Экономико-математический подход к вычислению срока окупаемости инвестиционного проекта Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

45 (300) - 2012

Экономико-математическое

моделирование

УДК 338.24.01

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ВЫЧИСЛЕНИЮ СРОКА ОКУПАЕМОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА*

Ю. В. КИРИЛЛОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономической информатики E-mail: kirillov_yu@ngs. ru Новосибирский государственный технический университет

Е. Н. НАЗИМКО,

кандидат экономических наук, профессор кафедры финансов и кредита

E-mail: enn2003@yandex. ru Новосибирский гуманитарный институт

В статье рассматривается существующий итерационный способ определения дисконтированного срока окупаемости инвестиционного проекта. На основе анализа его недостатков построено аналитическое выражение для вычисления этого показателя, учитывающее продолжительность всего потока платежей доходной части проекта, и доказана его правильность.

Ключевые слова: срок окупаемости с учетом дисконтирования, дискретные и непрерывные потоки платежей, алгоритм вычисления, аналитическое выражение, наращенная сумма, приведенная стоимость.

* Статья подготовлена в рамках гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, проект ТП-8.536.2011 «Разработка интеллектуальных технологий, средств компьютерного моделирования и эффективных методов оптимизации как функционального наполнения информационно-аналитических систем поддержки принятия решений».

Реальные (капитальные) инвестиционные проекты занимают значительную долю рынка инвестиций, несмотря на возрастающую активность на фондовом сегменте этого рынка. Эффективность таких проектов оценивается известным набором показателей, среди которых одним из важнейших является срок окупаемости. Определению этого понятия уделяется много внимания в специальной литературе, причем различают два принципиально разных подхода к решению этого вопроса, связанных с учетом фактора времени при оценке эффективности реальных инвестиций.

В первом подходе определяется простой срок окупаемости (в английской аббревиатуре PP -Payback Period) или срок окупаемости без учета дисконтирования. Второй подход определяет дисконтированный срок окупаемости (в английской аббревиатуре DPP - Discounted Payback Period)

Dk

0

л

или срок окупаемости с учетом дисконтирования. В работе [9], которая фактически является нормативным документом в данной области, разница между этими показателями определяется способом вычисления сумм платежей инвестиционной и доходной частей проекта от начального момента до момента окупаемости. Во втором случае учитывается дисконтирование платежей с учетом процентной ставки, устанавливаемой инвестором при формировании бизнес-плана проекта.

В работах [1-8, 11, 12], которые являются основополагающими при анализе эффективности реальных инвестиций, убедительно доказывается, что простой срок окупаемости PP не учитывает фактора времени и, следовательно, не может отражать динамику таких сложных финансовых операций, как реальный инвестиционный проект. Именно поэтому дисконтированному сроку окупаемости DPP уделяется главное внимание при анализе и сравнении показателей эффективности реальных проектов. При этом значение PP используют на практике в качестве первоначальной, достаточно грубой оценки значения DPP.

В таком случае связь между значениями PP и DPP должна быть не только экономической, но и математической: выражение для PP должно получаться из аналитического выражения для DPP в предельном случае уменьшения величины процентной ставки до нуля. Однако из анализа существующих методов в определении дисконтированного срока окупаемости реальных инвестиционных проектов [1-8, 11, 12] следует, что величина DPP определяется не аналитическим выражением, а итерационным алгоритмом. Проанализируем его недостатки.

В настоящее время значение дисконтированного срока окупаемости в общем случае определяется решением оптимизационной задачи

DPP = min nD (1)

P(Dk )| t__n> S (Im )| t__ni, (2)

- приведенная стоимость платежей доходной части длительностью t=nD к моменту ее

D3=200 D4=200

\ D2=15 Di =50 ■ 2 f 0 к к j

1 /■=10( I Г I2=15( 3 4 5 6

Рис. 1. Финансовая схема реализации заданного проекта

1 - норма дисконта, выбранная для оценки эффективности инвестиций; $ (1т )|, - - наращенная сумма платежей инвестиционной части проекта с размерами к моменту его окончания (^ = п), причем

при условии

где P(Dk )|,

D,

I ''Д

начала ^ = п), причем р(Д) ^ = У k >

k=l (1 + 0

Dk - размеры доходных платежей инвестиционного проекта по годам (к = 1, 2,..., пД);

S (Im )

t=ц

I Im (1 + О

Im - размеры инвестиционных платежей проекта по годам (m = 1, 2,..., n). Сложность задачи (1) - (2) состоит в том, что если считать известными числовое значение суммы S(Im)| , размеры платежей Dk и норму дисконта i, то определение DPP сводится к решению уравнения

D

D

- S(Im ) t=n, = 0

м (3)

k-1 (1 + i)k ^^ относительно nD, что, очевидно, является математически достаточно трудной задачей. Отсюда следует, что уравнение (3) необходимо решать, используя аппарат численных методов решения показательных уравнений в общем случае достаточно высокого порядка.

Однако какие именно методы используются на практике для решения задачи (1) - (2) и уравнения (5), в работах [1-8, 11, 12] не указано. В лучшем случае разбираются лишь частные числовые примеры, однако вопрос происхождения общих расчетных формул остается открытым. Рассмотрим, например, задачу определения DPP [11], для которой финансовая схема реализации инвестиционного проекта приведена на рис. 1.

Размеры платежей инвестиционной и доходной частей проекта указаны на рис. 1, норма дисконта составляет i = 10 %. Наращенная сумма платежей инвестиционной части проекта к моменту ее окончания t = 2,очевидно, равна

t

m-1

)|,=2=I (1+0+4 = 260. (4)

Далее последовательно вычисляют приведенную стоимость платежей доходной части проекта (кумулятивный доход) к моменту ее начала , = 2

Pk D )|,=2 = £-

D„

(5)

k=1 (1+ok

для К = 1, 2, 3, 4 и постоянно сравнивают ее со значением (4) для того, чтобы определить такой номер К, при котором выполняются неравенства

Pk (Dk )| t =2 < S(Im )| t=2 < PK+l (Dk )| t=2 . (6) В данной задаче таким номером является К = 2, при котором очевидно, что

2 D

P2 (Dk )| t=2 = Z = 169,4, k=l (1 + i)

3 D

P3(Dk)|t 2= Y-k-r = 319,7,

3V k'U=2 £i (1 + i)k ' '

т. е. выполняются неравенства (6)

169,4 < 260 < 319,7.

Таким образом, момент окупаемости с учетом

дисконтирования наступит примерно между двумя и

тремя годами доходной части проекта или четырьмя

и пятью годами всего проекта в целом, считая от

его начала (см. рис. 1). Однако вместо алгоритма

определения значения DPP в работе [11] приводится

лишь числовая формула

DPP = 2 +

260 -169,4 150,3

= 2,6.

(7)

Чтобы получить общее аналитическое выражение для определения DPP, из которого получалось бы выражение (7), следует допустить, что разность 5(K) = PK (Dk )| t=2 -S (Im )| t=2 является линейной функцией номера K, тогда ее изменение на отрезке [2, 3] можно представить на рис. 2.

Отрезок АВ = |5(2)| - 5(2), а отрезок ED = 5(3). Единичный отрезок AD можно представить в виде суммы AD = AC + CD или AD = x + (1 - x), где x -

Ü(K)

искомая часть года, которая определяет момент окупаемости с учетом дисконтирования (рис. 2). Из равенства углов а и в в треугольниках ABC и CDE, очевидно, следует

AB ED -5(2) 5(3)

-=-или -=-.

AC CD х 1 - х

Последнее уравнение позволяет определить искомую часть года

-5(2)

S(Im ) t=2 -P2 (Dk )

kJ\t =2

X = -

5(3)-5(2) P3 (Dk )| t=2 -P2(Dk )| t=2 Тогда срок окупаемости данного проекта с учетом дисконтирования DPP = 2 + x, что в числовом виде составляет

DPP = 2 + 260 -169'4 = 2 + 260 -169'4 = 2,6 (8)

319,7 -169,4 150,3

и полностью соответствует формуле (7). Таким

образом, пользуясь данным методом, можно получить общее выражение для определения значения DPP в форме

DPP = K + -

S (Im ) t=n - Pk (Dk )

k ' t=n

P

(9)

'К+1 (Вк )| ,=п РК (Вк )| ,=п,

где номер К принадлежит отрезку [1, пв] и удовлетворяет неравенствам

Pk (Dk)

Рис. 2. Линейная функция разности 5(K)

<S(Im)|t=n <pk+1 (Dk)|t=% . (10)

Выражения (9) и (10) неявно присутствуют и являются алгоритмической основой для вычисления DPP в тех числовых примерах, которые приводятся в других работах [1-8, 11, 12] для определения срока окупаемости инвестиционного проекта с учетом дисконтирования.

