CC BY
42В результате аналитического и численного анализа условий критерия Гурвица для линеаризованной системы (3) получаем, что прецессионные движения устойчивы при значениях |wo| >
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карапетян A.B. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 3. 31-38.
2. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
3. Карапетян A.B., Зобова A.A. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 6. 867-877.
Поступила в редакцию 23.07.2013
УДК 531.552
К ЗАДАЧЕ О БРАХИСТОХРОНЕ С ЛИНЕЙНЫМ ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ
А. В. Зароднюк1, О.Ю. Черкасов2
Рассмотрена задача о брахистохроне в среде с вязким линейным сопротивлением. Задача оптимального управления сведена к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. Выполнен качественный анализ траекторий этой системы, установлены их характерные свойства, проиллюстрированные численным решением краевой задачи.
Ключевые слова: задача о брахистохроне, линейное сопротивление, оптимальное управление, фазовый портрет.
A brachistochrone problem is considered for a medium with linear drag. The optimal control problem is reduced to a boundary value problem for a system of two nonlinear differential equations. The trajectories of this system are qualitatively analyzed, their typical features are found and verified by solving the boundary value problem numerically.
Key words: brachistochrone problem, linear drag, optimal control, phase portrait.
1. Введение. Различные обобщения классической задачи о брахистохроне рассматривались в работах [1, 2], где исследовалось влияние сухого трения; в [3] изучался случай нелинейной зависимости силы сопротивления от скорости. В статье [4] аналитически найдены параметрические формулы для брахистохрон при действии и сухого, и вязкого трения. При этом рассматривался класс оптимальных траекторий, для которых время прохождения каждой их внутренней точки минимально для этой точки. Целью предлагаемой статьи является качественный анализ задачи о брахистохроне при наличии вязкого сопротивления, позволяющий установить характерные свойства траекторий без численного моделирования.
2. Постановка задачи. Рассматривается движение материальной точки массы m в вертикальной плоскости в однородном поле сил тяжести и в однородной сопротивляющейся среде. Классическая постановка задачи о брахистохроне состоит в выборе формы траектории, которая соединяет две заданные точки вертикальной плоскости и время движения по которой рассматриваемой материальной точки будет минимальным.
Будем рассматривать задачу о выборе такой траектории движения, на которой выполняется условие максимума горизонтальной дальности за фиксированное время и при фиксированной конечной высоте. Предположим, что зависимость максимальной дальности от времени носит монотонный характер. Тогда задача о брахистохроне и задача максимизации дальности за заданное время взаимосвязаны в следующем смысле. Если полученное в результате решения задачи с фиксированным временем максимальное
1 Зароднюк Алёна Владимировна — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alenaz_90Qinbox.ru.
2 Черкасов Олег Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oyucheQyandex.ru.
значение дальности принять в качестве заданного конечного условия для задачи быстродействия, то минимальное время, полученное в результате решения последней, совпадет с фиксированным временем первой задачи. Траектории также совпадут.
Уравнения движения имеют вид [4], а именно
Х = V,
У = V,
V = -мУ - ши,
V = -д - мШ + Уи.
(1)
Здесь X У — соответственно горизонтальная и вертикальная координаты точки; V и V — горизонтальная
N
и вертикальная скорости; и =--= — управление, где N — реакция опоры, зависящая от формы
ту/У2 + V2
д
силы тяжести; м — коэффициент вязкого трения.
Перейдем к безразмерным переменным х, у, V, ь и к безразмерному времени т по формулам
X = X *х, У = У *у, V = V ^, V = V и = и *и, * = Гт,
где масштабы переменных определяются следующим образом:
V* = дГ, V * = дг*, X * = VЧ*, У* = V Ч*, и * = м, ** = 1/м,
и запишем систему (1) в виде
х = V,
у =
V = — V — 'Ши,
гЬ = -1 - ' + vu.
(2)
Дифференцирование по безразмерному времени будем по-прежнему обозначать точкой. Начальные и конечные условия для системы (2) имеют следующий вид:
х(0) = хо, у(0) = уо, v2(0) + ь2(0) = V//, Vo — модуль начальной скорости;
высота у(Т)= ут фиксирована, а х(Т), v(T), ь(Т) свободны. Целью управления является минимизация функционала
.] = -х(Т),
(3)
(4)
(5)
Т у(Т)
рассмотрена в работе [5].
