К вопросу о зависимости интенсивности пучка ускоренных ионов в циклотроне от ускоряющего напряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 156

1969

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАХВАТА ЧАСТИЦ В СИНХРОТРОНЕ

В. В. ЦЫГАНКОВ

В синхротроне со слабой фокусировкой изменение ускоренного до конечной энергии заряда от ци^ла к циклу вызывается в основном изменением таких параметров, как моменты включения инжекции и ускоряющего высокочастотного (ВЧ) напряжения, энергия инжекции, начальная частота генератора. Построение математической модели захвата является начальным этапом проектирования системы автоматической оптимизации условий захвата.

Рассматривается многооборотная инжекция частиц в синхротрон при следующих допущениях: не учитывается коллективное взаимодействие частиц при инжекции, показатель спада магнитного поля я, постоянный по радиусу и азимуту сектора электромагнита и одинаковый во всех секторах, поле внутри прямолинейных участков отсутствует, амплитуда ускоряющего ВЧ-напряжения устанавливается за время, которым можно пренебречь по сравнению с периодом ра-диально-фазовых колебаний.

Процесс инжекции разделяется на два этапа [1]. На 1-м этапе инжекции, который длится до момента включения ВЧ-поля, частицы инжектируются на мгновенную орбиту, сжимающуюся к центру из-за роста магнитного поля. В соответствии с протеканием 1-го этапа инжекции вычисляется функция распределения частиц т) по

координатам и и у (где и — расстояние от внутренней пластины инфлектора до мгновенной орбиты, у — угол между направлением вылета частиц из инфлектора и касательной к мгновенной орбите в месте, где установлен инфлектор). В отличие от функции распределения частиц по амплитудам бетатронных колебаний ф (А) [ 11 функция й'п11п(и, т) дзет возможность учесть в соотношениях захвата п изменение момента инжекции и энергии инжектируемых частиц.

Решение уравнения бетатронных колебаний на азимуте инфлектора а для ускорителей типа рейстрек имеет вид [1}:

*а = (®)"С08 (4|1К + а (а)), (1)

где

Рс (о) = 2 (О вШ з + дГ О - соэ з;, (2)

а (а) = агд (О-вша сЮ-соъо),

а* — а я

и-

TZ 7Г

С — COS — X, s = sin — X, COS W = с — ps, 2 2

H t-S лг:-

z? = — , о = —, x = у 1 — /г,

- 2* /г

S — расстояние от края сектора до инфлектора по направлению

движения частиц, R —радиус равновесной орбиты, / —длина прямолинейного промежутка,

7 — угол между направлением вылета частицы и касательной

к равновесной орбите на азимуте, х0 — начальное отклонение частицы от мгновенной орбиты, хк — значение х на к-ои обороте (к = 0,1, 2 ...). Выполняя операции (2) и подставляя выражения для Fc(a) и а(з) в (1), получим:

-¡R

где

хк = х0В{к) + J—Л(к), (3

X

л / ч л , s(b + ра) + 2pbc . ,

А {к) = a cos 4р/с -|--i— / у —-— sin

Sin JA

n / \ г ¿ s(a -Ь /?&) . , Б (л-) = b cos 4рл:--5-—- • sin 4jj./c,

sin jj.

а — sin а, ¿ = cos о, В области а > 0 условие обхода инфлектора имеет вид:

(g + u)B(K)+^A(K) + (5)

X

где — сжатие мгновенной орбиты за оборот,

g — расстояние от внутренней пластины инфлектора до частицы, а

и — от внутренней пластины до мгновенной орбиты в момент

вылета частицы из инфлектора. Из (5) следуют два неравенства:

, ____ 1 — -S(к) А (к) R , ARo6k ...

В (к) В (к) х 5 (а:)

если В(к) > 0, и

ОХ 1—А(к) R , А/?обк

В (к) В (к) х В {к)

если В(к)< 0.

В (6) и (7) для фиксированных значений п, Д/?об, у, и и среди к = 1, 2, 3,... найдем,такое значение к = к', при котором gi(K') минимально, и такое значение к — при котором g2(K'r) максимально. Тогда область инфлектора, вылетев из которой частицы будут захвачены в 1-й этап инжекции, равна:

0<g2(K")<gx(K')<gu (8)

где g¡ — ширина инфлектора.

Аналитические методы исследования функции g(fc) дискретного аргумента к отсутствуют, поэтому операцию нахождения к! и к" приходится выполнять численно.

