CC BY
8ЭКОНОМИКА
(Специальность 08.00.05 )
© 2013 г. Е.В.Черепанов УДК 330
О КОЛИЧЕСТВЕННОМ ОПИСАНИИ МОНОПОЛЬНОГО ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО РЫНКА
В середине XIX в. У.С. Джевонсом [1, 2] и Дж. Дюпюи [3] были введены базовые понятия экономической теории. Но до настоящего времени описание этих категорий носит качественный характер («спрос монотонно убывает с ростом цены», «кривая ценности товара монотонно возрастает с ростом спроса и выпукла вверх» и т.п.) Однако, еще Аристотель [4] писал, что «... поступок и сознательный выбор, как принято считать, стремятся к определенному благу». И эта мысль великого античного философа в полной мере относится и к процессу торговли. Но любая целенаправленная деятельность поддается количественному описанию. В таком же ключе высказывался Дж. Винер: «... благосостояние есть поток полезности, а полезность означает удовлетворение. Экономисты могут принять удовлетворение как количество, не занимая никакой позиции по отношению к его этическому качеству» [5]. В основе такого описания должны лежать некие процедуры оптимизации, обеспечивающие получение максимума выгоды совокупным продавцом и совокупным покупателем товаров.
Такая предпосылка позволила автору получить вид функциональных зависимостей между основными категориями потребления и производства (торговли) на рынке конкурентных товаров [6, 7]. Но остается «открытым» вопрос количественного описания монопольного рынка, который в принципе не сводится к одномерному случаю многотоварного потребительского рынка.
Дело в том, что при определении вида функций на конкурентном рынке было использовано то обстоятельство, что соотношения между ценой и объемом потребления каждого товара удовлетворяют одновременной максимизации мер выгоды продавца (прибыли) и совокупного покупателя (излишка потребителя) для каждого товара, представленного на рынке. А на монопольном рынке и цена товара, и объем предложения находится в руках
производителя (продавца). Что заставляет при количественной формализации категорий монопольного рынка исходить из иных, нежели на конкурентном рынке, предпосылок. Этой проблеме и посвящена настоящая публикация. Перед ознакомлением с ней, как кажется автору, целесообразно ознакомиться с легко доступной статьей [6].
1. Категории монопольного потребительского рынка Потреблением п будем называть фактически реализованный за единицу времени спрос на товар. А обсуждение будем вести в терминах потребления, а не спроса покупателей и предложения продавца, что принято при традиционном изложении основ теории рынка. Такая позиция связана с тем, что эмпирически спрос проявляется в виде потребления, а предложение продавца измерению не поддается. Следовательно, везде далее речь идет исключительно об издержках продавца на фактически проданные за данную единицу времени товары.
На потребительском (в частности, монопольном) рынке издержки продавца (затраты производителя) для любой единицы времени (день, квартал, год) всегда выражаются [8;9,гл.6] в виде
Смысл этого заключен в том, что полные издержки £ в единицу времени равны сумме постоянных издержек 5'5 не зависящих от объема продаж, и переменных издержек 5; зависящих от потребления (а не предложения продавца!)
Издержки ад монотонно возрастают функцией с ростом потребления п, причем при предложение отсутствует (прибыль отрицательна) и
. Потребление п монотонно убывает с ростом цены р. Стоимость потребленного товара равна
У(п) = пр(п) = рп(р). (1.2)
Под потребительской ценой р данного товара мы будем понимать среднестатистическое отношение количества отданных за него денег (в единицу времени) к количеству купленного товара: р = V/ п. По смыслу (для многотоварных рынков), потребительская цена совпадает с равновесной ценой (при традиционном изложении теории рынка [8,9]), когда значения совокупного спроса равно предложению продавца. При значениях цены, выше некоторого значения р - р(п), стоимость товара равна нулю (исчезает спрос).
Прибыль продавца выражается в виде P(n) = V(n) - S(n).
(1.3)
При ценах выше р = р(п) прибыль равна нулю: У(п) = 3(п), в точке и монотонно возрастающая функция пересекает кривую У(п). Допустимыми являются значения цены и соответствующего потребления в диапа-
В основе теории потребление лежат важнейшие понятия полезности товара и излишка потребителя. Экономический смысл категории полезности товара, которая была введена в экономику У. Джевонсом [1,2], заключается в том, что каждый товар приносит некоторое удовлетворение, определенные «блага» совокупному покупателю. А ценность товара U -это выражение полезности в деньгах. При этом деньги выступают как единая шкала измерения ценности, позволяющая сравнивать полезность товаров различной природы и качества.