3. Условия оптимальности. Для исследования поставленной задачи применим принцип максимума Л.С. Понтрягина [6]. Функция Понтрягина для задачи (2)-(5) и уравнения относительно сопряженных переменных имеют следующий вид:
Н = + фуЬ + фу (-V - ьи) + фш (-1 - Ь + vu) = С,
где С — неизвестная константа,
фх = 0, фу = ^
фу = -фх + фу - фти,
Фш = -фу + фу и + фт.
Из условий трансверсальности определяются конечные значения для сопряженных переменных
фх(Т) = 1, фу (Т) = а, фу (Т) = 0, фт (Т) = 0, (7)
где а — неизвестная константа. Из соотношений (6), (7) следует фх(т) = 1, фу(т) = а.
Поскольку область допустимых значений управления открыта, минимум функционала достигается на особом управлении. Для вычисления последнего запишем функцию Н в виде суммы слагаемых, первое из которых не зависит от управления явным образом, а второе зависит: Н = Но + Н\п, где Но = V + аи — фу V — фт (1 + и), Н1 = —фу и + фт V.
Предположим, что функция Н1 тождественно обращается в нуль на некотором отрезке а € [0; Т]. Дифференцируя Н1 по времени в силу систем (2) и (6), с учетом условия Н1(т) = 0 получим
Н1 = 0 ^^ фу + и — (IV = 0. (8)
После повторного дифференцирования из соотношения Н 1(т) = 0 находим явное выражение для особого управления:
у°С(Г) = + (9)
V2 + и2
Необходимое условие Келли оптимальности особого управления ^ 0 соответствует требованию
v(т) > 0, т.е. направленности горизонтальной скорости в сторону увеличения горизонтальной координаты. Подставляя найденное управление (9) в систему (2), получаем систему уравнений, описывающих движение по оптимальным траекториям. Соответствующее граничное условие вытекает из условий (7), (8): и(Т) = av(T). Итак, задача оптимального управления (2)-(5) сведена к следующей краевой задаче: найти решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
2vw(1 + и — аV)
V = — V —
и = —1 — и +
V2 + и2 ' 2v2(1 + и — av)
2,..... -л (10)
V2 + и2 ' удовлетворяющие краевым условиям
v2(0) + и2 (0) = У02, и(Т) = av(T). (11)
Однопараметрпческое семейство кривых
(V2 + и2 )(1+ и — av) = Cv (12)
представляет собой интегральные кривые системы (10). Формула (12) получена из условий Но(т) = С, Н1(т) = 0 Но(т) = 0.
После того как решения v(т), и(т) краевой задачи (10), (11) найдены, траектория в плоскости (х, у) определяется из первых двух уравнений системы (2) при помощи квадратур.
4. Анализ краевой задачи. Стационарные решения системы (10) находятся из условий v(т) = V*, и(т) = и*, где V*, и* — константы. Подставляя эти значения в систему (10), получим следующие состояния равновесия:
* п * * 1 * а - л/а2 + 1
V-, =0, п)л = —1; V9 = — , п)9 =-.
Характеристическое уравнение системы (10), линеаризованной в окрестности стационарного решения V*, и*, имеет в ид (Л + 1)2 = 0, эта точка является устойчивым дикритическим узлом. Решению V*, и* в (х, у)
линеаризованной в окрестности стационарного решения V* и* удовлетворяют уравнению
Л2 =
8 (а2 + 1) л/а2 + 1 (\/а2 + 1 - а)
((У^П-а)2 + 1)2
и эта точка является точкой типа седла. Стационарному решению Vи** в плоскоети (х,у) соответствует прямолинейное наклонное движение.
Рис. 1
Задание значения С определяет интегральную кривую системы (10). Это значение, как видно из (12), равно на оптимальной траектории в момент окончания процесса или, что то же самое, при достижении траекторией прямой ш = ап.
Фазовый портрет системы (10) для случая а = 0, соответствующего свободному значению вертикальной координаты в момент окончания процесса, представлен на рис. 1. Точка А — дикритический узел, точка В — седло, сепаратрисы отвеС
для стационарного решения (и^, ш^). Решение задачи (2) (5) в случае свободного значения у(Т) дает достижимую верхнюю оценку максимальной дальности за заданное время. Фазовый портрет позволяет проанализировать качественные свойства решений краевой задачи (10), (11).
