CC BY
223
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ
УДК 51 (07)
Е. М. Вечтомов, В. В. Чермных, Д. В. Широков
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Рассматривается методика введения и изучения теории действительных чисел. Показано значение порядкового подхода при изучении основных числовых систем будущими математиками и информа-тиками. Предложено авторское изложение системы действительных чисел.
In this article we consider the methods of introducing and studying the theory of real numbers. We explain the importance role of considering ordinal approach for studying of basic number systems by students that have a relation to mathematics and computer sciences. There presented the interpreted system of real numbers by the authors.
Ключевые слова: действительное число, линейно упорядоченное поле, сечение, непрерывность, система действительных чисел, методика изучения.
Keywords: real number, linearly ordered field, section, continuity, system of real numbers, methods of studying.
ВВЕДЕНИЕ
Действительные числа (real numbers) являются основой измерения и вычислений. Система действительных чисел образует фундамент математического анализа и приложений математики.
Во второй половине XIX в. была создана стройная строгая теория действительных (вещественных) чисел. На числовой основе можно построить всю классическую математику - арифметизировать математику. Математика - точная дедуктивная наука, в которой одни положения (теоремы) выводятся из других, в конечном счете из аксиом. Ариф-метизация должна начинаться с обоснования основных числовых систем: натуральных чисел N, целых чисел Z, рациональных чисел Q и действительных чисел R. Такое обоснование дает аксиоматический метод. Необходимость аксиоматизации основ математики подтвердилась на рубеже XIX-XX вв. в связи с обнаружением противоречий (парадоксов, антиномий) в символической логике и теории множеств, вызванных ничем не ограниченным употреблением общих понятий в математике.
© Вечтомов Е. М., Чермных В. В., Широков Д. В., 2012
Арифметизация математики была осуществлена такими математиками, как Бернард Больцано (1781— 1848), Огюстен Коши (1789-1857), Уильям Гамильтон (1805-1865), Герман Грассман (1809-1877), Карл Вейерштрасс (1815-1897), Леопольд Кроне-кер (1823-1891), Рихард Дедекинд (1831-1916), Шарль Мерэ (1835-1911), Георг Кантор (18451918), Жюль Таннери (1848-1910), Давид Гильберт (1862-1943) и др.
В методологическом и теоретическом планах действительные числа рассматриваются не сами по себе, а как элементы системы, находящиеся в естественных структурных отношениях друг с другом. Система И действительных чисел - это сложный уникальный математический объект, наделенный различными моноструктурами, каноническим образом связанными между собой. Следует особо отметить имманентно присущие И фундаментальные структуры: алгебраическую (поле), порядковую (линейно упорядоченное множество) и топологическую (метрическое пространство). В поряд-ково-алгебраических терминах система И определяется как непрерывное линейно упорядоченное поле. В тополого-алгебраическом смысле И характеризуется как связное локально компактное поле, не являющееся алгебраически замкнутым. При содержательной аксиоматизации любые две системы действительных чисел оказываются изоморфными (категоричность аксиоматической теории). Сказанное означает уникальность действительных чисел и адекватность описывающих их аксиоматических систем. Непротиворечивость системы И сводится (точнее, равносильна) к непротиворечивости теории натурального ряда.
Как правило, система И строится на базе системы Q рациональных чисел. Поле Q с обычной метрикой есть неполное метрическое пространство, пополнение которого - посредством классов эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел - и дает полное метрическое пространство И с соответствующим образом продолженными арифметическими операциями. Такое построение независимо осуществили Ж. Мерэ в 1869 г. и Г. Кантор в 1879 г. Построение И - с помощью понятия сечения рациональных чисел -разработал Р. Дедекинд в 1872 г. Еще одно построение И - на основе бесконечных десятичных дробей - дал К. Вейерштрасс в том же 1872 г. Другой подход предложен А. Н. Колмогоровым в 1946 г. [1], который определил неотрицательное
действительное число как некоторого вида функцию N 6 N и {0}.
Методика изучения действительных чисел в вузе предполагает ряд последовательных взаимосвязанных этапов: историко-методологическое введение, пропедевтику (повторение школьного материала), содержательное рассмотрение, определение, построение и метаматематику системы И. Большое дидактическое значение имеют разнообразные упражнения и примеры, соответствующим образом подобранные, отражающие как различные частные аспекты системы И, так и структуру И в целом. Содержательная аксиоматическая теория действительных чисел излагается в вузовском курсе «Числовые системы» для будущих учителей математики [2].
Дальнейшее расширение понятия числа происходило в системах комплексных чисел, кватернионов, чисел Кэли, гипердействительных чисел, р-адических чисел, в нестандартном анализе [3]. ЧТО НУЖНО ЗНАТЬ О ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ
Свойства действительных чисел, их представление и приближение необходимо знать любому специалисту в области точных, естественных или технических наук. Изучение действительных чисел особенно актуально, важно и нужно математикам и информатикам. Задачи на свойства действительных чисел хорошо развивают логико-математическое мышление студентов и школьников. Какие же их исходные свойства (аксиомы) обычно выделяются? Требуется, чтобы система И действительных чисел удовлетворяла естественным алгебраическим и порядковым свойствам, т. е. И должно быть линейно упорядоченным полем. Как и всякое линейно упорядоченное поле, И содержит линейно упорядоченное поле Q рациональных чисел в качестве подсистемы.
Поскольку система И строится, как правило, на базе системы Q, то ее изучение следует начинать с повторения структурных свойств системы рациональных чисел. Напомним, что рациональным числом называется число вида т/п, где т е Ъ, п е N. Действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным. Обозначим I = 11^.
При изучении основных числовых систем, особенно в рамках курса числовых систем, необходимо знание определенного общеалгебраического материала, включающего исходные свойства полугрупп, групп, колец и полей (см. [4]). Необходимо также знакомство с порядковой структурой [5], точнее со свойствами линейно упорядоченных множеств (цепей). Переплетение этих видов моноструктур дает новую математическую структуру - линейно упорядоченное поле. Цепи допускают интервальную топологию, позволяющую считать их топологическими пространствами, называемыми
линейно упорядоченными пространствами. Это приводит к фундаментальному понятию предельного перехода в линейно упорядоченных полях, тесно связанному с отношением порядка и арифметическими операциями (сохраняющего их).
Посмотрим, что еще надо требовать от системы R, чтобы действительные числа обладали, скажем, следующими элементарными свойствами.
Свойство 1. Между любыми двумя различными действительными числами лежит хотя бы одно рациональное число, т. е. Q плотно в R.
Свойство 2. Между любыми двумя различными действительными числами существует иррациональное число, т. е. I плотно в R.
Сразу заметим, что линейно упорядоченные поля плотны (в себе): если а < b, то а < (а + b)/2 < b. Разберем сначала свойство 1. Предположим, что оно выполнено. В R для любого r > 0 найдется положительное рациональное число q < r. Рациональные числа суть отношения целых чисел. Поэтому q = m/n для некоторых натуральных m и п. Откуда 1/n < r. Далее берем произвольное b > 0. По доказанному существует натуральное число n, удовлетворяющее неравенству 1/п < 1/ b, которое равносильно неравенству b < п. Но тогда, как легко видеть, на линейно упорядоченном поле R должна выполняться и
Аксиома Архимеда (III век до Р. X.). Для любых а > 0 и b существует такое натуральное число п, что b < па.
