К вопросу о построении математической модели захвата частиц в ускорение в синхротроне со слабой фокусировкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО _ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА _

Том 184 1970

К ВОПРОСУ О ПОСТРОЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАХВАТА ЧАСТИЦ В УСКОРЕНИЕ В СИНХРОТРОНЕ СО СЛАБОЙ

ФОКУСИРОВКОЙ

В. В. ЦЫГАНКОВ

(Представлена научным семинаром НИИЯФЭА) ♦

Решение уравнения движения частиц в ускорителе можно представить в* виде:

X = ^ВОЗ)

где хсв—свободные колебания, определяемые типом системы и начальными условиями, хВ03 — возмущение свободного движения, зависящее от величины и вида правой части неоднородного уравнения. В ускорителях со слабой фокусировкой преобладает хсв, так как размеры камеры велики, а в ускорителях с жесткой фокусировкой хвоз сравнимо с хсв. Известно, что системы автоматического управления осуществляют компенсацию хв03» поэтому применение систем автоматической компенсации возмущений, работающих в течение цикла ускорителя, особенно эффективно в ускорителях с жесткой фокусировкой на сверхвысокие энергии [2]. Пример эффективного применения систем автоматической компенсации возмущений радиально-фазовых колебаний центра сгустка в синхрофазотроне со слабой фокусировкой на энергию 1-0 Гэв ОИ.ЯИ г. Дубна [3] объясняется необходимостью перезахватав режим краткого ускорения и наличием гармоник магнитного поля, частота которых находится в области синхротронных частот. Таким образом, в ускорителе со слабой фокусировкой может быть эффективна система автоматической оптимизации условия захвата, так как 1на уровне инжекции характеристики магнитного поля, а также пучка инжектируемых частиц не остаются постоянными от цикла к циклу ускорения. Схема исследования систем автоматической'оптимизации следующая: на основе экспериментальных или теоретических исследований строится математическая модель объекта и в зависимости от сложности модели синтез системы производится методами теории оптимального управления или с использованием вычислительной техники [4]. Можно указать на два крайних случая: 1 — — сведения о физических процессах" настолько незначительны, что экспериментатор вынужден в ограниченной области изменения переменных зависимость между выходной величиной и входными представить в виде полинома Чебышева, коэффициенты которого определяются по данным пассивного эксперимента; 2—-существует теоретическая модель, основанная на точном знании физического процесса. В первом случае сведения о функциональной форме сводятся к нулю [5„ 6, 7], во втором случае она известна достоверно. На практике чаще всего встречаются промежуточные случаи. Теория, как правило, разработана недостаточно,

но путем проведения дополнительных (исследовании исследователь рассчитывает при помощи итерационного метода построить модель, в которой принимаются во внимание основные теоретические аспекты проблемы. На практике преобладает излишне осторожный подход к построению модели. Считается, что до тех пор, пока функциональная форма не известна с большой степенью точности, теоретический подход является необоснованным. Это приводит к преобладанию во многих случаях чисто эмпирических исследований, в то время как полутеоретический подход, в котором функциональная форма строится при помощи итерационного процесса, может оказаться более эффективным и результативным [5].

Данная работа посвящена некоторым вопросам построения математической модели процесса захвата частиц в ускорение для синхротронов на основе исследования физики этого явления.

Рассматривается, многооборотная ¡инжекция частиц в синхротрон-При этом делаются следующие допущения: п — показатель спада магнитного поля по радиусу — постоянный по азимуту и радиусу ускорителя; не учитываются коллективные взаимодействия частиц при инжекции.

Решение уравнений бетатронных колебаний для ускорителей типа рейстроек на азимуте инфлектора о имеет вид [1]:

хк = Рс (з)-соз(41«с + а (а)), (1.1)

где

Fc(a) = 2 |D-sina,+ dD- COS а I ,

а (а) - arg(D-sina + dD*cosa), (1.2)

«i*

с — е1^ с — е-1* тех

П =- d =-, d=-, с = cos — ,

d* - d ' 5 s 2

t IY S

5 = Sin x, Ji. = arc cos (c — ps), p = , а = — , x = ]/1 — n , 2 R

S — расстояние от края сектора до инфлектора по направлению движения частиц; R — радиус равновесной орбиты, I — длина прямолинейного промежутка, у — угол между направлением вылета частицы и касательной к равновесной орбите в месте, где установлен инфлек-тор. С учетом (1.2) уравнение (1.1) можно представить в виде:

хк = х^В{к) + ^~А{к), ч (1.3)

где

л , \ a t s(b + pa) + 2pbc . .

