Колебание жидкости в бассейне с наклонным дном Текст научной статьи по специальности «Физика»

Секция фундаментальной и прикладной математики

(ТРТУ)

УДК 551.466

В.Н. Зуев, О.А. Савицкий, В.В. Семенистый КОЛЕБАНИЕ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ

Движение жидкости в бассейне с наклонным дном можно рассматривать как решение смешанной краевой задачи

д2С _ д_

ді2 ^ дх

дд

дх

с_-1

И( х) ^ дх

дх

х < і, і > 0;

_ 0:

С(х о) _^о(х): х, о) _^!( х),

(1)

(2)

(3)

(4)

где д(х, і) - отклонение свободной поверхности жидкости от равновесного состояния; х - горизонтальная координата; і - время; g - ускорение силы тяжести; И( х) - глубина бассейна. Изменение глубины бассейна определим формулой

И(х) _ к0 (і - кх), |х| < і,

К

И + к 2

И _ и(-і), и2 _ И(і), _ К- И2

к _ 'Ч -»2 .

1 (И1 + И2)

(1)

д 2С

(і - кх)

д 2С удС

—1Т + к —

дх 2 дх

0, а2 _ gИо.

а2 дг2

Решение задачи (5), (2) - (4) согласно методу Фурье [1] будем искать в виде

£( х, г) = X (х )т (г),

(5)

(5)

Т" + а2 АТ _ 0,

(1 - кх)X"-кХ' + АХ _ 0,

(6)

х

где Л - неизвестный параметр. Общее решение уравнения (6) определяется выражением

Т(г) = С1 сое у[Лаг + С2 Бт 4Лаг. (8)

Уравнение (7) с помощью замены

1 - кх = %2

и последующего умножения полученного равенства на 4—^ приводится к уравне-

12 к2

[2]

£2 х' +

2л/Л

к

х = 0.

(9)

Частные решения уравнения (9) представим в виде

Хп (х) = 0 1 - кх УМК ) - У0 1 - кх )Л( ШУп ^ П = 1,2,•••,

где J0(2) и Ы0(2) - функции Бесселя и Неймана соответственно, Уп -

положительные корни характеристического уравнения (табл.1)

Jl (V)N (т V) - ^ (т V)N (V) = 0,

2 1 - кх

V

к

Л/Л(1 + кх)

т

1 + кх

гп 0.1 VI 3.9405 V, 7.3306 Vз 10.7484 ^4 14.1886 V; 17.6433 Vб 21.1073

0.2 4.2357 8.0553 11.9265 15.8210 19.7271 23.6400

0.3 4.7058 9.1042 13.5532 18.0200 22.44948 26.9739

0.4 5.3912 10.5577 15.7664 20.9882 26.2155 31.4456

0.5 6.3932 12.6247 18.8889 25.1624 31.4397 37.7190

0.6 7.9301 15.7472 23.5883 31.4358 39.2858 47.1371

0.7 10.5220 20.9694 31.4329 41.9007 52.3700 62.8404

0.8 15.7376 31.4308 47.1338 62.8393 78.5458 94.2528

0.9 31.4292 62.8385 94.2522 123.667 188.498 219.913

(10) Таблица 1

у7

24.5776 27.5558

31.4554

36.6773

43.9993

54.9892

73.3111

109.960

251.329

В случае Л = 0 решение уравнения (7) находим путём непосредственного интегрирования

Х0(х) = Д 1п(1 - кх) + А.

(2)

х0( х) = А.

2

Решение задачи (5), (2) - (4) представим в виде ряда Фурье - Бесселя

д( x t) = Д + t (an cos(nat + bn sin 4\at )Xn( x b (11)

где

kv

^ 2V1 + kl

I

Jp0(x)Xn (x)dx

1 l

A = 2/^о(x)dx,

l

Jp1(x)Xn (x)dx

a.

-i

-i

n l

I '* 1

JXn2(x)dx -ту- JXl(x)dx

-i yya -l

(12)

Таблица 2

n an n an n an n an

1 0.1089 21 -4.0551 41 1.7728 61 0.3894

2 1.3293 22 3.5585 42 0.7728 62 -1.2272

3 -1.4610 23 2.2977 43 0.7083 63 0.3212

4 -1.5992 24 -4.2986 44 -2.1018 64 1.2315

5 3.3684 25 0.2476 45 0.2608 65 -0.7979

6 0.2685 26 3.1513 46 1.8873 66 -0.5645

7 -4.6367 27 -1.2758 47 -0.8243 67 1.0964

8 2.2649 28 -1.1330 48 -0.6892 68 0.0527

9 4.3165 29 1.4138 49 1.4303 69 -0.9245

10 -4.9415 30 0.0314 50 0.0989 70 0.3489

11 -2.2061 31 -0.2938 51 -0.6303 71 0.3277

12 6.5196 32 0.0952 52 0.2216 72 -0.2090

13 -1.0339 33 -0.8341 53 0.0860 73 -0.0016

14 -6.2067 34 0.4997 54 0.0051 74 -0.0342

15 4.1732 35 0.6702 55 0.2429 75 -0.0304

16 4.0429 36 -1.2251 56 -0.5033 76 0.3729

17 -6.0257 37 -0.2161 57 0.8784 77 -0.2427

18 -0.8709 38 1.6160 58 -0.5939 78 -0.4138

19 6.0254 39 -0.9199 59 -0.8811 79 0.5939

20 -2.1007 40 -1.6859 60 1.0757 80 0.1766

Для l = 10, h1 = 0.4, h2 = 0.1, a0 = 1, p0(x) = a0 cos r nx ^ I 2 ; при ix < 1

p0( x) = 0 при Ixl > l,p1(x) = 0 (10) - (12)

m

0.5, А = 0.06366, Ъп = 0. Значения коэффициентов ап представлены в табл. 2. Графики д( X, t), построенные с помощью выражения (11), приведены на рис. 1 - 2.

n=1

b

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихо нов А.К, Самарский А А. Уравнения матем атической физики. - М.: Наука, 1977. -735 с.

2. . .- .: , 1965. - 703 с.

УДК 519.63:532.55

Т.В. Камышникова

ЭКОНОМИЧНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ С НАПРАВЛЕННЫМИ РАЗНОСТЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Уравнения движения имеют следующий вид:

дU + к (а), А дU k д

------+ X V (x, t)------------------X -----

дt а=1 дxа а=1 дxа

дU

дx,

= 0, x е£1, t > 0,

к = 3. (1)

а

(1) .

(1) построены экономичные одномерные дискретные уравнения (ЛОС - локальноодномерные схемы) с направленными разностями для первых производных. Примем следующие обозначения: