К вопросу о счетности и степени множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

К вопросу о счетности и степени множеств Алатин С.Д.

Алатин Сергей Дмитриевич /Alatin Sergey Dmitrievich - кандидат технических наук, старший научный сотрудник,

главный инженер ООО «Русское решение», г. Нижний Новгород

Аннотация: актуальность выбранной темы обусловлена необходимостью выявления и устранения апорий Зенона в основаниях теории множеств.

Abstract: relevance of the topic chosen due to the need to identify and eliminate the paradoxes of Zeno foundations of set theory.

Ключевые слова: мощность, степень, отображение множеств; апории Зенона. Keywords: cardinality, degree, mapping of sets, Zeno aporia.

Равномощность множеств натуральных и рациональных чисел не согласуется с наивной интуицией, и данная работа имеет целью исследовать, достаточно ли безукоризненны допущения и ход рассуждений Кантора для того, чтобы интуицией пренебречь.

Оставаясь в рамках алгоритма апории Зенона про Ахиллеса и черепаху, необходимо признать, что Ахиллес не перегонит черепаху, и чтобы уйти от парадокса, уходят от алгоритма: наш опыт дает нам возможность видеть его итог.

Кантор строит свое доказательство по форме и структуре точно так же, как парадокс Ахиллеса:

В

Ахиллес и черепаха Кантор

1 Задается субъект движения (Ахиллес). Задается субъект движения (идущий по таблице).

2 Задается путь - расстояние от Ахиллеса до черепахи. Задается путь - таблица рациональных чисел.

3 Задается движение по заданному пути. (бесконечное по существу) Задается движение по заданному пути. (бесконечное по существу)

4 Путь разбивается на конечные интервалы (между соседними моментами наблюдения) строго определенным образом (интервалы уменьшаются). Путь разбивается на конечные интервалы (между соседями по диагоналям) и задается (Кантором) строго определенным образом (именно по диагоналям).

5 Число наблюдений за Ахиллесом (число точек фиксации его пути) бесконечно. Число «встреч» с числами идущего по таблице бесконечно.

6 Мы видим парадокс и, чтобы разрешить его, вводим в рассмотрение время, которое было упущено (признаем ошибочным порядок разбиения пути по п.4.) Наш конечный опыт не дает нам возможности непосредственно видеть состоятельность или несостоятельность заключения. Протестует лишь интуиция

доказательстве Кантора множество рациональных чисел изображается таблицей с бесконечным (счетным) числом строк и столбцов, затем организуется движение по диагоналям таблицы. Алгоритм (движение по диагоналям) указан, и с ним не спорят, во-первых, в силу его наглядности, во-вторых, потому, что наш конечный опыт не дает нам возможности, как в случае с черепахой, непосредственно идентифицировать его итог.

Не смущает экстравагантность приема: алгоритм, выражаясь фигурально, предлагает «прочесывать» взад-вперед множество рациональных чисел на постоянно увеличивающемся интервале; при этом, так как в таблице все числа, расположенные выше главной диагонали, меньше единицы, а расположенные ниже главной диагонали - больше единицы, участок от нуля до единицы прочесывается столько же раз, сколько и участок от единицы до бесконечности.

Не настораживает, что алгоритм не соответствует требованию биекции, поскольку в таблице каждое число повторяется бесконечное (счетное) количество раз; считается: если в таблице чисел «больше», чем рациональных, то доказательство Кантора заведомо верно, а повторяющиеся числа предлагается при пересчете просто пропускать.

Приведем три примера:

1.При сравнении конечных множествах натуральные числа имеют одинаковое отношение порядка.

2. При биекции одного на другое счетных бесконечных множеств, например, множества натуральных чисел на множество чисел четных, также имеет место сохранение отношения порядка.

3. При биекции одного на другое несчетных множеств, например, одного интервала действительных чисел на другой, тоже сохраняется отношение порядка.

В приведенных примерах биекция согласуется с отношениями порядка. И это существенно:

«Для того чтобы множества А и В были равномощны, необходимо и достаточно, чтобы реляционные системы (А, АхА) и (В, ВхВ) были изоморфны» [1, с.181].

Реляционные системы (А, Я) и (В, 8) называются изоморфными, если существует биекция £ отображающая А на В так, что для всех х,у е А

хЯу = Дх)8Ду) [1, с.91].

Биекция предполагает наличие в обоих множествах структур, и эти структуры должны быть согласованы с биекцией. Множество натуральных чисел вполне упорядочено отношением Я, а на множестве чисел диагоналей таблицы отношение 8, удовлетворяющее (1, с.91) отсутствует. Поэтому «диагональное» отображение признать биекцией неправомерно.