А (к) = a-cos4fiTH---— 7 —---sin4¡хк,

sin ^

В (к) = й-cos А\т — 5 (а + РЩ щ sin

sin р.

а = sin о, b = COS а,

х0 — расстояние от точки вылета частицы до мгновенной орбиты, — значение х на к-м обороте (к =1,2,3,.. .). В выражении (1.3) А {к) и В (к) аналогичны эффективным „синусу" и „косинусу" [8], однако, не совпадают с ними, так как в (1.3) выделены отдельно

V/?

х0 и -—. При р= О, А (к) = sin В (к) = cos а о при этом сле-

X

дует считать равным нулю, При рФ 0 и оф О получим выражение для -х-* совпадающее рк [9].

(1.4)

Будем далее рассматривать соударение частиц только с инфлек-тором, учет соударений с вертикальными стенками повлияет только на абсолютное значение захваченного заряда. Условие обхода частицей инфлектора имеет вид:

^ + и). В (к) + I* . А (*)< Д#0б • * + й, (1.5)

где и — расстояние от внутренней пластины инфлектора до мгновенной орбиты, ¿' — расстояние от внутренней пластины до точки вылета частицы из инфлектора (толщиной пластины пренебрегаем),

¿я т . ^ А ! ¿я I

АКоб = - • -7 — сжатие мгновенной орбиты на оборот, - — ско-

йЬ I сИ I

рость сжатия мгновенной орбиты, Т — период обращения. Из (1.5) следует:

1\ у I — -В (/с) А(к) # , к . п /1

В (к) В {к) * В (к)

если В (к) > 0.

о\ 1— В (к) А (к) /? к АП 1 п 7

2) ——• ^---Т + —~ (1.7

В (к) В (к) х- В (к)

если В (к) < 0.

5 (1.6) и (1:7) для фиксированных значений Д#об, # среди *; = 1,2,3.... найдем такое значение к = кг, при котором gí (к') минимальное, и введем обозначение g] (к') = £-т1п (и), и такое значение /с=/с", при котором g2{к") максимально. Тогда область инфлектора, вылетев из которой частицы не столкнутся с инфяектором, равна (¿М'О» 5*1 (к')) с учетом неравенства

0 < < < ' (1-8)

где ¿,тах —ширина инфлектора.

Аналитические методы исследования функции g (к) дискретного аргумента к отсутствуют, поэтому операцию нахождения к' и к" приходится выполнять численно.

Рассмотрим инжекцию параллельного пучка частиц (-( = 0), тогда случай (1.7) отпадает, так как при В(/с)<0 неравенство (1.5) всегда выполняется, и из (1.6) получаем:

Пусть мгновенная орбита находилась на расстоянии и от внутренней пластины инфлектора, когда в камеру ускорителя был инжектирован заряд 1{Ь)<И, где / (¿) ток инжектора. Заряд, захваченный на орбиту и, равен:

гш1п(в)

¿<2=?(л)А1= | q(g)dg^ (1.10)

6

где gm■m (а) определяется выражением (1,9),

Я (§") " функция распределения инжектируемого заряда по ширине инфлектора. В случае равномерного распределения инжектируемого

/ ч п и , ,,

заряда по g'•q(g)~-. Вместо переменной г введем и : аЬ =

¿Гглах

= , тогда из (1.10) следует, что функция распределения заряда

Таблица 1

Д ИоЬ [см]