Геометрически свойство Архимеда означает, что как бы ни были выбраны отрезки а (маленький, короткий) и b (большой, длинный) отрезок b можно перекрыть, последовательно откладывая отрезок а вдоль отрезка b от его «начала» достаточно много (конечное число) раз. Процедура откладывания отрезков позволяет ввести понятие соизмеримости произвольных отрезков. Отрезки а и b называют соизмеримыми, если они имеют общую меру, т. е. существует такой отрезок с, что, будучи отложен некоторое число m раз, он даст в точности отрезок а и, будучи отложен ровно п раз, он покроет отрезок b. При этом мы получаем, что отношение длин отрезков а/b выражается рациональным числом т/ п. Поначалу древние греки полагали, что любые два отрезка соизмеримы, стало быть, существуют только (положительные) рациональные числа. Интересно отметить, что число в они трактовали как дробь 22/7.
Обратно, из аксиомы Архимеда можно вывести свойство 1. Точнее, имеет место следующее утверждение:
Утверждение 1. Для произвольного линейно упорядоченного поля F эквивалентны следующие условия:
1) F архимедово, т. е. удовлетворяет аксиоме Архимеда;
2) Q плотно в F;
3) в Г для любого х > 0 найдется натуральное п, такое, что 1/п < х;
4) в Г для любого х > 0 найдется такое натуральное п, что х < п.
Это предложение доказывается в курсе «Числовые системы»; доказательство можно провести по циклу 1)^ 2)^ 3)^ 4)^ 1). Заметим только, что при доказательстве импликации 1)^ 2) неявно используется принцип математической индукции.
Из свойства 1 немедленно следует плотность множества Q + г в И при любом действительном г. Поэтому для обоснования свойства 2 достаточно иметь хотя бы одно иррациональное число. Иррациональные числа были открыты пифагорейцами в IV в. до Р. X. в рамках учения о соизмеримости отрезков. Древние греки развили геометрическую алгебру, в которой числа отождествлялись с отрезками, в частности число означало диагональ квадрата с единичной стороной и, стало быть, оно для них существует. В дальнейшем на этом пути возникло понятие числовой прямой.
Теорема 1. 72 - иррациональное число.
Тот факт, что квадрат рационального числа не равен 2, доказывается в школе. Нетрудно доказать существование иррациональных чисел (и свойства 1, 2) при определении действительных чисел как бесконечных десятичных дробей, которые естественным образом изображаются точками числовой прямой.
Приведем доказательство свойства 2, не зависимое от аксиомы Архимеда. Предполагаем только, что И - линейно упорядоченное поле с положительным элементом . Имеем 1 < < 2. Допустим от противного, что между числами а < Ь в И нет иррациональных чисел. Тогда все элементы интервала (а, Ь) - рациональные числа. В силу плотности И выберем в этом промежутке рациональные числа р < q. Отрезки [0, Ц-р], [0, 1] и [1, 2] также сплошь состоят из рациональных чисел (почему?), что противоречит теореме 1.
Замечание 1. Свойства 1 и 2 - одни из важнейших свойств действительных чисел. И учитель математики должен уметь доказывать их строго и доступно для учащихся. Было предложено некоторым студентам и преподавателям математики доказать свойства 1 и 2. Ответы показали, что далеко не все студенты могут правильно вскрыть простейшую арифметическую и порядковую структуры И. ПОРЯДКОВЫЙ ПОДХОД
Упорядоченным множеством называется непустое множество X вместе с заданным на нем бинарным отношением порядка #, которое по определению:
1) рефлексивно: а # а;
2)транзитивно: а # Ь # с ^ а # с;
3) антисимметрично: а # Ь # а ^ а = Ь (Уа, Ь, с е X).
Элемент а упорядоченного множества X называется наименьшим (наибольшим), если а # х (х
# а) для всех x е X. Пусть Y - подмножество упорядоченного множества X; оно само будет упорядоченным множеством относительно порядка в X. Элемент а е X называется нижней гранью (верхней гранью) множества Y, если а # y (y # а) для любого y е Y. Наибольший элемент множества всех нижних граней множества Y называется точной нижней гранью множества Y и обозначается inf Y. Двойственным образом определяется понятие точной верхней грани sup Y.
Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным, или цепью, если любые два его элемента а и b сравнимы, т. е. а # b или b # а.
Для произвольного упорядоченного множества запись а < b означает, что а # b и а * b; а $ b означает b # а; а > b означает b < а; а # b ] а < b или а = b. Любая цепь X удовлетворяет закону трихотомии: а < b, либо а = b, либо а > b (Vа, b е X).
Для лучшего понимания материала цепи можно визуально представлять и изображать как подмножества горизонтально расположенной направленной прямой.
Рассмотрим основополагающее понятие сечения. Теория сечений была создана Р. Дедекиндом для построения действительных чисел как сечений цепи Q. Сечением (A, B) (обозначается также A\B) цепи X называется разбиение множества X на два класса A и B (A * 0, B * 0, A n B = 0 и A и B = X), при котором а < b для любых а е A и b е B. При этом множество A называется нижним классом сечения (A, B), а B - верхним классом. Элемент c цепи X называется рубежом (или границей) ее сечения (A, B), если а # r # b при любых а е A и b е B. Сечения могут иметь 0, 1 или 2 рубежа.
Сечение (A, B) цепи X, не имеющее ни одного рубежа, называется щелью: в нижнем классе A нет наибольшего элемента, а в верхнем классе B нет наименьшего элемента (рис. 1). Сечение (A, B) называется дедекиндовым, если оно имеет ровно один рубеж r, являющийся либо наибольший элементом в A, либо наименьшим - в B (рис. 2). Сечение (A, B) с двумя рубежами r:< r2 называется скачком: A обладает наибольшим элементом r1 и B обладает наименьшим элементом r2 (рис. 3). а в
_а V_в_^ щель
а * Ь X
Рис. 1
А В -^-
Рис. 2
А В
-и--скачок
П гг X
Рис. 3
X дсдскиндовы сечения
Пусть X - произвольная цепь. Если а < b в X и не существует элемента c е X с условием а < c < b, то соотношение а < b называется покрытием, элемент а - предыдущим для b и b - последующим за а. Цепь называется плотной, если в ней нет покрытий; в плотных цепях между любыми элементами а < b лежит бесконечно много элементов. Элементы а # b цепи X определяют отрезок [а, b] = {x е X: а # x # b} в X с концами а и b. Очевидно, что пересечение любых двух пересекающихся отрезков цепи снова есть отрезок.
