CC BY
109Ссылка на статью:
// Радиооптика. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 02. С. 26-47.
Б01: 10.7463/^ор1.0216.0837463
Представлена в редакцию: 09.02.2016 Исправлена: 23.02.2016
© МГТУ им. Н.Э. Баумана УДК 537.87
Уравнения классической электродинамики как следствие специальной теории относительности
Макаров А. М.1, Лунёва Л. А.1'*, Ъпеу^а 2 0 0 В@гапМег :ги
Макаров К. А.1
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Система уравнений классической электродинамики в произвольнойнеподвижнойсреде с эффектами поляризованности и намагниченности выведена изфундаментальных свойств специальной теории относительности (СТО) без использования теории классических калибровочных полей. Компоненты антисимметричного тензора электромагнитного поля являются производными от составляющих векторного поля потенциала в пространстве четырёх измерений. Различие двухматематических структур в составляющих тензора электромагнитного поля предопределяет существование двух различных векторных полей (электрического и магнитного) в пространстве трёх измерений.Для векторных полей напряжённости электрического поля, электрического смещения, поляризованности среды, напряжённости и индукции магнитного поля, намагниченности среды и для потенциалов электромагнитного поля в пространстве трёх измерений обоснованы соответствующие классические уравнения,источники поля ипреобразования Лоренца для указанных полей.
Ключевые слова: уравнения классической электродинамики, специальная теория относительности (СТО), тензор электромагнитного поля
Несмотря на почти четырёхсотлетнюю историю изучения электромагнитных явлений [1] и практически завершённую теорию классической электродинамики [2-4], несмотря на достигнутый уровень понимания основ специальной теории относительности [5] и результатов современной теории калибровочных полей [6], проблемы обоснования основных положений классической электродинамики не остаются без внимания современных исследователей как с общефилософских [7], так и естественно-научных позиций [8-11]. В работе [12] исследованы свойства симметрии системы уравнений классической электродинамики, в работе [13] - гипотетические возможности формального введения в систему представлений классической электродинамики магнитных зарядов. В работах [14-15] предложен «новый подход» к современной электродинамике, а в работе [16] - обсуждение предлагаемого подхода. В серии публикаций [17-24] последовательно излагаются основы
Радиооптика
Сетевое научное издание МГТУ * ш. Н. Э. Баум1 т н а
Кйр://гас1к>ор11С5.ш
современной электродинамики материальных сред. В зарубежных [25-31] и в отечественных публикациях [32-33] обсуждаются отдельные частные вопросы классической электродинамики и использование её результатов в практике математического моделирования различных физических и технических устройств. Необходимый для этих целей математический аппарат - векторное и тензорное исчисление - содержится в классических монографиях [34-35].
В работе авторов [36] уравнение полного тока в дифференциальной форме выведено из закона Био-Савара и показана возможность использования уравнения полного тока в интегральной форме для случая протекания тока по проводнику конечной длины и произвольной пространственной линии. В работе [37] устранена одна погрешность определения электрической нейтральности диэлектрика, которая оставалась незамеченной с начала прошлого столетия. В работах [38-39] свойство внутренней антисимметричности уравнений электро- и магнитостатики использовано для вывода нестационарных уравнений Максвелла. В работе [40] уравнения классической электродинамики получены для вакуума как следствие основных положений СТО и постулата о возможности описать электромагнитное поле с помощью 4-потенциала и 4-тока как векторных полей в пространстве Минковского, используя условие градиентной инвариантности тензора электромагнитного поля.
Целью настоящей работы является выявление математического различия отдельных структур тензора электромагнитного поля [40], вывод уравнений классической электродинамики из основных постулатов специальной теории относительности для произвольной неподвижной материальной среды с учётом эффектов поляризованности и намагничения и обоснование законов преобразования физических полей классической электродинамики при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.
1. Основной постулат классической электродинамики
Электромагнитное поле в неподвижной среде можно описать с помощью векторных полей 4-потенциала и 4-тока в пространстве Минковского при условии градиентной инвариантности тензора электромагнитного поля без использования вариационного исчисления и теории непрерывных групп.
Определения
В четырёхмерном пространстве Минковского с мнимым временем система координат - «декартова», метрика - евклидова, ко- и контравариантные компоненты 4-вектора и 4-тензора не различаются, ковариантные производные не отличаются от частных производных (символы Кристоффеля равны нулю), система единиц измерения "СИ".
Ниже используем определения:
- 4-радиус-вектор точки наблюдения
Як = (х, х2, х, х4) = (х, у, г, Ш) = (Я, Ш),
где величина Я - вектор в декартовой системе трёх измерений, Ш - скорость света в вакууме, t - время, г = V—1,
- 4-потенциал А = (А, А, А, А ) - произвольное векторное поле:
А = А (Х1 , Х2 , Х3 , Х4 ) ,
- 4-ток 7 = (7, у2,73,у4) - произвольное векторное поле:
Л = ]к (Х^ Х2 , ^ Х4) . (01)
Физическое содержание компонент 4-потенциала и 4-тока необходимо установить в процессе построения аксиоматической теории электромагнитного поля.
2. Однородные уравнения классической электродинамики
Если А - 4-потенциал, то «силовые» векторные поля электромагнитного поля по аналогии с механикой (сила - градиент потенциала) можно определить с использованием частных производных от 4-потециала по координатам. Формально введём 4-тензор частных производных 4-потенциала по координатам 4-пространства
о =А.
о гк ~ .
д х
Ниже окажется важным условие градиентной инвариантности. Градиентное преобразование 4-потенциала имеет вид
А ' = А + ^
Ак = Ак + ~ ,
д хк
где щ = щ(х, х2, х3, х4) - произвольное скалярное поле соответствующей физической размерности. Легко проверить, что тензор не удовлетворяет условию градиентной инвариантности. Разобьём его на симметричную и антисимметричную составляющие:
ГдА„ + дА,л
д х д х.