Функцией ценности товара и(п)на монопольном рынке является
отображение II'. яЬ4л:е91е, монотонно возрастающее с ростом п. Функция U(n) выпуклая вверх, что обусловлено законом убывания полезности: покупка ^ + 1)-й единицы товара всегда менее полезна, чем была покупка ^й единицы.
Потребительский излишек (или излишек потребителя) W(n), введенный в экономику Ж. Дюпюи [3], является мерой выгоды совокупного покупателя от приобретения данного товара в заданном объеме п. Количественно потреби-тельский излишек выражается разностью между ценностью (равной той максимальной сумме U, которую совокупный покупатель готов был заплатить за данный объем товара) и фактическими затратами на его приобретение V:
Ж. Дюпюи писал [3] «Окончательная полезность продукта («потребительский излишек» - авт.) выражается в виде разности между жертвой, которую покупатель согласен принести, чтобы приобрести этот продукт, и покупной ценой, которую он должен заплатить за него... В торговле реаль -на та полезность, которую покупатели согласны оплачивать». Соотношение (3.2) определяет смысл процесса обмена товаров на деньги за единицу
зонах Р <Р ^ п>п
.
(1.4)
времени. За объем товара п совокупный покупатель выплачивает стоимость V. Взамен покупатели удовлетворяют некоторые свои потребности и и получают выгоду, которая равна излишку совокупного (!) потребителя W. На монопольном рынке, очевидно, продавец «недополучил» сумму, равную излишку потребителя вида
Ж(р) = ^Рп(х)(к, (1.5)
где п(р) - кривая потребления (совокупного спроса) на товар. Из (1.5) ясно, что потребление на монопольном рынке равно
Интегрируя по частям выражение (1.5), получаем:
(1.7)
Величина выручки продавца от продажи товара V была бы равна его ценности U в том случае (W=0), если бы каждый покупатель платил за купленную им часть товара максимальную из приемлемых для него цен.
Из соотношений (1.2), (1.4) и (1.7) следует, что
Откуда непосредственно получаем, что
Р(п) = U'n , (1.9)
т.е. на монопольном рынке предельная полезность товара совпадает с его ценой.
2. Критерий максимизации прибыли продавца (производителя)
Для стоимости товара (затратах совокупного потребителя) можно записать:
Представим удельные издержки продавца (затраты производителя) в виде s(n) =S(n)in (2.2)
Далее мы будем говорить об одном продавце и совокупном покупателе. Подразумевая, что правомерно говорить и об одном производителе на оптовом рынке, поскольку с формальной точке зрения издержки продавца и затраты производителя эквивалентны, отличаясь только по структуре и своей природе.
Совокупный спрос, как функция п(р), определяет количество товара на монопольном рынке, которое совокупный покупатель хочет и может приобрести в заданных условиях. Функция потребления — это количество реально покупаемых (за единицу времени) товаров (в зависимости от цены). Потребление - это реализованный (за единицу времени) спрос. Под «единицей времени» понимается период, за который фиксируется состояние рынка.
Введем новые переменные вида
(1(1(1
(2.3)
Ясно, что переменная «кси» является безразмерной величиной, сравнивающей текущий объем потребления с его минимально допустимым значением. А, используя величину «дзэта» получаются существен-
но более компактные математические выражения для взаимосвязей между категориями рынка.
В силу (2.1) можно записать
Основой наших дальнейших рассуждений служит мысль У.С. Джевон-са [2] о том, что законы экономики «.носят настолько сложный характер, что проявляются только для совокупностей и должны изучаться методом средних». Что в «переводе» на современный язык может быть сформулировано в виде: «Экономические законы носят вероятностный характер и должны изучаться статистическими методами». А это значит, что объективно совокупный спрос проявляется в форме потребления товара за единицу времени. Потребление имеет смысл математического ожидания для распределения совокупного спроса на товар. Кривая индивидуального спроса отдельно взятого покупателя может иметь различный (и даже весьма «экзотический») вид, но кривая совокупного спроса - объективна и поддается измерению.
Общепринято [8,9], что целью продавца является получение максимально большой прибыли (за исключением некоторых частных задач: захвата нового сегмента рынка, вытеснения с рынка данного конкурента и т.п.) Например, Г. Саймон писал: «В теории фирмы основополагающей является гипотеза о стремлении предпринимателя максимизировать свою прибыль» [10].
Существует биективное отображение между переменными п и д. Следовательно, критерий максимизации прибыли можно представить в виде
.