Подмножество A цепи X называется плотным в X, если между любыми элементами а < b из X обязательно найдется элемент из A. Цепь называется полной сверху (полной снизу), если всякое ее непустое подмножество имеет sup (соответственно, inf). Полные цепи суть цепи, полные сверху и снизу одновременно. Цепь называется условно полной сверху, если всякое ее непустое ограниченное сверху множество имеет sup. Двойственным образом определяется понятие условно полной снизу цепи, а также понятие условно полной цепи.
Зададим интервальную топологию на произвольной цепи X. Для этого в X определяются начальные интервалы {x е X: x < b}, b е X, финальные интервалы {x е X: а < x}, а е X, и открытые интервалы (а, b) = {x е X: а < x < b} с концами а # b из X. Открытые, начальные и финальные интервалы цепи X образуют базу топологии на X, называемой интервальной топологией. Множество X с интервальной топологией на нем называется линейно упорядоченным пространством. См. [6].
Нетрудно установить некоторые топологические свойства линейно упорядоченных пространств. Так, все линейно упорядоченные пространства ха-усдорфовы и наследственно нормальны. Компактность произвольного линейно упорядоченного пространства X эквивалентна полноте цепи X. Условная полнота цепи эквивалентна компактности всех ее отрезков. Связность линейно упорядоченного пространства X равносильна дедекиндовости всех ее сечений, что в свою очередь означает, что цепь X плотна и условно полна.
Топологическое пространство называется сепа-рабельным, если оно обладает счетным всюду плотным подмножеством. Сепарабельность линейно упорядоченного пространства X эквивалентна существованию в цепи X счетного плотного в X подмножества.
Непрерывность числовой прямой интуитивно трактуется как отсутствие в ней «дырок», «пробелов», щелей. Понятие непрерывности числовой прямой может быть выражено по-разному. Рассмотрим соответствующие способы.
Цепь называется полной по Дедекинду, если все ее сечения дедекиндовы.
Цепь называется непрерывной по Вейерштрас-су, если она условно полна и плотна.
Далее, непустое множество S отрезков цепи назовем центрированным, если пересечение любых двух из них снова принадлежит S. Например, каждое непустое множество вложенных друг в друга отрезков произвольной цепи будет центрированным. Скажем, что цепь удовлетворяет принципу Кантора, если любое центрированное семейство ее отрезков имеет непустое пересечение (хотя бы одну общую точку). Плотную цепь, удовлетворяющую принципу Кантора, назовем непрерывной по Кантору.
Утверждение 2. Для произвольной цепи X эквивалентны следующие условия:
1) X непрерывна по Вейерштрассу;
2) X непрерывна по Кантору;
3) X полна по Дедекинду;
4) линейно упорядоченное пространство X связно;
5) цепь X плотна, и все отрезки в X компактны.
Доказательство. Эквивалентность условий 1), 4) и 5) отмечена выше. Поэтому достаточно доказать цепочку импликаций 1) y 2) y 3) y 1).
1) y2). Пусть цепь X непрерывна по Вейершт-рассу и S - некоторое центрированное множество ее отрезков. Множество A всех левых концов отрезков из S ограничено сверху правым концом каждого такого отрезка. Получаем, что sup A принадлежит любому отрезку из S.
2) y3). Пусть цепь X непрерывна по Кантору и (A, B) - произвольное сечение X. Рассмотрим множество всевозможных отрезков [а, b], где а е A и b е B. Оно центрированное. Значит, существует элемент c е X, лежащий в каждом из наших отрезков. Очевидно, c есть рубеж сечения (A, B).
3) y1). Пусть цепь X полна по Дедекинду и Y - какое-то непустое ограниченное сверху подмножество X. Возьмем множество B всех верхних граней множества Y и положим A = X\B. Сечение (A, B) имеет единственный рубеж, являющийся sup A.
Цепь, удовлетворяющую одному из эквивалентных условий предыдущего утверждения, назовем просто непрерывной.
Утверждение 3. Всякую цепь можно вложить в непрерывную цепь с сохранением всех имеющихся в ней точных граней (inf и sup).
Теорема 2. Всякая сепарабельная непрерывная цепь без наименьшего и наибольшего элементов (порядково) изоморфна цепи R.
Следствие. Любая сепарабельная цепь изоморфно вкладывается в цепь R.
Замечание 2. Теорема 2 доказывается после того, как тем или иным способом определена или построена цепь R действительных чисел. С другой стороны, формулировка теоремы 2 сама может служить определением R как линейно упорядоченного множества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Линейно упорядоченное поле называется непрерывным, если оно является непрерывной цепью.
Определение 1. Системой R действительных чисел называется всякое непрерывное линейно упорядоченное поле.
Такая содержательная аксиоматическая теория действительных чисел категорична и непротиворечива (если непротиворечива теория натуральных чисел). Под изоморфизмом систем действительных чисел понимается изоморфизм линейно упорядоченных полей.
Утверждение 4. Любое линейно упорядоченное поле F плотно в себе, содержит копию Q в качестве подсистемы, и сумма квадратов ненулевых элементов в F больше 0.
Теорема 3. Система R удовлетворяет аксиоме Архимеда.
Доказательство. Предположим от противного (на основании утверждения 1), что множество N ограничено сверху в R, и пусть c = sup N. Поскольку n # c для всех натуральных n, то элемент c-1< c также будет верхней гранью N, что невозможно.
Как следствие получаем, что система R на самом деле обладает свойствами 1 и 2.
Теорема 4. Любые две системы действительных чисел изоморфны.
Схема доказательства. Пусть даны две системы действительных чисел R и R. В силу утверждения 4 можно считать, что Q с R и Q с R. Возьмем произвольный элемент r е R и образуем множество Q (r) = {q е Q: q # r}. Имеем r = sup Q (r). Так как множество Q (r) ограничено сверху в R, то в R существует sup Q (r) = r. Отображение R ^ R, сопоставляющее элементу r элемент r, осуществляет искомый изоморфизм.
Теорема 4 означает категоричность теории действительных чисел, что и позволяет использовать обозначение R для системы действительных чисел.
Из утверждения 2 и теоремы 4 вытекает:
Теорема 5. Для любого линейно упорядоченного поля F равносильны следующие условия:
1. F изоморфно R.
2. Каждое сечение в F имеет рубеж.
3. F архимедово и полно по Коши, т. е. все фундаментальные последовательности в F - сходящиеся.
4. F удовлетворяет принципу Кантора.
5. Любой отрезок в F компактен.
Линейно упорядоченное поле не обязано должно быть архимедовым. Рассмотрим примеры таких полей.
Пример 1. Пусть Q (x) - поле рациональных дробей с коэффициентами из поля Q. Введем порядок на Q (x), считая переменную x бесконечно малым положительным элементом: x > 0 и x < 1/n
для всех n е N. Распространим это отношение и естественный линейный порядок поля Q на кольцо Q [x] лексикографически: Va0, av ..., am, b0, b, ..., bn е Q полагаем
a + a.x + aX + ... + a xm< b + b.x + ЪХ + .•• + b xn]
0 12 m 0 12 n
] 3k 0 Nu{0} ao = bo, ..., ak-i = bk_i, ak< bk.