Однако выражение (9) не может считаться строгой аналитической формулой по следующим причинам. Во-первых, вычисление по формуле (9) можно провести только после определения величины K из неравенства (10), а его справедливость устанавливается итерационным путем. Во-вторых, поскольку линейность функции 5(K) = pk (dk )| t=n-S(im ) _ ,

которая используется для вывода (9), является всего лишь предположением, а не строго доказанным фактом, то и сама формула (9) не может считаться не только аналитическим, но даже приближенным выражением для вычисления DPP, поскольку степень точности полученных оценок не найдена. Кроме того, в работах [1-6, 8] справедливо указывается, что недостатком метода вычисления DPP на основе выражений (9), (10) является тот факт, что величина DPP определяется кумулятивным доходом, полу-

ченным вплоть до момента окупаемости, и не зависит от остальных платежей доходной части проекта.

Следует отметить, что приведенный алгоритм вычисления дисконтированного срока окупаемости, несмотря на свои недостатки, имеет право на существование как оценочная характеристика этого показателя инвестиционного проекта, что и объясняет его широкое распространение за отсутствием аналитической формулы. Однако вычислительная сложность такого алгоритма может оказаться достаточно высокой из-за неопределенности количества итераций, необходимых для установления справедливости неравенства (6).

Рассмотрим способ построения аналитического выражения для вычисления срока окупаемости инвестиционного проекта с учетом дисконтирования, который был бы свободен от указанных ранее недостатков. В этом случае необходимо принять во внимание следующее. С одной стороны, целое число лет для расчета DPP по формуле (9) определяется кумулятивным доходом, который вычисляется для дискретных платежей по формуле (5). С другой стороны, дробная часть года для расчета DPP по формуле (9) определяется формулой (8), которая получена для непрерывных платежей.

Представляется гораздо более обоснованным рассчитывать DPP в условиях, когда доходная часть инвестиционного проекта является непрерывным потоком платежей. Отсюда следует, что поток дискретных платежей доходной части проекта необходимо заменить эквивалентным потоком непрерывных платежей, причем приведенные стоимости обоих потоков к моменту их начала t = nf должны быть одинаковыми.

Рассмотрим произвольный инвестиционный проект, для которого финансовая схема реализации доходной части представлена на рис. 3.

В данном случае S (Im) - наращенная сумма платежей инвестиционной части проекта к моменту ее окончания (кумулятивные расходы), которая определяется на основе бизнес-плана проекта и считается известной; Dk (k = 1, nD) -дискретные платежи доходной части проекта

Dk

продолжительностью пв лет.

Исходя из этого, заменим дискретные платежи Вк постоянным потоком непрерывных платежей годовым объемом R, как показано на рис. 3. Приведенная стоимость такого потока Р ^^ к моменту его начала ^ = 0 определяется известными соотношениями [11, 12] и составляет

R

P( RM) = R

1 - (1 + О-

где i - норма дисконта инвес-

1п(1 + О

тиционного проекта. Тогда на основании принципа финансовой эквивалентности необходимо приравнять приведенную стоимость дискретных платежей Р (Ок) к приведенной стоимости потока непрерывных платежей, т. е. Р (Ок) = Р

D

D,

=R

1 - (1 + i)-

к=1 (1 + ¡)к 1п (1 + О откуда можно определить размер годового платежа непрерывного потока

D

I

D,

k

R=

1 (1 + i)

k

ln (1 + i).

(11)

1 - (1 + i)-

Далее на основании определения срока окупаемости с учетом дисконтирования наращенная сумма платежей инвестиционной части проекта S(Im) должна быть равна приведенной стоимости непрерывного потока длительностью n = DPP (см. рис. 3), т. е. должно выполняться равенство

S(I.) = R1 - (1 + i)-" .

v m/ i /1 ,

ln(1 + i)

С учетом выражения (11) получим

I Dk ^

S(Im) = k= (1 +i)k Г1 - (1 + i)-DPP ]. (12)

Ут> 1 - (1 + i)-"D L ^ > 1 v '

Используя логарифмирование обеих частей выражения (12), можно определить срок окупаемости инвестиционного потока с учетом дисконтирования

ln

DPP = -

1-

S (Im )

D,

■'D

1 (1 + i)k

-L1 - (1+i)-"D ]

(13)

1п(1 + 0

Знак «минус» в выражении (13) вместе с отрицательностью логарифма числителя означает, что

D 1 1 D k j 2 Dn k

к

1 2 DPP nD

S(Im)

Рис. 3. Финансовая схема реализации произвольного проекта

n

D

n

D

0

t

срок окупаемости будет положительным числом.