(2.5)
Удельные издержки S вида (2.2) зависят от п (и, следовательно, от времени). Но при краткосрочном рассмотрении потребительского рынка (за единицу времени, когда его параметры неизменны) удельные издержки правомерно считать константой [9, гл.6]. Критерий (2.5) приводит к условиям
Будем исходить из того, что состояние рынка определено не только совокупным спросом, но и значениями издержек продавцов. Но тогда оптимальная торговля должна обеспечивать выполнение условий (2.6) в каждую единицу времени. При этом, как следует из (2.6) и (2.4), с необходимостью всегда выполняется соотношение вида
Отсюда для совокупной стоимости купленного товара можно записать:
(2.8)
где постоянные издержки продавца 5' равны 5 = =0) = = 1) = ¥(п - п).
Интегрируя выражение (2.8) по частям, получаем соотношение вида
3. Издержки продавца (затраты производителя)
Представим стоимость в виде V = и - V. В качестве подлежащей проверке гипотезы, учитывая выражение (2.9), примем следующие соотношения: ЩО = 5+<; 5(0; (3.1)
(3.2)
Эти выражения справедливы, как доказано в работе [6], для каждого товара на конкурентном потребительском рынке. Можно полагать, что они справедливы и для монопольного рынка, что предстоит формально обосновать.
В силу (2.4) запишем выражение вида
Сравнив соотношение (3.3) с соотношением (2.8), получаем уравнение вида
Продифференцировав выражение (3.4), получаем дифференциальное уравнение
Использовав результат [11, п.2.2.103], общее решение дифференциального уравнения второго порядка (3.5) запишем в виде цилиндрической функции ^ I.-) (минус первого порядка) от мнимого аргумента [12,ХП.А] вида
Для цилиндрических функций неотрицательного целого порядка V = п верно выражение [12,ХП.А.1]
где z - комплексное число. Используя представление цилиндрической функции через функции Бесселя и Неймана Г {¿) [12,XII.А], получаем выражение для вида
где С и С - комплексные константы. Избыточно общее выражение для функции издержек продавца (3.6) на монопольном рынке, учитывая (3.8), запишем в виде
(3.9)
Ясно, что определение функции затрат (издержек) над полем комплексных чисел не имеет реального экономического смысла, в связи с чем нам предстоит привести выражение (3.9) к некоторой функции, области определения и прибытия которой являются полем действительных неотрицательных чисел.
4. Представления издержек продавца (затрат производителя)
Функция Неймана целого первого порядка (2 гу'^Г), входящая в соотношение (3.9), может быть определена [12,ХШ.А.2] в виде
^(2/Л ?) = (2/т) 4(1л/01п(*л/0+ («7*70 -- (Ил) т; + 1)+ У (к + 2)] / [Г (к + 1)Г(£ + 2)]}.
(4.1)
где ИХ>- логарифмическая производная гамма-функции [12,У.В]:
Но логарифм мнимого аргумента 1п( входящий в соотношение (4.1),
выражается в виде знакопеременного ряда и, следовательно, выражение вида
0.(2/^/7") всегда определяет комплексное число с ненулевой мнимой частью. Отсюда следует, что в выражении (3.9) нам необходимо положить С = О-
Использовав представление функции Бесселя в виде ряда
[12,ХШ.А.2]
и положив С =/5' (¡2 = -1,5'е1"НФ), из соотношения (3.9) получаем итоговый вид функции издержек продавца (затрат производителя):
где 51 и 5" - переменные и постоянные издержки [9, гл.6] соответственно.
По смыслу изложения ясно, что в 5 учитываются переменные издержки, связанные только с купленным товаром (т.е. с потреблением товара, а не с его совокупным производством). Продавец, как и производитель, может за данную единицу времени иметь избыточные издержки, существенно
большие, чем 3 (конъюнктурные моменты, сезонность работ и т.п.) Но эта
часть издержек не учитывается в величине за данную единицу времени.
Для гамма-функции любого комплексного аргумента справедливо условие [12,У.А] Г(г+1) = гГ(г), а для натуральных аргументов верно:
Т{к + 1) = к\.
