Кодирование вычетами цифровых сигналов, аппроксимированных цепями Маркова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.217.2

Н.Н. ИВАНОВА

КОДИРОВАНИЕ ВЫЧЕТАМИ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ, АППРОКСИМИРОВАННЫХ ЦЕПЯМИ МАРКОВА

Ключевые слова: система счисления в остаточных классах (СОК), цепи Маркова, начальные и переходные вероятности.

Получены формулы для вычисления начальных и переходных вероятностей цепей Маркова в каналах СОК. Построены блок-схемы алгоритмов вычисления вероятностей.

N.N. IVANOVA DIGITAL MARKOV SIGNALS RESIDIE CODING Key words: a notation in residual classes, chains of Markova, initial and transitive probabilities. Mathematical expression primary and transitional probabilities for each channel radix in residual classes. Built flowchart algorithms calculate probabilities.

Цепи Маркова находят широкое применение при описании различных случайных процессов [3, 5, 10]. В частности, их используют в ЦОС для аппроксимации случайных сигналов. В работах [8, 9] были разработаны оптимальные алгоритмы и на их основе построены схемы устройств обработки сигналов, аппроксимированных цепями Маркова. Однако из-за необходимости проведения вычислений над большеразмерными матрицами переходных вероятностей практическое использование таких устройств при позиционном кодировании увеличивает разрядность операндов, делает желательным наличие режима с плавающей запятой, что, в свою очередь, не снижает аппаратурные затраты и не улучшает отказоустойчивость. Кроме того, уменьшается быстродействие и увеличиваются шумы преобразования. Для устранения указанных недостатков необходимо уменьшать размерность матриц переходных вероятностей. Один из способов, позволяющих это сделать, заключается в использовании системы счисления в остаточных классах (СОК) [4, 6, 7].

В СОК любое целое положительное число L представляется в виде набора остатков (вычетов) по выбранным основаниям

Ь = (а1, а2,..., ау),

где

а i = L —

L

Ni

Nj для 1 = 1, 2,..., V ,

Z

где [Х]г - целая часть числа X, И1, N2,..., NV - основания системы (взаимно простые целые положительные числа) [1].

В силу независимости образования разрядов числа, присущих СОК, появляется возможность проводить независимую параллельную обработку этих разрядов. При этом из-за малоразрядности остатков диапазон представления чисел растет значительно быстрее, чем разрядная сетка, необходимая для их представления [1].

Вычеты по любому основанию СОК N=к являются целыми числами, принадлежащими отрезку [0, к-1]. Значения сигнала после АЦП можно рассматривать как конечную систему единственно возможных и несовместимых состояний цепи Маркова: А0, А1,..., Ап . По значениям вычетов номеров этих состояний можно производить их группировку. Таким образом, в любом «^-м канале СОК (^ е 1, V ) количество возможных состояний системы существенно сокращается по сравнению с количеством начальных состояний. Это позволяет перейти к обработке данных, имеющих намного меньшую разрядность, чем начальная (Я5<<Я, где Я - разрядность входных данных после АЦП; Я - разрядность данных в ^-м канале СОК).

В процессе синтеза алгоритмов цифровой обработки марковских сигналов в СОК, прежде всего, необходимо получить формулы для вычисления начальных и переходных вероятностей в каждом канале СОК.

Для этого рассмотрим простой пример. Пусть разрядность входного сигнала равна Я=4, следовательно, имеем Д=16 уровней квантования (А = 2Я) и шестнадцать возможных состояний: А0,А1,...,А15.

Закон простой (однородной) цепи Маркова считается заданным, т.е. известны начальный вектор вероятностей:

А) = {Po, А — Р15}; и матрица переходных вероятностей:

р0,0 р0,1 ... р0,15

Р =

р1,0 р1,1

р15,0 р15,1

р1,15

Р15,15

15 15

причем X Ра = 1, Е Рар = 1, для а = 0,1, ...,15.

а=0 р=0

Выбираем следующие основания СОК: {Ы1 = 3, ^ = 5, N3 = 7 } .

В канале СОК по основанию N1 = 3 система состоит из трех состояний: А0, А1', А^. Они соответствуют трем возможным значениям вычетов по этому основанию: 0, 1 и 2.

