К вопросу об оценках квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода на некоторых классах кривых, задаваемых модулями непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2012, том 55, №6___________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Ф.М.Мирпоччоев

К ВОПРОСУ ОБ ОЦЕНКАХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА НА НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КРИВЫХ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.01.2012 г.)

В работе найдены новые весовые квадратурные формулы для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

Ключевые слова: квадратурная формула - модуль непрерывности - криволинейный интеграл - погрешность - узлы - производная - весовая функция.

1. Рассмотрим задачу о приближённом вычислении криволинейного интеграла первого рода в виде следующей квадратурной формулы

. N

| д( Р) • / (р)ф = X А/(Р)+^ (я; /; г), (1)

Г к=0

где Г — некоторая плоская простая кривая, весовая функция я(Р) ^ 0, Р єГ, а функция

/ (Р) = / (х, у) определена на кривой Г, р єГ, к = 0, N. По аналогии с монографией

N

С.М.Никольского [1], сумму X А/(Р), использующую линейные комбинации N+1 значений по-

к=0

дынтегральной функции, будем называть квадратурной суммой, а А, к = 0, N и Рк, к = 0, N - соответственно коэффициентами и узлами квадратурной формулы (1), Яы (я; / ;Г) - погрешность формулы (1) на функцию /(Р). Очевидно, что Ям (я;/;Г) := Ям (я;/;Г; {Ак К {Рк }) .

Предположим, что на кривой Г произвольно установлено направление (как правило, положительное), так что положение точки Р = Р(х, у) на кривой Г может быть определено длиной дуги

5 = АР , отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями вида:

X = Х(5), у = у(5), (0 < 5 < 5), (2)

Адрес для корреспонденции: Мирпоччоев Фуркат Маруфджонович. 735700, Республика Таджикистан, г.Ходжент, пр. Мавлонбекова, 1, Ходжентский государственный университет. E-mail: [email protected]

а функция / (Р) = / (л, у), заданная в точках кривой, сведётся к сложной функции / (х(в), у(в)) от переменной s.

В этом случае формула (1) приобретает следующий вид:

5 N

| у^'Ъ/(х(*\ у(я)№ = X А/(х(вкX у(вк))+км (ч\/;Г). (3)

0 к=0

Ясно, что для достижения высокой точности вычислений при заданном N нужно наиболее лучшим образом воспользоваться выбором коэффициентов Ак и узлов {вк } : 0 = в0 < ^ <... < sN= 5 в квадратурной формуле (3).

Обозначим через Н* множество функций <р(в) е С[0,5], удовлетворяющих условию | (р(в') — <р(^") | <*( | в' — в" |), в',^"е[0,5], где са(3) - заданный модуль непрерывности, а через Г* * [0,5] обозначим совокупность плоских непрерывных кривых {Г} , заданных параметрическими уравнениями (2), где л(в) е Н* [0,5], у(в) е Н* [0,5], то есть х(в), у(в) - непрерывные на [0^] функции для двух точек в',в" е [0,5], удовлетворяющих условиям

|х(*') — х(*")| <*( |в" — Л ),

I у(в') — у(в")1 <*( |в" — Л),

где ),*2(^) - заданные на [0^] модули непрерывности.

Аналогичным образом, через Ж(1)Н*[0,5] обозначим множество функций <р(в) еС(1)[0,5], производные которых удовлетворяют условию | (р'(в') — ф'(в") | <*( | в' — в" |), в', в"е[0,5], а через Ж(1, 1 )Г*,*2(5) обозначим совокупность плоских непрерывных кривых {Г} , заданных параметрическими уравнениями (2), где л(в) еЖ( 1 )Н*[ 0,5], у(в) еЖ( 1 )Н*[0,5], то есть производные х'(в), у'(в), которые для любых в', в"е[0,5] и заданных модулей непрерывности * (£), I = 1,2 удовлетворяют условию

|х'(в')—х'(в")| <*( |в'—л ),

|у'(в') — у”(в")|< *2 ( | в Л).

Через Мр (5) обозначим класс функций /(х(в), у(в)), 0 < в < 5, заданных и определённых

на множестве кривых {Г} с Г**2(5) (или {Г} с Ж^Г**2 (5)) для любых двух точек Р(х(в'), у(в')), Q(х(в"), у(в")) е Г, в'в" е [0,5], удовлетворяющих условию

| / (х(в'), х*'))—/ (х(0, у(Л) | < р(Р, Q),

где p(P, Q) - какое-нибудь расстояние между точками P и Q. Далее, ради краткости, N означает

один из классов Гй>1,*2(£) или W(1,1)Гй?1,да2 (^) .

За величину, характеризующую точную оценку погрешности квадратурной формулы (3) на всем классе функций M(S) , определённых на кривой Г, длина которой не превосходит S, примем величину

RN{q- NS);0 = sup{| RN(q,f ;Г) |: f n Np(S)}.