Если теперь f (x), g (x) * 0, p (x), q (x) * 0 из Q[x], то f (x)/g (x) # p (x)/q (x) в поле Q (x) означает f (x)q (x) # p (x)g (x) в кольце Q [x]. В результате получаем неархимедово счетное линейно упорядоченное поле Q (x). Заметим, что элемент 1/x будет бесконечно большим элементом в Q (x), т. е. 1/x > n для любого n е N.
Пример 2. Через R обозначается нестандартное расширение поля R. Линейно упорядоченное поле *R имеет бесконечно малые и бесконечно большие элементы, содержит R и Q (x). Получаем несчетное неархимедово поле R. См. [7]. По теореме 3 линейно упорядоченные поля Q (x) и *R не являются непрерывными.
Вернемся к вопросу о существовании иррациональных чисел. Существование натуральных корней из положительных чисел обеспечивается непрерывностью системы R.
Теорема 6. Все положительные элементы линейно упорядоченного поля R являются квадратами, любой многочлен нечетной степени из R [x] имеет корень в R и каждое линейно упорядоченное алгебраическое расширение R совпадает с R.
Теорема 6 означает, что R является вещественно замкнутым полем.
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ R
Рассмотрим три основных способа построения системы R.
1. Метод сечений. Изучим сечения цепи Q.
Теорема 7. Сечение (A, B), где B = {b е Q : b > 0 v b2 > 2}, является щелью.
Доказательство. Пусть r е Q - рубеж сечения (A, B). Возможны два случая: r2 < 2 или r2 > 2 (по теореме 1 оба неравенства строгие). Рассмотрим случай r2 < 2. Если b > r, то b е B и b2 > 2. Заметим, что r не может быть меньше 1, ибо в этом случае 1 е B и 1 = 12 > 2, противоречие.
2-г2
Тогда r $ 1 и r2 $ r. Положим b = r + —-—. Поскольку b > r, то должно выполняться b2 > 2, однако:
ъг_гг , r(2-r>) < (2-r2)2^^ | r\2-r>) < (2-r'f 2 16 2 16 „ .. 2ч г2{2-гг) (2-г2)2
= 2-(2 -г2) + —ь-^ + ^-'— =
v ' 2 16
г2 2 —г2 7
= 2-(2-Г2)(1--————) = 2- —(2-г2)2 <2, 2 16 16
противоречие. Рассмотрим второй случай г2 > 2. г2 -2
Пусть а = г---—; очевидно, 0 < а < г. Тогда эле-
о
ментарные выкладки дают нам следующее:
а1 > 2-—(г2 -2)2 + — (г2 -2). 64 ' 2 '
Заметим, что г < 2, поэтому
следовательно, а2 > 2, противоречие. Таким образом, выбранное нами сечение (Л, В) не имеет ни одного рубежа.
Очевидно, что сечение (Л, Вг), где Л = {а е Q : а < г}, В = {Ь е Q : Ь $ г}, а г - произвольное рациональное число, является дедекиндовым. Отметим, что для того же г е Q существует еще одно дедекиндово сечение (Лг, В), рубеж г которого лежит в нижнем классе.
Утверждение 5. Справедливы следующие свойства сечений цепи Q:
1) всякое сечение рациональных чисел является либо щелью, либо дедекиндовым;
2) каждое рациональное число г е Q является рубежом двух различных дедекиндовых сечений (Л, В) и (Л, В);
3) любое дедекиндово сечение имеет вид либо (Л, В), либо (Л, В) для однозначно определенного числа г е Q; в первом случае нижний класс имеет наибольший элемент, а верхний не имеет наименьшего, и двойственная ситуация - во втором случае.
Договоримся считать равными сечения (А, В) и (Л, Вг) для любого г е Q. Пусть И - множество всех щелей и всех дедекиндовых сечений вида (Л, В ). На множестве И введем бинарное отношение <: Г (Л, В) < (С, Б) ] Л с С.
Утверждение 6. +И, <) - полная по Дедекинду цепь.
Доказательство. Очевидно, что < является отношением порядка. Если (А, В) и (С, Б) - произвольные сечения, то возможны взаимоисключающие отношения Л с С, Л = С, С е Л, что соответствует (А, В) < (С, Б), (Л, В) = (С, Б), (С, Б) < (Л, В) (под < понимаем выполнимость < и *). Получили, что < - линейный порядок. Наконец, пусть (А, В) - сечение множества И. Пусть Л = с А., где {АД - множество нижних классов сечений из А, и (Л, В) - сечение рациональных чисел. Так как для любого г выполняется А. с Л, то (Л, X ) < (Л, В). Пусть (У, В) - произвольное сечение рациональных чисел из В. Его нижний класс У содержит каждое из Л., поэтому Л = с А, с У, откуда (А, В) < (У, В). Показали, что (Л, В) является рубежом сечения (А, В). Предположим, что сечение (А, В) является скачком и (Л', В') < (Л", В") - два его рубежа. Имеем Л' с Л"; непустое множество ра-
циональных чисел Л" \ Л' в силу плотности имеет бесконечно много элементов. Выберем «внутреннюю» точку - допустим, среднее арифметическое г двух различных чисел а, Ь е Л" \ Л'. Тогда (Л', В') < (Л, Вг) < (Л", В"), противоречие.
Определение 2. Действительным числом называется любое сечение рациональных чисел.
Каждое дедекиндово сечение ( Аг, В) или (Л, Вг) цепи Q соответствует однозначно определенному рациональному числу г, а каждая щель - иррациональному числу. Получаем расширение множества рациональных чисел, введенный порядок на котором, очевидно, продолжает естественный порядок на Q.
Замечание 3. Студенты легче понимают построение И, если оперировать рубежами сечений рациональных чисел. При этом определяется рубеж дедекиндова сечения как новое (иррациональное) число. Например, у студентов вызывает затруднения доказательство свойства плотности в терминах сечений. И напротив, следующее рассуждение им понятно.
Множество рациональных чисел плотно в И. Действительно, пусть а, $ - два действительных числа, и предположим, что между ними нет рациональных чисел. Тогда а и $ являются рубежами одного и того же сечения рациональных чисел, поэтому совпадают.
Следующим шагом будет введение операций на И.
Пусть (Л', В') и (Л", В") - два сечения рациональных чисел. Очевидно, что для любых рациональных чисел а' е Л', а" е Л", Ь' е В', Ь" е В выполняется а'+ а" < Ь' + Ь". Покажем существование и единственность такого действительного числа а, что а' + а" < а < Ь' + Ь".
Положим Л = {г е Q : (УЬ' е В', Ь" е В")(г < Ь' + Ь")}. Пусть а - рубеж сечения (Л, В). Поскольку все рациональные числа вида а' + а" лежат в Л, а вида Ь' + Ь" в В, то а' + а" < а < Ь' + Ь". Для доказательства его единственности нам потребуется
Лемма. Пусть d - сколь угодно малое положительное рациональное число и (Л, В) - произвольное сечение рациональных чисел. Тогда найдутся такие а' е Л, Ь' е В, что Ь' - а' < d.
