К вопросу о точности оценки дисконтированного срока окупаемости инвестиционного проекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

44 (182) - 2013

Инвестиционный потенциал

УДК 330.46: 658.155

К ВОПРОСУ О ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ДИСКОНТИРОВАННОГО СРОКА ОКУПАЕМОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО

ПРОЕКТА

А. А. НАУМОВ,

кандидат технических наук, доцент E-mail: a_a_naumov@mail. ru Центр прикладных математических исследований, г. Новосибирск

В работе исследованы особенности задачи оценивания точности дисконтированного срока окупаемости проектов. Срок окупаемости проекта является важной его характеристикой. Поэтому от того, насколько точно можно его оценить, будет зависеть качество принимаемых по проекту решений. Показаны слабые места некоторых расчетных схем для оценивания сроков окупаемости инвестиционных проектов, которые приводят к выводу, что применительно к реальным проектам использование этих подходов представляется нецелесообразным.

Ключевые слова: инвестиционный проект, срок окупаемости, DPP, модель, критерий NPV, точность.

Введение

Решение задач оценивания основных показателей инвестиционных проектов (NPV, IRR, DPP и др.) является главным при обосновании принятия решения о выборе наиболее эффективного проекта из множества альтернативных (см., например, [1, 5]). От корректного решения этих задач будут зависеть принимаемые потенциальными участниками инвестиционного процесса (разработчиками проекта, инвесторами, компаньонами и другими) решения об их заинтересованности (или незаинтересованности)

в проекте. В работе рассмотрен вопрос: насколько точно можно оценить такой показатель проекта, как дисконтированный срок его окупаемости (DPP)? В литературе по методам анализа инвестиционных проектов срок окупаемости обычно оценивается с точностью до длины интервала между ближайшими точками финансовой активности проекта (точками на оси времени, когда средства вкладываются в проект или фиксируется доход по нему). Например, если длины всех таких интервалов равны одному году, то и срок окупаемости DPP будет оценен с точностью до года. Таким образом, если оценка DPP будет найдена и будет составлять, например, семь лет, то в документации по проекту о его характеристиках следует включить фразу: «дисконтированный срок окупаемости проекта равен семи годам, причем окупаемость проекта произойдет на седьмом году его реализации». Таким образом, в этом примере нашли отражение как найденный срок окупаемости (DPP = 7), так и его точность (отмечено, что точное значение срока окупаемости принадлежит интервалу [6, 7]).

Можно ли повысить точность оценок DPP? Да, можно. Но для этого необходимо привлечь дополнительную информацию о потоках проекта на интервале времени [DPP — 1; DPP], например вве-

44 (182) - 2013

Инвестиционный потенциал

дением на этом интервале дополнительных точек, в которых будут известны значения входного (инвестиции) и выходного (доходы) потоков проекта. Точность оценки DPP можно повысить также, зная характер поведения критерия NPV на этом интервале, например, зная, что этот критерий на интервале [DPP — 1; DPP] ведет себя линейно. Далее приведена расчетная формула для этого случая.

В работах [2—4] и некоторых других была предпринята попытка улучшить качество оценок DPP без привлечения дополнительной информации о потоках проекта. Суть предлагаемой в этих работах методики оценивания DPP заключается в том, чтобы заменить дискретный выходной поток (поток доходов) проекта новым непрерывным потоком с тем же значением приведенного дохода NPV, и уже для непрерывного потока оценивать срок окупаемости с любой требуемой точностью. Далее автором приведена расчетная формула для нахождения DPP, полученная в соответствии с этой идеей. Следует заметить, что, к сожалению, такая формула оценивает срок окупаемости для проекта, который отличается от исходного, потоки которого подверглись преобразованию. Таким образом, можно заключить, что такой способ повышения точности показателя DPP является неприемлемым.

Постановка задачи

Пусть для некоторого проекта известны входной (вложения, инвестиции) и выходной (доходы) финансовые потоки в виде: Fin (t), t = t0, tj, t2,..., (tm = T) — входной финансовый поток; Fout (t), t = t0, tj, t2,..., (tm = T) — выходной финансовый поток. Для простоты записи формул для расчета показателей эффективности проекта будем полагать, что моменты времени t = t0, tj, t2,..., (tm = T) — положительные целые числа и все интервалы времени между соседними отсчетами равны единице времени. Кроме этого, полагаем, что все вводимые в рассмотрение и используемые в данной работе ставки согласованы с этой единицей времени.

Следует отметить, что в последнее время для оценивания дисконтированного срока окупаемости были предложены новые схемы расчета (см., например, [3, 5]), причем утверждается, что в соответствии с ними можно оценить значение показателя DPP более точно, чем это делают классические подходы, которые основаны на решении задачи вида

DPP = {min t* е {to,tx,t2,...,tm }NPV(t) >

> 0, VTt е [t*,tm]}, где NPV(t) = F* (t) - Ffn (t)

(1)

Flt (t) = tFout (T)/(1 + r Г0;

z=to

Fl (t t = tFm (т)/(1 + r Г0.

