (3.9)

Для производных переменных издержек справедливы соотношения вида

4. Зависимости между характеристиками оптового рынка

Для «оптовой ценности» j- го товара (3.2), справедливо выражение вида

У, = + = ^ [1 + /[И (к + 1)!]

Оптовая стоимость j- го товара, учитывая выражения (3.4) и (4.1), имеет вид

ч=щ)==^ [шк/{к1у

VoC

Используя выражении (2.9) и (3.8), можно записать: Vs = 5, + $S{x)dx = [(A^)V(if)2

.

(4.1)

вид

(4.2)

(4.3)

Но отсюда непосредственно видно, что соотношения (4.2) и (4.3) эквивалентны. Это доказывает, что сделанная нами гипотеза (3.2-3) верна. Из двух разных (и невзаимосвязанных!) предпосылок (ПрОП и критерия максимума прибыли) получены одинаковые выражение для величины стоимости

Учитывая, что = 1 /п>, отметим, что, как это и должно выполняться

из условий (2.5): Щ/а^ = (Л^/л^Х^Л^)*/^!(Ь + 1)!] = = 5(пД Оптовая цена товара, с учетом (4.2), выражается в виде

Полная ценность совокупного купленного на оптовом рынке товара равна где $ = ^Т^у Производная полной ценности по равна

Вторая производная от оптовой ценности совокупного товара по равна

Прибыль производителя от продажи j- го товара имеет вид

Величина потребительского излишка оптовиков от покупки j- го товара имеет вид

С другой стороны, учитывая выражение (2.9), правомерно записать:

Не составляет труда показать, что выражения (4.8) и (4.9) эквивалентны. Этот факт также подтверждает справедливость сделанной нами гипотезы (3.2-3).

Производная от излишка покупателей-оптовиков j- го товара имеет вид

Следовательно, потребительский излишек с ростом потребления возрастает.

5. Издержки и прибыль продавцов на розничном рынке

За единицу времени совокупный посредник приобрел на оптовом рынке п единиц товаров, причем структура его покупки имела вид п-{п1г п2, ... пт,}. Все это количество товаров было продано (также за единицу времени) на розничном рынке совокупному покупателю. Ценность и стоимость суммарного товара и излишек потребителя для совокупного покупателя на розничном потребительском рынке обозначим соответственно и, V и W (см. таблицу).

Таблица 1

Характеристики субъектов товарно-денежного обмена

Полезность (ценность) Издержки (затраты) Мера выгоды Удельные издержки

Совокупный покупатель U V W p = V / n

Продавцы на розничном рынке V

Покупатели -оптовики и V(n) №=т - сад р= V/n

Производители V 5 = 5{n) + 5 Р=У(п)-5(п) s = S / n

Сразу подчеркнем, что вторая и третья строки таблицы 1 относятся к одному и тому же субъекту экономической деятельности - совокупному посреднику. Его издержки ©(«) равны сумме стоимости (уже оплаченного

на оптовом рынке) товара V(n) и собственных затрат П(п) (транспортировка и хранение товаров, налоги, аренда помещений, зарплата работникам и пр.) Суммарно мера выгоды для совокупного оптовика равна сумме прибыли ^(л) от розничной торговли и излишка потребителя W(n) (который он получил при покупке товаров на оптовом рынке). Итоговая ценность ^(л) совокупного товара для посредника составляет сумму его меры выгоды и полных издержек.

Наша задача состоит в определении функционального вида связей между характеристиками потребления и торговли теперь уже для розничного рынка. Итоговая ценность товара для оптовика может быть представлена в

Удельные издержки оптовика при продаже j-го товара равны Ч = W (5.2)

Критерий максимизации прибыли продавца j- го товара правомерно записать в виде

Pj = V- cojUj = max(ri-) ;

;=::■:■■: (5.3)

Удельные затраты продавца /- го товара мы, как и ранее, считаем постоянной величиной только для данной (достаточно малой) единицы времени. Из требования (5.3) следуют условия вида

Из требований (5.4) следуют условия вида

Поскольку VJ = V] - (] = 1, m), то в качестве гипотезы примем условия вида

(5.6)

(5.7)

со,-

Нам предстоит математически обосновать эту гипотезу. Из требований (1.9) следует линейный вид функции W (П). В самом деле, можно записать:

ЯГ.- в Г.: _

(5.8)

ас*

Предполагая, что функция потребительского излишка имеет аддитивный характер и учитывая априорную симметрию функции W (п) по всем аргументами (товарам), находим:

(5.9)

6. Характеристики розничного потребительского рынка

Исходя из выражения (5.9), критерий (1.8) можно записать в виде

Откуда следует:

где интегральная показательная функция имеет вид £*(*)=/Г»«* 7, [20, п.УЫЛ], а интеграл понимается как его главное значение в смысле Коши.