Состояние А0 (вычет равен 0) группирует начальные состояния с индексами 0, 3, 6, 9, 12, 15. Так как все эти состояния независимые, то по теореме сложения вероятностей [2]:

Р( А0) = Р (Л) + Р (А3) + Р (Аб) + Р (А9) + Р( А12) + Р( А15), или, используя значения для начальных вероятностей исходной цепи и обозначив Р( А0) через р0 [ N1 = 3], получим:

Р0[ N1 = 3] = Р0 + Р3 + Рб + Р9 + Р12 + Р15. (1)

Введем в рассмотрение следующую функцию:

3к + 2 (1 - I)

1=3к+1 (3к -1)

(2)

где к = 0,2,..., 5; 1 = 3к, 3к +1, 3к + 2.

Эта функция

Г1, при 1 = 3к;

5 (к, 1) Ч

[0, при 1 = 3к +1, 3к + 2.

Тогда, учитывая (1) и (2), получим:

5 3к+2

р0[N1 = 3] =ЕЕ5(к, 1)Рг . (3)

к=01=3к

Формулы для вычисления начальных вероятностей для остальных возможных состояний этого канала получены в виде:

5 3к+2

Р'[ N1 = 3] =ЕЕ5(к, 1) рг+1, (4)

к=01=3к 5 3к+2

Р2[^ = 3] = Е Е5(к, 0Рг+2 . (5)

к=01=3к

Анализ формул (3)-(5) позволил получить общую формулу для нахождения начальных вероятностей канала СОК по основанию N1 = 3:

5

ра [ N1 = 3]=е

к=1

3к+2

Е5(к, 1) Р1

1=3к

(6)

3к+2 (1 — I)

где 5(к, 1) = П ------------, к = 0,2,...,5; 1 = 3к, 3к +1, 3к + 2.

г=3к+1 (3к — I)

2 15

Причем Е Р'г = Е Р] = 1.

1=0 1=0

Аналогично можно найти и переходные вероятности в этом канале, только следует учесть, что после выполнения операции сложения вероятностей

необходимо произвести нормировку полученных результатов.

В итоге получим следующие формулы для вычисления переходных вероятностей в канале СОК по основанию N1 = 3 из состояния А0 в состояния

А0, А1, Аг:

5 3^+2 5 3к2+2

ЕЕ Е Е5(к^1 )5(к2, ]) Рг]

р0 0 [N1 = 3] = ^1=3к1 к2=01=3к2 =

5 3к[ + 2 15

Е Е Е5(к^1)рч

к=01=3кх ]=0

5 3кх+2^ 5 3к2+2 ^

Е Е 5(kl, о -Е Е5(к2,])Рц

у к2=01=3к2

к1 =0 1=3к

У

5 3к1+2 15

Е Е Е(к^оРу

к =0 1=3 к1 ]=0

Р0

01 [N1 = 3]=

5 3к1 +2^ 5 3к2+2 Л

Е Е 5(kl, 1)-Е Е5(к2,])р, 1+1

к1 =0 1=3кх у к2=0 ]=3к2 у

5 3 к1 +2 15

Е Е Е5(к10 Рг]

к =0 1=3кх ]=0 5 3кх + 2^ 5 3к2+2 Л

Е Е 5(к^1) -Е ¿Е(к2, ])р,]+2

' N = 3]= к1 =0 г=3к1 У_____________к2 =0 ] =3к2___________

Р02 1/4 = 3 = 5 3к1 +2 15

Е Е Е (к^1) Рг]

к =01=3к ]=0

(8)

(9)

3к + 2 (1 — I)

где 5(к, 1) = П ——-, к = 0,2,...,5.

г=3к+1 (3к — I)

2

При этом Е Р01 = 1.

1=0

Для остальных переходов в этом канале вероятности находятся аналогично. Обобщенная формула для вычисления вероятностей переходов в первом канале СОК, который соответствует основанию N1 = 3, получена в виде:

5 3к +2^ 5 3к2 + 2 Л

Е Е 5(к^1)-Е Е5(к2 , ])Рг+а, 1 + р

р^ = 3] = У к2=01=3к2

5 3 к1 +2 15

Е Е Е5(к^1)р

к!=0 1=3к ]=0

3к+2 (1—I)

(10)

1+а, 1

где а, р = 0,1,2; 5(к, 1) = П А

г=3к+1 (3к — г)

Во втором канале СОК с основанием N2 = 5 формула для вычисления вероятностей выглядит следующим образом:

"5к+4 "

Е5(к, 1) Рг+а , (11)

к=0 |_ 1=5к _

4 5 к +4^ 4 5к2+4 Л

Е Е 5(к^1)-Е (к2 , ])Рг+а,]+в

Р'а [N2 = 5] = Е

ГлГ к1 =0 г=5к1 У к2 =0 1=5к2

РаВ^2 = 5] =

4 5 к+4 15

Е Е Е5(к^1)р,

к1 =0 1=5к1 ]=0

(12)

1+а, 1

5к+4 (1 —г)

где 5(к, 1) = П~—-; а, р = 0,1, 2, 3,4.