1
+ — 2
гдАк дАг л
д х д х.
V ^ г илк ) V г к )
Симметричная часть тензора не инвариантна относительно градиентного преобразования 4-потенциала А , а антисимметричная часть - инвариантна.
Ниже, учитывая отмеченное свойство тензора , будем работать с антисимметричным 4-тензором второго ранга ^, который в обозначениях В.А. Угарова [5] будем
называть тензором электромагнитного поля:
Р,к = с ■
дА дА ^ (02)
д Хг д Хк )
Удобство введения понятия "тензор электромагнитного поля" состоит в том, что отпадает необходимость следить за выполнением условия градиентной инвариантности. Заметим, что существует соотношение
^¡к = С ' е1к1ш ' ^¡ш •
В общем случае ^ является псевдотензором второго ранга с весом +2, в рассматриваемом пространстве он является истинным тензором второго ранга, виЫт - символы Леви-Чивиты в пространстве четырёх измерений (ех 2 3 4 = 1).
Ниже удобно пользоваться специфической формой записи антисимметричного 4-тензора как структуры, образованной двумя векторами в пространстве трёх измерений:
sik
= (a, b) =
0 az — ay Ьх
— a 0 a b
z х У
a —a 0 b
У х z
—b —b —b 0
V * у г у
Проанализируем структуру тензора электромагнитного поля. При этом введём в рассмотрение (пока, где это возможно) компоненты вектора А = (Лх, Лу, Аг) в трёхмерном пространстве, полагая формально Ак = (Ах, Ау, Аг, А4), компонента А будет ниже установлена. Тензор электромагнитного поля имеет вид:
Fk = c ■
rot A, ( gradA4 — ) дхл
Здесь необходимо заметить, что компоненты тензора электромагнитного поля обра-
зованы двумя различными структурами: rot A и grad(A4) —
DA
д x
первая из них является
4 J
псевдовектором
/ 1ч д A,
(rotA)= e, 1
'ikl
д x.
где еш - символы Леви-Чивиты в пространстве трёх измерений (el23 = 1), вторая структура может рассматриваться как истинный вектор.
Естественно предположить (постулат): двум различным математическим структурам компонент тензора электромагнитного поля должны соответствовать два различных «силовых» поля. Пусть (пока формально)
B = rotA,
E = — gradrn — ^^.
д t
(03)
(04)
векторные поля В и Е и скалярное поле р определены как нестационарные поля в пространстве трёх измерений. В соответствии с принятым постулатом определяется величина ( а потом и физическое содержание) компоненты А 4-вектора потенциала:
А4 = — р.
с
К настоящему моменту формально определены векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля в пространстве трёх измерений, два "силовых" векторных поля классической электродинамики и соотношения между этими величинами.
Воспользуемся этими результатами. Из соотношений (03) и (04) следует:
ШуБ = 0, (05)
гоЕ = -—. (06)
5 И
Система однородных уравнений Максвелла получена (если не считать, что физический смысл введённых величин ещё не установлен!) как следствие исходного постулата о возможности описать электромагнитное поле с помощью 4-потенциала, если принять во внимание условие градиентной инвариантности. Уравнение (06) по внешнему виду совпадает с математической локальной формулировкой закона электромагнитной индукции.
Отступление. При доказательстве ковариантности системы уравнений Максвелла показывают, что однородные уравнения (05)-(06) совместно с определениями векторного и скалярного потенциалов электромагнитного поля (03)-(04) удовлетворяют уравнению
дК,к + дК™ =0
или уравнению
д ХИ д X д Хк
дК *
дР,к = К = 0
где
д Хк
К * = — • е • К
¡к ^ ¡крд рд
- тензор, дуальный тензору электромагнитного поля. Легко проверить, что это действительно так. Но в рассматриваемом аксиоматическом подходе к выводу однородных уравнений Максвелла эффективно использовать эти уравнения не удаётся, поскольку они являются математическими тождествами для произвольного векторного поля А, т.е. 4-потенциала электромагнитного поля.
3. Неоднородные уравнения классической электродинамики
Определения векторного и скалярного потенциалов переменного электромагнитного поля в пространстве трёх измерений позволяют выписать компоненты тензора электромагнитного поля через компоненты «силовых» векторных полей [6]:
Кк = (сВ-Е) =
( 0 сБг - В -,Ех ]
- сБг 0 сВх - ,ЕУ
сВу - сВх 0 - Е
1 Е ,Еу 0 )
(07)
Рассмотрим электромагнитное поле в произвольной неподвижной среде. Это поле определяется не только объёмной плотностью электрического заряда и плотностью тока проводимости, но и степенью поляризованности и намагничения среды, которые ещё и меняются с течением времени. Для учёта этих эффектов введём вспомогательные векторные поля: "намагничение среды М " и "поляризованность среды Р ":
В = м0' (Н + М), (08)
- 1
Е = — ■ (Б - Р) . (09)
Вектор Н назовём "напряжённостью магнитного поля", а вектор В - "вектором электрического смещения". Физический смысл введённых векторных полей пока не определён.
Запишем тензор электромагнитного поля с учётом введённых вспомогательных векторных полей
= (с■к■ (н+м), -—■ (б-р))
Принимаем, что векторные поля М и Р определяют динамическое состояние среды и напрямую зависят от «силовых» векторных полей, а вспомогательные величины Н и В определяются внешним «источником электромагнитного поля», в качестве которого выступает 4-ток. Рассмотрим соотношение:
И
£о_ тг -
'г1к =
Мо \
■ (сВ-Е) = (Н, - 1С Б) + (М, 1сР) = /1к + Мл. (Ю)
Мо
Выпишем явную форму 4-тензора £к :
/!к = (Н,- ,сВ), (11)
и уточним выражение для 4-тока (01):
jk = (Л, Уу, 3*,,с Р) = 0,, СР) . (12)
В выражении (12) 3 - произвольное переменное векторное, а р - скалярное поле в пространстве трёх измерений, физическое содержание этих величин ещё предстоит установить.
