CC BY
70
к.физ.-мат.н., и.о. заведующего сектором № 203, Полярный геофизический институт, г. Апатиты, mingalev_o@pgia.ru
Федоренко Юрий Валентинович,
к.физ.-мат.н., доцент, заведующий сектором, Полярный геофизический институт, г. Апатиты, yury.fedorenko@gmail.com
УДК 537.87, 517.958
М. Н. Мельник, О. И. Ахметов, О. В. Мингалев, И. В. Мингалев
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ТОЧЕЧНОГО ДИПОЛЬНОГО ИСТОЧНИКА В ОДНОРОДНОМ ИЗОТРОПНОМ ПРОВОДНИКЕ И НА ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕД
Аннотация
Выведена формула, описывающая решение задачи Коши для телеграфного уравнения в 3-мерном пространстве, аналогичная (и переходящая в нее при нулевой проводимости) формуле Кирхгофа для волнового уравнения. На основе выведенной формулы строится решение задачи о поле электрического диполя Герца с произвольной зависимостью тока от времени в бесконечном однородном изотропном проводнике. Также для случая гармонически зависящих от времени полей получено в наиболее общем случае точное решение задачи о поле горизонтального электрического диполя Герца на плоской границе раздела двух однородных изотропных сред, из которых одна обязательно является проводником.
Ключевые слова:
уравнения Максвелла в проводнике, точные решения, диполь Герца.
M. N. Melnik, O. I. Akhmetov, O. V. Mingalev, I. V. Mingalev
EXACT SOLUTIONS OF MAXWELL EQUATION FOR A POINT DIPOLE SOURCE IN A HOMOGENEOUS ISOTROPIC CONDUCTOR AND ON PLANE BOUNDARY OF TWO HOMOGENEOUS ISOTROPIC MEDIA
Annotation
In this paper a formula has been obtained that describes the solution to the Cauchy problem for the telegraph equation in a three-dimensional space, which is similar to Kirchhoff formula for the wave equation. In the case of zero conductivity this formula transforms to Kirchhoff formula. Based on the derived formula the solution for the problem of the field of the electric Hertz dipole with an arbitrary time dependence of the current in an infinite homogeneous isotropic conductor has been received. Also, for the case of harmonic time-dependent fields an exact solution has been obtained for the problem of the field of the horizontal electric Hertz dipole located on a plane boundary of two homogeneous isotropic media, one of which is necessarily a conductor. Keywords:
Maxwell equations in conductor, exact solutions, Hertz dipole.
Введение
Точные решения уравнений Максвелла для полей от искусственных источников в однородных изотропных средах имеют большое прикладное значение, в том числе для разработки и тестирования методов численного решения уравнений Максвелла. Особенно важны решения
126
с распространяющимся в пространстве фронтом. Такие задачи в однородном изотропном проводнике сводятся к задаче Коши для 3-мерного телеграфного уравнения для векторного потенциала с нулевыми начальными условиями. Для телеграфного оператора известно фундаментальное решение (функция Грина, например, без доказательства приведено в [1]), но до настоящего времени не была выведена формула, которая описывает решение задачи Коши аналогично формуле Кирхгофа для волнового уравнения. В этой работе мы выводим эту формулу и с её помощью получаем решение задачи о поле электрического диполя Герца, который включается на конечное время и имеет произвольную зависимость от времени тока в диполе.
Также для тестирования численных моделей распространения сигнала в волноводе Земля - ионосфера важны точные решения (во всем пространстве) для случая поля от источника, расположенного на плоской границе между двумя различными однородными бесконечными средами. Наилучшим примером является задача о поле гармонического по времени горизонтального электрического диполя Герца, который расположен на плоской границе раздела двух однородных изотропных сред, из которых одна обязательно является проводником, а вторая может быть как проводником, так и диэлектриком [1-5]. До настоящего времени у этой задачи было известно только приближенное решение в низкочастотном пределе (без учета тока смещения) для случая сред с одинаковой магнитной проницаемостью. В этой работе мы приводим точное решение этой задачи для общего случая.