В первый момент после включения ВЧ-поля частицы распределяются по фазам ускоряющего напряжения. Область фаз (срь ср2),

108

Ограниченная сепаратрисой, представляет геометрическое место точек синхротронных орбит, вокруг каждой из которых частицы распределены по положениям мгновенной орбиты в соответствии с первым этапом инжекции. Через четверть периода радиально-фазовых колебаний синхротронная орбита, имеющая начальную фазу <р0, будет на расстоянии у ~ 9 (<р5) от равновесной орбиты, поэтому область интегрирования по и для данной синхротронпой орбиты равняется (0, ии — у) (ср,-равновесная фаза, их — расстояние от внутренней пластины ин-флектора до центра рабочей области). Если энергия инжектируемых частиц изменилась на величину+Д£, то азимутальный размер сгустка в плоскости (<р, ср) будет равен уОо — уох = © а нижний предел

интегрирования по у равен у0 =-. В случае, когда оо-

Р2 (1 — п) Е

ласть интегрирования по и не зависит от заряд, захваченный в ускорение с учетом двух этапов инжекции, равен:

7а Уо1 <Риз у. «1-у

0 = | ] ] | | 1 д(ъ у0. ?о> у> г) X

7. О <ро1 у, и 6

х dgdtldyd<?Qdy0dъ (9)

¿7 — функция распределения инжектируемых частиц по углу энергии у0, начальной фазе <р0 ВЧ-напряжения, амплитудам радиально-фазовых колебаний у~<р(<р$) без учета бетатронных колебаний, длительности импульса инжекции и, ширине инфлектора g\ ух — радиальный полуразмер сепаратрисы;

1 - В (к')

ётш («л) -

Б«

и А (к*) Я

В (к') * Т В (к')

(10)

Далее положим, что соотношение между координатами <р0 и у линейное, т. е. если распределение частиц по фазам <р0 равномерное, то распределение частиц по у (без учета бетатронных колебаний) можно также считать равномерным. Такое допущение можно сделать, если в выражении [1]

е1.2

2(1 — ср*

1/2

У_

Ух

1 + Км

Ух

(10)

устанавливающем связь между амплитудами радиальных и фазовых

колебаний, пренебречь членом к\ 2 ( — | (к\ 2 = 0,2 ч- 0,25; 0<у<у!),

\У| /

который „дает небольшую поправку" [1]. Для случая равномерного распределения заряда

Ч (Ъ Уо> ?о. У' 8) =-—---• (11)

dR

dt

Уг2иу01(Т2-Т1)

где / — ток инжектора. Область интегрирования по ср0 при Д£ 0 можно определить, если в выражении [2]

£Уо (У = Ух) =

?02 — <Р01

7Г

(/-(г

(12)

пренеоречь членом к\,2

0<Уо< У1- Подставляя

(10), (11), (12) в (9), легко вычислить интегралы (9).

Помимо вышеуказанных допущений относительно вида функций £¡.2 и , которые не носят принципиального характера, в формуле (9) не учтено изменение функции gmiп(и, у) в области мгновенных орбит, близких к синхротронной. Действительно, если мгновенная орбита совпадает с синхротронной, отстоящей от равновесной на расстоянии у, то gmin(u, у), так как период синхротронных колебаний много больше периода бетатронных колебаний. Для каждой мгновенной орбиты максимальная амплитуда бетатронных колебаний (для ускорителя

без прямолинейных промежутков) равна А

v

gmin (u, j) \[См] С - О, ?9 см П = О. С/ /г +3 Ю'Э

" и. см

Рис. 1. Функция распределения по и и у и ее изменение на 2-м этапе

инжекции

Если А < а1 — у, то распределение частиц по и находится согласно (10), если же А > и1 — у, то функци I распределены.! равна:

gmin (и, т) = gm in (И, у) ~ {Л - {u{ - у)}.

(13)

Таким образом, область интегрирование по и разбивается на две: (0, и') и (и\ — у), и' находится из условия равенства фигурной

скобки нулю, а и" из условие gm\n (и, у) = 0. На рис. 1 представлен график функции gm-m (и, у) (10), (13), расчитанный для параметров синхротрона 1,5 Гэв ТПИ. Из рис. 1 еидно, что погрешность формулы (9), которая вызвана тем, что не учитывается изменение gmm ¿М) в области мгновенных орбит, близких к синхротронным, одного порядка для параллельного пучка с у — 0 и у^0. Коэффициент захвата

ПО

«

во второй этап илжекции для параллельного моноэнергетического пучка, расчитанный по формуле (9), равен:

О ф — сп 1

т|г = — = ---- (при уг -

(14)

ф 2 — Т1 3 I 1

Ъ = 0 ~ при = ~ и, 27Г 4 \ 2

где (¡^ — заряд, захватываемый на первом этапе инжекции, ср2 — ср2 — /(у^ — азимутальный размер сепаратрисы.

1,0

Рис. 2. Зависимость захваченного заряда от энергетического разброса

¿/01 ~ Д^тэх

С учетом изменения ^шш (и, т) (ПРИ 7=0) _ ?2-?1 / 1 #1,3

Т]2 =

2тг \ 2 и, 2 и} ®2 — / 3

ЬА (при «И^

— — при = —

2т: \ 4 и, / \ р 2

(15)

Так как ^«иь то погрешность формулы (9) незначительна.