В соответствии с принятым выше предположением о разделении векторных "силовых" полей электромагнитного поля в неподвижной среде принимаем в качестве постулата, что 4-дивергенция тензора £к равна 4-току:
= 3,. (13)
Из постулата (13) формально следуют уравнения, по внешнему виду совпадающие с неоднородными уравнениями классической электродинамики:
rotH = j , (14)
о t
divD = p. (15)
Постулат (13) накладывает ограничение на векторное поле 4-тока: 4-дивергенция 4-тока должна равняться нулю
о j о о fi
( DD^
ik
0 x D x D xk
= div
rotH -
v 01 J
0 -+ — divD = 0. 01
Из уравнения (14) - в классической электродинамике это уравнение известно как "закон полного тока" - и соотношения (15) следует закон сохранения электрического заряда:
1 + др = 0 . (16)
д I
К настоящему моменту физическое содержание величин ] и р ещё не определено, но можно отметить, что уравнение (16) имеет классическую форму закона сохранения электрического заряда, если вектор ] окажется объёмной плотностью потока электрического заряда.
4. Законы преобразования физических полей классической
электродинамики
4-потенциал и 4-ток в соответствии с основным постулатом являются векторами в рассматриваемом пространстве Минковского, их компоненты (в том числе и составляющие соответствующих векторов в пространстве трёх измерений) преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую известным образом (преобразования Лоренца). Тензор электромагнитного поля (02) получен из 4-потенциала с помощью дифференцирования по координатам и в силу этого является 4-тензором в пространстве Минковского. Компоненты трёхмерных векторов магнитной индукции и напряжённости электрического поля преобразуются как соответствующие компоненты 4-тензора электромагнитного поля (07). Введение векторов напряжённости магнитного поля и намагниченности среды, вектора электрического смещения и вектора поляризованности среды позволяет тензор электромагнитного поля представить как линейную однородную структуру из двух «тензорных» величин (10). Принято считать очевидным, что 4-тензор (11) является 4-тензором в пространстве Минковского, что определяет соответствующие законы преобразования векторов напряжённости магнитного поля и электрического смещения. Аналогичная ситуация имеет место и с тензором «моментов», вследствие чего становятся определёнными законы преобразования векторов поляризованности и намагниченности среды.
Однако, соотношения (08)-(09) не являются произвольными: должно быть выполнено уравнение (13). Правая часть этого уравнения - 4-вектор в пространстве Минковского,
в левой части операция 4-дивергенция может быть применена только к 4-тензору второго ранга в том же пространстве. Но если соотношением (11) определён 4-тензор в пространстве Минковского, становится очевидным, что тензор «моментов»
Мш = (М, 1сР)1к является 4-тензором в пространстве Минковского. Законы преобразования векторов поляризованности и намагниченности становятся обоснованными - это законы преобразования соответствующих компонент 4-тензора «моментов».
5. Источники электромагнитного поля в пространстве трёх измерений
Выше введены векторные поля 4-потенциала и 4-тока и переменные векторные поля Е, В, 3, Н, Р, М в пространстве трёх измерений. Эти векторные поля становятся определёнными, если в безграничном пространстве трёх измерений указаны объёмные плотности соответствующих скалярных и векторных источников поля, т.е. если известны величины дивергенции и ротора векторного поля как функции пространственных переменных и времени [9]. Часть необходимых результатов уже получены выше, это соотношения (05)-(06) и (14)-(15). Недостающие результаты можно получить следующим образом.
Выпишем выражение для 4-тензора М1к - "тензора моментов" по терминологии [6]:
М,к = (М, - ,-с-Р) . (17)
Рассмотрим 4-дивергенцию тензора М1к :
^ М,к
д хк V
^с д Р,к д А
Мо д хк д хк V
^о д Р,к
Мо д X
]г .
к
Это соотношение позволяет определить "недостающие" источники векторного поля
В :
гогВ = м0
и векторного поля Е :
Г- г, д Р дЁл
] + гогМ +-+ еп--
д г д г
- 1 -й,УЁ =--(р- й,уР) .
£о
Анализ полученных соотношений позволяет определить понятия "объёмная плотность тока намагничения среды" ]"т), "объёмная плотность тока поляризации среды" и "объёмная плотность связанных электрических зарядов" р:
= Т{т),
дР_-, д г ~ ](р)'
й,уР = -р.
Вообще говоря, величина M определена формально неоднозначно:
—» —» —* _►
rotM' = rot(M + grady) = rotM = j"m). То же самое можно сказать и о величине P
0 P _0 (P + C) _ 0 P
=-= /7„ I, C = co^t,
5 t 5 t 5t (p}
divP ' = div(P + rot T) = divP = -p, W.
Окончательные зависимости для векторных полей M и P становятся полностью определёнными после установления физического содержания этих величин как (в первом приближении) дипольных магнитных и электрических моментов единицы объёма.