г=5к+1 (5к — I)

В канале СОК с основанием N3 = 7 начальные и переходные вероятности вычисляются, соответственно, по формулам:

Р'а [N3 = 7] = Е

к=0

7 к+6

Е5(к, 0Рг

1=7к

P'aß[2 = 7] =

3 7kL+6f 3 7 k2+6 А

Z Z 5(k1.i) -Z je5(k2,7)Pi+a,j + ß

kj =0 i=7ki ^ ^2=0 j=7^2

3 7 kj +6 15

Z Z Z5(k1,1) P:

kj =0 i=7kj j=0

(14)

i+a, j

7 k+6 (i — l)

где 5(k,i) = П ——a, ß = 0,1, 2,..., 6.

l=7k+1 (7k —l)

Анализ полученных закономерностей позволяет синтезировать обоб-

щенные формулы для вычисления ве

Д2

P'a [©] = z

k=0

зоятностей в любом канале:

Аз«

Z5 k(i) p,-+<

i=©k

(15)

для переходных вероятностей односвязной цепи Маркова:

Д 2 Аз( k1)f А2 Д3( k2) А

Z Z ^i) -Z ^^Ö(k2 , j)Pi+a, j+ß

t Г^1 k1=0 i=©k l k2=0 j=©k2

Paß [©] =--------------------------------

А2 А3 (k1) А1

Z Z Zi)p,

k =0 i=©k1 j=0

Д3( k) (i — l)

5(k, i) = П (i l)

(16)

i+a,j

l=©k+1 (©k — l)

где © = NS - основание СОК; Д1 - число уровней квантования; Д2 =

(17)

Al

©

Z+

Д3 (x) = ©(x +1) — 1; [ ]Z + - операция округления в сторону большего целого.

(х+ ,

(1) Д2 Д3(к2)

Если обозначить через Нк (а, Р) выражение Е Е (к2, у)Рг+а у+р , то

2 к2 =0 ]'=©к2

формулу (16) можно также записать в следующем виде:

Д2 ^3(к1)/ . . \

Е Е (5(к1,о'=к,’(а.в))

>;»[©]=к11 'И, »---------------------------------------------. (18)

i+a, з

рсф[^ Д2 Д3(к1) Д1

Е Е Е5(к^ 1) Рг-

к1 =0 г=©к1 ]=0

Аналогично можно получить и формулы для переходных вероятностей многосвязных цепей Маркова в каналах СОК. В частности, для двухсвязной цепи Маркова формула выглядит следующим образом:

Д 2 Д3( Ю/ , . \

Е Е (5(к1,г) -Нк2'1 (а, в, у))

р [©1 =______к1=о г=©к1_____________________________________ (19)

Д2 Д3(к1) ( Д 2 Д3( к2) Д1 Л’

е е 5(к1, г) - е е е5(к2,ор1+а^л

к1=0 г=©к1 ук2 =0 у=©к2 I =0

(2) Д3^2^ (2) \

Нk2)(а,P,у) = Е Е (5(к^1)-Нk3)(а,P,у)), (20)

к2 =0 1 =©к2

" (2)

Д2 Д3(кз)

(а, Р, У) = Ё І) Рг

і+а,;'+р,?+у ’

(21)

кз=0 і=©кз

; Д3 (х) = ©(х +1) — 1; [ ]2 + - операция округления

основание СОК; Д1 - число уровней

в сторону большего целого.

На основе полученных выражений в среде Ма1ЬаЬ 7.0.1 были составлены файлы-функции КасЬ_уег_80К.ш, УусЫ81_регеЬо^_уег_80К.ш, Бе11а_!ип.ш.

Блок-схема функции КасЬ_уег_80К показана на рис. 1. Эта функция предназначена для вычисления начальных вероятностей марковской цепи в каналах СОК. Входными данными являются разрядность отсчетов входного сигнала и основание СОК, а выходными - векторы начальных вероятностей в СОК по выбранному основанию.