"d D

Используя тот факт, что j-^ = P(Dk), выраже-

k=1 (1 +i)

ние (13) можно записать в форме, выражающей экономический смысл алгоритма вычисления DPP

ln Л -

DPP = -

S (Im )

P( Dk)

[1 - (1+i)-"D ]|

ln(1 + i)

(14)

Рассмотрим свойства полученного выражения (14). Представляет интерес определение предельного значение DPP при уменьшении нормы дисконта, т. е. найти

(

lim DPP = lim

i^Q i^Q

ln

1--S(Im) П - (1 + i)-"D ]

j Dk Г ' ' ] tt (1 + i)k

Л

ln(1 + i)

.(15)

Выражение (15), очевидно, представляет собой 0

неопределенность типа —. Применяя к нему известное правило Лопиталя [10], получим

"j "j Yj YJ

/ v m / v m

lim DPP = — - m=1

Y Dk

k=1

R

(16)

где Х 1т - бухгалтерская (недисконтированная)

т=1

сумма платежей инвестиционной части проекта;

по

Ха

k=1

полученное на основе финансово-математического подхода в пределе (при уменьшении нормы дисконта до 0), превращается в известную формулу для оценки срока окупаемости, полученную на основе бухгалтерского подхода.

Это последнее обстоятельство является дополнительным аргументом в пользу правильности сделанных рассуждений для получения аналитического выражения (14). Пользуясь этим выражением, можно вычислить значение DPP проекта, рассмотренного в качестве примера ранее, используя его числовые данные в формуле (14). При этом получим DPP = 2,09, что заметно меньше значения DPP = 2,6, полученного на основании оценочного выражения (8).

Другим важным доказательством правильности выражения (14) является его использование для вычисления DPP проекта, инвестиционная и доходная части которого реализованы в форме аннуитетов. Например, пусть инвестиционная и доходная части проекта реализованы в форме рент постнумерандо с постоянными ежегодными платежами соответственно Jm(m = 1, 2,..., ") и Dk(k = 1, 2,..., "D), и ежегодным начислением процентов по ставке i. Используя в формуле (14) для S (Jm) и P (Dk) их выражения через параметры аннуитетов проекта, известные из курсов финансовой математики [11, 12], можно с помощью несложных преобразований получить соотношение

ln Л -

DPP = -

D,

(1 + i)"J -1

= R - бухгалтерский (недисконтирован-пв

ный) среднегодовой размер платежа доходной части проекта.

Тогда в выражении (16) правая часть представляет собой известную формулу для бухгалтерской оценки срока окупаемости инвестиционного про-

п1

Х 1т

екта (без учета дисконтирования) покуп = -т=^—,

которой очень часто пользуются на практике [1-8, 11, 12]. Таким образом, аналитическое выражение (14) для определения срока окупаемости проекта,

ln(1 + i)

которое полностью совпадает с выражением для определения дисконтированного срока окупаемости, представленного в работах [11, 12].

Таким образом, полученное выражение (14) для определения срока окупаемости инвестиционного проекта не только учитывает всю продолжительность доходной части проекта и свободно от недостатков традиционных методов, но также является их развитием в условиях применения финансово-математического подхода для анализа динамики инвестиционных процессов.

Аналитическая формула (14) позволит заметно упростить алгоритм и повысить точность вычисления DPP инвестиционного проекта по сравнению с традиционными методами. Это должно положительно сказаться на оперативности и качестве не только собственно вычислений, но и даст возможность проводить углубленный экономический анализ

"

D

срока окупаемости с учетом дисконтирования -одного из важнейших показателей эффективности реального инвестиционного проекта.

В исследовании не учитывалось влияние инфляции на вычисление дисконтированного срока окупаемости, поскольку, по мнению авторов, эта большая и сложная тема требует отдельного рассмотрения.

Список литературы

1. Бланк И. А. Финансовый менеджмент: учебный курс. К.: Ника-Центр, 2004.

2. Виленский П. Л., Лившиц В. Н., Смоляк С. А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика: учеб. пособие. М.: Дело, 2002.

3. Инвестиции: учебник / под ред. В. В. Ковалева и др. М.: Велби, 2003.

4. Ковалев В. В. Курс финансового менеджмента: учебник. М.: Велби, 2008.

5. Ковалев В. В. Методы оценки инвестиционных проектов. М.: Финансы и статистика, 1998.

6. Ковалев В. В. Финансовый менеджмент: теория и практика. М.: Велби, 2007.

7. ЛимитовскийМ. А. Основы оценки инвестиционных и финансовых решений. М.: Дека, 2001.

8. Липсиц И. В., Косов В. В. Инвестиционный проект: методы подготовки и анализа / учеб. -справ. пособие. М.: БЕК, 1996.

9. Методические рекомендации по оценке эффективности инвестиционных проектов (вторая редакция). URL: http://www.niec.ru/Met/02redMR. pdf.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник. М.: Наука, 1968.

11. Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. М.: Дело, 2002.

12. Четыркин Е.М. Финансовая математика: учебник. М.: Дело, 2004.