Калибровка Лоренца и электромагнитное поле диполей в анизотропной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Калибровка Лоренца и электромагнитное поле диполей в анизотропной среде

Кадников С.Н., д-р техн. наук, Ометова М.Ю., канд. техн. наук

Рассматривается методика расчета электромагнитного поля с использованием уравнений Максвелла и векторных потенциалов. Установлено, что условие калибровки Лоренца может быть получено непосредственно из уравнений поля. Показано, что принципиального различия в методике расчета с использованием векторов поля и векторных потенциалов не существует.

Ключевые слова: электромагнитное поле, анизотропная среда, диполь, фундаментальные функции.

Lorentz gauge and electromagnetic field of dipole sources in the anisotropic medium

The design procedure of an electromagnetic field with use of the equations of Maxwell and vector potentials is considered. It is established that the condition of Lorentz gauge can be received directly from the field equations. It is shown that there is no distinction of kind in a design procedure with use of vectors of a field and vector potentials.

Keywords: electromagnetic field, anisotropic medium, dipole, fundamental functions.

При разработке методики расчета электромагнитного поля в анизотропной среде основной задачей является определение фундаментальных решений уравнений Максвелла, т.е. электромагнитных полей дипольных источников (электрических или магнитных диполей), которые в общем случае до сих пор не получены [1]. Актуальность этой задачи определяется еще и тем, что фундаментальные решения уравнений Максвелла используются при построении математических моделей для решения краевых задач методом интегральных уравнений [2].

Известно, что фундаментальные решения в изотропной среде можно искать двумя способами - путем прямого решения волновых уравнений относительно векторов поля или путем предварительного введения векторных потенциалов и условий калибровки для получения волновых уравнений уже относительно этих потенциалов.

Рассмотрим первый способ. Для безграничной однородной изотропной среды из уравнений Максвелла

го(Н = 1кБ + 8Э, (1)

г&Ё = — у <вц0цН, (2)

где ук = у + уюе08 , можно получить уравнение АЁ - к2Ё = уюцоЦ8э, (3)

где к = ^1 уюц0цук . К этому уравнению должно быть добавлено еще одно уравнение: дыЁ = 0 , (4)

которое является следствием уравнения (1) и обеспечивает равносильность уравнений (3), (4) и уравнений (1), (2).

Если заменить функцию 8э в (3) на

произведение р8 , где р - постоянный вектор

с размерностью плотности тока; 8 = 8(х,у,г) -

дельта-функция, то можно получить фундаментальное решение волнового уравнения (3) в виде [3]

— —к&

Ё = —у £—, (5)

4п И

где рэ - вектор электрического момента с размерностью А-м. Однако эта функция не удовлетворяет уравнению (4), а следовательно, и уравнениям Максвелла. Уравнение, из которого действительно можно найти фундаментальное решение, получается путем взятия ротора от уравнения (2) и последующей подстановки выражения для гоН из уравнения (1): гоМЁ — к 2Ё = — у юц0ц8э, (6)

Из уравнения (6) в тех областях, где 8э = 0 , непосредственно следует, что условие (4) выполняется тождественно. Оно будет выполняться везде, если считать, что дЫ 8э = 0 во внутренних областях проводника, по которому протекают токи проводимости, что в технических задачах всегда выполняется, если иметь в виду металлические проводники. Из этого следует, что уравнение (6) равносильно уравнениям Максвелла. Поэтому они могут быть непосредственно использованы для нахождения фундаментальных решений, т.е., в конечном счете, любых решений уравнений Максвелла в безграничной однородной среде при заданном распределении источников тока.

Чтобы определить конкретную форму такого рода решений, заменим плотность тока 8э в уравнении (6) произведением р8 и применим к нему прямое преобразование Фурье:

ад

ё (X, у, г) = Ц|ё (X, у, г )-е"- у (+уу+гг ^бхбубг. (7)

—ад

Учитывая, что преобразование Фурье дельта-функции равно единице, получаем следующую систему уравнений для компонент векторной спектральной функции Ё(X,у,г):

р 2+ к2 - х2 | Ех - хуЕу - х*Еу = - і ю ц0ц рх,

- хуЕх + 1 р 2+ к2 - у2 | - уіЕ2 = - і ю цоЦ Ру, (8)

- *гЕх - ,к;г^у +1 р 2+ к2 - *2 | Е* = - і ю^ц р*,

* * * * где р2= х2+ у2+ г2. Решение этой системы нетрудно найти по известным правилам линейной алгебры:

Ez = -

1 рх х2 + ру • ху + р* • х* і юЦ0№х

Ук р2+к2 р2 + к2

1 рх • ух + ру ■ у2 + р* у* і ю^0^ру

Ук р2+к2 р2 + к2

1 рх • *х + ру • *у + р * • *2 і ю№р*

Ук

р2 + к2

р2 + к2

(9)

