К вопросу о разрушении вихря в идеальной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ U А Г И

Т о м XVI

1 9 8 ö

№ 3

УДК. 532,526

К ВОПРОСУ О РАЗРУШЕНИИ ВИХРЯ В ИДЕАЛЬНОЙ жидкости

В. Н. Тригуб

Рассмотрена задача о распаде вихря, выражающемся л появлении полубесконсчной зоны заторможенной жидкости, расположенной вдоль оси вихря. Построены асимптотические разложения решения уравнений Эйлера в окрестности точки торможения, возникающей на оси вихря, и на большом расстоянии за точкой разрушения. Из условия отсутствия источников расхода и потока импульса внутри области разрушения получены значения присутствующих в асимптотических разложениях произвольных постоянных.

1. Современное состояние проблем, связанных с разрушением вихревой нити, освещено в обзорах [1, 2]. Поставим задачу о разрушении вихря, расположенного в продольном потенциальном потоке (область 4 на рисунке), с образованием при этом за точкой распада полубесконсчной области покоящейся жидкости (область 3). Течение считаем стационарным и осеснмметрнчным, а жидкость — идеальной. Распад вихря происходит в области 5, характерный продольный размер которой 4=Г«/«» сравним с поперечным: Г„, ««—значения циркуляции и скорости в потенциальном потоке вдали от вихря. Введем цилиндрическую систему координат (г, х) с началом в точке распада и осью х, направленной вдоль оси вихря вниз по течению. Уравнения Эйлера в этой системе координат имеют вид

cfijj j_ дц _ _L г IL iL 1

dys ~r 2y <9*3 ~ ebb '...... 2y d. У2 ' " ^ ~ду ' |

d'b p u* v3 + Г3 (1)

ах p 2 4 у )

где и...... аксиальная, v/r — радиальная, ш -.....азимутальная компоненты скорости, ф —

функция тока, Г — циркуляция, р — давление, р — плотность.

Пусть заданы распределения продольной скорости и циркуляции в вихре вдали от точки распада вверх по течению: ч = U0(y) + о (1), wr = Г0(у) + о (1)

при х -> .....- со , у = 0(1), а также давление в потенциальном потоке вдали от

вихря: р = рт -г о (1) при R = Ух- + г- -> со , х;г == О (I). Эти данные позволяют получить функции Н(Ь), Г(0).

Требуется найти решение уравнений (1) Ь (х, у) в области — -f со,

О <С У < + <" при л- -0, у0 (а')< у < -f да при .V '> U с граничными условиями ф(л\ 0) I) при х < 0; '1>(Х, у0 (х)) = О,

Р(х, Уй(х)) = Р:о при х>0;

= U0 (у) ~ о(1) при л--* - с* . у = 0(1);

дЬ

= их т 0(1) при R - ™ , г'х = О (I),

где Уа(х) = Го(х)/2 — неизвестная заранее граница застойной зоны, и0(у) — иао-{-+ о (1) при у н> оо .

В настоящей работе ограничимся асимптотическим анализом решения поставленной задачи при К-юо в различных областях течения [области 1 соответствует предельный переход /•=0(1), области 4 — переход /?-»-<», г/х=0(1), области 2 — переход Я->-оо> х>0, г|5=0(1)], а также анализом течения в окрестности точки распада при #-»-6. Такой анализ позволяет сделать ряд важных выводов о возможном характере течения и совершенно необходим при численном исследовании задачи.

В области 4 решение представляется в виде потенциала от распределения источников по оси х:

1 Г8'(1)(х—

_ _ Г -У (А)

дх

г> л

5' (X) <а

[(* - /.)2 + г2]3'2 +' 4л (х1 + т-*)3'

дг2

(2)

для полубесконечной зоны при х-»- + оо следует полагать Ь^х. Существенным

является то, что при *-»-+оо в области 2 г<^х. Это позволяет использовать обычные в теории тонкого тела разложения интегралов (2) при г<^х. Функцию распределения источников 5 выбираем из условия сращивания давления в областях 2 (отошедший от оси завихренный слой) и 4 при х ->■ оо : 5 = Гоо^(1 -4- ср) -{- С-21п

Сг

00 „=2 Тогда скорости в области 4 при х->оо, г < х имеют вид:

1 Гоо 1 <р' + у

" г3 и2

и ~ ноо ~2~ ~~х ~2~ ^оо 1п ~ 1Г I* + + 2+ ?"+•••]-

2 -цх* П 4x2 2 л:3

° ' 4 ^з 2 х2

1' = Г00 + Г00(Т + (Р')-

+

Решение уравнений (1) в области 2 при х-»-оо запишем в переменных Мизеса (х, 1|з):

гю С2 ф

у = — х(1 + «Р) + £~1П1) + А + 82 +

Р ~ Р

1

Здесь

- -¿Г «1 (5*2 ('М + &Г №) + ^ + о (-¿-) .