Наибольшую погрешность квадратурной формулы (3) на классе M (S) всех кривых Г с N, с длиною не меньше S, обозначим

N Mp(S); N) = sup{RN Mp(S);r): Г n N}. (4)

Величина (4), конечно, зависит от коэффициентов {Ak} и узлов {sk} так, что

Rn (q; Mp(S); N) = Rn (q; Mp(S); N,{Ak },{s*}).

Потребуем, чтобы формула (3) была точна на функции f (x(s), y(s)) = const, то есть потребуем выполнение равенства

. n

J q( x(s) y(s))ds = Х Ак •

к=0

Нижнюю грань

£n (q; Mp(S); N) =

= inf (q; Ш p (S ); N1): {Ak }£ 0, {s, }£ 0

по аналогии с определением С.М.Никольского [1] будем называть оптимальной оценкой погрешности квадратурной формулы (3) на классе функций М (5) и классе кривых N .

Если существует квадратурная формула (3), для которой выполняется равенство

£ы (д; МД5); Ж) = ^ (д; МД5); ^Н°},К°}),

то будем её называть наилучшей или оптимальной на классе функций ^Мр(5) и классе кривых N .

Очевидно, что для нахождения точной оценки погрешности (3) прежде всего следует найти оценки погрешности аппроксимации кривых класса N полиномами и сплайнами [2].

2. Рассмотрим задачу о точной оценке величины погрешности, возникающей при аппроксимации кривой Г, вписанной в неё ломаной Г^ . В качестве меры близости кривой Г от вписанной в

неё ломаной Гы рассмотрим:

Г

расстояние Минковского между P ёГ и Q N TN

Pm (P, Q) = Pm (P( x(s'), Ks% Q( As”X y{s”)) =

= max{| x(s')-x(s") |,| y(s')-y(s") |},s',s" n [0,S];

хаусдорфово расстояние

pH (F, G) = max < max min p(P, Q), max inf p(P, Q) >,

v PnF QnG Qnf Png j

где p( P, Q) - расстояние между P и Q, то есть длина прямолинейного отрезка, соединяющего точки P и Q, а F и G - произвольные ограниченные и замкнутые точечные множества конечномерного евклидова пространства. Зафиксируем разбиение отрезка [0,S]: 0 = s0 < s1 < ... < sN—1 < sN = S. Этим мы

разобьем кривую Г на N частей точками Мк = М(х($к), у(эк )), к = 0, N. Соединив последовательно точки Мо, М1,..., MN отрезками прямых, получим ломаную Гж вписанную в Г. Параметрические

звенья ломаной, стягивающей дугу M,M, ,, k = 0, N — 1, имеют вид

s — s,

I(Г;x;s) = xk +-— •(xk+j — xk),

sk+i — sk

I(Г; y;s) = yk +---------------------------------------------------------------------------------------— •(yk+j — yk),

sk+i — sk

где sk < s < sk+i и xk = x(sk ), yk = y(sk ).

При этом условимся, что Р(э) = Р(Х(э), у(э)) е МкМк+1 и Q(s) = @(х^), у(э)) е _ММ^1 соответствуют одному и тому же значению параметра £ е [^, 1 ].

Если Г е ^^[0,5 ] , то, следуя рассуждениям работы [2], сразу получим

Рм (Г ГN ) < тах{® (| £ - Эк |), ю2(| £ - Эк (Ж 0 < £ < 5.

Так как полученное неравенство верно для любого Эк е [0,5], то

Рм (Г,ГN) < 1пГтах{^1(|£ - Эк |),^2(|£ - Эк |)}, 0 < £ < 5. (5)

к

Оценка (5) точна для кривой Г0 е Г® ,с°2 (5) , координатные функции которой имеют вид

х(э) = -у(£) = тГтахН( | £ - эк |), (|£ - к}.

к

Очевидно, что расстояние рМ (Г, ГN) зависит от выбора узлов интерполирования {£_ }^0 и имеет

минимальное значение, если взять sfc := s° = (2k — 1)S / (2N), k = 1, N;s° = 0,s° = S, причём

тйир{р (Г,Г„) :ГєГщ щ2(5)} = {ч}

2 N ) ^ 2 N )\

Для хаусдорфова расстояния, повторив рассуждение работы [3], будем иметь

їпйирРн (Г,Г „) :ГєГщ щ2(5)} =

{ч}

= Рн (Г0 Л.) ^ - )+< [ ^ >

Что же касается приближёния кривых {Г} из класса Ж(1,1)ГЙ>1 ,СОг (5) , то не вдаваясь в подробности, приводим следующие результаты

тйир{р(Г,Г„) : Г е Ж(1ДГ ®2 (5)} =

{£к}

= Рм (Го ,Гм ) = Т

1 Г55)