Функция УусЫ81_регеЬо^_уег_80К предназначена для вычисления переходных вероятностей простой цепи Маркова в СОК. Ее блок-схема показана на рис. 2. Входные данные те же, а выходными являются таблицы вероятностей в СОК по выбранному основанию.

В функциях КасЬ_уег_80К и УусЫ81_регеЬо^_уег_80К используется встроенная функция Ма1;ЬаЬ сей(х), которая округляет х до ближайшего целого в сторону +со. Функция КасЬ_уег_80К считывает из ш-файла р_пасЬ.ш заданные значения начальных вероятностей, а УусЫ81_регеЬо^_уег_80К из файла р_регеЬ.ш - переходных вероятностей цепи Маркова.

Функция Бе11а_:Тип.ш вычисляет 5(к, г), ее блок-схема представлена на рис. 3. В качестве входных данных используются значения переменных к, 1 и основания СОК (N5). Она вызывается функциями КасЬ_уег_80К и УусЫ81_регеЬо^_уег_80К.

йеКа_Тип(к,Мз,1)

~(5

Рис. 1. Блок-схема вычисления начальных вероятностей цепи Маркова в СОК

¡=Мзк

Начало

. Т

( Ввод значений:

Л/5 - основание СОК; Яагг- разрядность _______входных данных_________/

р_$0К_регеЬ[а1р11а,Ье1а]=зит

э/рЛа=а/р^а+1

=£_

эит=эит+ОеЛа_^п(ки Л/5, г)* хОвНа_(ип(к2, N5 ,/)х хр_регеЛ[/+а/р/7а,у+йе/а]

а/р/га=1

эит1 =$и/г?1 + +р_50К_регеЬ[а/рЛа,Ье^а]

_____1______

6е?я-Ье?а+1

$ит1 =0

а/рЬа=1

р_ЭОК_реге^[а/рЛа,ЬеГа]= -р 50К регеМа!рЬ1а.Ье1а] 5[а/рЬэ]

Ье?а=Ье/а+1

5[а/р/1а]=зит1; зит1=0; а1рЬа-а!рЬа+1

Рис. 2. Блок-схема вычисления переходных вероятаостей в СОК

Рис. 3. Блок-схема алгоритма вычисления S( к, i )

Литература

1. Акушский И.Я. Машинная арифметика в остаточных классах / И.Я. Акушский, Д.И. Юдиц-кий. М.: Сов. радио, 1968. 440 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учеб. пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. 2-е изд., стер. М.: Высш. школа, 2000. 480 с.

3. Галанина Н.А. Отказоустойчивый фильтр марковских сигналов / Н.А. Галанина, Н.Н. Иванова, М.В. Спиридонов // Вестник Чувашского университета. 2008. № 2. С. 175-179.

4. Иванова Н.Н. Оптимальная фильтрация сигналов, аппроксимированных цепями Маркова / Н.Н. Иванова// Вестник Чувашского университета. 2005. № 2. С. 127-131.

5. Кемени Дж. Конечные цепи Маркова: пер. с англ. / Дж. Кемени, Дж. Снелл. М.: Сов. радио, 1971. 332 с.

6. Лебедев Е.К. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Е.К. Лебедев. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1989. 192 с.

7. Лебедев Е.К. Марковские свойства непозиционных сигналов / Е.К. Лебедев, Н.А. Галанина, Н.Н. Иванова // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы V Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2004. С. 165-169.

8. Нифонтов Ю.А. Анализ цифровой системы селекции движущихся целей / Ю.А. Нифонтов, В.А. Лихарев // Изв. вузов СССР. Радиотехника и электроника. 1970. № 7. С. 1023-1027.

9. Нифонтов Ю.А. Цифровая обработка импульсных сигналов в условиях воздействия коррелированных помех / Ю.А. Нифонтов, В.А. Лихарев // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1969. Т. 12, № 3. С. 260-266.

10. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова / В.И. Романовский. М.: Гостехиздат, 1949. 436 с.

ИВАНОВА НАДЕЖДА НИКОЛАЕВНА - заведующая лабораторией информационных средств обучения, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (naadeezdaa@rambler.ru).

IVANOVA NADEZHDA NIKOLAEVNA - head of laboratory information learning tools, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.