Постановка задачи нахождения электромагнитного поля от заданного нестационарного сингулярного источника внешнего тока и вывод уравнения баланса заряда
Пусть однородный изотропный проводник с проводимостью а, относительными проницаемостями диэлектрической s и магнитной р занимает
область QczD 3 в пространстве П 3, в которой задан сингулярный источник
тока j (^^(x,t) — сингулярная обобщенная функция, у которой носитель
по х suppj(s^cQ является либо конечным множеством точек, либо ограниченной кривой, либо ограниченной поверхностью. Обозначим через
D '(Qx[t °;T ]) пространство обычных обобщенных функций в случае
ограниченной области Q и пространство обобщенных функций медленного роста по х в случае неограниченной области Q (см. [6]). Обозначим через
р((x,t) плотность заряда в источнике, которая является сингулярной
обобщенной функцией с тем же носителем supp j(cQ по х. Подчеркнем, что эта функция заранее не известна и должна быть выражена через заданную
плотность тока j(‘ ^( x ,t) - входной параметр задачи. Через ра( x ,t) и ja( x ,t) обозначим соответственно пространственные плотности заряда и тока вне источника, которые должны быть непрерывны по х в области Q \ supp j(‘ ^.
127
Уравнения Максвелла в системе СИ (£0 и Цо - электрическая и магнитная постоянные) будем рассматривать как в смысле обобщенных функций из пространства D'(Qx[t^Т1]), так и в классическом смысле вне источника, т. е. электромагнитное поле вне источника будем считать достаточно гладким, из класса функций C1 ((q \ supp j (s))x [t0;T]). Закон Ома
в однородном изотропном проводнике имеет вид:
ja( x, t ) = аЕ ( x, t), (1.1)
материальные уравнения имеют вид:
D(x, t) = ss0E (x, t), B (x, t) = pp0H (x, t) , (1.2)
а уравнение Гаусса и уравнение Фарадея имеют, соответственно, вид:
divB (x, t) = 0,
dB , ч
— = -rot Е (x, t). dt v '
Уравнение Пуассона имеет вид:
divD ( x, t) = p (x, t) + p( S ( x, t),
Уравнение Максвелла можно записать в форме:
dD
rotH ( x, t) - dD = ja (x, t) + j (S (xt).
dt
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Получим уравнение баланса заряда, которое позволяет выразить плотность заряда в источнике p(s) (x,t) и в пространстве pa (x, t) через входные параметры задачи - начальные условия и плотность тока в источнике. Обозначим через ©a =g/(ss0) частоту проводимости в системе СИ. Взятие
div от уравнения (1.1) с учетом 1-го уравнения в (1.2) и уравнения (1.5) дает цепочку равенств:
divj (x, t) = adivE (x, t) = юа (p (x, t ) + p( S ( x, t)) . (17)
Взятие div от уравнения (1.6) с учетом уравнений (1.3) и (1.7) дает уравнение баланса заряда:
dP(s j(x, t) dpg(x, t)
+ ®ap(S (x, t) + ©apa (x, t) + divj(S (x, t) = 0 . (1.8)
dt d t
Поскольку пространственная плотность заряда вне источника pa непрерывна по
x в области Q \ supp j(s j, а p( s j и j(s) являются сингулярными обобщенными
функциями с носителем supp j(по x, последнее уравнение равносильно следующим отдельным уравнениям баланса заряда в пространстве и источнике:
128
ФЛ x t)
dt
+ ®aPa(^t) = 0 ,
dp(s) (x, t)
dt
+ 2P(5) (x, t) + div j(5) (x, t) = 0 .
(1.9)
(1.10)
Эти уравнения относительно плотности заряда являются по переменной t обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка с постоянным коэффициентом. Решение этих уравнений описывается формулой Коши, применение которой дает следующие формулы:
рЛx, t) = e ^ 1 )Pa(x, 10),
p( s)( x, t ) = e a( )p( s ^( x, t0 )- e_“at I e“a6div j(s)( x.
t°
Первая формула хорошо известна и описывает экспоненциальное по времени затухание пространственной плотности заряда в проводнике. Вторая формула показывает, что проводимость среды существенно влияет на баланс заряда в источнике.