Для приложений немаловажно, что функция Ei(x) при х > 0 представима (относительно быстро сходящимся) рядом [20, п.У1.1] вида

где Ё = [ЕЕ^и/АО-М» ] = о,577 215 665... - константа Эйлера [20].

Из этого выражения, учитывая соотношение (6.2), легко заметить, что постоянные (не зависящие от объема продаж) издержки совокупного оптовика при продаже /-го товара имеют вид п, = рп}Ё (/ = 17т).

Вычислим, используя правило Лопиталя, важный предел:

££(*) е'/х

11т\хЕ1\х)\ = Ит-— = Ит-

х

-1

■1/х:

Ценность 7-го товара, с учетом соотношения (5.6) и (6.3), равна

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Стоимость 7- го товара имеют вид

С другой стороны, для *} получаем выражение вида

Соотношения (6.5) и (6.6) эквивалентны. Это доказывает, что сделанная нами гипотеза (5.6-7) верна. Из двух различных и невзаимосвязанных предпосылок (КМВ и критерия максимума прибыли совокупного продавца) получены одинаковые выражение для величины стоимости /- го товара (<_,).

Розничная цена 7- го товара выражается в виде:

(6.7)

(6.6)

Несложно посчитать, что производная розничной цены J- го товара по его потреблению имеет вид: ф./йп, = - (у; - пДАг.,- = - Р}/пг < о .

И, наконец, для определения вида функции потребительского излишка при покупке J- го товара используем выражение (5.7):

Совпадение результатов (6.8) и (5.9) служит еще одним доказательством правомерности гипотезы (5.6-7). Прибыль продавца J- го товара равна (с учетом (6.2) и (6.6))

Замечание. Введем новые переменные вида:

При ^ > 1 справедливо соотношение [20, п.VI. 1.2] вида

где и(х) — I; (х > 0) - функция интегрального логарифма. Эти соотно-

шения позволяют излагать материал о розничных рынках не только в терминах интегральных показательных функций, но и используя интегральные логарифмы, как это было сделано в работах [11; 9].

Заключение

В основу модели положено торговое взаимодействие трех субъектов товарно-денежного обмена: (а) производители, которые на оптовом рынке выступают в роли продавцов; (б) совокупный покупатель розничного потребительского рынка и (в) посредник, который на оптовом рынке является совокупным потребителем, а на розничном - совокупным продавцом.

Потребление на розничном рынке рассматривается как наблюдение совокупного спроса. Потребительская розничная цена рассматривается как среднестатистическое отношение стоимости товара, купленного за единицу времени, к его количеству. Розничная цена по смыслу совпадает с равновесной ценой (при традиционном изложении теории потребления).

Ключевую роль в получении результатов сыграл постулат об измеримости совокупного спроса на многотоварном рынке. Предложение продавца в работе не рассматривалось, во-первых, за ненадобностью, и, во-вторых, в той связи, что эта характеристика - неизмеримая величина.

Состояние (значения характеристик) потребительского рынка определено совокупным спросом покупателей, качеством товаров и затратами производителей и продавцов товаров, представленных на рынке. Используя критерии оптимизации структуры совокупной покупки (для розничного и оптового рынков они различны) и условие максимума прибыли (продавцов и производителей), были получены универсальные количественные выражения для характеристик производства, торговли и потребления.

Дальнейшее развитие предложенного подхода к количественному анализу взаимосвязей между характеристиками производства, торговли и потребления требует надежной эмпирической базы (статистических и отчетных данных). К сожалению, ныне российской экономической отчетности верить можно лишь с большими оговорками. Что делает задачу создания надежной и достоверной системы Росстата важнейшей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jevons W.S. Brief of a general mathematical theory of political economy // Journal of the Statistical Society of London. 1866. XXIX. № 2.

2. Эконометрия // Большая Советская Энциклопедия, т.29. М.: изд. «Советская Энциклопедия», 1978 (http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/153166/Эконометрия).

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. В 2-х т. М.: Юнити, 2001.

4. Jevons W.S. Notice of a general mathematical theory of political economy. British Assoc. For the Advancement of Science // Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. 1862. L.J. Murray.

5. Viner J. Cost curves and supply curves // Readings in Price Theory. Homewood, 1952.

6. Энджел Дж.Ф, Блэкуэл Р.Д, Миниард П.У. Поведение потребителей. / Пер. с англ. С.-Пб.: Питер, 2000.

7. Черепанов Е.В. Стохастическое описание выборочного метода // Социология: методология, методы, математические моделирование. 2007. №25.

8. Черепанов Е.В. Стохастические методы анализа данных выборочных маркетинговых и социальных обследований // Прикладная эконометрика. 2011. № 2(22).