— тах < І щ (ї')йї, І щ (ї')йг к

4 I 0 0 ]

шйир{р(Г,Г^): Г є Ж(1Д)Гщ,щ (5)} =

{\}

= р„ (Г„ ,Г^) = 1

О о"! У 2

'5 / N у Ґ 5 / N у

| щ (ї)& +1 | щ (і)йі

ч 0 ) V 0

3. Исходя из вышеприведённых результатов, нетрудно оценить погрешность приближённого вычисления криволинейного интеграла при помощи квадратурной формулы (3) на классе функций

Мр(5) и классе кривых Г®1,*2(5) ( или Ж(1,1)Г*,,*г (5) ) при фиксированном расстоянии р = рМ и р = рн . Приводим формулировки основных результатов для класса М (5) и класса кривых

Г®1,®2 (5)

Теорема 1. Пусть {£_ }^0 - произвольная система узлов из промежутка [0^] и коэффициенты квадратурной формулы (3) имеют вид

ак+1

л *

А1 = | д(ФХ y(s))ds,

°к

где <г0 = 0, ^ = (£к_! + ) / 2, к = 1, N, ^+1 = 1 • Тогда имеют место равенства

RN (д; Мрм ;Г® ®2(5 );{Л },К }) =

N ак+1

= X | д( х(£) у(£))тах{®1( | £ - эк| ),®2(| £ - эк|)}^,

к=0 4

RN (д; М^;Г^ ®2(5 );{Л },К }) =

N °к+1 .--------------------------

=X ] д(х(£) у^н ®12 (| £ - Эк|)+®22 ( | £ - эк|М£.

к=0 °к

Теорема 2. Среди всех квадратурных формул вида (3) с весовой функцией д(х(э), у(э)) наилучшими формулами на классах функций Мр (5) Мр (5) и классе кривых Г®1 'Юг (5) являются

формулы, узлы которых 0 = ^0 <^0 <...<^0-1 <^0 = 1 обращают в минимум соответственно выражения

N 4к+1

а (£0, я^..^ sN) = Х { д(х(£) у(£))тах{®1(|£ - £к |),®2(| £ - эк|)}^

к=0 4

N 4к+1 ____________________________

^1(£0, £1 ^ SN) = X | д( х(£) у(£))V ®12( | £ - Эк| )+® 22( | £ - эк|)^

к=0 4

с коэффициентами

4+1

Л0 = | д(х(£) y(s))ds,

4

где 4 = 0,4 = (£°_х + ) / 2, к = 1, N, 4°^ = 5, и наилучшие оценки остатка соответственно

равны

SN (д; Мр (5 );Г® *(5)) =

_0 N 4к+1

X | д( х(£) у(£))тах{®1( | £ - 4| ),®2( | £ - 4| , (6)

(д; Мр (5 );П ®2(5)) =

XX }+д(х(£) у(£)^®12 ( | £ - £01 ) + ® ( | £ - э0 | )*. (7)

к=0 4 4к

.о N 4к+1

к=0 4 4к

В частности, при д(х(э), у(э)) = 1, из равенств (6) и (7) получаем

5 / 2( N+1)

е^ (1;М^ (5);Г^®2(5)) = 2( N +1) • { тах{®(0,®(0}^,

S / 2( N+1)

Sn (1; Mp (S^r^S)) = 2(N +1) • J ^(t) + ®22(t )dt.

0

В заключение отметим, что вопросы нахождения оптимальных квадратурных формул для других классов функций и кривых рассмотрены в работах [4] и [5]

Поступило 26.01.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. - М.: Наука, 1979, 256 с.

2. Корнейчук Н.П. - Укр. мат. журнал, 1988, т.40, №6, с.737-743.

3. Мартынюк В.Т. - Укр. мат. журнал, 1976, т.28, №1, с.87-92.

4. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с.415-419.

5. Мирпоччоев Ф.М. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2010, №3(140), c.7-12.

Ф.М.Мирпоччоев

ОИДИ МАСЪАЛАИ БА^ОДИ^ИИ ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРЙ БАРОИ Х,ИСОБКУНИИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КА^ХАТТАИ ^ИНСИ ЯКУМ ДАР БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ХАТ^ОИ КА^, КИ БО МОДУЛИ БЕФОСИЛАГЙ МУАЙЯН ШУДААНД

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров

Дар макола формулахои нави квадратурии вазндор барои хисобкунии такрибии интегралхои качхатаи чинси якум барои синфи функсияхо, ки бо модулхои бефосилагй муайян шудаанд, ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: формулаи квадратуры - модули бефосилагй - интеграли кацхатта - хаттогй

- гиреууо - уосила - функсияи вазндор.

F. М.Мirpochchoev

ON THE PROBLEM OF EVALUATION OF QUADRATURE FORMULAS FOR APPROXIMATE COMPUTATION OF CURVILINEAR INTEGRALS OF FIRST KIND, GIVEN BY MODULES OF CONTINUITY

B.Gafurov State University of Khujand In article were found a new weighted quadrature formulas for approximate computation of curvilinear integral of first kind for classes of functions which given by modulus of continuity.

Key words: quadrature formula - modulus of continuity - curvilinear integral - error - node - derivative -weighted function.