Отметим, что искать как аналитические, так и численные решения напрямую для системы уравнений (1.1)-(1.6), (1.11) невозможно, поскольку она состоит из взаимно зацепляющихся уравнений. Поэтому для получения решений необходимо использовать потенциалы и свести систему (1.1)-(1.6), (1.11) к отдельному уравнению для векторного потенциала.
Оптимальная калибровка и телеграфные уравнения для потенциалов в случае проводника
Обозначим через c0 = 1Д/s0p0 и c = c0j^Jsp соответственно скорость
света в вакууме и в среде. Рассмотрим уравнения для потенциалов, которые в системе СИ вводятся соотношениями
dA ( x, t)
B ( x, t) = rotA (x, t), E (x, t) = -Vv ( x, t) -
dt
(2.1)
Для дальнейшего изложения введем линейные волновой Lw и телеграфный
L г операторы, которые действует по формулам:
Я2*, Я2*, 2 О
(2.2)
т I \ d2u 22 2 2 \ d2u
L u(х,t) = —--c Au , LTd(x,t) = —- +
dt2 ‘ T T dt2
du 2
<b„-----c Au , 2 ”
dt
££n
где A = divV - оператор Лапласа. Подстановка уравнений (2.1) в уравнение Пуассона (1.5) с учетом уравнений (1.2) дает уравнение для скалярного потенциала, которое в смысле обобщенных функций, т. е. в пространстве
D' (Q х [t0; T ]), имеет вид:
129
д_
St
дф( х, t)
LT ф(х, t) = — (рс(х, t) + р(S (х, t)) + — Ф(Х’ ) + юсф(х, t) + c2divA (х, t)
SSa ' ' St l St
(2.3)
а в классическом смысле, т. е. поточечно при х eQ \ supp jj, t e[tU;T] имеет вид:
LT ф( х, t )= ^ х ■t ) +£Г^^ + и<,ф( х,,) + c2dnA (х, ,).
St ^ St
SSu vSt J
Аналогично подстановка уравнений (2.1) в уравнение Максвелла (1.6) с учетом уравнений (1.1) и (1.2) дает уравнение для векторного потенциала, которое можно представить в следующем виде:
LTA(х,t) = -^j(х)(х,t)-V ф( ’ ^ +юаф(х,t) + c2divA(х,t) в ®'(Qx[tU;T]);
(2.4)
LT A (х, t) = -V -^^^) + юаф(х, t) + c2divA (х, t) при х eQ \ supp j, t e[t0;T] .
VSt J
Из уравнений (2.3), (2.4) следует, что уравнение калибровки:
^( ’ ) +юаф(х,t) + c2divA(х,t) = 0 (2.5)
равносильно тому, что каждый из потенциалов удовлетворяет своему отдельному телеграфному уравнению, не содержащему другой потенциал, которое имеет вид:
„2
LTф(х,t) = — (рс(х,t) + р((х,t)) в D'(Qx[tU;T]);
Lr ф( х, t) =
ss
2
U
c рЛ х t) —S) ^ г Ay
ssn
при х eQ \ supp j, t e[tU ;T],
(2.6)
LTA(х,t) = —/^(х,t) в D(Qx[tU;T]);
SSa
Lr A (х, t) = 0 при х eQ \ supp j(s), t e[tU ;T].
(2.7)
Аналогично уравнению (1.10), уравнение калибровки (2.5) относительно ф( х, t) по переменной t является обыкновенным линейным
дифференциальным уравнением 1-го порядка с постоянным коэффициентом, т. е. его решение описывается формулой Коши, применение которой дает формулу:
ф(х,t) = e а( )ф(х,tU)-c2e~a°‘ Je“a0divA(х,0)d0 . (2.8)
tU
Можно показать, что из уравнения для векторного потенциала (2.7), уравнения калибровки (2.5), уравнений баланса заряда (1.9), (1.10), а также уравнений (1.1), (1.2) и (2.1) вытекают уравнения Максвелла (1.3)-( 1.6).