В итоге с учётом соотношений (08) и (09) оказываются определёнными следующие соотношения:
divB = 0,
divE = p + p , rotE = -5B ,
s0 51
—*■ —*■ —»
divP = -p', rotM = Цт) ,
5 E
divD = p, rotH = j + j[p) +£o ■ —
divH + divM = 0, rotD - rotP = -s0 ■
(5B_ 51
Выше при введении векторов намагничения и поляризованности среды было принято, что рассматриваемые векторы описывают электромагнитное состояние среды и зависят "силовых" векторных полей классической электродинамики. В этом случае подразумевалось существование "материальных уравнений среды" или "уравнений состояния"
М = М(Е, В), Р = Р(Е, В). (18)
В частном случае линейной неподвижной изотропной среды уравнения (18) чаще используют в форме соотношений:
М = %■ Н = (/-1)-Н, Р = е0-к-Е = е0-(е-1) ■ Е, (19)
где % - магнитная восприимчивость, / - относительная магнитная проницаемость, к - диэлектрическая восприимчивость, е - относительная диэлектрическая проницаемость среды. Соотношения (18) в более общем случае, а соотношения (19) в частном случае позволяют замкнуть полученную выше систему уравнений классической электродинамики.
6. Уравнения классической электродинамики для потенциалов электромагнитного поля Вернёмся к уравнениям для 4-потенциала электромагнитного поля с учётом полученных результатов.
V
а Г а а а а }
• (• -
М0
а х.
а х а х,
_ а /л + а м1к
к у
а х а х
Учитывая определение величины "с" как скорости света в вакууме, получаем
а
а х,,
а х а х
= Мо • ]г •
(20)
Эти уравнения становятся определёнными, если компоненты 4-тензора "моментов" М1к выразить через компоненты "силовых" векторных полей и в итоге через компоненты
4-потенциала. Вопрос о калибровке 4-потенциала целесообразно рассматривать после установления материальных уравнений среды (уравнений состояния среды - по терминологии работы [6]).
Рассмотрим простейший случай: параметры среды описываются соотношениями
а = 1, /и = 1.
Легко видеть (определение (17) и уравнения (19)), что в рассматриваемом случае выполняется условие Ы1к = 0 . Уравнение (20) преобразуется к виду:
с а а л
\ахк ахк у
• А -
а
(
а х
дА
а х.
\
= -Мо • •
г V ^ Лк У
Целью калибровки является, во-первых, упростить уравнения, а во-вторых, обеспечить получаемым уравнениям определённое физическое содержание. Если потребовать выполнение калибровки Лоренца:
дА
а х,г
= 0, к = 1..4,
что в трёхмерном пространстве соответствует уравнению
ёгуА +1 ■др = 0, (21)
с2 аг
то получаем систему уравнений классической электродинамики "в потенциалах":
л. 1 а2А .
АА —т--= -и0 ■ 1,
с2 а г2
. 1 а2у р Ар—т—т = -— •
с2 а г2 а
Решения этой системы уравнений должны удовлетворять уравнению калибровки Лоренца (21).
Для изотропной однородной неподвижной среды материальные уравнения в линейном приближении можно переписать в форме соотношений:
а
0
С — \
- (/-1) 1 1 д А ] М = ——-■ го*А, Р = -е0 (е-1) ■ gradо +-
/0/ I д г
Для рассматриваемого случая 4-тензор моментов М1к принимает вид:
М1к = (М, 1 ■ с ■ Р) =
Г(/-1) ^ ■ г 1Л ( л дА^ ---■ го*А, - 1се0 (е-1) ■ grad@ +--
/0/ ^ д г уУ
Используя определение 4-тензора электромагнитного поля и приведённого выше выражение для 4-тензора Мш, приведём выражение для 4-тензора /¡к к виду:
/ 1к =
е ■ Р1к - М к = /0
гогА
• у: •
/0
gradp +
дА д г
лл
(22)
уУ
/0/ V
Для удобства выполнения последующих выкладок выпишем полную форму выражения (22):
0
//0 (гоАу_
//0
/
-е
д© д А,.
+ - х
(гоМ)2
//0 0
М) х
//0
/
//0
//0 0
д х д г
-е
д© + д Ау
д у д г
-е
до д Ау + - 2
д 2 д г
гдр дА ^ + ■
Яэ
[£с е
х
чдх дг у
^ я л ^
у
д у дг
до д А, + 2
д г д г 0
Формально из уравнения (13) получаем для 1 = 1 уравнение
д х.
= Л ^ (гоггогА)х + е/е0 ■/ ■
^ д2 о д2 Ах^ + х
дг дх д г2
= /■/■ 7х,
у
уравнения для 1 = 2 и 1 = 3 имеют такую же форму, в итоге справедливо уравнение
= / ].
, , , , 1 ( ,до д2АЛ
grad dl у А -А А + — grad--1---
V ^ д г д г у
Уравнение для случая 1 = 4 приводится к виду:
А© + — divA = - Р
д г
ее
(23)
Если уравнение (23) переписать в форме:
Л 1 1 д2 А , А А - У2 'дА - ^
г
л- л 1 до dl уА + — •—-у2 д г
л
становится очевидной возможность калибровки
divA + д-0 = 0 V2 д г
е
0
е
е
е
после чего имеем
л. 1 а2А -
АА —7--^ = -и0 ■ и ■ у
У2 а г2 0
. 1 а > р
АР- — ~2 -
у а г а0 ■£
Условие калибровки в рассматриваемом случае можно записать в пространстве 4-х измерений:
а Ак —-+
а хк
Ч -
Vу У
аА
4 _
а х„
= 0 .
Обобщение полученных результатов на случай неподвижной анизотропной среды в линейном приближении не доставляет принципиальных трудностей:
Р = (Рх , Ру , Рг ) о Р, =£ •Кк • Ек О Д =£0 • Ек ,
£к =8к + К,
М = (М, Му, Ы2) О М, =Хк-Нк О Ег =и • Мк • н к,
игк = 8гк + Хгк ,
н, = — • М- -Вк, М, =М--Б, • М0 Мс
В приведённых выше уравнениях скалярные коэффициенты материальных уравнений естественным способом изменены на соответствующие тензоры второго ранга в пространстве трёх измерений, далее можно воспользоваться методикой, применённой для случая изотропной среды. Выкладки и результаты при этом достаточно громоздкие, эти результаты опущены.