Таблицу Кантора можно заменить эквивалентной таблицей, в которой рациональные числа заменены произвольными элементами, при этом каждому элементу присвоен двухзначный индекс, первое число которого равно числителю, а второе число соответственно знаменателю того рационального числа, которое данный элемент заменяет. Получается стандартная матрица с бесконечным числом строк и столбцов. Поэтому, теорема Кантора может быть разложена на два независимых тезиса:

1. Строка (столбец) матрицы равномощна всей матрице в случае, когда строки и столбцы матрицы представляют собой бесконечные счетные последовательности, или: счетное множество равномощно счетному семейству счетных множеств.

2. Плотное множество рациональных чисел представимо в виде разреженного множества рациональных чисел с возможностью уложить его в матрицу предыдущего пункта. Для этого вводится допущение: каждое рациональное число «вставляется» в матрицу бесконечное число раз. Сделав такое допущение, у каждого элемента матрицы индексы записывают не по порядку, а как частное от деления первого на второй. Далее сами элементы упраздняются, а новые индексы оставляются.

Так получается таблица Кантора. (Возможно, исторически так и было).

По п.1: поскольку и строки, и столбцы бесконечны, не обойтись без «диагонального» метода: возникает необходимость сломать отношение порядка, присущее множеству натуральных чисел, а иного отношения, согласующегося с биекцией, в таблице нет.

По п.2: сам факт построения таблицы является произвольным актом трансформации множества плотного в множество разреженное, и именно эта операция приводит к счетности множества рациональных чисел.

Имеется и такая точка зрения:

действительные числа изготавливаются из чисел натуральных по определенным для каждого класса чисел алгоритмам;

выбор этих алгоритмов не проистекает из природы действительных или натуральных чисел и определяется исключительно потребностями людей: рациональные числа (отношение, а не иное соотношение натуральных чисел) изготовлены для того, чтобы иметь возможность поделить единицу на равные части, или - чтобы на отрезке от нуля до единицы пользоваться натуральными числами; алгебраические - чтоб записать решение алгебраического уравнения; трансцендентные - чтобы установить соотношение, например, между диаметром и окружностью.

Разный инструментарий дает и разные числа:

*рациональные числа представляются десятичной конечной либо периодической дробью.

*иррациональные числа - десятичной непериодической дробью.

Разбиение чисел на рациональные и иррациональные является, по-видимому, данью традиции, идущей от древних греков (полезной, конечно).

Каких чисел «больше» - рациональных или иррациональных?

Один из возможных ответов: поскольку между двумя любыми рациональными числами можно указать число рациональное и иррациональное, а между двумя любыми иррациональными числами - число рациональное и иррациональное, оба этих множества следует признать несчетными.

«Множество всех точек отрезка 0 < х < 1 несчетно (Г.Кантор).

Доказательство. Допустим, что, напротив, множество всех точек отрезка [0, 1] счетно и все их можно расположить в последовательность х1, х2, ..., хп,... Имея эту последовательность, построим следующим образом последовательность вложенных друг в друга отрезков.

Разделим отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы не находилась точка х1, она не может принадлежать одновременно всем трем отрезкам [0, 1/3] , [1/3, 2/3] , [2/3, 1] , и среди них можно указать такой, который не содержит точки х1 (ни внутри, ни на границе); этот отрезок мы обозначим через Дь

Далее, обозначим через Д2 ту из трех равных частей отрезка Д1, на которой не лежит точка х2.

Когда таким образом будут построены отрезки Д1 з Д2 з ... з Дп , мы обозначим через Дп+1 ту из трех равных частей отрезка Дп, на которой не лежит точка хп+ь и т.д. Бесконечная последовательность отрезков Д1 з Д2 з ... в силу известной теоремы анализа имеет общую точку 4. Эта точка 4 принадлежит каждому из

отрезков Дп и, следовательно, не может совпадать ни с одной из точек хп. Но это показывает, что последовательность XI, х2,...,хп,... не может исчерпывать всех точек отрезка [0, 1], в противовес первоначальному предположению. Теорема доказана».

Заменив в этой теореме слова «точки» словами «рациональные числа» или «иррациональные числа», получим три теоремы.

Все три теоремы одинаково логичны.