J
>
>
>
130
Отметим, что уравнение калибровки (2.5) приведено в [3] и является обобщением на случай однородного изотропного проводника калибровки Лоренца:
59l (x, t) dt
+ c2divAL (x, t) = 0,
(2.9)
в которую оно переходит в случае нулевой проводимости а = 0 . В калибровке (2.5) для нахождения полей нужно найти решение только одного телеграфного уравнения (2.7) для векторного потенциала с заданным током источника в правой части, а затем найти скалярный потенциал по формуле (2.8). Таким образом, новая калибровка дает алгоритм нахождения полей, аналогичный тому, который дает калибровка Лоренца в случае диэлектрика, т. е. без нахождения плотности заряда в источнике.
Решение задачи Коши для телеграфного уравнения в 3-мерном случае
Рассмотрим задачу Коши для пространственно 3-мерного линейного телеграфного уравнения, постановка которой полностью аналогична таковой для волнового уравнения:
ди
LTu ( x, t) =
5 2u
dt2
■ +
----c2Au=f(x,t), xeD3, t> 0.
dt v ’
(3.1)
(xt)|t=0 = u° (x),
du ( x, t)
dt
= u°t( x), xeD3. (3.2)
t=0
Здесь > 0 и c > 0 - заданные постоянные, f (x, t), u0 (x) и u0 (x) -
заданные функции. Полностью аналогично тому, как это сделано для линейного волнового уравнения в [6], можно показать, что решение задачи (3.1)-(3.2)
представимо в виде суммы объемного телеграфного потенциала 0) [f ]( x, t)
с плотностью f (xt) , поверхностного телеграфного потенциала простого слоя V(l)[u0 ]( x, t) с плотностью u°t (x) и поверхностного телеграфного
потенциала двойного слоя u
V(2) [u° ]( x, t) с плотностью u0 (x) :
(x,t) = V0)[f ](x,t) + V(l) u°t (x,t) + V2) u (x,t) . (3.3)
При этом потенциалы определяются как свертки:
V(0)[ f ](x,t) = Et (x,t)* f (x,t)= J Et (x- y,t-x) f (y,x)d3ydx,
l^1-* [M°](x,f) = E), (x,f)*M° (x) = J ET(x-y,t)u°(y)d3y,
г3
(3.4)
u
131
с фундаментальным решением Е (х, t) 3-мерного телеграфного оператора L т
, которое определяется как решение уравнения LTЕ (х,t) = 5(х,t) . Отметим,
что непосредственно найти Е (х, t), используя преобразование Фурье, не
получается. Для получения Е (х,t) задачу Коши (3.1)-(3.2) необходимо преобразовать заменой коэффициента и неизвестной функции
—t
= -21ш, и (х, t) = e 2 ° w (х, t) = e1 mtw (х, t)
(3.5)
к следующей задаче Коши для уравнения Клейна - Гордона - Фока [6]:
2 1 ^-^--c2Aw+ a2w = F(x,t), дсеО3, /> О, где F(x,/) = е2 а /(х,/) = e~mtf(x,t)
dt
w (х,t)|t=o = U (х),
dw ( х, t)
dt
= w°t (x) =щ (х) + -^-м° (x) = m° (x)-ifflr (x) ,x e П 3 •
Фундаментальное решение 3-мерного оператора Клейна - Гордона - Фока, которое обозначим как EGF (х, t), находится с помощью преобразования Фурье и имеет следующий вид (см., например, [6]):
EKGF (х,t) = EW ( х,t) + EKGF ( х,t) =
>9(t )9(ct-| х|) С'
ж 5s (х)_хади-I х1) у
4%c2t Sc,y ’ ' '9 ' '9 1 ’ 11
4rar
!>/Й
2 I |2
- х
Г (3.6)
, \ 9(t) , 4
где E (х, t) =-— 5s (х) - фундаментальное решение 3-мерного волнового
4nc t c
оператора;
ekgf (л-,, )=- -|х|) у №
4пс
2 I |2
- х
2 I |2
- х\
дополнительное к волновой части слагаемое; 9(t) - тета-функция Хевисайда; 5S (х) - простой слой на сфере Sct = {х: |х| = ctj с плотностью 1; J, (s) -функции Бесселя. Применяя к (3.6) обратное преобразование (3.5) и учитывая равенство I, (s) = -1J (is) для модифицированной функции Бесселя (функции