или в сокращеннои векторной записи

* / *

Е = -

ук р2 + к2 р2 + к2 ’

(10)

где р = іх + іу + к*. Применяя к выражению (9) обратное преобразование Фурье:

Е (, у, z ) =

: -> [ГГ ¿г I *, у, * 10і(+уу+**) * а у а г, (2п)3 •’-^ I ^

(11)

получим фундаментальное решение (6) в виде

- 1 / е~кЯ Е = — (аы)-к2) Є

4пУ к

Я ’

(12)

где Я - расстояние от начала координат, а выражение в круглых скобках следует понимать как оператор, действующий на функцию

-кЯ

. Используя фундаментальную функцию

е

э Я

(12), можно получить решение уравнения (6) при заданном в объеме V распределении токов с плотностью 8э:

(13)

-кЯ

4пу ^ 4 7 1 эр я

где Я - расстояние между точкой интегрирования р и точкой наблюдения д.

Введем вспомогательную функцию А формулой

А*

гд ее

кЯ

. ^ эр -с1Уп.

4п V эр Я р

(14)

Тогда выражение (13) можно переписать в виде

Е = -іюА +-^- ч(мА). (15)

Ц0^Ук

Подстановка этого выражения в (6) дает векторное волновое уравнение относительно А :

АА - к А = -ц|Д,. (16)

Отметим, что для любого решения этого уравнения условие дЫЁ = 0 выполняется. Положим

1

Ф = -

-а'ыА .

№Ук

(17)

Это соотношение является известным условием калибровки Лоренца, которое в данном случае получено из решения уравнения (6), равносильного уравнениям Максвелла. Иными словами, это условие может быть получено непосредственно из уравнений Максвелла, т.е. является их следствием, в то время как в рамках известной процедуры вывода волнового уравнения (16) из уравнений Максвелла оно вводится явочным порядком, т.е. является только техническим приемом. Поскольку решение вида (12) является единственным, то условие (17) является не только достаточным, но и необходимым для преобразования уравнения (6) (а следовательно, и уравнений Максвелла) к волновому уравнению.

В связи с этим имеет смысл обсудить еще один способ калибровки, основанный на введении соотношения дЫА = 0 (кулоновская

калибровка). Потенциал А , определенный формулой (14), этому условию не удовлетворяет, поскольку

~-кЯ Л

аыА* 4°п [ I §эР

V

= -Н0Е[|8 V -4п р

, V,

* Я

кЯ \

(

эр

= -^[ аы 4п •>

V V

=-14? Ф(, §эр)

Я

/

-кЯ \

аУр =

Я

СІУП

/

-кЯ

Ц0Ц Г 1 4п '

V

-кЯ

Я

-аы Ьэра'^р =

—а$п. Я р

В области V (открытой) дЫ8эр = 0 , однако нормальная составляющая плотности тока (п,8э) на £ нулю не равна. Но если ввести потенциал А условием Ё = -_/юА, то, поскольку

дЫЁ = 0, условие дЫА = 0 будет соблюдено. При этом вместо волнового уравнения (16) приходится использовать уравнение вида (6):

гоігоіА + к А' = ц0ц8э

(18)

В результате оказывается, что кулоновская калибровка не дает никаких преимуществ по сравнению с методикой прямого расчета векторов поля, основанной на применении уравнения (6).

Таким образом, из вышеизложенного можно сделать следующие выводы. Использование уравнения (6) дает возможность прямого расчета фундаментальных решений уравнений

*

х

30

Максвелла или, что практически то же самое, электромагнитного поля электрического диполя. Что касается магнитного диполя, то здесь нужно исп ользовать уравнение вида (6) относительно H, которое может быть получено из (1) и (2), если задать в правой части в общем случае (2) плотность магнитных токов, а для расчета фундаментальных решений - дельтафункцию, т.е. действовать по той же схеме, что и в случае электрического диполя.

Однако такой подход не является наиболее экономичным. С вычислительной точки зрения проще использовать векторные потенциалы, т.е. фундаментальные решения волновых уравнений вида (16), и затем вычислять электрическое поле по соотношению (12), а

- 1 -

магнитное по формуле H =-------rotA, т.е. путем

Д0Д

дифференцирования, поскольку это проще, чем вычисление обратных преобразований Фурье от выражений (9).

Рассмотрим теперь методику построения фундаментальных решений, или, что то же самое, расчет электромагнитного поля дипольных источников в анизотропной среде. Уравнения Максвелла запишем в следующем виде: rotH = у kE + 8Э, (19)

rotE = - j юД aH, (20)

где у к =y + j юеоё; Да = доД — диагональные тензоры комплексной удельной проводимости и магнитной проницаемости с компонентами

Ykx, Yky, Ykz ; Дах, Дау, Да7 соответственн°.

