CC BY
24
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2012, том 55, №12____________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
А.А.Шабозова
ОБ ОЦЕНКЕ ПОГРЕШНОСТИ УСЛОЖНЁННОЙ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.05.2012 г.)
В работе найдена оценка погрешности усложнённой квадратурной формулы прямоугольников для приближённого вычисления криволинейного интеграла первого рода.
Ключевые слова: криволинейные интегралы первого рода - усложнённая квадратурная формула прямоугольников - модуль непрерывности.
1. Рассмотрим задачу приближённого вычисления криволинейного интеграла первого рода в форме линейной комбинации нескольких значений подынтегральной функции
N
Jf(M)ds = 'ZpJW^ + R, (f, Г), (1)
Г k=1
___ N
где Mk сГ, k = 1, N . Сумму ^pkf (Mk ), в соответствии с определением из монографий [1-3],
k=1
будем называть квадратурной суммой, R (f, Г) - погрешность формулы (1).
Через M q (L) обозначим класс плоских спрямляемых кривых Г, у которых длина равна L, а кривизна кусочно-непрерывна. Будем полагать, что все кривые из Mg(L) расположены в области Q = {(х y): x + y2 < L21. Известно [4], что параметрические уравнения кривой Г £ :Ж g (L) , отнесённой к длине дуги s как параметру, в прямоугольной системе координат Oxy имеют вид
х = x(s), y = y(s), 0 < s < L.
В этом случае имеет место равенство
L
J f (M )ds = J f ( x(s), y(s) ) ds. (2)
Г 0
Здесь мы дадим оценку остатка усложнённой квадратурной формулы прямоугольников для приближённого вычисления интеграла в правой части равенства (2). Для этого отрезок [0, L] делим
Адрес для корреспонденции: Шабозова Адолат Азамовна. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Рудаки, 17. Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]
на N равных частей точками ^ = кк, h = L / N, k = 0, N и на каждом интервале (^_ 1, ^) применяем заранее выбранную квадратурную формулу с узлами sk < ^ < — < Е,т < ^+1 и
коэффициентами p , i — 1, ш . В результате получим усложнённую квадратурную формулу
j / ( x(s) y (s))ds — £ ¿(^ _i,^ ; / ) + ^ (/, Г ), (3)
к=1
где ^ ; /) = £>,/ (), ,у(£)), Д„ (/, Г) - погрешность формулы (3) на функции /,
(=і
определённые на кривой Г , длина которой равна Ь .
Усложнённая квадратурная формула прямоугольников имеет вид
— т N
{ f ( x(s) У (s)) ds = — £ f
N к=1
Ґ f 2k-1 N f 2k -1 ^
x L )■y — 1
V 1 2 N , 1 2 N ))
Rn(J, Г). (4)
Если N - некоторый класс функций f (M) — f (x, y), определённых в области Q, то требуется найти точную оценку погрешности квадратурной формулы (4) на классах функций N и кривых Шд (L):
Rn (N; Mq (L)) = sup{\RN (f, Г)\: f g N; Г g Mq (L)}. (5)
Для отыскания точной оценки (5) на рассматриваемых ниже классах и кривых функций будем считать, что формула (1) точна для f (M) — const:
N
J ds — ^pk — L.
L к—1
d dx d dy
Введём операторное обозначение V------------------1-------. Используя это обозначение для сложной
dx ds dy ds
функции F (s) — f (x(s), y(s)), выражение производной запишем в операторном виде
def df dx df dy ( 4
F (s) — IT + — Vf (x(s), y(s)).
dx ds dy ds
Через Wq1 Ию :— H*[0, L] обозначим множество функций f (x, y), у которых почти всюду в области Q существуют частные производные df / dx, df / dy, для любых двух точек s , s G [0, L] удовлетворяющих неравенству
Vf (x(s), y(s)) \^;, -Vf (x(s), y(s)) < ю(\ s'' - s' \),
0
где *(з) - заданный модуль непрерывности, то есть непрерывная и неубывающая для s > 0 функция, такая, что *(0) = 0 и
0 <*(5 ) -*(5) <*(| s - 5' |), (0 < 5' < 5).
Через Ж(1)Н* := Ж(1)Н*[0,Ь] обозначим множество функций р(з) , у которых производная р (s) е С[0, Ь] удовлетворяет условию
|р (s )-р (s )| <*(| s -s |), Vs ,s е[0,Ь].
Из этих определений классов функций сразу следует, что если /(X, у) е Н*, то Е(5) е Ж(1)Н*
и наоборот.
Записав для произвольной функции / е Жд1 Н* как функции одного переменного
Е(5) = /(х(5), у(5)) формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши [1], остаток квадратурной формулы (4) представим в виде
ЬЬ
КМ(/,г) = {у/(х(5), уфус^ж := |Е (¿)К(¿)<*, (6)
0 0
где
Т 2k -1 V
К (5) = Ь - 5 - — Ь - 5 J , и!=[тах(0, и)]0. (7)
Равенство (6) с учётом (7) после простых вычислений для произвольной Е(5) еЖ(1)Н*[0, Ь] запишем в виде
Ь
Ям (/, Г) = -{ Е(5)д (5)Ж, (8)
0
где
Гя-(k- 1)к, (k-1)к <5 <кк-к/2, д(5)= 1
[5 - кк, кк - к /2 < 5 < кк, (к = 1, ^,
где, ради удобства, положено к = Ь / N.