Инфельда), получим для Е (х, t) следующее выражение:
Е (х, t) = Е (х, t) e 2 + E)13 (х, t) =
= e
ад 5 (х+ххх-Iх> i ад хх Sc ) 112^( ) ' '
4nc 2t
(3.7)
которое приведено в [1] и содержит дополнительное к волновой части «шлейфовое» слагаемое
132
S“ (-, - )== =-I -1) = =
8n c\/(Ct)
2 I i2
- -
\2 I i2
—I
Подставляя формулы (3.7) в (3.4), можно получить следующие выражения для телеграфных потенциалов:
l f f (- - +, --|+|/c)
4tcc2
F“[/l(-.- - - -
|+| <ct
|y|
-e 2c d3 y +
8kc
2
je 2 f '.(fjVfff-i+-i2 K(
0 lj+|<cx f f
2_l„|2 1 f (- - +,? ~X) d 3+
cf -|+|2
d x ,
(3.8)
v«[ «0 ](-, - ) =
i (
--m„t
e 2
4^c2
Yr(2)[u0 ]( -, t ) =
1 f «°t (-- +)dS + + 0 J 0 f°°ct)2-|+|2 |+=ct |+£ct ’(
« (- -+1 d 33
5_
dt
1
--®^ e 2
4kc
1 j u0(-- +)dS+ +0 j /1 0°°0
M=ct |y|< ct ;V(
ct )2 -l+12
)( - - +) ,3
(3.9)
ct) -I+1
d 3
(3.10)
JJ
Таким образом, формулы (3.3), (3.8)-(3.10) описывают решение задачи Коши (3.1), (3.2) для телеграфного уравнения в 3-мерном случае аналогично формуле Кирхгофа для линейного волнового уравнения.
+
Поле электрического диполя Герца в бесконечной однородной изотропной среде
Рассмотрим случай, когда электрический диполь Герца с произвольной зависимостью тока от времени расположен в начале координат в бесконечной однородной изотропной среде и включается в момент времени t = 0. Тогда ток в источнике удобно обозначить как:
j(s)(-,t)=8(-)P'(t) , P(t) = 0 при t < 0,
(4.1)
где через P (t) и P'(t) =
dP (t)
dt
обозначены момент диполя как функция
времени и ее производная. Н-пример, в случае диэлектрика P (t) = lQ (t) V (t), где V (t) - единичный вектор направления; Q (t) - заряд диполя, а в случае стационарного диполя в проводнике P'(t) = P0 = /0lV = Const. Тогда векторный потенциал A (-, t) согласно уравнению (2.7) является решением
задачи Коши (3.1), (3.2) с правой частью f (-,t)=S(-)P'(t)/(ss0) и нулевыми начальными условиями. Из формул (3.3), (3.8)-(3.10) следует, что
133
A(x, t) = — V}0) [8(x) P' (t)](x, t) = Ax (x, t) + A2 (x, t), (4.2)
sso L ]
где волновое слагаемое A1 (x, t) определяется формулой:
^ N Юа| x\
Mxj)=4fxp{'4H]e^ ■ (43)
а второе слагаемое A2 (x, t), названное в [1] «шлейфовым», определяется формулой:
A2 (x, t ) =
ц оц
8л
0(ct-|x|) f ,Р(? т) //—J(cxf -\x|2
( ]J(c^ 12cv()
«дх
e 2 dх. (4.4)
t
Отметим, что в случае диэлектрика = 0, и из формул (4.2)-(4.4) получаем решение:
Al ( x,t) = £^ P'(t-lx\/c) , (45)
которое с учетом калибровки Лоренца (2.9) дает следующее уравнение для скалярного потенциала:
8<fL = -c 2di val (x t) = —^-3 f (x; p\t-1 x\/c))+—(x;p" (t-1 x|/c)) 1 ’
w 4лее0 x v c J
где через (a; b) обозначено скалярное произведение векторов в пространстве
П 3 . Интегрирование этого уравнения по времени с учетом нулевых начальных условий дает решение:
^l(xt) = —1—-зf (x;p(t-|Alc))+—(x;p'(t-|А/c)) |.(4.6) 4tcss0 x v c J
Подставляя полученное решение (4.5), (4.6) в формулы (2.1), нетрудно получить выражения для полей, которые выведены в [7] при помощи значительно более длинных выкладок.