7. Физическое содержание формально введённых величин
Установление физического смысла введённых выше векторных полей напряжённости электрического поля, магнитной индукции и объёмной плотности электрического тока проводимости и скалярного поля объёмной плотности "сторонних" электрических зарядов проще всего осуществить, рассматривая частный случай установленных соотношений в стационарных условиях для неподвижной среды без эффектов поляризованности и намаг-
- - а
ничения ("вакуум", Р = 0,М = 0, — = 0 ). Следствием подобного рассмотрения является
а г 1 1
обращение в нуль величин р', ]"т) и . Поскольку уравнения
(ЦуЕ = Р, гогЕ = 0
£0
известны в электростатике вакуума как следствия закона Кулона, величину Е следует рассматривать как "напряжённость электрического поля", а величину р - как объёмную плотность электрических зарядов, несвязанных с молекулярным строением среды. Если физический смысл величины Е определён, то величина р приобретает физический смысл
скалярного потенциала электрического поля. Рассматривая в общем случае соотношение
р + р'
divE =
следует заметить, что складываемые величины р и р' должны обладать одной физической размерностью и подобным физическим содержанием, на этом основании величину р' необходимо понимать как объёмную плотность электрических зарядов, связанных с молекулярной структурой среды.
В условиях магнитостатики вакуума известны уравнения
rotB = р0 ■ j , divB = 0
как следствие закона Био-Савара. Этот факт является основанием величину В рассматривать как величину магнитной индукции, а величину j как объёмную плотность потока электрических зарядов, несвязанных с молекулярной структурой среды ("объёмная плотность токов проводимости"), а также обосновывает представление о физическом содержании величины А как о "векторном потенциале магнитного поля" (в общем случае -электромагнитного поля).
Подводя предварительные итоги, можно считать установленным физическое содержание компонент 4-потенциала и 4-тока.
Физическое содержание понятие "поляризованность среды" заключается в способе его введения в условиях электростатики:
dp(e) = P-dV ,
где d p(e) - электрический дипольный момент элементарного объёма среды d V . Рассматривая произвольный объём среды V , запишем выражение для скалярного потенциала электростатического поля:
<№ = -— ■ f P(r>(r,,7r0 ■ dV' = ■ fP(r')■ Vp1^■dV'. (24)
ZL 7Г с J „ „' ZL 7Г с J ?* — ?*
Здесь г - радиус-вектор точки наблюдения, г ' - радиус-вектор точки расположения источника поля, дифференцирование и интегрирование в (24) выполняется по координатам расположения источника поля. С использованием известного математического тождества
V
P(F) l-VP(r) + P(jr') ■ V
r 1 ^
vir 7 r у
r 7 r
v ir 7 r у
и теоремы Остроградского-Гаусса перепишем соотношение (24):
^.X . .Г<- <ЧУ • йУ. (25)
4л£0 I \г - Г '\ 4л£0 I \г - г ',
Здесь Б - замкнутая поверхность, ограничивающая рассматриваемый объём среды, п - единичный вектор внешней нормали к элементарному участку поверхности Б. Если в объёме V имеется объёмная плотность электрических зарядов р , а на замкнутой поверхности Б, ограничивающей рассматриваемый объём, имеется поверхностная плотность электрических зарядов аы, то выражение для скалярного потенциала электростатического поля имеет вид:
Г(Г> (26)
4же0 ¿ г - г | 4же0 ^ г - г
Сравнивая соотношения (25) и (26), приходим к формально полученному выше уравнению
йгуР = -р,
что оправдывает рассмотрение величины Р как объёмной плотности электрического ди-польного момента связанных электрических зарядов.
Векторное поле намагниченности М в условиях магнитостатики вводят соотношением:
йр(т) = М(г ). йV, (27)
где й р(от) - магнитный дипольный момент (в первом приближении) элементарного объёма среды й V . Для объёма среды V совокупность элементарных магнитных дипольных моментов (27) создаёт поле векторного потенциала:
А ) = ]. XМ(г( X (г -г'). й V,=]. XМ((') х V'!
4п X \( - ('|3 4п X
Здесь интегрирование и дифференцирование выполняется аналогично соотношению
(24).
Имеющее место математическое тождество
' 1 Л
V г - г Ъ
• dV'. (28)
^х
ГМ ((') Л
V 1( - (Ь
1
г - г
позволяет преобразовать выражение (28) к виду:
-¡•V 'х М (г') - М (г') XV '
1
VIг - г ' Ь
А(() = ] • Г',хМ(г0 • dV'-] • X((г') X! МЩ №'. (29)
Алг * г* — г' Алг * г*— ух
V г - г и
Здесь Б - замкнутая поверхность, ограничивающая рассматриваемый объём среды. Известно, что в условиях магнитостатики часть векторного потенциала магнитного поля определяется коллективным движение электрических зарядов, несвязанных с молекулярной структурой вещества:
Б
л(г) = Г• {¿£1•ж, (30)
4 ж * Г - г '\ 4 ж * Г - г
текущих в рассматриваемом объёме V и по внутренней стороне замкнутой поверхности £. Сравнивая выражения (29) и (30), заключаем, что имеют место соотношения:
гагЫ = ^ , £= -п х М . (31)
Первое соотношение (31) справедливо для внутренних точек рассматриваемого объёма, а второе описывает поверхностную плотность токов намагничения на внутренней
стороне поверхности £. Предположение о физическом содержании вектора М - соотношение (27) - не противоречит известным результатам магнитостатики.
