CC BY
75
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 94-95
УДК 531.1
БРАХИСТОХРОНА С КУЛОНОВСКИМ И ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
© 2011 г
Ю.Ф. Голубев
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва
Поступила в редакцию 15.06.2011
Найдено множество экстремалей в задаче о брахистохроне при действии сухого и произвольного вязкого трения. Решение задачи достигается поиском оптимальной по быстродействию нормальной составляющей (управление) реакции плоской кривой, форма которой подлежит определению. Исследование дифференциала функционала выполнено по методу Охоцимского - Понтрягина. Для оптимальной реакции брахистохроны указано аналитическое выражение через фазовые координаты, которое при отсутствии трения дает решение классической задачи о брахистохроне, а при наличии трения - соответствующие оптимальные кривые. Даны параметрические формулы для брахистохроны при действии сухого и вязкого трения, исследованы их свойства.
Ключевые слова: брахистохрона, кулоновское трение, вязкое трение, оптимальное управление.
Постановка задачи
му управлению оптимальные траектории.
Плоскопараллельное движение материальной точки массы m по кривой в вертикальной плоскости под действием силы тяжести, вязкого и сухого трения описывается системой дифференциальных уравнений
(
X — —
и( У)+к
IN |
Л
тЛ
х — г
N
д/у I ’
Ц(У)+к-
IN |
т-
л/у
2 + X-
N
т^у ’
•2 . -2 у—X +2 ,
Необходимые условия оптимальности
Гамильтониан задачи имеет вид
Н = 1 + уд - у2[д2 (ц + к | и |) + д4и] + у3д4 -
-УД Я + <?4(Ц + к | и |) - ^и], (3)
где сопряженные переменные ^ , / = 1,.. .4, удовлетворяют системе дифференциальных уравне-
где X — горизонтальная, г — вертикальная координаты точки, |і(у) > 0 — коэффициент вязкого трения, к — коэффициент сухого трения, N — реакция искомой брахистохроны, g — ускорение силы тяжести. Обозначив и — N/(т^/у), ^ — х, д2 — X, q3 — г, q4 — 2, у = q| ^ 2, приведем уравнения
движения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
д — q2, д&2— —д2[^(у)+к 1 и |]—q4u,
<&3 — q4, <&4 — — g — q4[^(У) + к I и |] + q2U. (1)
Обозначим ґ — время. Зададим при ґ = 0 начальные, а при ґ = Т — конечные условия:
q1 (0) — 0, qз(0) — Н, q2(0) — q4(0) — 0,
q1(T) — а, qз(T) — к < Н. (2)
Величины q2(T), q4(T) не заданы. В качестве функ-
т
ционала выступает время движения Ф — J 1аґ. В данной постановке и служит управлением. Требуется найти управление и() є С1, доставляющее минимум функционалу Ф, и соответствующие это-
( Ли 2 ^
'К! — 0, '2 — —'¥1 +У2 и + 2—q2 + к |и |
— ¥ 4
' 2 Ф Л
и—2—q4q2 ау
(
аи 2
'3 — 0, '4 — —'3 + '4 и + 2—q4 + к | и |
+' 2
~ аи
и + 2—q4q2
+
(4)
и условиям трансверсальности
удг)=а У2(т)=о, Уз(т)=р,
У4(Т) = 0, 1 + ад2(Г) + р<?4(Г) = 0. (5)
Здесь а и в — произвольные постоянные и + + д4 Ф 0. Оптимальная функция и( ) должна обеспечивать минимум гамильтониана (3) в любой момент времени. Существует набор краевых условий, для которых этот минимум достигается при и(0 = 0. Тогда оптимальным будет вертикальное падение материальной точки.
Если оптимальное значение и(0 ^ 0, то оно должно обеспечивать тождественное равенство
дН
ди
= y4[q2 -kq4(2c(u) -1)] -
-у2 [q + kq2(2u(u) -1)] = 0,
Г1, и > 0, с(и) = •!
[0, и < 0.
Соответствующая оптимальная функция и() выражается формулой
и=
2gq2 2ky d^, .
sign (и).
у 1 + £
Видно, что если и = 0, то д2 = 0, и реализуется вертикальное падение. Если 2^^2(0)/у(0) = и0 Ф Ф 0, то при у^) Ф 0 изменение знака функции и(0 невозможно. Семейство оптимальных траекторий получается посредством подстановки значения (6) в правые части уравнений движения с последующим их интегрированием при различных значениях параметра и0 . Условие и0 Ф 0 означает, что в начальной точке оптимальная траектория имеет вертикальную касательную.
Случай йц/йу = 0 подробно изучен в [1]. Аналогично исследуется случай, когда йц/йу Ф 0, но к = 0. Тогда и = 2gq2 /у и подчиняется уравнению и = ц,(у)и. После замены независимой переменной
t —— т : ■
dx
dt
: expl j ^(y)dt
ном задании зависимости ц(у) определяют брахистохрону в параметрическом виде.
Соотношения (7) справедливы при у > 0. Из-за этого 0 < т < 2п/и0 . При т = 2п/ и0 получается конечная точка брахистохроны. В этой точке брахистохрона имеет вертикальную касательную, и каждая такая точка может служить началом нового семейства брахистохрон.
Пусть, например ц = шу1/2, где ц, - постоян-
(6) ная. Тогда при j > 1 справедливо
и1 +1 = иг
К +Ц1 (2g)1 (j +1)
• j-1 и0т -Sin X
и0 j
X cos-
и0т
2
1 т
j - 1 f • 1 -2 и0Т + ---------j Sin1 2 0
j
-^-dx
2
(8)
получаются уравнения
йх = gu0[1 - оо8(и0х)] йг = gu0sin(u0т)
йт и2 йт и2
йи . . 4g2 . 2 и0т
—=и0М(у), У = —, (7)
йт и 2
которые при отсутствии сухого трения и конкрет-
Формула (8) является рекуррентной. В случае квадратичного по скорости закона вязкого сопротивления имеем j = 1 и
и2 = и,2 + 8|0,^ ^1 - cos
Видим, что функция и(т), а вместе с ней и реакция опоры, ни в одной точке диапазона 0 < т < 2п/и0 не обращается в нуль. После подстановки найденного выражения в левую часть уравнений (7) задача поиска брахистихрон сводится к квадратурам.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-01-00160).
Список литературы
1. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. №5. С. 41-52.
2
2
X
0
A BRACHISTOCHRONE CURVE WITH COULOMB AND VISCOUS RESISTANCE
Yu.F Golubev
A set of extremals was found for the brachistochrone problem with taking into account dry and random viscous friction. The problem is solved by searching the speed-optimal normal component of the reaction (control) of a plane curve, whose shape is to be determined. The investigation of a differential of the functional was done by Okhotsimsky-Pontryagin method. An analytical expression in terms of phase coordinates for the optimal reaction of the brachistochrone curve is given. This expression gives the solution of a classical brachistochrone problem in the absence of any friction and in the presence of friction - corresponding optimal curves. Parametrical formulas are presented for a brachistochrone curve under influence of dry and viscous friction. Properties of brachistochrone curves are investigated.
Keywords: brachistochrone curve, Coulomb friction, viscous friction, optimal control.