Случай гармонических по времени полей
Рассмотрим важный случай, когда ток в источнике, а значит и поля, гармонически зависят от времени:
j (s)(x, t)=/ms)(x)-e™0t, F (x, t)=Fm(x)-e™0t, F = ф, A, E, D, H, B, (5.1)
где ю0 - частота источника, и, следуя [8], через Fm (x) обозначена
комплексная амплитуда. В этом случае телеграфное уравнение переходит в уравнение Гельмгольца для комплексных амплитуд:
134
LTu(x,t) = f(x,t) 1-» Aum (x) + k2um (x) = -^m ^ ,
c >
где k2 = ю0 (ю0 - iroa)/c2 = р.|т0ю0 (ее0ю0 - iaj,
т. е.
k =
0w0p
2
,i+i^ nl:
vV2 (
1 +
\ 2 5 1/2 4
ш 05
Ша ) 1 ша J
) )
Из калибровки (2.5) и подстановки (5.1) вытекает соотношение:
9m (*) = -
—c
1ЮГ
ia0 + юа
divAm (*) = —T divAm ( *) . k
(5.2)
. (5.3)
££0
(5.4)
Подставляя это соотношение в (2.1), получаем выражение для амплитуд полей через амплитуду только одного векторного потенциала:
Bm (*) = rotAm (x)> Em (*) = —V9m (*) — i&0Am (*) = — ® 0 |Am (*) + -| VdivAm (*| ^ (55
Таким образом, для определения полей нужно решить уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды векторного потенциала:
AAm (*) + k2Am (*) = —ЦЦ ojm} (*) > (56)
а затем найти амплитуды полей по формулам (5.5). Отметим, что формулы (5.4)-(5.6) по форме полностью совпадают с записанными через волновое число формулами для диэлектрика (см., например, [1-5] и [7, 8]), когда волновое число является чисто вещественным:
к \—> к0 = ю0/с = ю0 ■у/ёЦ/co . (5.7)
Отметим, что гармонические по времени поля в однородном изотропном проводнике для многих типов источников рассматривались в низкочастотном пределе (см. [1-5]), т. е. без учета тока смещения, когда ю0 □ юс = a/(ss0).
2
В этом приближении в определяемом в (5.2) квадрате волнового числа k отбрасывается вещественная часть, т. е. k 2 считается чисто мнимым:
k2 = — 1ю0юстIc2 = — 1цц0ю0ст . (5.8)
Известен широкий набор задач (см. [1-5]), в каждой из которых получено приближенное «низкочастотное» решение для векторного потенциала, т. е. получено решение уравнения (5.6) с соответствующими граничными условиями и условиями на бесконечности и с волновым числом, определяемым формулой (5.8). Калибровка (2.5) позволяет получить точное решение полных уравнений Максвелла для каждой задачи из этого набора в результате следующей формальной процедуры. Нужно выразить граничные условия и решение уравнения (5.6) в каждой из рассматриваемых в данной задаче сред через определяемые по формуле (5.8) волновые числа сред. Далее нужно в решении уравнения (5.6) для каждой среды и в граничных условиях волновые числа сред определять по формуле из (5.2), а амплитуды полей в каждой среде определять через амплитуду векторного потенциала по формулам (5.5). В качестве примера
135
рассмотрим две задачи: поле точечного электрического диполя (диполь Герца) в бесконечном проводнике, а также поле такого же горизонтального диполя на плоской границе раздела двух однородных изотропных сред (см. [1-5] и [7, 8]), одна из которых обязательно является проводником.