Это возможно, потому что во всех трех случаях используются такие свойства множеств, которыми обладают и действительные, и рациональные, и иррациональные числа. Эти свойства суть:

1. Плотность множества, дающая возможность бесконечного деления отрезка на все более мелкие части.

2. Топология на множестве, дающая возможность говорить об окрестностях и перейти к пределу.

3. Упорядоченность множеств, благодаря которой и возможна топология.

Что же правильно - «диагональный» метод, приводящий к счетности множества рациональных чисел, или только что приведенная теорема, приводящая к несчетности этого множества? Если структуру множеств во внимание не принимать, то: «докажем» счетность рациональных чисел на отрезке (0, 1):

1.Делим отрезок на две части и нумеруем полученные числа.

2. Делим отрезок на три части и продолжаем нумерацию.

3. Делим отрезок на четыре части и снова продолжаем нумерацию и т.д.

Продолжая процесс до бесконечности, пронумеровываем все множество рациональных чисел на заданном отрезке. Именно эта операция и применена Кантором в таблице последовательно для отрезков [0, 1], [0, 2], [0, 3] .

«Докажем» счетность иррациональных чисел на отрезке [0, 1]:

1. Делим отрезок на несколько не обязательно равных частей с помощью каких-нибудь иррациональных чисел и нумеруем полученные числа.

2. Делим каждую часть на несколько (не обязательно равных) частей и продолжаем нумерацию и т.д. Продолжая процесс до бесконечности, пересчитываем все иррациональные числа.

Возможно, истоки «диагонали» Кантора следует искать не в логике, а в психологии. Действительно, если пытаться пронумеровать по порядку рациональные числа, то между соседними числами всегда найдутся еще числа. Представив числа эти как отношение числителя к знаменателю, где последние суть счетные множества, не ясно, как занумеровать одним множеством индексов два множества индексов. (Иными словами, как одномерное пространство «расщепить», чтобы получилось двумерное).

Нарисуем таблицу. И пусть всю таблицу нарисовать не представляется возможным; пусть в ней каждое рациональное число встречается бесконечное количество раз; пусть нет правила, как избавиться от лишних чисел; пусть каждая диагональ все длиннее; пусть бесконечность уходит не только вправо, но и вниз, да еще счетное число раз; пусть по числам приходится двигаться взад вперед от нуля до бесконечности: но как наглядно, логично и убедительно смотрится ее левый верхний угол!

Воспроизведение структуры апории Зенона в области чисел, по мнению автора, налицо: *и у Ахиллеса, и у Кантора задаются объективно не обоснованные маркировки пути, при этом так, чтобы из них следовали нужные выводы;

*и у Ахиллеса, и у Кантора - строгая внутренняя логика: парадоксальность наличествует лишь в результатах;

*у Ахиллеса упущена структура - время, у Кантора - структура множеств.

Наглядность таблицы Кантора и была, вероятно, тем фактором, который затруднил тщательное рассмотрение его «диагонального» метода.

И наконец: «диагональный» метод не безобиден: он затрагивает основание философии - соотношение «бытие - ничто» [2, с.139]. Манипулируя бесконечным числом бесконечных рядов, конструируя по произволу таблицу, по произволу задавая путь по таблице, используя неявным образом понятие актуальной бесконечности, метод этот строит из материала, отпущенного на строительство одномерного пространства, пространство двумерное. Последнее равносильно творению из ничего, что доступно только Богу, все людские попытки в этом направлении, по мнению автора, несостоятельны.

Поэтому результатом стали парадоксы: счетное множество равномощно плотному множеству, прямая равномощно плоскости и вообще п-мерному пространству, и т.п. И до сих пор они считаются хрестоматийными фактами. Рассмотрим понятие степени множества.

В изложении К. Куратовского [1, с.185] теорема Кантора о степени множеств записывается следующим образом:

«Теорема (о диагонали). Если область определения Т функции Б содержится в А, а значениями функции Б служат подмножества множества А, то множество г = ПеТ: ^а)}

не является значением функции Б.

Доказательство. Мы должны показать, что Б(1)= Ъ для всех 1еТ. Из определения множества Ъ следует, что для 1еТ [1еЪ] = [1^(1)].

Если F(t)=Z, получаем противоречие (teZ) = (tgZ).

В случае А=Т теорема имеет наглядную геометрическую интерпретацию».

В изложении Ю.Л. Ершова [3, с.83] и А.Н. Колмогорова [4, с.42] принято А=Т, при этом А.Н. Колмогоров [4, с.42] счел необходимым включить в текст доказательства заключительное предложение: «Обратите внимание на аналогию между этим рассуждением и рассуждением в парадоксе Рассела». Далее принято А = Т.

