CC BY
31
В.Н. Зуев, О.А. Савицкий, В.В. Семенистый КОЛЕБАНИЕ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ
Движение жидкости в бассейне с наклонным дном можно рассматривать как решение смешанной краевой задачи
д (,, . д£л
д 2£
ді
Н( х)
дд
дх
дх у дд
х
х——/
дх
— 0.
х—/
ах, о) — (Ро{ х). (х. 0) — <Р\( х):
(1)
(2)
(3)
(4)
где д(х, і) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния, х - горизонтальная координата, і - время, g - ускорение силы тяжести, к(х) - глубина бассейна. Изменение глубины бассейна определим формулой
Н(х) — Н0 (1 — кх), |х < /, й0 — ^ + И'2 , й1 — к(—/), Н2 — к(/).
2
к —
1 (^1 + ^2 )
Уравнение (1) в этом случае преобразуется следующим образом
а 2 ді2
дх‘
дх
а
gh0 .
(5)
Решение задачи (5), (2) - (4) согласно методу Фурье [1], будем искать в виде
£( х, ^) = X ( х)Т (^), что позволяет заменить уравнение (5) двумя обыкновенными уравнениями
Т " + а 2ЯТ = 0,
(1 — кх) X " — кХ ' + АХ — 0,
(6)
(7)
где Л - неизвестный параметр. Общее решение уравнения (6) определяется выражением
T(t) = C1 cos -\[Aat + C2 sin 4^at. (8)
Уравнение (7) с помощью замены
1 - kx = 4
и последующего умножения полученного равенства на 4 —— приводится к
уравнению Бесселя [2]
42 X ' ' + $Г ' +
2л/Л
2
X = 0.
У
Частные решения уравнения (9) представим в виде
ХП(х) = 1 о {уп^11 - кх ^1 (т V) - N 0 (упл11 - кх)/1 (туп ), п = 1,2,„. где /о (2) и N0 (2) - функции Бесселя и Неймана соответственно, Уп -положительные корни характеристического уравнения (табл.1)
/1 {у)N1 (т у) - /1 (т у)N1 {у) = 0,
2
v = Л(1 + kx), m = дl1~kx
k V1 + kx
(9)
(10) Таблица 1
m 0.1 V1 3.9405 V2 7.3306 V3 10.7484 V4 14.1886 V5 17.6433 V6 21.1073 V7 24.5776
0.2 4.2357 8.0553 11.9265 15.8210 19.7271 23.6400 27.5558
0.3 4.7058 9.1042 13.5532 18.0200 22.44948 26.9739 31.4554
0.4 5.3912 10.5577 15.7664 20.9882 26.2155 31.4456 36.6773
0.5 6.3932 12.6247 18.8889 25.1624 31.4397 37.7190 43.9993
0.6 7.9301 15.7472 23.5883 31.4358 39.2858 47.1371 54.9892
0.7 10.5220 20.9694 31.4329 41.9007 52.3700 62.8404 73.3111
0.8 15.7376 31.4308 47.1338 62.8393 78.5458 94.2528 109.960
0.9 31.4292 62.8385 94.2522 123.667 188.498 219.913 251.329
В случае Я = 0 решение уравнения (7) находим путём непосредственного интегрирования
X 0 (x) = A1 ln(l _ kx) + A0.
С учётом граничного условия (2) получаем
X 0( x) = A0.
Решение задачи (5), (2) - (4) представим в виде ряда Фурье - Бесселя
д( xt) = A0 + К n cos sl^at + hn sin .Щш )xn ( x), (ll)
n=1
где
^ = 2ШТ A0 = 2l b(x)dx ’
I I
J^( x) x„( x)dx J^( x) x„ ( x)dx
/7 — _1 h = _l (12)
an - I 5 hn l (l2)
J X2 (x)dx JXn, (x)dx
J _l -і*-,, a J
Таблица 2
n an n an n an n an
1 0.10S9 21 -4.0551 41 1.772S б1 0.3S94
2 1.3293 22 3.55S5 42 0.772S б2 -1.2272
3 -1.4б10 23 2.2977 43 0.70S3 б3 0.3212
4 -1.5992 24 -4.29S6 44 -2.101S б4 1.2315
5 3.36S4 25 0.247б 45 0.260s б5 -0.7979
б 0.26S5 2б 3.1513 4б 1.SS73 бб -0.5б45
7 -4.б3б7 27 -1.275S 47 -0.S243 б7 1.0964
S 2.2б49 2S -1.1330 4S -0.6S92 6S 0.0527
9 4.31б5 29 1.413S 49 1.4303 б9 -0.9245
10 -4.9415 30 0.0314 50 0.09S9 70 0.34S9
11 -2.20б1 31 -0.293S 51 -0.6303 71 0.3277
12 б.519б 32 0.0952 52 0.221б 72 -0.2090
13 -1.0339 33 -0.S341 53 0.0S60 73 -0.0016
14 -б.20б7 34 0.4997 54 0.0051 74 -0.0342
15 4.1732 35 0.б702 55 0.2429 75 -0.0304
1б 4.0429 3б -1.2251 5б -0.5033 7б 0.3729
17 -б.0257 37 -0.21б1 57 0.S7S4 77 -0.2427
1S -0.S709 3S 1.б1б0 5S -0.5939 7S -0.413S
19 б.0254 39 -0.9199 59 -0.SS11 79 0.5939
20 -2.1007 40 -1.6S59 б0 1.0757 S0 0.1766
Для І = 10, Н1 = 0.4, к2 = 0.1, а0 = 1, (р0(х) = а0 соб
ґ лх^
2
при
X
< 1
и (Ро (х) = 0 при х > 1р(х) = 0 с помощью формул (10) - (12) получаем т = 0.5, Ао = 0.06366, Ъп = 0. Значения коэффициентов ап представлены в табл. 2. Графики д( х, ^), построенные с помощью выражения (11), приведены на рис. 1-2.
-щ
X
Рис. 1.
Рис. 2.
до,
до,
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. 735 с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-
М.: Наука, 1965. 703 с.