Доказательство. Пусть а е Л, Ь е В - произвольные представители классов сечения. По аксиоме Архимеда nd > Ь - а для некоторого натурального п, откуда а + ^ > Ь. Поэтому в последовательности а, а + d, а + 2d,... первый член лежит в Л, а все члены, начиная с некоторого, - в В. Обозначим а' = md, Ь' = а + (т + для такого подходящего т е И, что а' е Л, Ь' е В. Очевидно, а' и Ь' удовлетворяют утверждению леммы.
Предположим сейчас, что существует также с', такое, что а' + а" < с' < Ь' + Ь для любых а' е Л', а" е Л, Ь' е В', Ь" е В", и для определенности а < с' (случай с' < а принципиального отличия не
имеет). Поскольку Q плотно в R, то найдутся такие рациональные числа r, r', что а < r < r' < с'. Но тогда разность представителей классов из A и B не может быть меньше r' — r, что противоречит лемме.
Итак, суммой сечений (A', B') и (A", B") объявляется однозначно определенное сечение (A, B) с рубежом а. Сумма сечений есть сечение, верхний класс которого задается суммами рациональных чисел. Отсюда немедленно вытекает коммутативность и ассоциативность сложения действительных чисел. Нуль - это сечение (A, B0), который, разумеется, совпадает с нулем поля Q. Наконец, противоположным для сечения (A, B) будет сечение (-B, -A), где -A = {r е Q : -r е A}. Поэтому имеет место:
Утверждение 7. (R, +) - абелева группа, содержащая подгруппу рациональных чисел.
Определим умножение положительных действительных чисел. Пусть даны положительные сечения (A', B'), (A", B") и A = {r е Q : (Vb' е B', b" е B")(r < b'b")}. В = Q\A.
Сечение (A, B) назовем произведением сечений (A', B') и (A", B"). Стандартным образом умножение доопределяется до операции на всем множестве R. Корректность введенного определения проверяется так же, как и для операции сложения.
Опуская рутинное доказательство, сформулируем окончательный результат:
Теорема 8. (R, +,', #) является непрерывным линейно упорядоченным полем.
2. Метод фундаментальных последовательностей. Пусть +а0, а, а2,...) - последовательность рациональных чисел, которую будем обозначать +а)). Число а е Q называется пределом последовательности +а)), если для каждого положительного g е Q найдется такое n е N, что \ак - < g для любого к $ n. В этом случае последовательность +ак) называется сходящейся в Q. Последовательность +ак) называется фундаментальной над Q, если для каждого положительного g е Q существует n е N, такое, что \ак - аJ < g для любых к, m $ n.
Замечание 4. Для построения системы действительных чисел требуются последовательности рациональных чисел, хотя аналогичные понятия формулируются и для произвольного линейно упорядоченного поля. Так, студентам хорошо знакома данная терминология о последовательностях действительных чисел из курса математического анализа. Это является, видимо, той причиной, по которой студенты лучше воспринимают построение R через последовательности Коши рациональных чисел.
Обозначим через F множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел и положим:
(ак) + (Ьк) = (ак + Ьк); (ак) ■ (Ь^ = (акЬк); Е(ак, < (Ь^) ] существуют положительное число Е е Q и натуральное число п,
такие, что Ьк - ак $ е для всех номеров к $ п. Несложно проверить, что Г замкнуто относительно операций сложения и умножения, более того, справедливо
Утверждение 8. (¥,+ ,-,<) - коммутативное упорядоченное кольцо с единицей.
Доказательство очевидно. Отметим, что нулем и единицей будут последовательности (0, 0, 0,...) (1, 1, 1,.) и соответственно, 0 - (ак) = (-ак).
На множестве Г введем отношение положив: (ак) . (Ьк) тогда и только тогда, когда последовательность (ак - Ьк) сходится к нулю. Отношение . является конгруэнцией на упорядоченном кольце Г (отношением эквивалентности, стабильным относительно кольцевых операций и относительно отношения порядка). Договоримся обозначать классы последовательностей в факторкольце И = Г / . греческими буквами а, $,... . Опять же оставим рутинные обоснования о том, что И является линейно упорядоченным полем.
Определение 3. Действительным числом называется любой класс эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
Замечание 5. Разумеется, вместо введения конгруэнции на Г можно рассмотреть идеал М = {(ак) е Г : (ак) сходится к 0}, а затем - факторкольцо Г/М. В этом случае видится привлекательность в повторении элементов курса общей алгебры (доказывается, что М - максимальный идеал коммутативного кольца, и, следовательно, факторколь-цо по нему - поле). Больших отличий в восприятии студентами и первого, и второго подходов замечено не было, так что чему следовать преподавателю при чтении курса - дела личного выбора.
Остановимся на моменте, наиболее трудном для объяснения и для понимания студентами. Во-первых, И является плотным множеством. Действительно, для произвольных а' < а" е И выберем соответствующие им фундаментальные последовательности (а'к) и (а",). Последовательность (ак), где
а\+а"
, фундаментальная, и соответствующее
ей действительное число а удовлетворяет условию а' < а < а".
Пусть сейчас Ь = {а} - произвольное ограниченное множество действительных чисел. Можно считать, что найдутся такие рациональные а0, Ь0, что а0 # а. # Ь0 для любого индекса /. Пусть
С1 = ° 2 0 ; либо левый [а0, с1], либо правый [с1,
Ь0] из отрезков содержит бесконечное множество элементов из Ь. Положим а1 = с1 и Ь1 = Ь0, если бесконечно много элементов из Ь в правом отрез-
ке, и а1 = а0, bt = c1 в противном случае. Далее,
с2 = 12 1 и выбирается пара (а2, b2) по такому же
принципу. Такая процедура дает нам две фундаментальные последовательности (ак) и (bk) рациональных чисел. Они имеют общий предел а е R, так как последовательность (bk - ак) сходится к нулю. Заметим, что правее числа а может располагаться лишь конечное множество {а'3,..., а'к} элементов из L, возможно, это множество пусто. В последнем случае а является sup L, а иначе sup L = max {а'3,., а'к}. Двойственным образом находится inf L.
Таким образом, доказана
Теорема 9. (R,+,',<) - линейно упорядоченное поле, непрерывное по Вейерштрассу.
3. Метод бесконечных десятичных дробей. Рассмотрим подход к введению действительных чисел как десятичных дробей (см. [8]). Отметим сразу, что десятичная запись не является исключительной или более удобной, чем записи в иных системах счисления, поэтому все рассуждения допускают перевод, скажем, на язык последовательностей нулей 0 и единиц 1.
Рассмотрим две десятичные дроби: а = 1,00 и b = 0,99. Используя естественные соображения о сравнении чисел, можно констатировать, что между а и b нет ни одной промежуточной дроби. Желание получить плотную систему (без скачков) приводит к отождествлению таких чисел.
Определение 4. Неотрицательным действительным числом называется десятичная дробь, то есть бесконечная или конечная последовательность десятичных цифр с одной запятой между ними.
