CC BY
38
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«наука. инновации. технологии», № 3, 2014
удк 621.372.54 В. А. Песошин [V. A. Pesoshin], Н. А. Галанина [N. A. Galanina], Н. Н. Иванова [N. N. Ivanova]
марковская фильтрация цифровых сигналов в системе остаточных классов
Markov filtration of digital signals in residue number system
Рассмотрен алгоритм обработки сигналов, аппроксимированных цепями Маркова, на фоне помех марковского типа. Показано, что реализация данного алгоритма требует значительных аппаратурных затрат. Предложено сократить их с помощью использования системы счисления в остаточных классах (СОК). Показано, что такой способ реализации устройств обработки марковских сигналов позволяет существенно сократить аппаратурные затраты.
Ключевые слова: цифровая обработка сигналов, марковские сигналы, система счисления в остаточных классах
The article deals with signal processing algorithms, which are approximated by Markov chains on a background noise of Markov type. It is shown that the implementation of this algorithm requires significant hardware costs. Proposed to reduce them by using a residua number system (RNS). It is shown that this method of implementation, the processing of Markov signals can significantly reduce hardware expenses.
Key words: digital signal processing, Markov's signals, residua number system.
Одной из прикладной задач, решение которой основано на использовании аппарата цепей Маркова, является оптимальное обнаружение сигнала на фоне помех марковского типа. Обнаруживаемый сигнал и помеха описываются цепью Маркова с конечным числом состояний. Цифровая обработка сигнала сводится к весовому суммированию отсчетов сигнала [13]:
где Zk+1 - весовой коэффициент, который определяется по формуле
zr=Iln
pk+1 У nvx
S{xk-Uv),
(2)
где
Pvx -
m -n -
Uv -
элементы вектора начальных вероятностей цепи Маркова; вероятности перехода системы из состояния V на к-м шаге в состояние х на (к + 1)-м шаге (индексы «сп» и «п» обозначают случаи наличия или отсутствия сигнала в смеси сигнала и помехи); количество уровней квантования; длина выборки; Х-й уровень квантования;
Схемотехническая реализация данного алгоритма при многоуровневом квантовании и использовании для аппроксимации сигнала сложных цепей Маркова сопряжена со значительными аппаратурными затратами (см. табл. 1).
Согласно данным, приведенным в табл. 1, реализация устройства цифровой обработки марковских сигналов (МС) на основе позиционной системы счисления возможна только для некоторых простейших случаев.
Использование системы счисления в остаточных классах (СОК) позволяет уменьшить разрядность операндов, эффективно применять табличные методы проектирования и строить многоступенчатые системы [1, 7, 10]. Применение СОК в каждой новой области, кроме использования общих ее принципов, имеет ряд специфических особенностей и требует самостоятельного подхода к проектированию и организации специализированных процессоров [2, 7, 10].
В работах [7, 9] показано, что кодирование вычетами не меняет марковских свойств.
На рис. 1 приведены основные этапы цифровой обработки МС (ЦОМС) в СОК.
На первом этапе ЦОМС в СОК определяются критерии выбора оснований СОК. Задается целевая функция F = vX R ^ min, которая минимизирует суммарную разрядность оснований СОК и их количество, и система ограничений: Ri > 1, Ri >> R для всех i = 1,2,.. .,v и XR - Г1с^2 Pmax 1, где
физико-математические науки
Марковская фильтрация цифровых сигналов в системе остаточных классов
Таблица 1. ЗАВИСИМОСТЬ КОЛИЧЕСТВА АДРЕСНЫХ ВХОДОВ И ЕМКОСТИ
МИКРОСХЕМ ПАМЯТИ ОТ РАЗРЯДНОСТИ АЦП И СЛОЖНОСТИ ЦЕПИ МАРКОВА
Связность цепи Маркова Характеристики
Кацп = 10 бит Кацп = 12 бит Кацп = 14 бит
0, Мбайт N 0, Мбайт N 0, Мбайт N
1 1 20 24 24 218 28
2 210 30 216 36 222 42
3 220 40 228 48 236 56
Примечание. О - емкость памяти; N - количество адресных входов микросхемы памяти; Яацп -
разрядность АЦП. При расчете разрядность весового коэффициента Rz принята равной 1 байту.
Ш - разрядность N V - количество оснований в базисе; где Ртах - максимально возможный результат обработки данных в позиционном коде; Г ] - операция округления дробного числа до ближайшего целого в большую сторону; Я - разрядность позиционного кода входного числа.