Потери частиц за счет энергетического разброса можно оценить по формуле, которая получается из (9) при у = 0, у1~и1, у^ = ихх:

Q(Уn 1^0)

16

1/(1 — х2)3---1--агс вш

3 8 / 3 16

л:

(16)

В квадратной скобке 0<х<1. На рис. 2 представлены следующие

графики функции ^ ^в) : цифрой 1 обозначен график, рассчитайся (>'01 = 0)

ный без учета, а Г — с учетом изменения g*min(^) на втором этапе инжекции для параметров синхротрона 1,5 Гэв ТПИ {g\ — 1,5 см, их = 10 см) и ух = цифрой 2 — график без учета, а 2' — с учетом изменения gmin (и) для параметров синхрофазотрона 10 Гэв ОИЯИ

г. Дубна (g± = 3 см, Ui = 50 см) и уг — — иг.

Рассмотрим захват параллельного моноэнергетического пучка при неоптимальных условиях захвата. Введем обозначения:

Rx — радиус мгновенной орбиты в момент включения импульса инжекции;

/?2 —радиус мгновенной орбиты в момент включения ВЧ-поля; —радиус мгновенной орбиты в момент окончания импульса инжекции;

Динф радиус, на котором установлен инфлектор;

я.-я;

dR

dt

Дх„. Дт,

длительность импу льса инжекции

Rs — средний радиус камеры ускорителя; ^ —радиус равновесной орбиты;

Д и„ =

dR

Д ит =

Д и,„ =

dt dR

dt

Дти, Д-си — ошибка в моменте инжекции;

ошибка в моменте включения ВЧ-поля:

Aul)

ß2(l — п) F F = 1 —

ш.

Дш—дрейф начальной частоты генератора; 1

4/;

д Не =

R,

АЕ, АЕ — дрейф энергии инжекции.

Р*(1 ~п)Е

Изменения вышеуказанных параметров рассматриваются от цикла к циклу. На рис. 3 представлен частный случай: /?,<ЛИНф, Каждому положению мгновенной орбиты и соответствует область инфлектора ^¡п(/г), вылетев из которой частицы не столкнутся с ин-флектором. Если возвращать мгновенную орбиту электронов после того, как они совершат к' оборотов, на прежнее место, то получим график функции gmin (и), нарисованный сплошной линией. Так как фактически мгновенная орбита двигается, то график функции gm\n(u) изображается штриховой линией. Из рис. 3 видно, что область интегрирования по и равна [(/?инф — щ — у], по у — [^7— Уг], ази-

мутальный размер сгустка: (<р02 — <р01) = (ъ — ?1) y^l — ^ Таким образом,

Q

I (?2 — Ъ)

gl

dR dt

Ух-2ic

/

_ у- и1"Н^инф ~ R\)~y gm\n(M)

1 -

/ Ч

■R, Яинф-*.

Ух

dgdudy. (17)

^;////////у/////////// f

2

/sssss ssss Sssss s .

%

г Q

/ll!!?4 •А %

¡\\W\y

«с 1 / Л »# 1

и ч J \r2

захвата

с ue

■aUo

с и»

ьЦ&Х.

&u€

нф 1 i kj dj

-2 7

l*s-*il г i — И —

i г

l*i-*st э v* 47 /

-з 4 / ' I1

men S

fTTOT

5

1

ft

H 6

fo

x

to

ff

12

Рис. 4. Функциональная схема моделирования соотношений захвата (18) на АВМ (операции: 1—суммирования, 2 — выделение модуля, 3 — сравнения с нулем. 4 — перемножения, 5 — сравнения двух величин, б — извлечения корня)

8. Заказ 4594

113

В общем случае зависимость захваченного заряда от вышеуказанных параметров имеет вид:

<3

".-{<*,-Яинф»0

X I

{<*.-*инф»°}

У1-

V

/

X

+

/

X '

/

{СЛй„ф-/?,)>о}

J dgdlldy,

где:

— /?инф = ки-Е — ^ — = АиО). — = ™

1*2 - = | - Л,) - (Л2 - Л,) [ - I- Д'Ивч|

(18)

(19)

Подставляя (19) в (18), получим зависимость захваченного заряда от Д&вч, Диш. Из (18) видно, что при неравномерном рас-

пределении захваченного заряда по и зависимость от Дгги и ДПе несимметрична относительно нуля. Из (18) легко показать, что для компенсации дрейфа энергии инжекции желательно сделать моменты инжекции и включения ВЧ-поля связанными. На рис. 4 представлена блок-схема моделирования соотношения (18) при gm■m (и) = gl.

ЛИТЕРАТУРА

1. М. С. Рабинович. Основы теории синхрофазотрона. Труды ФИАН СССР, т. 10, 1958.

2. И. С. Данилкин, М. С. Рабинович. Захват частиц в синхрофазотрон-ный режим ускорения. ЖТФ, т. 28, вып. 2, 1958.