CC BY
10Сначала методом математической индукции по к, где к > 0, покажем, что для п = 4к верно
¡4к = к(к + 1). (5)
Формула верна при к = 1, так как ¡4 = 2. Предположим, что ¡¿к = к(к + 1), и сделаем индуктивный переход. Для степени п = 4(к + 1) с учетом соотношения (4) запишем
¡4(к+1) = ¡4к + 2к + 2 = к(к + 1) + 2к + 2 = к2 + 3к + 2 = (к + 1)(к + 2).
Таким образом, равенство (5) выполняется в многообразии Уо. Пользуясь формулами (3) и (5), получим
п ( п \ п2 + 4п
кк = "Г Т + 1 =
кк+1 = к к + к = —-— + 2
4 V4 ) 16 n — 1 \ 2 n — 1 n2 + 6n — 7
4 ) 4 16
n — 2 \ 2 n — 2 _ n2 + 4n + 4
kk+2 - kk+i + 1 - J + 2 + 1 - 16
, in — Z\2 n — 3 n2 + 6n —11 Î4fc+3 = kk+2 + к = I ^j— I + 3 —--h 1 =-—-•
Формулы, которые мы получили для вычисления кодлины многообразия Vo, совпадают с формулами, указанными в формулировке теоремы. Таким образом, теорема 2 доказана.
Автор выражает благодарность научному руководителю С. П. Мищенко за постановку задач, полезные советы и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1980.
2. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surveys and Monogr. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.
3. Мищенко С.П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи матем. наук. 1990. 45, № 6 (276). 25-45.
4. Размыслов Ю.П. О конечной базируемое™ тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Алгебра и логика. 1973. 12, № 1. 83-113.
5. Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр // Алгебра и логика. 1974. 13, № 6. 685-693.
6. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр // Матем. сб. 1980. 115, № 1 (5). 98-115.
Поступила в редакцию 25.04.2014
УДК 531.36
СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ДВОЯКОВЫПУКЛОГО ДИСКА НА ПЛОСКОСТИ С ТРЕНИЕМ
А. В. Пащенко1
Рассматривается динамика двояковыпуклого диска, образованного склейкой двух одинаковых сферических сегментов, на горизонтальной плоскости с вязким трением. Исследуется случай опоры о поверхность сферической частью, для которого существует интеграл
1 Пащенко Александра Владимировна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
apashchenkoQmail.ru.
Желле. и случай опоры острым краем. Системы уравнений для обоих случаев различаются лишь выражением для радиуса-вектора точки касания. Найдены стационарные движения, которые исследованы на устойчивость.
Ключевые слова: тело вращения, трение скольжения, стационарные движения, устойчивость.
Dynamics of a biconvex disc (two similar homogeneous spherical segments glued together) on a horizontal plane with viscous friction is considered. This problem consists of two cases: the case of leaning against the plane on the spherical part (for this case existence of Jellet's integral is proved) and the case of leaning on the edge. Systems of dynamical equations are similar for both these cases and the only difference is in the expression of the radius vector from the center of the disc to its point of contact. Stationary motions are found and their stability is studied.
Key words: body of revolution, sliding friction, stationary motions, stability.
1. Постановка задачи. Будем исследовать движение двояковыпуклого диска (рис. 1 , а) на плоскости с вязким трением вида F = -mku, где m — масса диска, k — коэффициент трения, и — скорость скольжения. Для описания движения используем следующие обозначения: R — радиус шара, из сегментов которого составлено тело; S — центр масс (в силу однородности совпадающий с центром симметрии); O — центр шара, соответствующего сферическому сегменту, поверхностью которого диск в данный момент опирается о плоскость; g — ускорение свободного падения. Также будем считать, что v = vs — скорость центра масс, и — угловая скорость шара, 7 — вектор восходящей вертикали. Движение диска рассматривается относительно подвижных осей, жестко связанных с телом: ei, в2 взаимно перпендикулярны, лежат в плоскости склейки двух сегментов, ез = где с = |SO|; J = diag (А, А, С) центральный тензор инерции.
Рис. 1. Геометрия тела: а касание сферической поверхностью, б переходный случай, в касание ребром
Скорость скольжения определяется соотношением и = V + [и, г], где г — радиус-вектор, проведенный из центра масс к точке касания тела опорной плоскости. На тело действуют сила тяжести Р = —шду, нормальная реакция N = N 7, сила трения сколь жения Е.
Уравнения движения тела, отнесенные к главным центральным осям инерции, имеют вид
шV + [и, шv] = N — шд)у + Е, Зи + [и, Зи] = [г, Ny + Е] + М,
7 + [и, 1 ] = 0,
(V + [и, г], 7) = 0.
2. Опора сферической частью. При опоре сферической частью (рис. 1,6) тело ведет себя как
г
этом случае определяется соотношением г = с ез — Яу, а ограничение, вызванное формой тела, выглядит следующим образом: (731 £ [6; 1], где Ь = € (0; 1), 73 третья компонента вектора восходящей вертикали. Система уравнений допускает энергетическое соотношение Н = (Е, и) ^ 0, где
Н = Н(V, и, 7) = 1/2 шу2 + 1/2 ^и, и) — шд(г, 7) < Н
— полная механическая энергия, а Н — ее начальное значение.