На следующем этапе ЦОМС в СОК определяются вычеты сигнала х(0 по выбранным основаниям, тем самым укрупняются состояния исход-
ной цепи Маркова. Для этого состояния системы группируются по значениям вычетов номеров состояний по выбранному основанию. Например, для основания СОК, равного 3, вводятся три состояния порожденной цепи Маркова: первое - если вычет номера по основанию 3 равен 0, второе -если он равен 1, третье - если он равен 2. Затем определяются начальные и переходные вероятности порожденных цепей Маркова в каналах СОК с помощью следующих формул [3, 8]:
р'ат=Т
к=о
"Аз(*)
i адл.
г=вк
(3)
А, Д э(*,), ч
У а/3 д2 Д3(*-,) А,
к{ =0 ¡=<дкх у=0
(4)
V
А2 Аз№> ч
£ =0 1=0*1
А2 А3(*1)
А2 Д3(*2) А!
к{= О/=0*! ^2=Оу=0*2 /=0 У
(5)
гДе 5{к, /) = П ; = " основание СОК;
/=04+1
Д,
*2=Оу"=0*2
А1 - число уровней квантования;
7(2)
А2 А3(*3)
о /=©£,
©
;
операция округления дробного числа до ближайшего целого в большую сторону.
физико-математические науки 3 1
. Марковская фильтрация цифровых сигналов в системе остаточных классов _
Весовые коэффициенты в S-м канале СОК вычисляют-
ся по формулам:
(6)
I V ; \ !
-ч IV 8
где М - масштабирующий множитель;
I I операция округления дробного числа до ближайшего це-
лого в меньшую сторону; р'СПа и рПа и р'сПф..у и р'Пф..у- начальные и переходные вероятности для смеси сигнала с помехой (СП) и чистой помехи (П), соответственно, вычисленные по формулам (1)-(3).
На рис. 2 представлена функциональная схема устройства обработки двухсвязных МС в одноступенчатой СОК [4, 5].
Рисунок 2. Функциональная схема устройства обработки двухсвязных
МС в одноступенчатой СОК.
В этом устройстве «оцифрованный» входной сигнал х(кТ) в шифраторах Ш-Аь Ш-А2, ...., Ш-А„ заменяется вычетами х1(кТ), х2(кТ), ..., ху(кТ) по модулям А1, А2, ..., А„. В каждом канале СОК регистры и служат для запоминания вычетов двух последовательных отсчетов сигнала х5(кТ + Т), х5(кТ + 2Т) по основаниям NS (5 = 1, V). Затем отсчеты х5(кТ), х5 (кТ + Т), х5 (кТ + 2Т), формирующие адрес ячейки памяти, считывают из нее соответствующие весовые коэффициенты А8 ]. Далее ]
и х5(кТ) поступают на умножитель (Умн). Умножение происходит по модулю соответствующего канала. Полученные произведения складываются для последовательности выборочных значений в сумматоре (¿). Накопленная сумма поступает на блок дешифрации (ДШ), в котором результат фильтрации переводится в позиционный код.
Такой способ реализации устройств обработки марковских сигналов требует существенно меньших затрат. Так, при ртах = 217, ЯДЦ-П = 10 бит и Я2 = 8 бит максимальный объем памяти, необходимый для реализации устройства обработки МС в одноступенчатой СОК, приблизительно равен 7 Мбит. Тогда как только на реализацию блока хранения весовых коэффициентов в устройстве, построенным на основе ПСС, для аналогичных входных данных требуется память емкостью 8 Гбит. При усложнении цепи Маркова, т. е. использовании трехсвязной цепи, аппаратурные затраты на реализацию спецпроцессора устройства обработки МС в СОК увеличиваются только за счет роста затрат на реализацию блока хранения весовых коэффициентов.
Для максимального снижения разрядности можно построить многоступенчатую СОК [1, 7, 11], в которой каждый 7-й канал первой ступени независимо представлен несколькими параллельными к каналами второй ступени по модулям Каждый канал второй ступени, в свою очередь, может быть перекодирован по модулям третьей ступени Ак и представлен несколькими параллельными каналами третьей ступени.
На рис. 3 представлена функциональная схема устройства обработки МС в трехступенчатой СОК [6].
Устройство работает следующим образом. Шифраторы первой ступени (Ш-А1, Ш-А2, ..., Ш-А„) определяют вычеты значений сигнала х(кТ) по модулям А1, А2, ..., (х1(кТ), х2(кТ), ..., ху(кТ)); шифраторы второй ступени (Ш-А„ь Ш-А„2, ..., Ш-А„К) определяют вычеты значений сигнала ху(кТ) по модулям А„1, Ай, ., ЫуК (хл(кТ), хл(кТ), ., хуК(кТ)); шифраторы
физико-математические науки
Марковская фильтрация цифровых сигналов в системе остаточных классов
Рисунок 3. Функциональная схема устройства обработки двухсвязных МС в трехступенчатой СОК.
третьей ступени (Ш-А \К , Ш-А 2Ж , ., Ш- ) определяют вычеты значений сигнала хж(кТ) по модулям А1Ж, А^к,., (х (кТ), х2Ж(кТ),., х (кТ).