Используем определение модифицированной функции Бесселя [12,ХШ.В] I„(г) вида 1у(г) = (г/2)Шу ! [Щ + 1)Щ + V+1)]. Модифицированная функция Бесселя у-го порядка может быть представлена [11,с.279] в интегральном виде
Отсюда следует, что функцию издержек можно записать в виде
= (4.3)
Для производных издержек (затрат) справедливы соотношения вида
Стоимость товара, учитывая выражения (2.8) и [13, п.5.2.10.1], имеет вид
Цена товара на монопольном рынке, с учетом (2.6), выражается в виде
Отметим, что, как и должно быть: р'п = - {S / Л') Z;-= С" ' [(^ ~ 1)! 1)■] ^ 0 •
Учитывая соотношение (3.1), ценность купленного товара имеет вид
Потребительский излишек выразится в виде
Правомерность гипотезы (3.1-2) следует из того, что вычисления по формуле (3.2) вида W(С) = ¡^ xS'x (x)tfx также приводят к выражению (4.8) для Щд).
Для величины прибыли P правомерно записать:
Для производной функции прибыли справедливо соотношение вида
Следовательно, с ростом потребления прибыль (достаточно медленно) растет. Из последнего выражения следует: P^iC) - - ^ => S(Q ~{P + S)'^ - VI.
Что полностью согласуется с исходной предпосылкой вида (2.7).
На любом потребительском рынке продавец (производитель) стремится к получению максимума прибыли. И, как показано выше, на монопольном рынке цена товара равна его предельной ценности. Используя эти факты, удалось получить вид функциональных зависимостей между основными категориями торговли (производства) и спроса (потребления) для монопольного рынка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jevons W.S. Notice of a general mathematical theory of political economy. - British Assoc. For the Advancement of Science. // Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. L.J. Murray, 1862.
2. Jevons W.S. Brief of a general mathematical theory of political economy. // Journal of the Statistical Society of London. 1866, XXIX, № 2.
3. Dupuit J. De la mesure de Futilite des travaux publics. // Annales des ponts et chaussees, 1844, VIII, ser. 2.
4. Аристотель. Никомахова этика. // Философы Греции. Сер.: Антология мысли. М., 1999.
5. Viner J. Cost curves and supply curves. // Readings in Price Theory. Homewood, 1952.
6. Черепанов Е.В. К вопросу описания количественных взаимосвязей между категориями потребления и производства // Гуманитарные и социальные науки. Электронный журнал. Ростов-на-Дону, 2012, № 2. http://hses-online.ru/2012/02/22_00_01/33.pdf.
7. Черепанов Е.В. Нетрадиционные вероятностно-статистические методы для социально-экономических и социологических исследований. М., 2012.
8. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика / Пер. с англ. М., 2000.
9. Ковалев С.В. Экономическая математика. М., 2010.
10. Simon H. Theories of decision-making in economics and behavioral science. // Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.
11.Зайцев Ф.В., Полянский А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1997.
12.Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. / Пер. с нем. М., 1968.
13.Прудников А.П. Интегралы и ряды. М., 1981.
LITERATURE
1. Jevons W.S. Notice of a general mathematical theory of political economy. British Assoc. For the Advancement of Science. / / Report of the 32 Meeting Transaction of the Sections. L.J. Murray, 1862.
2. Jevons W.S. Brief of a general mathematical theory of political economy. / / Journal of the Statistical Society of London. 1866, XXIX, № 2.
3. Dupuit J. De la mesure de l 'utilite des travaux publics. / / Annales des ponts et chaussees, 1844, VIII, ser. 2.
4. Aristotle. Nicomachean Ethics. / / The philosophers of Greece. Ser.: An Anthology of thought. Moscow, 1999.
5. Viner J. Cost curves and supply curves. / / Readings in Price Theory. Homewood, 1952.
6. Cherepanov E.V. On the quantitative description of the relationship between the categories of consumption and production / / Humanities and Social Sciences. Electronic Journal. Rostov-on-Don, 2012, № 2. http://hses-online.ru/2012/02/22_00_01/33.pdf.
7. Cherepanov E.V. Unconventional probabilistic and statistical methods for the social, economic and sociological research. M., 2012.
8. PindyckR. D. Rubinfeld Microeconomics / Per. from English. M., 2000.
9. Kovalev S. Economic Mathematics. Moscow, 2010.
10. Simon H. Theories of decision-making in economics and behavioral science. / / Microeconomics: Selected Reading. Ed. by E. Mansfield. N.Y., 1971.
11.Zaitsev F.V., Polanski A.D. Handbook of linear ordinary differential equations. Moscow, 1997.
12.Jahnke E., Emde F., Lesh F. Special features. / Per. with him. Moscow, 1968.
13.Prudnikov A.P. Integrals and series. M., 1981.
Институт экономики и комплексных
проблем связи, Москва, Россия_17 января 2013 г.