Проведённые выше рассуждения справедливы в стационарных условиях, но переход к нестационарным условиям не должен менять физическое содержание векторов Р и М .
Заключение
Система уравнений классической электродинамики (система уравнений Максвелла) для произвольной неподвижной среды с эффектами поляризованности и намагниченности построена с последовательным использованием фундаментальных принципов специальной теории относительности (СТО). Впервые показано, что возможность введения понятий «векторное поле магнитной индукции» и «векторное поле напряжённости электрического поля» обусловлена различием математических структур составляющих тензора электромагнитного поля и эта возможность имеет место для произвольной неподвижной среды. Следствием сказанного является инвариантность (сохранение формы) однородных дифференциальных уравнений Максвелла для произвольной среды. Проведено разделение тензора электромагнитного поля на две составляющие с физически очевидными предположениями о различии источников соответствующих трёхмерных векторных полей -внешние источники поля и источники, обусловленные силовыми векторными полями, последнее физически обосновывает необходимость принятия во внимание материальных уравнений среды. Обоснованы законы преобразования физических полей классической электродинамики при переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой.
Отмечено, что система уравнений классической электродинамики для потенциалов электромагнитного поля в пространстве трёх измерений (неоднородные волновые уравнения для скалярного и векторного потенциала) эквивалентна системе дифференциальных уравнений Максвелла только с условием калибровки Лоренца.
Показано, что основные физические соотношения классической электродинамики, в частности, закон сохранения электрического заряда, закон полного тока, закон электромагнитной индукции и т.п. можно рассматривать как следствие специфических соотношений специальной теории относительности.
Для всех формально введённых величин установлено их физическое содержание с помощью предельного перехода к известным из опыта соотношениям электро- и магнитостатики и указаны соответствующие источники векторных полей.
Список литературы
1. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 512 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 2. Теория поля. М.: Физ-матлит, 2012. 536 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 8 . Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.
4. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: ГИФМЛ, 1961. 563 с.
5. Угаров В.А. Специальная теория относительности. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384 с.
6. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля. М.: Едиториал УРСС, 1999. 335 с.
7. Нугаев Р.М. Генезис электродинамики Максвелла: интертеоретический контекст // Философия науки. 2014. №2 (61). C.66-80.
8. Толмачев В.В. Основы теории относительности и проблема существования эфира. М.; Ижевск. Ин-т компьютер. исслед.: НИЦ "Регуляр. и хаотич. динамика", 2014. 520 с.
9. Челноков М.Б. Релятивистский вывод уравнений Максвелла (в пустоте). Аксиоматика и построение электродинамики // Известия Вузов. Сер. Физика. 1983. С. 66-71.
10. Челноков М.Б. Релятивистский вывод уравнений Максвелла-Лоренца для среды // Известия Вузов. Сер. Физика. 1983. С. 71 -75.
11. Воронцов А.С., Козлов В.И., Марков М.Б. Об уравнениях Максвелла в собственном времени // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша. 2005. URL:
http://keldysh.ru/papers/2005/prep28/prep2005_28.html (дата обращения: 05.05.2015).
12. Фушич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наукова Думка, 1983. 200 с.
13. Стражев В.И., Томильчик Л.М. Электродинамика с магнитным зарядом. Минск: Наука и техника. 1975. 336 с.
14. Менде Ф.Ф. Новые подходы в современной классической электродинамике. Часть I // Инженерная физика. 2013. № 1. С. 35-49.
15. Менде Ф.Ф. Новые подходы в современной классической электродинамике. Часть II // Инженерная физика. 2013. № 2. С. 3-14.
16. Рухадзе А.А. Комментарий главного редактора А. А. Рухадзе к статьям Ф. Ф. Менде "Новые подходы к современной классической электродинамике", опубликованным в нашем журнале в №№ 1 и 2 за 2013 г. // Инженерная физика. 2013. № 2. С. 15-17.
17. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Тензор Минковского или тензор Абрагама? // Инженерная физика. 2012. № 8. С. 3-5.
18. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред. Часть I. От электромагнитостатики к уравнениям Максвелла // Инженерная физика. 2012. № 10. С. 12-22.
19. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Давление света и пондеромоторные силы в сверхсильных световых полях. // Инженерная физика. 2013. № 2. С. 24-30
20. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред. Часть II. Уравнения Максвелла. // Инженерная физика. 2013. № 4. С. 28-47.
21. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред. Часть III. Электромагнитостатика // Инженерная физика. 2013. № 6. С. 47-52.
22. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред. Часть IV. Электродинамика в отсутствие источников // Инженерная физика. 2013. № 7. С. 38-47.
23. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред. Часть V. Электромагнитное поле, создаваемое внешними источниками // Инженерная физика. 2013. № 9. С. 18-27.
24. Макаров В.П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред. Часть VI. Динамика заряда во внешнем электромагнитном поле. Рассеяние и вынужденное излучение. // Инженерная физика. 2015. №3. С. 24-35.
25. Mansuripur M. On the Foundational Equations of the Classical Electrodynamics // Resonance. 2013. No.2. P.130-150. DOI: 10.1007/s12045-013-0016-4
26. Lutfullin M. Symmetry Reduction of Nonlinear Equations of Classical Electrodynamics // Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. 1997. Vol.1.
27. Lv Q.Z., Norris S., Su Q., Grobe R. Self-interactions as Predicted by the Dirac- Maxwell Equations // Phys. Rev. A. 2014. Vol. 90. P. 034101.
28. Kusnetsov I.V., Zotov K.H. Improving Accuracy of Positioning Mobile Station based on the Calculation of Static Parameters Electromagnetic Field with Maxwell's Equations. // Electrical and Data processing facilities system. 2013. Vol.9. No.1. P.89-92.
