CC BY
159
Математика и информатитка
УДК 51
Абакумов Юрий Георгиевич
Yuriy Abakumov
О НЕКОТОРЫХ «ОПРОВЕРЖЕНИЯХ» ТЕОРЕМЫ Г. КАНТОРА О НЕСЧЕТНОСТИ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ON SOME "DISPROOFS" OF G. CANTOR'S NONDENUMERABILITY OF REAL NUMBERS SET THEOREM
Обосновывается несостоятельность некото- The author proves inconsistency of some Cantor's
рых опровержений канторовского диагонального diagonal method's refutations, which have appeared метода, появившихся в последнее время for the last period
Ключевые слова: диагональный метод Кантора, не- Key words: Cantor’s diagonal method, nondenumerability счетность
В работе [1] было намечено направле-ние исследований современных концепций действительного числа в плане выяснения их соотношения между собой и отношения этих концепций к реальности. В предлагаемой статье, имеющей, в основном, критическое направление, мы отвлекаемся (заметим, вынужденно и с сожалением) от основной задачи.
Критика теоремы Кантора (точнее, доказательства ее с помощью «диагонального метода») была известна и ранее. Когда речь шла о явно дилетантских выпадах (например, [2]), то такую критику вполне естественно было проигнорировать.
Возможно, не стоило бы реагировать и на статью А.А. Зенкина [3], но этот автор весьма плодовит и имеет возможность печататься в авторитетных изданиях: добротно изданные
сборники, журнал «Вопросы философии» и даже Доклады РАН. Критикует теорему Канто -ра и еще ряд исследователей: С.Н. Бычков с соавторами, В.К. Петросян и др. Критика у каждого своя. Может создаться впечатление, что они говорят от имени всего ученого сообщества. В силу этого стало невозможным далее отмалчиваться.
Сначала несколько вводных замечаний, чтобы пояснить суть дела.
Множество элементов (любой природы) называется счетным, если элементы этого множества можно перенумеровать с помощью ряда натуральных чисел 1,2,3, ... . Выражаясь языком современной математики, множество М называется счетным, если существует взаимно однозначное соответствие (биекция) ф : N ® М, где N - множество нату-
ральных чисел (пишут еще N = {1,2,3,...}).
Поясним, отображение ф: N ® М называется однозначным (инъекцией), если из
п, т е N, п Ф т следует / (п) Ф /(т). Это
можно записать: {п ф т)^(/(п) ф /(т)). Инъекция ф называется биекцией, если М = ф(^. Поясним: последняя запись означает, что для любого х е М найдется р е N, что ф (р) = х.
Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество (отсюда, в частности, следует, что любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел - счетное).
Теорема Кантора утверждает, что множе -ство действительных чисел отрезка [0,1] не -счетно, или, по-другому, не существует биекции ф : N ® [0,1]. Заметим, инъекции такого
вида существуют, например, ф(п ) =1.
п
Прежде чем приводить доказательство Кантора (точнее, его современное изложение), оговорим некоторые моменты.
Мы будем оперировать с представлением действительных чисел в виде бесконечной десятичной дроби, то есть в виде последовательности десятичных цифр а0, а1а2...ап....
При этом а0 = 0 или а0 =1 (в последнем случае при п = 1,2,3,... все ап = 0), если а0 = 0, то при п = 1,2,3,... ап может принимать значение любой цифры, или ап е {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. В таком представлении действительных чисел может возникнуть неоднозначность. Например, записи 0,1000... и 0,0999... (в первом случае все
ап = 0 при п > 1, во втором они равны 9) представляют одно и то же число. Чтобы избежать неоднозначности, не будем использовать бесконечную последовательность девяток.
Обозначим два взаимоисключающих утверждения:
В : существует инъекция ф : N ® [0,1], являющаяся биекцией (это означает, что мно -
жество [0,1] счетное);
0В: любая инъекция ф : N ® [0,1] не
является биекцией
Итак, рассмотрим произвольно взятую инъекцию ф : N ® [0,1],
ф{п) = хп = Хо„,Хіпх2п. Определим
у = у(ф)є [0,1], у = ^УіУі-Уп••• по правилу: у0 = 0, для п > 0 если
хпп є {0,1,2,3,4,5,6,7}, то уп = хпп +1, а если хпп є {8,9}, то уп = 1. Имеем для любого п є N уп ф хпп. А это значит, что для любого п є N у ф хп. Таким образом, инъекция ф не является биекцией. В силу того, что в качестве ф может быть взята любая инъекция, получаем утверждение 0В.