Очевидно, что д (кк + 5) = д(5), 0 < 5 < к, к = 1, N. Отмеченные выше свойства функции д (5) позволяют равенство (8) записать в следующем виде
|^ (/, Г) |= N
к
| Е(5)д
(9)
0
к
Учитывая, что | д(5)^ = 0 , из (9) получаем
% (/, Г) = N
п
{[ Ґ» - Ґ( п/2)] д №
<
Г п/2 п |
< N | 1Ґ (5) - Ґ (П / 2) 5Ь5 + | |ґ' (5) - Ґ (П /2) (П - 5')ds |
<
п/2
п/2
<
N ] | *(п/2 - 5) 5Ь5 + | *(5 - к/2)(п - 5)Ь5 !> =
п/2
Ь/(2 N )
—-5 к = Ь
2N / 2 N
(10)
Отметим, что заменив под интегралом в правой части (10) *(‘^^’J на | будем иметь:
ь2 ( ь Л
| К (/, Г) |< I ~2^ I, в то время как из общей оценки (6.20) из [1] можно лишь вывести, что
| к (/, г)|<—*(—|.
| п 4 N | N ,1
Докажем теперь, что для погрешности квадратурной формулы (4) на всём классе функций Жд1 Н* и классе кривых Шр (Ь) справедлива оценка
Ь/(4 N )
1 1
%»(И?1 Н*;е (Ь)) = в„Ь | *(1 Ь, - <в,
(11)
Определим на отрезке [0, Ь] функцию Е0 (5) , у которой
-—*(25), 0 < 5 < Н /4,
3
Ґ(,) = •]-—*(п-2,), п/4<,<п/2, -Ґ (п - 5), п /2 < , < п,
Е0 (5 + к) = Ео (5).
В работе [5] доказано, что Е(5) е Н®[0, Ь], а значит Е (5) еЖ(1)Н*[0, Ь], что и обеспечивает
включение
Ґо(5) = /,(Х(5), Г(5)) Н* . С
другой стороны, имеем
о
о
о
Л
N
п
(.и Г) := яы (Ґо, Г) = 2^[ І Ґо(5) I д,(5¥5 :=
2N [ пг4 . . 7 Гп ') ^ } Ь г ь с .
I J *(25)525 + J I ~- 5 I *(25)25 =— • J *(25)25 = — J *(5)25.
п/4
п/4
Ь
Ь/(2 N )
Если мы определим функцию Е (5) так, чтобы
і
Ґо(5) =
— *(25), о < 5 < И /4,
2
1 Г п
-----*1-------5
2 I 2
п/4 < 5 < п/2, -Ґ (— - 5), п /2 < 5 < п.
Ґ (5 + п) = Ґо(5Х
то легко можно проверить, что Е(5) е^2 справедливость равенства
причём простые вычисления показывают
т Ь/(4N)
Л, (Ґо, Г) = - | *(5)25.
(12)
С другой стороны, из оценки (10) имеем
й/4 ,
п/2 ,
2N11 п - 5 ]*(5)25 = 2N | | ^ - 5 |*(5)25 + | | ^ - 5 |*(5)25
Ь/4
<
< 2N
<
< 2N
А/8
^ п/(4) п/4 п/4 п/4
— | *(5)25 + п | *(5)25 = Ь | *(5)25 + 2Ь | *(5)25.
(13)
А/8
Последний интеграл в правой части оценим согласно элементарному неравенству, верному при любом к > 0 :
п п п/2
| *(5)25 = |*(5)25 - | *(5)25
п/2
" , ч і Г 51
*(5) * 51
2 V 2 /_
25 < —1*(5)25, поскольку * 5 *(5).
Итак, окончательно из неравенства (13) находим
о
•<
о
о
о
о
Ы2 Ґ и \ Ы4 Ь/4
2N Г I---------5 *(5)25 < Ь Г *(5)25 + 2Ь Г *(5)25 <
о V2 ^ І п/8
Ь/4 2 Ь/4 Ь/(4N)
< Ь Г *(5)25 + 2Ь • — Г *(5)25 =------------------------- Г *(5)25. (14)
о 4 о 2 о
Сравнивая оценки (12) и (14) для любого / є Ж-Н*, запишем
£ Ь/(4N) £ Ь/(4N)
О
откуда и вытекает соотношение (11).
Отметим, что соотношение (11) справедливо для произвольного модуля непрерыв- ности. Однако, если *(5) является выпуклым вверх модулем непрерывности, то аналогичным образом доказывается неравенство
т Ь/(2N) J Ь/(2N) р
- Г *(5)25 < Д. (Ж">Н”)< - І *(*)* ®(1).
Поступило 16.05.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1986, 256 с.
2. Крылов В.И. Приближ вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975, 631 с.
4. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1952.
5. Ефимов В.А. — Труды Матем. института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1961, т.62, с.3-47.
А.А.Шабозова
ДАР БОРАИ БАХ,ОИ ХАТОГИИ ФОРМУЛАИ КВАДРАТУРИИ МУРАККАБКАРДАШУДАИ РОСТКУН^А^О БАРОИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КАЧ,ХАТТАИ НАВЪИ ЯКУМ
Донишго^и миллии Тоцикистон
Дар макола бахои хатогии формулаи мураккабкардашудаи росткунчахо барои хдсобкунии такрибии интеграли качхаттаи навъи якум ёфта шудааст.
Калима^ои калиди: интеграли кацхаттаи навъи якум - формулаи квадратурии
мураккабкардашудаи росткунца^о - модули бефосилаги.
A.A.Shabozova
ON ESTIMATING THE ERROR OF ADVANCED QUADRANGLE QUADRATURE FORMULAS FOR CURVILINEAR INTEGRALS OF FIRST KIND
Tajik National University
In article was founded an estimate of error for advanced quadrangle quadrature formulas for the curvilinear integrals of first kind.
Key words: curvilinear integrals of first kind - advanced quadrangle quadrature formula - modulus of continuity.