Теорема имеет крайне высокий уровень абстракции: о множестве А сказано лишь, что оно имеет подмножества; о функции F - что это биекция; множество элементов t выступает как область определения и как область значений функции F, а так же как поле для подмножеств множества А; не придан точный смысл выражению «значениями функции F служат подмножества множества А». Чтобы избежать неопределенности, введем индексы:

ti - область определения функции F,

F(ti) =Ai - подмножество, в которое отображает функция F элемент ti.

Теоремой заданы множество А, подмножества Ai, элементы ti, подмножество Z и функция F = F(ti) = Ai. Из общих аксиом следует:

AicA, uAi =A, tie A, uti =A, ( tig Ai ) o ( tie Ak ).

На функцию F наложено условие [ F(ti) = Ai ] л ( tig Ai ).

Далее вводится множество Z = { ti : ti g (F(ti) = Ai)}.

Положив F(ti) = Ai = A, получаем противоречие:

[ F(ti) = Ai ] л (tig Ai) ^ [ F(ti) = A ] л (tig A);

tie A, поскольку ti - область определения функции F,

tig A, поскольку ti - область значений функции F.

Получается аналог парадокса Рассела: множество А не является собственным подмножеством: А A.

Приняв F(ti) = ti, снова приходим к противоречию:

[ F(ti) = Ai ] л (tigAi) ^ [ F(ti) = ti ] л (ti g ti).

Это следствия наложенного на F условия [ F(ti) = Ai ] л ( tigAi ).

Пусть F(ti) = Ai ф A.

Введем три подмножества, каждый со своим элементом: tieAk, tjeAi, tkeAj. Обозначив функцию F стрелкой ^ , произведем отображение по замкнутому контуру: ti —у JI, ti g JI tj Aj, tj g Aj tk^ Ak, tkg Ak.

Взяв последовательно композицию трех функций F: F-F-F, получим: { [ F-F-F ](ti) = Ak }л (tieAk).

Таким образом, { [ F(ti) = Ai ] л ( tigAi )} ^ { [ F(ti) = Ai ] л ( tieAi )}.

Следовательно, условие [ F(ti) = Ai ] л ( tigAi ) внутренне противоречиво, поэтому заданная в теореме функция F не существует.

Парадокс этот связан, на наш взгляд, с таким понятием, как «множество всех подмножеств данного множества».

Функция F задана как биекция и как отображающая элемент на множество; но два этих свойства несовместимы: функция, обратная F, отображает множество на элемент и, подобно мере, не может быть биекцией [5, с.251].

Выражение «множество всех подмножеств произвольного множества» имеет, по мнению автора, скорее философский, чем математический смысл.

К. Куратовский, например, следуя Цермело, не интересуется его структурой и просто постулирует его существование с помощью аксиомы степени: «Для каждого множества А существует семейство множеств Р, элементами которого являются все подмножества множества А и только они: Х e Р = ( Х с А ) » [ 1, 60 ].

Множества, не имеющие ни каких структур, сравнить между собой на равномощность не представляется возможным (1, с.181): для того чтобы один и тот же элемент не отобразить дважды, надо иметь возможность отличить один элемент от другого. Если же все элементы одинаковы, то способ отличить один от другого только один - элементы необходимо как-то упорядочить.

Представляется имеющим смысл множеству А, рассматриваемому как основание степени множества, присвоить дискретную топологию [6, с.12].

Поскольку дискретная топология является сильнейшей и мажорирует все более слабые топологии, то множество всех подмножеств множества А можно представить как множество всех отображений одного дискретного множества на равное ему другое дискретное множество, при этом каждый элемент отображаемого множества отображается на каждый элемент множества-отображения. Представляется естественным это множество отображений и считать степенью множества А. Взяв более слабую топологию,

получим множество отображений дискретного множества на множество подмножеств более слабой топологии - множество с меньшей мощностью.

Вопрос сравнения множеств по мощности сведется таким образом к сравнению топологий. В эту схему вписываются и множества конечной мощности.

В виду того, что множество топологий на множестве лишь частично упорядочено, возможно, то же самое следует сказать и о мощностях множеств.

Литература

1. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., Мир, 1970. 416с.

2. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. Т1, М., 1970. 474с.

3. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М., Наука, 1987.336с.

4. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М., 1984.120с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981.

544с.

6. Александрян Р.А., Мирзаханян ЭА. Общая топология. М., 1979. 336с.