Видно, что начальная точка, лежащая на окружности п2(0) + ш2(0) = У02, должна выбираться между
В
ш(Т) = 0. При достаточно больших значениях заданного времени Т оптимальная траектория состоит из трех участков: первый из них соответствует быстрому движению из начальной точки в окрестность В
окрестности седла в конечную точку. Описанному "дрейфу" фазовой траектории в окрестности седла в плоскости (п, ш) соответствует в плоскости (х, у) участок, близкий к прямолинейному. При фиксирован-у(Т) а у(Т)
Т
кально вниз) параметр а меняется от +те до —те. При этом фазовый портрет остается топологически эквивалентным приведенному, а координаты точки В изменяются от точки (0, 0) при а = +те до точки (0, — 1) при а = —те вдоль правой дуги окружности п2 + (ш + 1/2)2 = 1/4 с выколотыми концами (см. пунктирную линию на рис. 1).
5. Численное моделирование. Решение краевой задачи осуществлялось методом стрельбы. После того как было найдено решение п(т), ш(т), интегрировались первые два уравнения системы (2) и опре-
(х, у)
Уо = 0,1 Т = 0,1 (а) и Уо = 0,1 Т = 5 {б). Отчетливо видно, что брахистохрона в плоскости (х,у) включает квазипрямолинейный участок, соответствующий медленному движению точки в плоскости (п,ш), в окрестности седла. Полученные результаты согласуются с результатами работы [5].
Рис. 2
Отметим, что наличие характерного квазипрямолинейного участка не проявилось в результатах расчетов, приведенных в [3, 4].
Авторы признательны доценту Б.Я. Локшину за полезные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-01-00364, 14-08-01130).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ashby N., Britten W.E., Love И"./•'.. Wyss W. Brachistochrone with Coulomb friction // Amer. J. Phys. 1975. 43, N 10. 902-905.
2. Lipp S.C. Brachistochrone with Coulomb friction // SIAM J. Control Optim. 1997. 35, N 2. 562-584.
3. Negron-Marrero P. V., Santiago-Figueroa B.L. The Nonlinear Brachistochrone Problem with Friction. Department of Mathematics, University of Puerto Rico. Technical Report PR 00791-4300. Humacao, 2005.
4. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. № 5. 41-52.
5. Абуладзе М.В. О пассивном полете на максимальную дальность // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1986. № 2. 102-105.
6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
Поступила в редакцию 15.11.2013
УДК 511
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЛИТ НА МНОГОСЛОЙНОМ ОСНОВАНИИ
А. С. Солодовников1
В работе изложен аналитический метод решения задачи об изгибе упругой плиты, покоящейся на многослойном упругом полупространстве. Метод основан на интегральных преобразованиях. Плита моделируется согласно теории тонких пластин Кирхгофа-Лява. Данный метод сравнивается с методом конечных элементов. Представлены результаты численного решения такого класса задач, когда для моделирования работы плиты используются уравнения теории упругости. Осуществлено сравнение решения с решением, полученным на основе теории тонких пластин. Написана программа, позволяющая определять напряженно-деформированное состояние рассмотренных в работе конструкций.
Ключевые слова: теория упругости, теория тонких пластин, многослойное полупространство, метод конченых элементов.
An analytical method to solve the bending problem for an elastic slab resting on an elastic multilayered half-space is considered. This method is based on the application of integral transforms. The slab is modeled according to the Kirchhoff-Love theory of thin plates. The method is compared with a finite element method. A number of numerical results are discussed for the case when the elasticity theory equations are used to model the slab behavior and are compared with the solution obtained on the basis of the thin plate theory. A computer program was developed to specify the stress-strain state of structures considered in this paper.
Key words: theory of elasticity, thin plate theory, multilayered half-space, finite element method.
1. Аналитическое решение. Для определения напряженно-деформированного состояния упругого многослойного полупространства, к поверхности которого приложена нагрузка, существует несколько подходов. Это метод Никишина, Шапиро [1], основанный на использовании интегральных преобразований, метод осреднения [2, 3] и метод конечных элементов [4, 5]. В настоящей работе подробно исследованы первый и третий способы.
Рассматривается многослойное упругое полупространство, состоящее из (N + 1) бесконечного плоскопараллельного слоя, имеющего модуль упругости Ei, коэффициент Пуассона V и толщи ну AHi (i =
1 Солодовников Александр Сергеевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, науч. сотр. Научно-технол. и проект, ин-та транспорт, инфраструктуры (НТПИТИ), e-mail: solodovnikovsQmail.ru.