Доказательство закончено.
А.А. Зенкин дает несколько иное изложе -ние доказательства. Этот вариант доказательства приводится в некоторых книгах, включающих разделы теории функций действительного переменного. Схема изложения такова: предполагаем, что есть последовательность {хп}, содержащая все числа отрезка [0,1] ; указанным способом образуем число у ї {хп}; делаем вывод, что наше предположение неверно, и, значит, последовательно -сти, содержащей все действительные числа, не существует.
Перепутав предположение (которое подвергается проверке) с посылкой, А.А. Зенкин приводит схему доказательства Кантора в виде
В ®0В .(1)
(Правильней было бы написать
В ^ 0В). При этом он не замечает, что по -строение числа у ни коим образом на предположение В не опиралось. Таким образом, схема (1) к делу не относится.
Поясним теперь, что осталось в теореме Кантора «за кадром». Основной методологической установкой Кантора было использование абстракции актуальной бесконечности. В
доказательстве она была использована при произвольном выборе инъекции ф, т.е. мы исходили из того, что объективно существует множество Ф = {ф} всех инъекций вида ф: N ® [0,1], а то, что это множество не пусто , мы оговорили, приведя пример ф(п ) = 1.
п
В адрес абстракции актуальной бесконечности было высказано немало критики. Заметим, что критика эта обычно носила философский характер и авторы не придавали ей статуса логических аргументов. Мнение этих авторов можно сформулировать так: «Хорошо бы построить математику без использования абстракции актуальной бесконечности». Альтернативой абстракции актуальной бесконечности является абстракция потенциальной осуществимости. Она заключается в следующем положении: бесконечное множество считается существующим, если мы знаем, как «построить», «сконструировать», «вычислить» любой его элемент. При этом мы абстрагируемся от наших практических возможностей, связанных с ограниченностью времени, трудоемкостью, нехваткой ресурсов. Так, например, мы счита-
,23471
ем существующим число ^23471 = 22 + 1,
запись десятичного представления которого потребовало бы столько чернил, что чернильный шар многократно превысил бы размеры галактики.
Конкретизацией подхода, основанного на абстракции потенциальной осуществимости, явилось построение разделов конструктивной математики, в частности, конструктивного математического анализа (см. [4]). Основой конструктивного подхода явилось построение математической модели понятия «алгоритм» (было предложено несколько моделей, но все они оказались эквивалентными).
Применительно к действительным числам получается следующее. Конструктивное действительное число (КДЧ) считается определенным, если имеется алгоритм вычисления его с любой точностью (строгие определения
приведены в [4]). Отсюда видно, что множество КДЧ с канторовской точки зрения счетно. В самом деле, алгоритм - это предложение, записанное конечным набором символов, а таких наборов (среди которых есть не только алгоритмы) счетное множество. Тем более, счетно множество КДЧ.
Возможно, когда-то и раздавались призывы «отменить» (или «запретить ») классический анализ, основанный на абстракции актуальной бесконечности. Однако к настоящему времени классический математический анализ функционирует с конструктивным в режиме мирного сосуществования (это отнюдь не уникальный феномен, так же мирно сосуществуют статистическая физика и механика сплошных сред). Дело здесь, видимо, в том, что отказ от абстракции актуальной бесконечности сильно обедняет математику.
Вернемся к статье [3] и приведем из нее резюме: «Таким образом, мы можем утверждать, что доказательство теоремы Кантора о несчетности основано на парадоксе и представляет собой потенциально-бесконечное, т. е. нефинитное (в смысле Гильберта) рассуждение. Единственной причиной появления это -го нового парадокса канторовской теории мно -жеств является «объявление» (ибо доказать это невозможно) бесконечного пересчета акту -альным. Следовательно, понятие актуальной бесконечности, а вместе с ним и все утверждения, основанные на применении ДМК к актуально -бесконечным множествам, является существенно, т.е. неустранимо, противоречивым. Все бесконечные множества в математике являются потенциально-бесконечными.
Сам же Диагональный Метод Кантора представляет собой вариант не совсем обычного и логически несостоятельного метода опровержения недостоверной гипотезы с помощью контр-примера, который формально дедуцируется из опровергаемой гипотезы. В классической логике такой прием называется ошибкой «недоказанного основания» или, точнее, ошибкой «порочного круга»» (здесь аббревиатура ДМК означает диагональный ме-
тод Кантора).