Кроме того, система допускает два первых интеграла:
Ри, г)
5 = в(и>, 7) =--= в (интеграл Желле), Г = (7,7) = 1 Геометрический интеграл).
К
Стационарные движения имеют вид, в точности совпадающий с результатом работы [1|:
1 = 1 о (s),
V
= 0, ш = шо(в) = Ччо^ЖЧо^ - Ьeз),
где 7 = 7о(з) — критическая точка. Введем параметр р2 =
Стдс
€ [0;+те). Приравнивая к нулю произ-
водную эффективного потенциала [2], получаем (здесь для простоты изложения х = 73)
2 [а(1 - х2) + (х - Ь)2]
212
Ь - (1 - а)х
= ¥(x),
х'дс а = ^ € (0,5; 1). Так как это уравнение аналитически неразрешимо и зависит от геометрических характеристик тела, то для исследования прецессионных движений необходимо знать характер монотонности функции х), знакопеременный множитель производной которой имеет вид
у(х) = -3(1 — а)2х2 + 6Ь(1 — а)х + (а — аЬ2 — 3Ь2 — а2),
аЬ
вычислены моменты инерции:
„ тК2(1 — Ь) . , ,2,
а = (16 + зъ + ъ2),
С=тЗ}~Ъ) (8 + 96 + 3 Ъ2).
20(2 + Ь) п 10(2 + Ь)
Это позволило построить на плоскости параметров (Ь, а) кривую а = а(Ь) = а^+эь+зь-) (и.УнктиРная линия на рис. 2), которая определяет характеристические области параметров, возможные для данной задачи.
(Ь, а)
0а, 0ь, 0с, 0,4 [3] (в отличие от девяти в [1]):
1) в области 0а равномерные вращения устойчивы только при небольших значениях угловой скорости (р2 < р"2). В точке потери устойчивости от прямой х = 1 ответвляется кривая прецессий, существующая при р"2 < р2 < р2, и прецессионные движения всегда устойчивы при х € (Ь, 1);
2) в области равномерные вращения устойчивы при р2 < р2. В точке потери устойчивости от прямой х = 1 ответвляется кривая прецессий, существующая при р"2 < р2 < р2- Для каждого значения интеграла Желле р2 при р"2 < р2 < р2 существуют два прецессионных движения, одно из которых устойчиво, а другое — нет. Прецессионные движения устойчивы при х € (Ь,х*);
3) в области 0с равномерные вращения устой чивы при р2 < р2. В точке потери устойчивости от прямой х = 1 ответвляется кривая прецессий, сущест вующая при р"2 < р2 < р2- Для каждого значения интеграла Желле р2 при р2 < р2 < р2 существуют два прецессионных движения, одно из которых устойчиво, а другое нет. Прецессионные движения устойчивы при х € (Ь,х*);
4) в области устойчивы только равномерные движения при значениях интмрала Желле р2 < '[Я- Прецессионные движе-
1 2 2 2
ния существуют при р£ < р2 < р2 и всегда
неустой чивы. Здесь
р2
где х* =
(1 - &)4 а+ Ъ- 1'
2 а2(1 — Ь2)2
Рь =
аЬ
р2 = (£(х*),
л/3 Ь — \/ а — а,Ь2 — а2 л/3(1 — а)
Рис. 2. Распределение областей в плоскости параметров (Ь, а)
2
3. Опора острым краем. При анализе движения в случае касания опорной плоскости острым краем (рис. 1, в) удобнее использовать систему координат полужестко связанную с телом: ось ev
направлена как — r; ось eg ей перпендикулярна в плоскости склейки; ось e^ дополнительная до правой тройки. В этой системе координат радиус-вектор имеет вид r = (0, —d, 0)T, где d — радиус круга склейки (d2 = R2 — c2), y = (0,72,Y3)T, tt — угловая скорость репера. Используя углы Эйлера, можно получить выражение для угловой скорости репера через компоненты Ш2 угловой скорости тела: vj = (wi, и)2, ■ Система уравнений движения в этой системе координат выглядит подобно системе (1), но в первых трех уравнениях ш заменяется на tt.
Для удобства поиска стационарных движений и последующей линеаризации в первом уравнении полученной системы скорость центра масс выражается через скорость скольжения. С учетом условия безотрывности движения (последнего уравнения системы (1)) это уравнение принимает вид
mu + m[tt, u] + m[r, ш ] + m[tt, [r, ш]] = (N — mg)Y + F.
Для нахождения стационарных движений будем искать движения, на которых y = Yш = ш2 и u = 0. Подставляя эти параметры в уравнения полученной системы, в результате преобразований будем иметь
= 0, = 0, 73 (Лш°22 — mgd7°) = 0.