9. Черепанов Е.В. Нетрадиционные вероятностно-статистические методы для социально-экономических и социологических исследований. М.: Спутник+, 2012.

10. Черепанов Е.В. Математическое моделирование неоднородных совокупностей экономических данных. М.: Госуниверситет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2013.

11. Черепанов Е.В. К вопросу описания количественных взаимосвязей между категориями потребления и производства // Гуманитарные и социальные науки. Электронный научный журнал. 2012. № 2 (http://hses-online.ru/2012/02/22_00_01/33.pdf).

12. Черепанов Е.В. О количественном описании монопольного потребительского рынка. // Гуманитарные и социальные науки. Электронный научный журнал. 2013. № 1 (http://www.hses-online.ru/2013/01/08_00_05/12.pdf).

13. Черепанов Е.В. Математическое описание многотоварного потребительского рынка. // «Научная дискуссия: вопросы экономики и управления». Материалы XI Международной научно-практической конференции. М.: Международный центр науки и образования. 2013.

14.Dupuit J. De la mesure de Tutilite des travaux publics // Annales des ponts et chausses. 1844. VIII, ser. 2.

15. Черепанов Е.В. Критерии оптимизации структуры потребления на многото-варных рынках // Математико-статистический анализ соци-ально-экономичес-ких процессов. Межвузовский сборник научных трудов, вып. 10. М.: Госуниверситет экономики, статистики и информатики (МЭСИ), 2013.

16.Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика / Пер. с англ. М.: Дело, 2000.

17. Уайльд Д. Методы поиска экстремума / Пер. с англ. М.: Наука, 1967.

18. Simon H. Theories of decision-making in economics and behavioral science // Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.

19.Зайцев Ф.В., Полянский А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997.

20.Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем. М.: Наука, 1977.

REFERENCES

1. Jevons W.S. Brief of a general mathematical theory of political economy // Journal of the Statistical Society of London. 1866. XXIX. Number 2.

2. Econometrics // The Great Soviet Encyclopedia. V.29. M. Ed. "Sovetskaya Entsiklopedia", 1978 (http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/153166/Эконо-метрия).

3. Aivazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Applied Statistics and Econometrics basis. In 2 Vols: Unity, 2001.

4. Jevons W.S. Notice of a general mathematical theory of political economy. British Assoc. For the Advancement of Science // Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. 1862. L.J. Murray.

5. Viner J. Cost curves and supply curves // Readings in Price Theory. Homewood, 1952.

6. Angel Dzh.F, Blekuel R.D, Miniard PW Consumer behavior. / Per. from English. Pb: Peter, 2000.

7. Cherepanov E.V. Stochastic description of the sampling method // Sociology: methodology, methods, mathematical modeling. 2007. N25.

8. Cherepanov E.V. Stochastic methods of data analysis of selected marketing and social research // Journal of Applied Econometrics. 2011. N 2 (22).

9. Cherepanov E.V. Non-traditional probable and statistical methods for the socio-economic and sociological research. Moscow, 2012.

10.Cherepanov E.V. Mathematical modeling of heterogeneous sets of economic data. Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI), 2013.

11.Cherepanov E.V. On the quantitative description of the relationship between the categories of consumption and production // Humanities and

Social Sciences. 2012. No 2 (http://hses-

online.ru/2012/02/22_00_01/33.pdf).

12.Cherepanov E.V. On the quantitative description of the monopoly of the consumer market. // Humanities and Social Sciences. 2013. No 1 (http://www.hses-online.ru/2013/01/08_00_05/12.pdf).

13.Cherepanov E.V. The mathematical description of multi-goods consumer market // The scientific debate: issues of economics and management. Materials XI of the International Scientific and Practical Conference. Moscow: International Centre for Science and education. 2013.

14.Dupuit J. De la mesure de l 'utilite des travaux publics / / Annales des ponts et chausses. 1844. VIII, ser. 2.

15.Cherepanov E.V. Criteria for optimizing the structure of consumption-multipoint commodity markets // Mathematical and statistical analysis of the socio-economic processes. Interuniversity collection of scientific works, Vol. 10. Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics (MESI), 2013.

16.Pindyck R. D. Rubinfeld Microeconomics / Transl. from English. M: Business, 2000.

17. Wilde J. Methods of extremum / Transl. from English. Moscow: Nauka, 1967.

18.Simon H. Theories of decision-making in economics and behavioral science // Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.

19.Zaitsev F.V., Polanski A.D. Handbook of linear ordinary differential equations. Faktorial, 1997.

20.Jahnke E., Emde F., Lesch F. Special Features / Transl. from German. Moscow: Nauka, 1977.

Независимый Центр

технико-экономических исследований. г. Москва, Россия 24 июня 2013 г.