Поле точечного электрического диполя в бесконечном проводнике
Рассмотрим электрический диполь Герца в бесконечном проводнике
с амплитудой тока Im, расстоянием между заземлениями l, расположенный в начале координат и направленный вдоль единичного вектора v. В этом случае
x) = mmlS(x)v ■ (5-9)
Из (5.3) следует, что Re(ik) = — Im(k) > 0, поэтому стремящееся к нулю при
II 3
х —>оо решение уравнения (5.6) во всем пространстве D имеет вид
(см., например, [6, 8]):
Am (x) = m ■ mm о mm1 mm/ (mm\ m|) ■ (510)
Отсюда по формулам (5.5) получаем следующие выражения для амплитуд полей:
-ikr
Bm ( x )= ^ 'У I-------(1 + ikr )[v X x] ,
Em (x) = 1
mmоmmle
—ikr
Y1 + ikr
4%r
7 2 2
k r
— 1 | v + (k 2r 2 — 3 — 3ikr )(V) X
Поле горизонтального электрического диполя на плоской границе раздела двух сред
Пусть среда (а = 1) с параметрами JI1,£1,G1 занимает верхнее
полупространство {z >0|, а среда (а = 2) с параметрами J2, ^2> ®2 занимает
нижнее полупространство {z < 0|. Будем считать, что описанный выше электрический диполь расположен в начале координат и направлен вдоль оси ОХ, т. е. V = ex - вектор декартова базиса. Тогда в каждой из двух сред уравнение (5.6) примет вид:
АA(rn ) (Х) + k<2Aim ) (Х) = —2Та та m0Iml5(Х>
2 / А (511)
где *а =mam 0 ® 0 (SaS 0Ю 0 — i) а = 1,2
и где неизвестные заранее коэффициенты У1 и У2 = 1 — У1 определяются в ходе
решения задачи из стандартных условий непрерывности нормальной компоненты магнитной индукции и касательной составляющей напряженности
136
электрического поля при переходе через границу раздела сред - плоскость jz = 0|, которые имеют вид:
B(ч|z=+o=(*)L=-o- Em(x)\„+,=m(x)\z=_o’ Em<4,+,=Em(4,-,.(512)
а также из условия отсутствия поверхностного тока на границе раздела, которое означает непрерывность касательной составляющей напряженности магнитного поля при переходе через эту границу и в рассматриваемом случае может быть представлено в виде:
_1_
^1
bSX (x) =—в£> (x) , f Amy (x) II
z=+0 ^2 z=-0 ^ z=+0 ^2
z=-0
(5.13)
Из соображений симметрии (см. [1-4]) вытекает, что векторный потенциал имеет только 2 компоненты:
4° (x) = Am (x) Cx + Am (x) e,,
(dAm d') 5a£> !■
т.е. &m (x) = Tm^ ex +
C______C
cy -
5 y 1^5 z 5 x J y 5 y
В этом случае из 1-го условия в (5.12) вытекает равенство:
АтХ (*)|z== = = (=)|z ’
из 2-го и 3-го условий в (5.12) с учетом (5.15) вытекает равенство:
(5.14)
(5.15)
из 1-го условия в (5.13) вытекает равенство:
(5.16)
- Am (x) =—Am (x-)
^1 z=+0 ^2
z=-0
а из 2-го условия в (5.13) с учетом (5.15) вытекает равенство:
(5.17)
1 dAmx (x)
^ 5z
z=+0
(5.18)
В [2] были получены граничные условия (5.15)-(5.18), предложен метод нахождения решений уравнений (5.11), которые удовлетворяют этим условиям,
а также получено такое решение для случая ^ = ^ = 1. Этим же методом для
общего случая нами получено решение, которое в системе СИ можно представить в виде:
137
4ш} (x) = Ц 0^1^ 2 ^
+<Х)
J
Iх2—k“ J (x<Jx2 + y2 | dX
lx2 —1
C) (x ) =
Ц0^1^2Imlx
+w
Ji
(\x^JX — k2 + ц2^jX — k2 )
(k2 -k2)X2e—1z!№—k°- J (xiX+y?)dk
(5.19)
. (5.20)
2wjx2 + y2 J (ц^X2 — k22 + ц^/XI^k1r)(ki2g2jX—k[+k2p^/k2 — kj2 )’ где J (5) и J (s) - функции Бесселя. Из этих формул вытекает равенство: divAf (x ) =
= —k„2
И0ИЩ2Imlx Г (И^/k —к\ + И'i^k к^)
J
12 — k22 ! kV |z|ф} —k'
—к! ф
J (k^Jx^+y) dk
(5.21)
2njx2 + y2 J (jU1yl'kF—kf + ц2^k2 — k2 )(k2^>/k2 — k2 + k^-fd—kf)
Полученное точное решение позволяет по формулам (5.5) с учетом формулы (5.21) найти амплитуды полей в любой точке пространства. Нетрудно проверить, что в случае одинаковых сред оно совпадает с решением (5.10) для всего пространства. Отметим, что в пределе ю0 I—> +0 полученное решение
переходит в решение стационарной задачи А1ф1 (х) I—э А<<>> (л ) , для которой уравнения (5.11) примут вид уравнений Пуассона:
ЛА(а) (х) = -2уацац01т18(х)ех, а = 1,2.