Отсюда видно, что система обладает двумя типами стационарных движений: первое отвечает вращению вокруг вертикальной оси (ш2 = (0,^2,0)T, y2 = (0,1,0)T), второе — прецессионному вращению вида
= (0>ШО>0)г, 7° = (0,72°Лз°)Т, где 72° = 7з° = ^ ~ ■ 1. Устойчивость вращения вокруг вертикальной оси. В результате линеаризации полученной системы уравнений в окрестности положения равновесия с учетом того, что из условия безотрывности движения можно выразить переменную и2 = имеем систему
' Y3 + = 0,
(mgd 2\ C ш2 mkd wi + I —- wo ) Тз + ~ = 0
\ А 0) А ° А шkd
Шз ^ С~У1 = (2)
ЫС + шd2)
щ + а^о (¿1 Н--—-щ +ш0из = 0,
С
( , 2 шд(12\ (А — С) (1ш0 ЫА + шd2) и3 + I сЦ,--— 17з Н--2-Шз ~ Мощ Н--2-и3 = 0.
Применяя к системе (2) критерий Гурвица, получаем сложную для анализа систему неравенств, поэтому будем рассматривать случай, когда k ^ 1. Отбросив в силу этого предположения члены выше второго порядка малости в определителях главных миноров матрицы Гурвица, получим следующее условие устойчивости: kAш'^шd2(Aш^ — шgd) > 0. Отсюда заключаем, что при значениях модуля угловой скорости, превосходящих у^равномерное вращение вокруг вертикали устойчиво, в противном случае неустойчиво.
2. Исследование прецессионных движений на устойчивость. После аналогичной линеаризации в окрестности прецессионного движения приходим к системе уравнений
' и Аш2
72--- ш 1 = 0, 7з Н--- ш 1 = 0,
шgd шgd
ш2dg3 и 2шд2и Сш0шд2 kш2dg2 и шkd
Ш1 + ——о-72--^2 Н--из--и3 = 0, ш2 + — =0, Шз + щ = О,
Аш2.и ш0и V V Аш0 С
00 (3)
/ шkd2\ ш2д2(12 щ + du}Q + I к Н--— ) «1 + из = 0,
. Аш1ди 2 А2 ш33и Л СА2и5 \ Л А2ш% k \
из--—ъ +-duJo--—^ Шз - ш0иг + [к +-и3 = 0,
V шdv \ шdv ) \ V )
где /л = л/т2й2д2 — А2и)$, V = тд2(А + тс?2) — А2и)$.
В результате аналитического и численного анализа условий критерия Гурвица для линеаризованной системы (3) получаем, что прецессионные движения устойчивы при значениях |wo| >
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карапетян A.B. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-топ) // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 3. 31-38.
2. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
3. Карапетян A.B., Зобова A.A. Анализ стационарных движений волчка тип-топ // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 6. 867-877.
Поступила в редакцию 23.07.2013
УДК 531.552
К ЗАДАЧЕ О БРАХИСТОХРОНЕ С ЛИНЕЙНЫМ ВЯЗКИМ ТРЕНИЕМ
А. В. Зароднюк1, О.Ю. Черкасов2
Рассмотрена задача о брахистохроне в среде с вязким линейным сопротивлением. Задача оптимального управления сведена к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. Выполнен качественный анализ траекторий этой системы, установлены их характерные свойства, проиллюстрированные численным решением краевой задачи.
Ключевые слова: задача о брахистохроне, линейное сопротивление, оптимальное управление, фазовый портрет.
A brachistochrone problem is considered for a medium with linear drag. The optimal control problem is reduced to a boundary value problem for a system of two nonlinear differential equations. The trajectories of this system are qualitatively analyzed, their typical features are found and verified by solving the boundary value problem numerically.
Key words: brachistochrone problem, linear drag, optimal control, phase portrait.
1. Введение. Различные обобщения классической задачи о брахистохроне рассматривались в работах [1, 2], где исследовалось влияние сухого трения; в [3] изучался случай нелинейной зависимости силы сопротивления от скорости. В статье [4] аналитически найдены параметрические формулы для брахистохрон при действии и сухого, и вязкого трения. При этом рассматривался класс оптимальных траекторий, для которых время прохождения каждой их внутренней точки минимально для этой точки. Целью предлагаемой статьи является качественный анализ задачи о брахистохроне при наличии вязкого сопротивления, позволяющий установить характерные свойства траекторий без численного моделирования.
2. Постановка задачи. Рассматривается движение материальной точки массы m в вертикальной плоскости в однородном поле сил тяжести и в однородной сопротивляющейся среде. Классическая постановка задачи о брахистохроне состоит в выборе формы траектории, которая соединяет две заданные точки вертикальной плоскости и время движения по которой рассматриваемой материальной точки будет минимальным.
Будем рассматривать задачу о выборе такой траектории движения, на которой выполняется условие максимума горизонтальной дальности за фиксированное время и при фиксированной конечной высоте. Предположим, что зависимость максимальной дальности от времени носит монотонный характер. Тогда задача о брахистохроне и задача максимизации дальности за заданное время взаимосвязаны в следующем смысле. Если полученное в результате решения задачи с фиксированным временем максимальное
1 Зароднюк Алёна Владимировна — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alenaz_90Qinbox.ru.
2 Черкасов Олег Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oyucheQyandex.ru.