При этом число с бесконечным хвостом девяток считается равным числу, в котором эти девятки заменены на нули, а первая цифра перед хвостом увеличена на единицу; нули до первой значащей цифры до запятой и нули за последней значащей цифрой после запятой не пишутся. Например, 0,399. = 0,4 и 1469,99. = 1470.
Последовательность цифр до запятой определяет целое неотрицательное число. Обозначим его через а0. Тогда неотрицательное действительное число будет иметь вид а0,а1а1..ап., где ар а2, ... - цифры. Множество всех таких чисел обозначим R + .
Пусть а = а0,а:а2., $ = b0,b1b2. Скажем, что а < $, если существует целое неотрицательное число n, такое, что а < b и а, = b, для всех к < n.
7 7 п n к к ^
Доказывается, что (R +, <) есть линейно упорядоченное множество. Обоснуем, что оно плотно. Пусть а < $. Тогда существует целое неотрицательное число n, такое, что ап < bn и ак = bk для всех к < n. Рассмотрим десятичную дробь ( = с0,с1с2., в которой первые n знаков такие же как у а. Если далее у а идут девятки, то записываем их в (. Пусть I $ 1 - наименьшее число, что ап + ; не равно 9. Тогда полагаем сп + . равным ап + . + 1.
Остальные цифры ( можно выбрать произвольно. В этом случае ( < $, так как ск = ак = bk при к < n и сп < bn, с другой стороны а < (, так, как ап + . < сп + ; = ап + ; + 1, а цифры с меньшим номером равны. Например, для а = 0,124994. и $ = 0,12500. имеем ( = 0,124995.. Понятно, что в качестве ( можно взять как конечную, так и бесконечную десятичную дробь.
Предположим теперь, что А - ограниченное сверху множество неотрицательных десятичных дробей. Тогда это множество имеет точную верхнюю грань, которая конструируется следующим образом. Пусть u0 - это наибольшее целое число среди всех целых частей чисел из А (такое число существует, так как А ограничено сверху). Теперь рассмотрим множество всех дробей из А вида u0,x1x2.. Выберем среди множества цифр {x(j наибольшую цифру u1. Далее рассмотрим множество дробей из А вида u0,u1x2., и выберем наибольшую из цифр множества {x2 ,...}, обозначим ее u2. Такая процедура позволит получить искомую десятичную дробь u0,u1u2u3. Возможно, начиная с некоторого шага, все цифры u. будут равны 0. Такое может получиться в случае, если множество А состоит только из конечных десятичных дробей.
Если а е R+, то число -а определяется той же последовательностью цифр с добавлением впереди последовательности минуса. По определению полагаем - (-а) = а. Расширим систему R+ с помощью отрицательных чисел до R, доопределив порядок с помощью правил:
если а > 0, то -а < 0; если а < $, то -а > -$. В этом случае получается непрерывное по Вей-ерштрассу линейно упорядоченной множество R.
Для действительных чисел а, $, (, б определим операции сложения и умножения: а + $ = sup^ + b}; (б = ± sup{cd}, где а, b, c, d - все такие конечные десятичные дроби, что а # а, b # $, 0 # c # (|, 0 # d # |б|; знак произведения определяется знаками сомножителей по известному правилу.
Для каждого положительного действительного числа а = а0,а1а2. рассмотрим множество конечных дробей {а (п) : а(п) = а0,а1.ап, n # 1}, полученных из а отбрасыванием всех цифр после запятой, начиная с некоторой. Дробь а (п) называется десятичным приближением числа а (по недостатку). Нетрудно видеть, что а (п) # а при всех номерах n $ 1, поэтому {а (п)} с {а е Q: а < а}. При этом для любого $ < а существует приближение числа а, большее $. Отсюда выводится, что sup {а (п)} = sup {а е Q: а < а} = а.
На основе определения точной верхней грани и исходя из сделанных выше замечаний можно показать, что сумма двух положительных чисел а и $ есть точная верхняя грань множества сумм соответствующих приближений этих чисел а (n) + b (п), а
произведение а и $ есть точная верхняя грань множества произведений а (п) • Ь (п). После этого доказывается, что система И с операциями сложения и умножения образует поле, в котором операции связаны с введенным ранее отношением порядка. Значит, множество десятичных дробей (И, + <) является линейно упорядоченным полем, непрерывным по Вейерштрассу. Таким образом, построенная система есть система действительных чисел.
Построенная система содержит систему рациональных чисел. Любое рациональное число есть конечная дробь аа,а1...ап или бесконечная периодическая дробь, записываемая кратко а0,а1.ат (ат + 1.ат + к), в которой для некоторых натуральных чисел т и к при любом натуральном г выполняется равенство а ^ . ^ . = а ^ ..
1 т + к + г т + г
Замечание 6. Изложение теории действительных чисел посредством бесконечных дробей требует, наверное, больше времени, так как в этом случае на занятиях приходится очень аккуратно вводить основные понятия, касающиеся десятичных дробей, например, понятия периода, равных дробей, десятичных приближений и т. д. Часто приходится доказывать утверждения только для положительных чисел, а затем обобщать их на все множество И. Работа с верхними гранями требует от студентов хорошей подготовки по математическому анализу и по математике в целом. С другой стороны, подход достаточно прост в моделировании действительного числа. Десятичные дроби можно считать результатом измерения длин отрезков, поэтому студенты могут использовать соответствующие навыки еще со времен школы. Расширяя систему рациональных чисел с помощью десятичных дробей, мы автоматически включаем туда рациональные числа, то есть конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Таким образом, к известному множеству мы просто добавляем новые элементы, которых конечно больше, чем рациональных чисел. С этой точки зрения новое множество имеет более простую природу, нежели, например, множество классов фундаментальных последовательностей. Тут проявляется, видимо, закон сохранения в одной из своих форм: при простом определении действительного числа приходится жертвовать простотой при строгих доказательствах.
Отметим также, что метод сечений построения действительных чисел можно назвать геометрическим, метод фундаментальных последовательностей - алгебраическим, метод бесконечных десятичных дробей - арифметическим, а метод Колмогорова - теоретико-числовым, или функциональным. Существует и формальная аксиоматическая теория действительных чисел, излагаемая на языке логики предикатов первого порядка. Именно, теория вещественно замкнутых (линейно упо-
рядоченных) полей, которая является полной по теореме Тарского [9]. Эта теория не является категоричной: помимо стандартной модели в ней - в силу теоремы Лёвенгейма - Скулема [10] - существует счетная модель. В ней невыразимо условие непрерывности.
При чтении курса «Числовые системы» при подробном построении системы И каким-либо методом необходимо дать студентам представление и о других методиках изучения действительных чисел.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Чему равны множества Q + 1, (-3/2^, Q-Q и Q • Q?
2. Описать множества I + Q и I • Q.
3. Что представляют собой множества I + I и I • I?
4. Когда г + И = И, г е И?
5. Когда г • И = И, г е И?
6. Доказать существование положительного иррационального числа, степень которого с иррациональным показателем ^2 является рациональным числом.
7. Почему поле Q не является непрерывным?