29. Sindelka M. Derivation of Coupled Maxwell-Schredinger Equations Describe Matter-laser Interaction from First Principles of Quantum Electrodynamics // Phys. Rev. A. 2010. Vol.81. P.033833.
30. Barbas A., Velarde P. Development of a Godunov Method for Maxwell's Equations with Adaptive Mesh Refinement // Journal of Computational Physics. 2015. Vol.300. P.188-201. DOI: 10.1016/j .jcp.2015.07.048
31. Darrigol O. James MacCullagh's Ether: an Optical route to Maxwell Equations? // Eur. Phys. J. H. 2010. Vol. 35. P. 133-172. DOI: 10.1140/epjh/e2010-00009-3
32. Галев Р.В., Ковалев О.Б. Использование уравнений Максвелла при численном моделировании взаимодействия лазерного излучения с материалами // Вестник НГУ. Сер. Физика. 2014. Т.9. С.53-64.
33. Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Теоретический анализ экстремальных задач граничного управления для уравнений Максвелла // Сибирский журнал индустриальной математики. 2011. Т.14. № 1 (45). С.3-16.
34. Коренёв Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ, 1995. 240 с.
35. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 9. М.: Наука, 1965. 427 с.
36. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А. Теория и практика классической электродинамики. М.: Едиториал УРСС, 2014. 784 c.
37. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А.. Об основных уравнениях электростатики изотропных диэлектриков // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. №2(41). С. 25-40.
38. Макаров А.М., Лунёва Л.А. Макаров К.А. О структуре системы уравнений классической электродинамики // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cер. Естественные науки. 2014. №3. С. 39-52.
39. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А. Система уравнений классической электродинамики в неподвижной изотропной среде // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 4. С. 25-39.
40. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А. Аксиоматическое построение системы уравнений классической электродинамики. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. №1. С. 45-60. DOI: 10.18698/1812-3368-2016-1-45-60
Radiooptics of the Bauman MSTU, 2016, no. 02, pp. 26-47.
DOI: 10.7463/rdopt.0216.0837463
Received: 09.02.2016
Revised: 23.02.2016
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Classical Electrodynamics Equations as a Result of Special Relativity
A.M. Makarov1, L.A. Luneva1'*, ' Wevala 2 0 0 Scrambler ju
K.A. Makarov1
bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: equations of classical electrodynamics, special relativity theory (SRT), the tensor of the electromagnetic field
The system of classical electrodynamics equations in an arbitrary and fixed environment with effects of polarization and magnetization has been derived from the fundamental properties of the special relativity theory (SRT) without using the classical theory of gauge fields. First noted, that the set of 4-tensor component of the electromagnetic field in the space of four dimensions consists of two different mathematical objects, one of which in space of three dimensions is pseudo-vector and the second is the true vector. Two different mathematical structures are compared with two different "power" vector fields (electric and magnetic), which made it possible to obtain a formal system of homogeneous differential equations of Maxwell. The tensor of the electromagnetic field is naturally represented by the sum of the tensor of the auxiliary quantities with components of three-dimensional vector fields of the magnetic field intensity and electric displacement and the tensor of "moments" with components of three-dimensional vector field of the medium magnetization and polarization. A source of the tensor of auxiliary quantities (postulate) is a vector field of the 4 - current. It enables us to obtain a system of nonhomogene-ous differential equations of classical electrodynamics and the charge conservation law. The transformation laws of physical fields of classical electrodynamics in the transition from one in-ertial system to another have been justified. The equations for the electromagnetic field potentials in the three- dimension space, taking into account the Lorentz gauge, have been received. All the above sources of vector fields in the space of three and four dimensions and physical content of formally introduced physical quantities have been identified.
References
1. Uitteker E. Istoriya teorii efira i elektrichestva [History of ether and electricity theory]. Izhevsk: "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika" Research Center, 2001. 512 p. (In Russian).
Radiooptics
2. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika. T. 2. Teoriyapolya [Theoretical physics. Vol. 2. Field theory]. Moscow, Fizmatlit, 2012. 536 p. (In Russian).
3. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika. T. 8. Elektrodinamika sploshnykh sred. [Theoretical physics. Vol. 8. Continuous medium electrodynamics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. 656 p. (In Russian).
4. Fok V.A. Teoriya prostranstva, vremeni i tyagoteniya [Theory of space, time and gravitation]. Moscow, GIFML Publ., 1961. 563 p. (In Russian).
5. Ugarov V.A. Spetsial'naya teoriya otnositel'nosti [Special relativity theory]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2005. 384 p. (In Russian).
6. Rubakov V.A. Klassicheskie kalibrovochnye polya [Classical gauge field]. Moscow, Editorial URSS Publ., 1999. 335 p. (In Russian).
7. Nugaev R.M. The genesis of maxwellian electrodynamics: the inter-theoretic context. Filosofiya nauki = Philosophy of Sciences. 2014, no. 2 (61), pp. 66-80. (In Russian).
8. Tolmachev V.V. Osnovy teorii otnositel'nosti i problema sushchestvovaniya efira [Fundamentals of relativity theory and problem of ether existence]. "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika" Research Center, 2014. 520 p. (In Russian).
9. Chelnokov M.B. Relativistic derivation of Maxwell equation (in vacuum). Axiomatics and electrodynamics development. Izvestiya Vuzov. Ser. Fizika, 1983, pp. 66-71. (In Russian).
10. Chelnokov M.B. Relativistic derivation of Maxwell-Lorentz medium equation. Izvestiya Vuzov. Ser. Fizika, 1983, pp. 71-75. (In Russian).
11. Vorontsov A.S., Kozlov V.I., Markov M.B. Ob uravneniyakhMaksvella v sobstvennom vremeni [On Maxwell equations in proper time]. 2005. Available at: http://keldysh.ru/papers/2005/prep28/prep2005 28.html (accessed: 05.05.2015). (In Russian).