При этом в пределе ю0 I—> +0 из формул (5.19), (5.20) получаются следующие
выражения:
(*) ^ АХ(Х)
А%(х)»АМ(х)
И оИ 1И 2 Im l
(pi + (Д2) Мх\
ИоИа (И2О2 — И1 О1) Imlx
(pi + p2)(ci+a2) 2%(х2+у2^ Это дает divA*-"-1 (х) = — У °^а и, поскольку lim
ГА~1 x
V
/ш
У
о
-1
(О + О2 ) 2д| х|:
/шг
Т0 Ф(т (Х) = -ГТ dlV^L“} ^ ф (*)
divA(а) ( x )
со0ь^+0 fc
Imlx
2
И0ИаОа
-. То есть
^0^ааа 2д(о1+02)|х|
в стационарном случае электрическое поле и компонента Ax (x) векторного
потенциала описываются одинаковыми формулами в обеих средах и получаются следующие значения коэффициентов в уравнениях (5.11):
Y1 =И 2/(и 1 +И 2 ) и Y2 =И 1/ (и 1 +И 2 ).
138
Заключение
В работе впервые получена формула, описывающая решение задачи Коши для телеграфного уравнения в 3-мерном пространстве, аналогичная (и переходящая в нее при нулевой проводимости) формуле Кирхгофа для волнового уравнения. На основе полученной формулы найдено решение задачи о поле электрического диполя Герца с произвольной зависимостью тока от времени в бесконечном однородном изотропном проводнике. Также получено точное решение во всем пространстве для важной задачи о поле гармонического по времени электрического диполя Герца, расположенного горизонтально на границе раздела двух сред. Ранее для этой задачи были известны только приближенные выражения для полей в плоскости раздела. Эти результаты имеют большое значение для разработки и тестирования физически адекватных численных методов решения уравнений Максвелла в проводнике, а также для разработки численных моделей распространения низкочастотных сигналов в волноводе Земля - ионосфера.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-0100063.
Литература
1. Светов Б. С. Основы геоэлектрики. М.: ЛКИ, 2008. 656 с.
2. Заборовский А. И. Электроразведка. М.: ГНТИ Нефтяной и горно-топливной литературы, 1963. 429 с.
3. Матвеев Б. К. Электроразведка. 2-е изд. М.: Недра, 1990. 368 с.
4. Крылов С. С. Геоэлектрика: Поля искусственных источников. СПб.: СПбГУ, 2004.138 с.
5. Wait J. R. Geo-Electromagnetism. N. Y.: ACADEMIC PRESS, 1982.
6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. 5-е изд. М.: Наука, 1988.
7. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; МФТИ, 2004.
8. Никольский Н. Н., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 544 с.
Сведения об авторах
Мельник Михаил Николаевич,
младший научный сотрудник, Полярный геофизический институт, г. Апатиты, melnik@pgia.ru
Олег Иршатович Ахметов,
к.физ.-мат.н., научный сотрудник, Полярный геофизический институт, г. Апатиты, akhmetov@pgia.ru
Мингалев Игорь Викторович
к.физ.-мат.н., старший научный сотрудник, Полярный геофизический институт, г. Апатиты, mingalev_i@pgia.ru
Мингалев Олег Викторович,
к.физ.-мат.н., и. о. заведующего сектором № 203, Полярный геофизический институт, г. Апатиты, mingalev_o@pgia.ru
139