8. Описать сечения цепи I.
9. Проверить иррациональность числа ^12 .
10. Доказать иррациональность числа + л/3.
11. Почему число 42 + л/З является алгебраическим?
12. Показать, что сумма алгебраического и трансцендентного действительных чисел есть число трансцендентное.
13. Доказать иррациональность трансцендентных действительных чисел.
14. Доказать, что любое действительное число служит суммой (разностью) некоторых двух трансцендентных действительных чисел.
15. Доказать, что каждое ненулевое действительное число является произведением (частным) подходящих трансцендентных действительных чисел.
16. Имея отрезок длины 1, построить с помощью циркуля и линейки отрезки длины -4з> и л/б.
17. Найти все аддитивные автоморфизмы поля
Q.
18. Найти все мультипликативные автоморфизмы поля Q.
19. Найти все автоморфизмы поля Q.
20. Изоморфны ли числовые поля Q (42 ) и Q
(л/5)?
21. Изоморфны ли числовые поля Q (в) и Q (е)?
22. Доказать, что любой автоморфизм поля И является тождественным отображением.
23. Привести пример нетождественного порядкового и мультипликативного автоморфизма поля И.
24. Построить неизотонный аддитивный автоморфизм поля И.
25. Показать, что всякое инъективное изотон-ное отображение одной цепи на другую цепь является порядковым изоморфизмом.
26. Описать все гомоморфизмы мультипликативной полугруппы [0, 1] в себя.
27. Доказать утверждение 1.
28. Доказать утверждение 3.
29. Доказать утверждение 4.
30. Попытайтесь доказать теорему 2.
31. Доказать, что в системе И существуют ровно два элемента, квадрат которых равен 2.
32. Показать, что для любой цепи эквивалентны свойства условной полноты сверху, условной полноты снизу, условной полноты.
33. Показать, что полная сверху цепь с наименьшим элементом полна. Сформулировать двойственное утверждение.
34. Почему сечение не может иметь более двух рубежей?
35. Доказать, что линейно упорядоченные пространства хаусдорфовы и нормальны.
36. Доказать, что компактные цепи - это в точности полные цепи.
37. Произвольная цепь связна тогда и только тогда, когда она плотная и условно полная. Доказать.
38. Показать, что сепарабельность линейно упорядоченного пространства X означает существование счетного плотного в цепи X подмножества.
39. Доказать, что топология подпространства У линейно упорядоченного пространства, вообще говоря, сильнее интервальной топологии цепи У. Привести соответствующий пример.
40. Определить единичный числовой отрезок в терминах линейно упорядоченного пространства.
41. Определить И как линейно упорядоченное пространство.
42. Цепь называется дискретной, если все ее сечения суть скачки. Описать дискретные цепи.
43. Доказать, что цепь дискретна тогда и только тогда, когда между любыми ее элементами а < Ь существует конечная цепь с концами а и Ь, каждая пара соседних элементов которой есть покрытие.
44. Проверить, что цепь, состоящая из трех расположенных друг за другом экземпляров цепи 2, не является дискретной цепью.
45. Равносильна ли топологическая дискретность цепи ее порядковой дискретности?
46. Показать, что для дискретности линейно упорядоченного пространства X необходимо и достаточно, чтобы каждый ненаименьший элемент цепи X имел предыдущий элемент, а каждый не-
наибольший ее элемент имел последующий элемент.
47. Исследовать декартов квадрат И2 числовой прямой с лексикографическим порядком: (а; Ь) < (с; сС) означает, что а < с или Ь < С в случае а = с. Является ли полученная цепь плотной? Непрерывной? Сепарабельной?
48. Всегда ли лексикографическое произведение двух плотных (непрерывных, сепарабельных, дискретных) цепей снова будет плотной (соответственно, непрерывной, сепарабельной, дискретной) цепью?
49. Доказать, что линейно упорядоченное поле, в котором существует компактный нетривиальный отрезок, изоморфно И.
50. Всякое ли линейно упорядоченное поле вкладывается в архимедово линейно упорядоченное поле?
51. Доказать, что любое поле, максимальное в классе всех архимедовых линейно упорядоченных полей, изоморфно И.
52. Верно ли обратное утверждение к упражнению 51?
53. Существует ли минимальное архимедово линейно упорядоченное поле?
54. Как построить линейно упорядоченное поле, зная полуполе всех его неотрицательных элементов?
55. Построить линейное упорядочение поля рациональных дробей И (х) с бесконечно большим элементом х.
56. Как еще можно линейное упорядочить поле Q (х)? А поле И (х)?
57. Доказать, что сходящаяся в Q последовательность рациональных чисел является фундаментальной.
58. Привести примеры фундаментальных последовательностей рациональных чисел, не имеющих рационального предела.
59. Доказать, что множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел, сходящихся к нулю, образует максимальный идеал кольца Г.
60. Пусть (ак), (Ьк) - фундаментальные последовательности рациональных чисел, такие, что ак < Ьк для любого к. Возможно ли (ак) = (Ьк), и почему?
61. Пусть ("
) =/1,1,1.....\ (М = Д 1,2.....
' \ 2 4 2 \ 2 3 к + \
Указать имеющую и не имеющую рационального предела фундаментальные последовательности рациональных чисел, лежащие между (ак) и
(ь).
62. Доказать, что бесконечная десятичная дробь будет рациональным числом тогда и только тогда, когда она периодическая.
63. Верно ли предыдущее утверждение для бесконечных двоичных дробей?
64. Записать число ^Ъ в двоичной системе счисления с 15 знаками после запятой.
65. Записать число e в троичной системе счисления с 12 знаками после запятой.
66. Множества А и В десятичных дробей таковы, что для каждого а е А существует b е B, такое, что а # b. Означает ли это, что sup A # sup В?
67. Пусть А и В - произвольные непустые множества конечных десятичных дробей, при этом sup A = а, sup B = $. Всегда ли а + $ = sup (A + В)?
68. Доказать, что любое непустое ограниченное снизу подмножество десятичных дробей всегда имеет точную нижнюю грань.
69. Пусть а (я) - последовательность десятичных приближений числа а. Доказать, что а = Й£а<.>.
70. Пусть а (я) и b (я) десятичные приближения чисел а и $ соответственно. Доказать, что
+ 6w )= а + Р > Йа<")' 6<") I= ^' РI.
71. Для положительного действительного числа а = а0,а1а2. определим последовательность десятичных приближений по избытку а (я) = а0,а1.ая + 10-n, n $ 1. Доказать следующие соотношения:
а) а < а при всех n $ 1; б) inf {а (n)} = inf {а е Q: а # а} = а;
в) lim^+^'^a + p ; г) inf {а <"> + b<">} = а + $.
72. Доказать, что следующие десятичные дроби являются иррациональными числами:
а) 1,2322322232222..., где после i-й тройки идет i + 1 двоек;
б) 0,123456789101112131415. - дробь получена выписыванием по порядку всех натуральных чисел.
73. Представить число 1/19 в виде бесконечной десятичной дроби, после чего зачеркнуть первые три цифры после запятой. Записать получившееся число в виде обыкновенной дроби.