12. Fushich V.I., Nikitin A.G. Simmetriya uravneniy Maksvella [Symmetry of Maxwell equations]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1983. 200 p. (In Russian).
13. Strazhev V.I., Tomil'chik L.M. Elektrodinamika s magnitnym zaryadom [Electrodynamics with magnetic charge]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1975. 336 p. (In Russian).
14. Mende F.F. New approaches in modern classical electrodynamics. Part I. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 1, pp. 35-49. (In Russian).
15. Mende F.F. New approaches in modern classical electrodynamics. Part II. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 2, pp. 3-14. (In Russian).
16. Rukhadze A.A. Comments by editor-in-chief A.A. Rukhadze on articles by F.F. Mende "New approaches in modern classical electrodynamics" published in our journal 2013, no. 1 and no. 2. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 2, pp. 15-17. (In Russian).
17. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Minkowski's tensor or Abraham's tensor? Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2012, no. 8, pp. 3-5. (In Russian).
18. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Principles of modern electrodynamics of material media. Part
I. From electromagnitostatics to the Maxwell equations. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2012, no. 10, pp. 12-22. (In Russian).
19. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Light pressure and panderamotor forces in the very strong fields of radiation. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 2, pp. 24-30. (In Russian).
20. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Principles of modern electrodynamics of material media. Part
II. Maxwell equations. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 4, pp. 28-47. (In Russian).
21. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Principles of modern electrodynamics of material media. Part
III. Electromagnitostatics. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 6, pp. 4752. (In Russian).
22. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Principles of modern electrodynamics of material media. Part IV. Electrodynamics in the absence of sources // Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 7, pp. 38-47. (In Russian).
23. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Principles of modern electrodynamics of material media. Part
V. Electromagnetic fields created by external sources. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2013, no. 9, pp. 18-27. (In Russian).
24. Makarov V.P., Rukhadze A.A. Principles of modern electrodynamics of material media. Part
VI. Charge dynamics in external electromagnetic field. Wave scattering and stimulated radiation. Inzhenernaya fizika = Engineering Physics, 2015, no. 3, pp. 24-35. (In Russian).
25. Mansuripur M. On the Foundational Equations of the Classical Electrodynamics. Resonance, 2013, no. 2, pp.130-150. DOI: 10.1007/s12045-013-0016-4
26. Lutfullin M. Symmetry Reduction of Nonlinear Equations of Classical Electrodynamics. Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. 1997. Vol.1.
27. Lv Q.Z., Norris S., Su Q., Grobe R. Self-interactions as Predicted by the Dirac- Maxwell Equations. Phys. Rev. A, 2014, vol. 90, pp. 034101.
28. Kusnetsov I.V., Zotov K.H. Improving accuracy of positioning mobile station based on the calculation of static parameters electromagnetic field with Maxwell's equations. Electrical and Data processing facilities system, 2013, vol.9, no. 1, pp.89-92.
29. Sindelka M. Derivation of coupled Maxwell-Schredinger equations describe matter-laser interaction from first principles of quantum electrodynamics. Phys. Rev. A., 2010, vol.81, pp.033833.
30. Barbas A., Velarde P. Development of a Godunov method for Maxwell's equations with adaptive mesh refinement. Journal of Computational Physics, 2015, vol. 300, pp. 188-201. DOI: 10.1016/j .jcp.2015.07.048
31. Darrigol O. James MacCullagh's Ether: an ptical route to Maxwell Equations? Eur. Phys. J. H, 2010, vol. 35, pp. 133-172. DOI: 10.1140/epjh/e2010-00009-3
32. Galev R.V., Kovalev O.B. About the use Maxwell equations in numerical simulation of interaction of laser radiation with materials. Vestnik NGU. Ser. Fizika = Vestnik of NSU: Physics Series, 2014, vol. 9, pp. 53-64. (In Russian).
33. Alekseev G.V., Brizitskiy R.V. A theoretical analysis of boundary control extremal problems for the Maxwell equations. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki, 2011, vol. 14, no. 1(45), pp. 3-16. (In Russian). (English version of journal: Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2011, vol. 5, no. 4, pp 478-490. DOI: 10.1134/S1990478911040028)
34. Korenev G.V. Tenzornoe ischislenie [Tensor analysis]. Moscow, MIPT Publ., 1995. 240 p. (In Russian).
35. Kochin N.E. Vektornoe ischislenie i nachala tenzornogo ischisleniya [Vector analysis and introduction to tensor analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 427 p. (In Russian).
36. Makarov A.M., Luneva L.A., Makarov K.A. Teoriya ipraktika klassicheskoy elektrodinamiki [Theory and practice of classical electrodynamics]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2014. 784 p. (In Russian).
37. Makarov A.M., Luneva L.A., Makarov K.A. On basic equations of electrostatics of isotropic dielectrics. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Ser. Natural Sciences, 2011, no. 2, pp. 25-40. (In Russian).
38. Makarov A.M., Luneva L.A. Makarov K.A. Concerning structure of simultaneous equations of the classical electrodynamics. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Ser. Natural Sciences, 2014, no. 3, pp. 39-52. (In Russian).
39. Makarov A.M., Luneva L.A., Makarov K.A. The system of equations of classical electrodynamics in a fixed isotropic medium. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Ser. Natural Sciences, 2014, no. 4, pp. 25-39. (In Russian).
40. Makarov A.M., Luneva L.A., Makarov K.A. Axiomatic construction of classical electrodynamics equations. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Ser. Natural Sciences, 2016, no. 1, pp. 45-60. (In Russian). DOI: 10.18698/1812-3368-2016-1-45-60