Умножив уравнение (20) на Д-1 и взяв

ротор от обеих частей, после подстановки rotH из (19) получаем уравнение, являющееся обобщением уравнения (6): rot Д-1rotE + j roY kE = - j ю5Э. (21)

Это уравнение может быть преобразовано к следующей системе, которую целесообразно записать в развернутой форме: д —

A1Ex ~~flXdiV1E — jЮД0ДУДzEx = jюД0ДуД^^эх , (22)

д —

A1Ey — ду div1E — jюДоДxДzEy = jю ^^^^эу , (23)

д ^

A1EZ — ~д)^^^1Е — jЮД0ДxДyEz = jЮД0ДxДy^ЭZ , (24)

где дифференциальные операторы имеют вид

А1 = Д

д2

д2

д 2

х д 2 'ДУ д 2 +Дz д 2; дх2 ду2 dz2

д

д

д

(25)

(26)

дЫ1 Дх д + ду д + дг д .

дх * ду дг Рассмотрим сначала вариант одноосной среды, когда дх = Ду =д (д*дг),

У кх = У ку = Ук (у к * у кг). Тогда коэффициенты при Ёх,Ёу в (22), (23) оказываются равными

j ro,0,,z Yk форме

E = - j <вА -

и вектор 1

E можно представить в

ч(сИы1А ). (27)

д0ддгУк

При таком представлении уравнения (22), (23) сводятся к двум волновым:

АдАх — кхАх = -д0дг8эх ,

АДАу kxAy Д0^^эу ,

где k2 =j d^z Yk;

A,, =

д2

д2

дх ду

-X

д2

Ддz2;

Уравнения (24) преобразуется к виду

AyAz - k2Az =(1 -X)

где kz = jro,0,Ykz ;

Гд2Ах

д2 Ау

дzдx дzду

- Д0Д8э

X = ^-. Хд

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

дх2 ду2 ' дг2 ' Yk Л

При расчете поля сначала должны решаться уравнения (28), (29), а затем при известных Ах, Ау - уравнения (31). Напомним, что речь идет о расчете поля заданного распределения токов в безграничной однородной анизотропной среде.

Рассмотрим теперь методику решения этой же задачи с использованием векторных потенциалов. Полагая даН = ОАэ, где Аэ -векторный электрический потенциал, из уравнения (20) получаем известное выражение для напряженности электрического поля:

Ё = -\юАэ - Уф.

После подстановки выражений для (19) получаем систему уравнений:

д -

А1 Аэх - дхд^Ы1Аэ - 1Юд0дудгкхАэх -

Н

(33) и Е в

(34)

дфэ

д0дудгYкх дх = д0дудг^эх ,

д -

А1 Аэу - ду д^Ы1Аэ - Iюд0дхдгУкуАэу -

-д0дхдгYку ду = -д0дхдг^эу ,

д -

А1 Аэг - дг дЫ1Аэ - 1 юд0д хд уY кгАэг --д0дхдуYкг дг = -д0дхду^эг .

Для одноосной среды после использования прежних обозначений и калибровки вида

(35)

(36)

ф = --

1

,0,,zY k

(div1A3 )

(37)

система уравнений (36) преобразуется к уравнениям (28), (29), (31) при А = Аэ. В результате можно сделать вывод, что никакого принципиального различия с точки зрения процедуры решения при использовании векторов поля и

векторных потенциалов, по крайней мере, для варианта одноосной анизотропии не наблюдается. Вопрос состоит только в том, как по векторному потенциалу вычислять вектора поля: либо использовать преобразованные по Фурье уравнения (28), (29), (31) и (27) и затем вычислять вектора поля по известным изображениям с помощью обратного преобразования Фурье, либо определять явные выражения для потенциала по уравнениям (28), (29), (31) (также с использованием преобразований Фурье), но вектора поля вычислять путем дифференцирования с использованием формулы (27) и уравнения (20). Второй способ кажется более про-

стым, однако и он, как показывает практика, связан с довольно громоздкими вычислениями, результаты которых требуют детальной проверки с использованием уравнений Максвелла.

Список литературы

1. Савченко А.О., Савченко О.Я. Электромагнитное поле диполя в анизотропной среде // Журнал технической физики. - 2005. - Т. 75. - Вып. 10. - С. 118-121.

2. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет переменных электромагнитных полей. - Киев: Техника, 1975.

3. Марков Г. Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. - М.: Радио и связь, 1983.

Кадников Сергей Николаевич,

Ивановский государственный энергетический университет,

доктор технических наук, профессор кафедры теоретических основ электротехники и электротехнологии, e-mail: zav@toe.ispu.ru

Ометова Мария Юрьевна,

Ивановский государственный архитектурно-строительный университет, старший преподаватель, телефон (4932) 47-20-13.