74. Действительные числа а и $ представлены десятичными дробями, причем известны следующие знаки: а = 2,3417..., $ = 3,5729.. Сколько десятичных знаков можно найти у суммы и произведения данных чисел. Найти эти знаки.
75. Найти 2012-й знак после запятой в десятичной записи числа 2/95.
76. Вычислить значение выражения (0,7 (6) + 2,7 (08)):26,81.
77. Не используя операцию деления столби-
74895 25 -5®
в виде десятичной
ком, представить число дроби.
78. Разберите способ Колмогорова построения И (см. [11]).
79. Самостоятельно изучить основы теории вещественно замкнутых полей (скажем, по книге [12], глава XI). В частности, доказать, что любое веще-
ственно замкнутое поле допускает единственный линейный порядок, превращающий его в линейно упорядоченное поле.
Замечание 7. Авторы статьи многократно читали курс «Числовые системы» для студентов специальности 050201.65 Математика с дополнительной специальностью Информатика. Мы использовали все три метода построения системы действительных чисел. Метод сечений достаточно наглядный, но при доказательствах, в частности свойств операций сложения и умножения, более трудоемкий в сравнении с методом фундаментальных последовательностей. Второй подход предполагает повторение начал математического анализа, но в то же самое время он развивает алгебраический «метод пар» конструирования числовых систем. При этом поле И фактически строится как факторколь-цо кольца всевозможных фундаментальных последовательностей рациональных чисел по идеалу последовательностей, сходящихся к нулю. Метод бесконечных десятичных дробей доступен для студентов, но при строгом обосновании свойств арифметических операций весьма громоздок.
В результате многолетнего преподавания и обсуждения курса числовых систем мы пришли к приведенной в данной статье методике изложения материала. За основу берется порядковый подход и определение 1. Мы выбираем метод фундаментальных последовательностей или метод сечений как предпочтительные для обучения студентов при достаточно строгом построении системы И.
Примечания
1. Колмогоров А. Н. К обоснованию теории вещественных чисел // Успехи математических наук. 1946. Т. 1. Вып. 1. С. 217-219. (Перепечатано в кн.: Колмогоров А. Н. Математика - наука и профессия. М.: Наука, 1988. С. 215-218); Гладкий А. В., Козиоров Ю. Н. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей (Теория действительных чисел по Колмогорову) // Математика в высшем образовании. 2009. № 7. С. 21-38; Русаков А. А, Чубариков В. Н. О двух подходах к обоснованию действительных чисел // Математика в высшем образовании. 2006. № 4. С. 37-44.
2. Андронов И. К. Математика действительных и комплексных чисел. М.: Просвещение, 1975; Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз, 1939; Белановский П. Д. Основы теоретической арифметики. М.: Учпедгиз, 1938; Гонин Е. Г. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз, 1959; Демидов И. Т. Основания арифметики. М.: Учпедгиз, 1963; Игошин В. И. Курс числовых систем для педагогического вуза // Математика в высшем образовании. 2010. № 8. С. 19-36; Куликов Л. Я. Алгебра и теории чисел. М.: Высш. шк., 1979; Ландау Э. Основы анализа / пер. с нем. М.: ГИИЛ, 1947; Ларин С. В. Числовые системы. М.: Акаде-
мия, 2001; Аяпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. Ч. 1. М.: Просвещение, 1974; Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975; Проскуряков И. В. Числа и многочлены. М.: АПН РСФСР, 1947; Феферман С. Числовые системы. (Обоснования алгебры и анализа) / пер. с англ. М.: Наука, 1971; Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.: Наука, 1977.
3. Калужнин А. А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973; Кантор И. А, Солодовников И. С. Гипердействительные числа. М.: Наука, 1973; Кириллов А. А. Что такое число? М.: Наука, 1993; Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982; Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986; Понарин Я. П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах. М.: МЦНМО, 2004.; Понтрягин А. С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986 (Библиотечка «Квант»); Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М.: Наука, 1967; Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987.
4. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Изучение алгебраической структуры // Вестник ВятГГУ. 2012. № 1 (3). С. 41-48.
5. Вечтомов Е. М. Изучение порядковой структуры // Вестник ВятГГУ. 2010. № 2 (1). С. 111120; Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.
6. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
7. Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980; Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970; Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. М.: Наука, 1967; Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987.
8. Брудно А. А. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1971; Аарин С. В. Числовые системы. М.: Академия, 2001; Русаков А. А., Чубариков В. Н. О двух подходах к обоснованию действительных чисел // Математика в высшем образовании. 2006. № 4. С. 37-44; Яковлев М. К. Построение поля действительных чисел и теории пределов числовых последовательностей на основе понятия стабилизатора последовательности бесконечных десятичных дробей // Математика в высшем образовании. 2010. № 8. С. 41-52.
9. Справочная книга по математической логике: в 4 ч. / под ред. Дж. Барвайса. Ч. I. Теория моделей. М.: Наука, 1982. С. 74.
10. Там же. С. 70.
11. Колмогоров А. Н. Математика - наука и профессия. М.: Наука, 1988. С. 215-218; Гладкий А. В., Козиоров Ю. Н. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей (Теория действительных чисел по Колмогорову) // Математика в высшем образовании. 2009. № 7. С. 21-38.
12. Аенг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
УДК 37.025.7 + 372.851
А. Г. Гейн, Е. М. Рекант
РОЛЬ ЛОГИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ В ОСВОЕНИИ УЧАЩИМИСЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ
Предлагается построение процесса формирования логических универсальных действий с опорой на освоение базовых логических конструкций. Сформулированы диагностические критерии и уровни оценки сформированности логических УУД для осваиваемых логических конструкций как метапред-метных умений. Приведены образцы типовых задач для диагностики сформированности у учащихся логических универсальных действий.
It is suggested to build up the process of formation of logic universal actions with the support on the base logic constructions. There are formulated the diagnostic criteria and the levels of a formation of logic universal educational actions for logic constructions as metasubject skills. There are given samples of standard tasks for diagnostics of formation of logic universal actions.
Ключевые слова: универсальные учебные действия, логическое мышление, метапредметные умения, логические конструкции.
Keywords: universal educational actions, logic thinking, metasubject skills, logic constructions.
Развитие логического мышления всегда понималась как одна из центральных задач образования на всех уровнях - от дошкольного до высшего. Совершенно ясно, что это надпредметная задача, и усилия педагогов по её решению должны прилагаться в любом предмете. Это положение закреплено и в новом ФГОС общего образования: к метапредметным результатам освоения основной образовательной программы отнесены «умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы» [1, с. 7, п. 6]. Но математике здесь всегда отводилась главенствующая роль. Подтверждением тому служит, в частности, тот факт, что при описании предметных результатов освоения основной образовательной программы развитие логического мышления ФГОС общего образования упоминает только для предметной области «Математика и информатика» [2]. Поэтому вопросам развития логического мышления в школьном курсе математики посвящено немало публикаций,
© Гейн А. Г., Рекант Е. М., 2012