%

п 0,05 0,10 0,15 0,29 0,5

0,50 1,5 1,5 * 15 1,5 1,0

0,51 1,5 1,5 15 1,0 1,0

0,52 1,5,9 1,5,9 1,5,9 1,0 1,0

0,53 1,4,13 1,4,13,0 1,4,0 1,0 1,0

0,54 1,4 1,4 1,4 1,4,0 1,0

0,55 1,4 1,4 1,4 1,4 1,0

0,56 1,4 М . 1,4 1,4 0

0,57 4 4 4 4 0

0,58 4 11 4,11 4 4,0 ' 0

0,59 4,7 4,7 4,7 0 0

0,60 4,7 4,7 4,7 0 0

0,61 3,10 з,ю, 3,10,0 3,0 0

0,62 3,13,16 13,16 3,0 З'О 0

0,63 3 3 3 3,0 0

0,64 3 3 3 3 0

0,65 3 3 3 3 3,0

Таблица 2

п 0,2 0,4 0,8 1,2

0,58 7,0 3,0 0 0

0,59 3,0 3,0 0 0

0,60 3,0 3,0 3,0 0

0,61 3,0 3,0 3,0 0

0,62 3 3 3 0

0,63 3 3 3 0

0,64 3 3 3,0 0

0,65 3 3,0 3,0 0

0,66 3,11 3,0 3,0 0

0,67 3,8 3,0 0 0

0,68 3,5,8,13 3,0 0 0

0,69 3,5 3,5,0 0 0

0,70 5 5 ' 0 0

0,71 5,0 5,0 0 0

0,72 2,7,0 2,0 0 0

0,73 . 2,7 2,0 2,0 0

0,74 2,9 2,0 2,0 0

0,75 3,11 2,0 2,0 2,0

по координате и или амплитудам бетатронных колебаний (так как 7 = 0) равна:

dR

dt

^max

где I{и) — ток инжектора как функция длительности импульса инжек-ции. Из (1.2) следует, что при I(и) = / = const функция распределения частиц по координате и после первого этапа инжекции, который

0 о Of)5 4* 0,15 0,29

0,5 AffobCM

Рис. 1. Зависимость захваченного на первом этапе инжекции заряда для параллельного пучка частиц от ДЯ0б и п для синхротрона 1,5 Гэв ТПИ

длится до момента включения в. ч. поля, с точностью до постоянной совпадает с gm-m(u). Заряд, захватываемый на 1-м.этапе инжекции, равен:

"шах £min(")

Qi = j f Я (ё) dgdu = —-X

о о

dR

dt

g.

X

1 - В {к')

Wmax

h

ЛЯоб-к'

и

шах

(1.12)

В (к') 2 В (к')

где мтах — полуширина рабочей области магнитного поля по радиусу.

По данной методике был проведен расчет значений /с1 (табл. 1, 2) и <21 (рис. 1, 2) в зависимости от А^0б и п для случая инжекции параллельного пучка частиц в синхротрон 1,5 Гэв Томского политехнического института и в синхрофазотрон 10 Гэв ОИЯИ г. Дубна. Из рис. 1, 2, табл. 1, 2 видно, что в области малых значений А/?0б, заряд, захва: ченный на первом, этапе инжекции, существенно зависит от показателя

0,/а

max

t,o

0,9 0,8 О,? 0У6 0,$

0,3

*

~ "-QS9 — п*0,60 "--0,58 -"-0,72 п 0,61-75j

' \ \

«

п = 0,66 Пг0у73

П 0,67

П'Ц70 — ^ я 0,62 - П-0,63

^ - ■■

о

0,2

OA

0,6

ав

иг

ù, R0$ , см

Рис. 2. Зависимость захваченного на первом этапе инжекции заряда для параллельного пучка от AR осп п для синхрофазотрона 10 Гэв ОИЯИ г. Дубна

спада магнитного поля,, причем эта зависимость сильнее выражена з случае, если инфлектор находится в середине сектора. По-видимому, колебания захваченного заряда в 1,5-5-2 раза на синхротроне 680 Мэв Физического института АН СССР можно объяснить также и соударениями частиц с инфлектором из-за нестабильности п.

ЛИТЕРАТУРА

1. М. С. Рабинович. Основы теории синхрофазотрона. Труды ФИ АН СССР т. X, 1958.

2. A. Л. Минц, А. А. Васильев, Э. Л. Б у р ш т е й н. Кибернетический ускоритель на энергию 1000 Гэв. Международная конференция по ускорителям заряженных частиц г. Дубна, 1963.

3. Г. С.-Казанский, А. П. Ц а р е н к о в. Подавление фазовых колебаний сгустка протонов в синхрофазотроне на 10 Гэв. ОИЯИ г. Дубна, препринт 2491, 1965.

4. В. П. Т а р а с е н к о. Влияние помех на дискретные системы автоматической оптимизации (обзор). Изв. АН СССР ОТН «Техническая кибернетика», 1963, № 2.

5. G. Е. P. Box and Hunter. «Technometrics». 1962, v. 4, № 3. p. 301—318.

6. Hancmann F. «I. Opérât. Res. Soc. Iapan». 1964, 6, № 4. p. 200—207

7.. В. В. H а л и м о в, Н. А. Чернова. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. Изд-во «Наука», M 1965

8. В. И. Котов, Н. Б. Рубин. ЖТФ. т. 28, в. 2, 1958.

9. Н. Б. Рубин, О. И. Я р ко век и й. Особенности захвата частиц в синхрофазотроне режим ускорения. Дубна, препринт р-649, 1961.