Результаты, полученные в каналах третьей ступени, поступают на дешифратор (ДШ 3-й ступени) для восстановления результата по модулю Аж, в каналах второй ступени - на дешифратор (ДШ 2-й ступени) для восстановления результата по модулю Ау. Общий дешифратор (ДШ) переводит результат в позиционный код.
За счет многоступенчатой реализации устройств обработки марковских сигналов в СОК удается дополнительно сократить аппаратурные затраты более чем на 10%. Причем чем сложнее цепь Маркова, тем большего сокращение затрат удается достичь при переходе к обработке данных в многоступенчатой СОК.
Таким образом, использование СОК при синтезе цифровых фильтров марковских сигналов является эффективным способом решения задачи сокращения аппаратурных затрат.
ЛИТЕРАТУРА
1. Акушский И. Я., Юдицкий Д. И. Машинная арифметика в остаточных классах. М.: Сов. радио, 1968. 440 с.
2. Галанина Н. А. Непозиционные алгоритмы и устройства цифровой фильтрации и спектрального анализа. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. 208 с.
3. Иванова Н. Н. Кодирование вычетами цифровых сигналов, аппроксимированных цепями Маркова // Вестник Чувашского университета. 2009. № 2. С. 211-218.
4. Иванова Н. Н. Непозиционная оптимальная фильтрация марковских сигналов // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. С. 209-212.
5. Иванова Н. Н. Разработка оптимальных алгоритмов и устройств обработки марковских сигналов в одноступенчатой СОК // Вестник Чувашского университета. 2009. № 2. С. 219-223.
6. Иванова Н. Н. Синтез оптимальных алгоритмов и устройств обработки марковских сигналов в многоступенчатой СОК // Сборник научных статей докторантов, аспирантов и соискателей. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2010. Вып. 1. С. 31-40.
7. Лебедев Е. К. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. -Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1989. 192 с.
8. Лебедев Е. К. Вычисления вероятностей переходов для цепей Маркова, аппроксимирующих сигналы в фазовых системах / Е. К. Лебедев, Н. А. Галанина, Н. Н. Иванова // Вестник Чувашского университета. 2001. № 3. С. 89-100.
9. Лебедев Е. К. Марковские свойства непозиционных сигналов / Е. К. Лебедев, Н. А. Галанина, Н. Н. Иванова // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике: материалы V Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2004. С. 165-169.
10. Лебедев Е. К. Непозиционные фильтры. Йошкар-Ола: Экседарт, 1991. - 87 с.
физико-математические науки
Марковская фильтрация цифровых сигналов в системе остаточных классов
11. Лебедев Е. К. Оптимизация непозиционных устройств цифровой обработки сигналов / Е. К. Лебедев, Н. А. Галанина, Н. Н. Иванова, Е. Ю. Буланкина // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. С. 199-203.
12. Лебедев Е. К. Реализация спецпроцессоров обработки марковских сигналов на непозиционных БИС / Е. К. Лебедев, Н. А. Галани-на, Н. Н. Иванова // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем: материалы V Всерос. науч.-техн. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. С. 197-198.
13. Нифонтов Ю. А., Лихарев В. А. Цифровая обработка импульсных сигналов в условиях воздействия коррелированных помех // Известия вузов СССР Радиоэлектроника. 1969. Т. 12. № 3. С. 260-266.
сведения об авторах
Песошин Валерий Андреевич, доктор технических наук, профессор кафедры компьютерных систем, Казанский национальный исследовательский технический университет имени А.Н. Туполева. Адрес: 420111, г Казань, ул. К. Маркса, д. 10. Телефон (843) 23100-57. E-mail: pesoshin@evm.kstu-kai.ru.
Галанина Наталия Андреевна, доктор технических наук, профессор кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Адрес: 428015, г Чебоксары, Московский просп., д. 15. Телефон (8352) 58-14-17 (доб. 2208). E-mail: galaninacheb@mail.ru. Иванова Надежда Николаевна, кандидат технических наук, доцент кафедры математического и аппаратного обеспечения информационных систем, Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Адрес: 428015, г. Чебоксары, Московский просп., д. 15. Телефон (8352) 45-20-96. E-mail: naadeezdaa@rambler.ru.
Pesoshin Valeriy Andreevich, doctor of technical sciences, professor of Computer Systems Chair, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Russia, Kazan. Galanina Nataliya Andreevna, doctor of technical sciences, professor of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University named after I.N. Ulyanov, Russia, Cheboksary. Ivanova Nadezhda Nikolaevna, candidate of technical sciences, associate professor of Math and Hardware Information Systems Chair, Chuvash State University named after I.N. Ulyanov, Russia, Cheboksary.