(2)

T=to

Заметим, что в формулах (2) используется только одна ставка — ставка дисконтирования финансовых потоков проекта r, а t0 — время приведения потоков проекта.

К вопросу точности оценивания срока окупаемости

Рассмотрим подробнее предлагаемую в работах [2—4] методику, сравним ее с классической и сделаем некоторые выводы, касающиеся точности, с которой можно оценить срок окупаемости проекта в принципе. Первое, что необходимо отметить, это то, что точность классических методов нахождения DPP равна длине того интервала, правой границей которого служит значение этой оценки. Так, если DPP = t* = tk e{t0,tj,t2,...,tm} (обозначение t* соответствует решению задач (1), то точность будет равна длине интервала [tk—1, tk]. Почему нельзя оценить срок окупаемости более точно? Дело в том, что нам известно поведение потоков только в моменты времени {t0, tj, t2,., tm} и неизвестны — в промежуточных точках между этими моментами. А поскольку поведение потоков внутри интервала [tk—1, tk] может быть самым различным и оно неизвестно, то можно сказать, что срок окупаемости (его точное значение) принадлежит этому интервалу, и более точную оценку его, к сожалению, дать нельзя. Как можно повысить точность? Например, для этого можно уменьшить длины интервалов времени между точками множества {t0, tj, t2,..., tm}, разбив эти интервалы новыми временными отсчетами, но при одном условии: в новых точках разбиения необходимо знать значения потоков Fjn (t) и Fout (t). Все другие искусственные приемы, увеличивающие количество точек разбиения оси времени на интервалы (тем самым уменьшающие длины интервалов) без приписывания этим точкам реальных значений потоков проекта, к сожалению, к повышению точности не приводят.

Инвестиционный потенциал

44 (182) - 2013

Что практикуется при нахождении оценок сроков окупаемости?

Первый прием. Считают, что функция NPV (t), t е {t0, tj, t2,..., tm } является линейной на интервале [tjt—p tk], где tk = DPP — срок окупаемости, найденный по формуле (1). Тогда, при условии, что NPV(tk_ j) < 0, а NPV(tk) > 0, можно легко получить выражение для DPP в виде

i »rnw, ч

DPP = tk-j +(tk - tk-j) /

NPV (tk) |NPV (tk-j )|

+1

(3)

Очевидно, что DPP = к если NPV((к) = 0.

Из предположения о линейности функции NPV (() на [(к—1, (к] не следует постоянство (неизменность) потоков ¥ (() и ¥оШ (() на этом интервале.

Второй прием (см., например, [2—4]) был предложен для повышения точности оценки показателя DPP Дискретный поток доходов ¥ои( ((), t = (0, (2,..., (т заменяется на непрерывный поток и для случая стандартных (классических, нормальных) потоков (когда сначала средства вкладываются в проект, а затем, в течение оставшегося времени до окончания проекта, только зарабатываются проектом) получается формула для срока окупаемости (в обозначениях работы [3])

DPP = - ln

1 —

^ (Im)

у

h (i+ok

1 -С1+i )-

/ln(1 + i),(4)

где (1т) — наращенная сумма инвестиций (элементов входного потока) проекта ко времени окончания инвестиционного этапа ^ = п); Dk — размеры доходов (элементы выходного потока) проекта по годам (к = 1, 2,., пВ); i — ставка дисконтирования (наращивания) потоков проекта.

В терминах настоящей работы входящие в формулу (4) элементы можно переписать следующим образом:

1=1п,

- S(1т) = I Мп «(1 + г)Тп1 , г = /■ — ставка

Т=Тп

наращивания (дисконтирования) потоков;

¥т = [¥п «0), ¥т ),..., ¥т (гп1 ),0,0,...,0] вектор входного потока (инвестиций) длиной в т + 1 = т1 + пВ + 1 элемент, причем, первые т1 + 1 элементы его относятся к ненулевым вложениям в проект, а остальные пВ элементов — к нулевым;

¥ш = [0,0,...,0, ¥ш ((п++1) = В, ¥ш ((п++2) =

= В2¥оШ ((п, + пв ) = Впв ]— вектор выходного потока (доходов) проекта.

Конечно, для аналитиков проектов было бы очень удобно иметь расчетные формулы вида (4), позволяющие сколь угодно точно находить оценку для дисконтированного срока окупаемости. Однако есть несколько обстоятельств, которые не позволяют воспользоваться этими формулами на практике.