Мы уже пояснили, что опровержение» доказательства Кантора основано на логической ошибке А. А. Зенкина. Вместе с «опровержением» теряют силу и остальные радикальные «оргвыводы». Добавим к этому, что опровержение доказательства (будь это опровержение даже верным) вовсе не влечет само по себе опровержение самой теоремы. Вспомним недавно доказанную теорему Ферма. Между тем, дилетанты в погоне за премией понаделали несметное количество неверных доказательств .
Интересно, пытались ли опровергатели Кантора получить алгоритм, выстраивающий в последовательность все действительные числа? Ведь этим была бы опровергнута как сама теорема, так и все ее доказательства: прошлые , настоящие и будущие. Теперь уже в рамках конструктивного анализа [4; С. 187-190] доказано, что такого алгоритма нет. Впрочем те, для кого Кантор не авторитет (а вместе с ним и А.Н. Колмогоров с С.В. Фоминым, И.П. Натансон, П.С. Александров и мн. др.), могут не поверить и Б.А. Кушнеру. В таком случае остается только пожелать успеха неутомимым искателям истины.
Среди других авторов, выступающих с опровержением теоремы Кантора, отметим (в пределах данной статьи) еще В.К. Петросяна. Этот исследователь еще более продуктивный, чем А.А.Зенкин. Им опубликовано несколько книг и большое количество статей. По затронутой теме мы располагаем лишь работой [5]. Эта работа достойна обстоятельного рассмот-
1. Абакумов, Ю .Г. О различных трактовках понятия «действительное число» [Текст] /Ю .Г. Абакумов //Вестник ЧитГУ. - Чита: ЧитГУ, 2007.
- № 4 (45). - С. 57-60.
2. Очеретько, В.И. Ошибки Канторовской теории множеств [Текст] /В.И. Очеретько //АН УССР, Донецк, 1990. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ № 2843-90.
3. Зенкин, А.А. Принцип разделения времени и доказательство нефинитности некоторых
рения с подробным цитированием. Объем нашей статьи не позволяет это сделать (это предполагается сделать предметом отдельной публикации). Здесь же ограничимся краткими замечаниями.
Статью [5] условно можно разделить на две части: критическую и конструктивную.
Содержащаяся в первой части критика теорем Кантора основана на недоразумении. Дело в том, что В.К. Петросян понимает термин «счетное множество» по-своему. Он считает, что, нумеруя элементы множества, можно использовать бесконечно большие (трансфинитные) номера. С тем, что в этом смысле множество действительных чисел окажется «счетным», Кантор спорить бы не стал. В этом плане известен более общий результат Э. Цермело о том, что любое множество можно вполне упорядочить [6; С. 364, теорема 2].
Во второй части излагается теория числовой системы, включающей действительные числа и, кроме них, актуально бесконечно малые и бесконечно большие. Идея построения расширенного числового множества, включающего бесконечно малые и бесконечно большие числа, была реализована в 60-е гг. прошлого века в форме так называемого «не -стандартного анализа». По нестандартному анализу имеется литература на русском языке (см. [7,8]). По всей вероятности, В.К. Петросян с ней незнаком (это видно по стилю изложения, по заявлениям рекламного характера и по различного рода поучениям в высокомерном тоне).
________________________________Литература
правдоподобных рассуждений метаматематики [Текст] / А.А. Зенкин // Шестая национальная конференция по искусственному интеллекту (КИИ”98). - М.: Российская ассоциация искусственного интеллекта, 1998. - С. 278-286,
4. Кушнер, Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу [Текст] / Б.А. Кушнер.
- М.: Наука, 1973. - 448 с.
5. Петросян, В.К. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики
¡Текст]/ В.К. Петросян //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. -М.:Янус-К, 1997. - С. 48-66.
6. Натансон, И.П. Теория функций вещественной переменной ¡Текст]/И.П. Натансон. - М.: Наука, 1974. - 480 с.
Коротко об авторе_________________________________
Абакумов Ю.Г., канд. физ- мат. наук, профессор кафедры информатики, вычислительной техники и прикладной математики, Читинский государственный университет (ЧитГУ)
Научные интересы: функциональный анализ, теория приближений, философские вопросы математики
7. Девис, М. Прикладной нестандартный анализ /М. Девис. - М.: Мир, 1980. - 238 с.
8. Успенский, В.А. Что такое нестандартный анализ? ¡Текст] / В А. Успенский. - М.: Наука, 1987. -128 с.
_______________________________Briefly about author
Y. Abakumov, candidate of science (physics and mathematics), professor, department of Informatics, Computer Science and Applied Mathematics, Chita State University (ChSU)
Research interests: functional analysis, approximation theory, philosophical questions of mathematics