Формула (4) была получена при переходе от дискретного потока доходов проекта ¥и к такому непрерывному потоку доходов (обозначим его через ¥2), что для него выполняется равенство NPV(tnI,МоШ) = NPV(п,М2). Здесь запись NPV(^ , Мои1) соответствует приведенному в точку ( = потоку ¥ои( Аналогично следует понимать и обозначение NPV(^ ,М^), но для потока ¥2 . Другими словами, в результате перехода от одного потока к другому был построен такой новый непрерывный поток доходов, который имеет такой же приведенный в точку ( = ( доход, как и исходный дискретный. Можно сказать, что потоки ¥и и ¥21 эквивалентны между собой относительно величины приведенного дохода NPV(^ , МоШ) . Таких выходных потоков, эквивалентных исходному выходному потоку, можно было построить бесконечно много, тем самым получить класс эквивалентных относительно значения NPV(^ ,Мои1) выходных потоков. Но только один из них будет соответствовать реальному выходному потоку данного проекта (это поток ¥ ), а остальные — отношения к проекту иметь не будут. Их будут связывать с проектом только одинаковые значения показателя NPV(^ , Ми) . Следовательно, несмотря на то, что приведенные ко времени окончания инвестиций в проект приведенные доходы до перехода к непрерывным потокам и после такого перехода остались неизменными, т. е. выполняется равенство NPV(^ ,МоШ) = = NPV(^ , М2Ш), исходный проект при таком переходе будет существенно изменен. Замена дискретного потока доходов на непрерывный приводит к совершенно другому (новому, отличному от исходного проекта) проекту. Следовательно, и срок окупаемости будет найден для этого нового проекта.

О том, что формула (4) потеряла при таком преобразовании выходного потока логический смысл, говорит, например, еще и такое свойство оценки срока окупаемости, найденной в соответствии с

7х"

27

D

44 (182) - 2013

Инвестиционный потенциал

этой формулой: при прочих неизменных параметрах входящих в формулу (4), одинаковым значени-

ям

nD D

ZDk

k=1 n+w

= Fout (t)

¿(1 + r)'^

= NPV(tni, Fout) = I

будут соответствовать одинаковые значения DPP. Очевидно, что для одного и того же значения NPV(t ,Fout) может быть предложено множество вариантов выходного потока (элементов вектора Fout ). Получили противоречие: различные потоки доходов, соответствующие одинаковым значениям NPV(t ,Fut), не влияют на величину срока окупаемости.

Еще один алогизм формулы (4) состоит в том, что в соответствии с ней срок окупаемости зависит от длительности периода времени, в течении которого фиксируется (наблюдается) выходной поток — nD

(тактов времени на интервале [ tn

,t

]).

Однако очевидно, что на срок окупаемости влияют только сами значения элементов выходного (доходного) потока проектов Fout , но не влияет время получения этих доходов (при условии, что DPP < nD ). Объяснить, почему получилось такое противоречие, очень просто: при переходе от дискретного выходного потока к непрерывному потоку пришлось равномерно «размазать» значение NPV(tn ,Fout) на интервале времени получения до-

ходов [ tn

,t

]. А значение приведенных доходов

NPV(^ ,Fout) и длина этого интервала зависят от времени и параметра пв. Как следствие этого, срок окупаемости тоже стал зависеть от времени окончания доходной части проекта. Хорошо известно, что для рассматриваемого случая стандартных входных К = К«0),К(¿1),...,К),0,0,...,0] и выходных ^ = [0,0,...Л ^ +1) = А, Коиг+2 ) = = , . . -Кш +пв ) = Впв ] потоков проектаэлементы выходного потока, находящиеся на оси времени правее точки + 0рр, на оценку срока окупаемости не влияют.

Выводы

1. Срок окупаемости не может быть определен точнее, чем длина интервала, для которого он является правой границей.

2. Для повышения точности оценки срока окупаемости необходимо более часто измерять (фиксировать) элементы входного и выходного потоков (в общем случае) или элементы выходного потока для случая стандартных потоков.

3. Формулами вида (4) при решении реальных задач пользоваться, к сожалению, нельзя, поскольку при их выводе было нарушено свойство инвариантности оценки дисконтированного срока окупаемости относительно преобразования выходного потока проекта. Другими словами, было использовано такое преобразование выходного потока, которое изменило проект и его характеристики, а это значит, что формула (4) оценивает срок окупаемости совсем другого, а не исходного проекта.

Список литературы

1. Виленский П. Л., Лившиц В. Н., Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика. М.: Дело, 2002. 888 с.

2. КирилловЮ. В., ДосужеваЕ. Е. Многокритериальная экономико-математическая модель оценки коммерческой эффективности инвестирования // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2013. № 32. С. 18—24.

3. Кириллов Ю. В., Досужева Е. Е. Экономико-математическая модель поддержки принятия решений по инвестированию в совместные инвестиционные проекты // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2013. № 27. С. 33-39.

4. Кириллов Ю. В., Назимко Е. Н. Экономико-математический подход к вычислению срока окупаемости инвестиционного проекта // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 45. С. 49-54.

5. Ковалев В. В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 2003. 144 с.