«а (4-) = "К2 (А/(+) — Роо/Р) . 62 = — (

"«■о

Ф

1 Г "оо—«2

«2

оо О А00 0 4

ф / г2 Г2

оо ¿¿2

8—«Ученые записки IIЛГИ» № 3

101

Сращивание выражений для давления в зоне 4 [полученного из уравнения Бер-нулли и разложений (3)] и в слое 2 приводит к условиям для определения постоянных С1 п через С1:

С12=С,( 2— 1п 2) + — С{, ...,

а также к условию

Г

6*2 (оо) + 5*/ (оо) + 252 (сю) = — +

^ О

2 А + —[Ca-S(a)]. (4)

Таким образом, в построенном асимптотическом разложении решения при х->-°о имеются четыре произвольные постоянные: С1, С2, Я, к.

2. Потребуем, чтобы расход и поток импульса жидкости через любую поверхность, охватывающую зону 5, равнялись нулю. Только в таком случае можно считать что разрушение вихря происходит самоиндуцированно, а не под воздействием некоторого тела, расположенного внутри зоны 5. Используя условие Го<*, можно выразить расход (2, вытекающий из зоны 5, и силу сопротивления действующую на область 3 через функцию распределения 5 и положение нулевой линии тока г0 (х):

(}=Я-кг1ит + (15! (сю) - 52 (оо)) + к { 2 (5 (х) - Б (я)) - Б" (х) г21п -у +

5' (а)

S' (Ъ)

+ -g- I S" (х) + (х_а) -(b-x) +S" W In (*-«) + S"(b) ln (b-x) +

+

X и

j S'" (X) ln (X - X) dX - j S"r (X) ln (X - x)

di

+ ■

F

2тср

Q"oo Poo~Pi r§ Tí

2k

■ +

ln

Го "o

Iй0 ,2 ít***r \ „*** / 4 I

f — TO4" <(62 (a3)"5! í00)"!-

1 Г 2

+ 8, (00) — 82 (со)) + — 5'2 (x) ln — + S' (a) S' (x) ln (x-a)-S' (a) S' (b) ln (b—e)+

2 1 r0

ь x

+ S' (b) S' (x) ln (b — x) + S' (a) j 5" (5) ln (S -a) di- S' (b) ^ S" (i) ln (b - S) +

x a

+ S' {x) ^ J S" (S) ln (x - £) d\ - j S" (5) ln (5 - x) dS j +

* b Л

+ js"(X)j S" (5) ln (5-l)d4dl I + ....

Ф-

Здесь 8*m = 4- ('

11 J

00 o

H— # (40 + -i- («L — ц1) — » индексом I обозначены

J u2

аналогичные функции, определенные на входе в область 5,

у

Г~

2f0 = Hm ln

2<4У

•— f г2 J

dy

\ ) г^ У где Г (у) — распределение циркуляции на входе в область 5.

Условия Р = 0, 0=0 совместно с (4) определяют значения постоянных Сь С2 и дают соотношение между А и 5 (а):

2 и2

- С, = То + -^г [«Г - 5Г (®) + 81 - 8г (оо)].

Г*

с2 = Ноо {в, (сю) + 4" [52 (оо) + 8Г<°°)]} - 4- ^ ' q 2S (а)

те"ос "ос и„

Заметим, что в потенциальном потоке без закрутки полубесконечное тело найденной формы обладало бы бесконечно большим сопротивлением. В данном случае бесконечное сопротивление компенсируется бесконечным потоком импульса, вызванным разрежением от циркуляционного движения.

3. Построенное асимптотическое разложение решения при х~>-оо не накладывает никаких ограничений на характеристики вихря при входе в зону 5, за исключением Я(0)>роо/р. Если это требование не выполнено, то слой 2 не сможет удалиться на бесконечное расстояние от оси. В случае #(0)>рсо/р точка торможения в невязком течении не появляется, граница области 3 подходит к оси по касательной. Если же Я(0)=р„/р, то из уравнения Бернулли следует, что граница области 3 является для жидкости в вихре поверхностью торможения. С физической точки зрения такая ситуация более приемлема. Покажем возможность появления поверхности торможения в вихревом течении, построив асимптотическое разложение в окрестности ее начала.

Пусть на входе в область 5 профили скорости и цуркуляции при у-*-0 имеют вид «j = ц0 + aj у + а2 У2 + • ■ •. Г — 2Sy + Pi у2 + . .. . Запишем уравнение (1) в сферической системе координат (R, 6), раскладывая правую часть вблизи оси (ф -» 0):

д2ф 1 дзф

"¿¡Г + + + +...,

r__Q2 422

R = Ух2 + г2, t = cos 6, А = аг + 2 —- , В = — —5 .

"О Иг

о

_ 1 дф _дф С= «0 = =

Требуя ф = 0 при t = — \ и и02 + Кд = 0 при R — klt к2 & + .. ., получаем ( ¿2 ] R В /?2

ф = ЛЯ* (1 - *2) ["2" - - з" т; * (3■-7Я) + & ц + —р (1 _ 14 Р + 2Н*) -

BRZ к2 + 7^ £3 Ri

О0°-18*>+ 7и ЯЧ(5-30Р + 33*) + —— <• + ъиА1 5 кх 720

СЯ* Ък2 + 7 к, )

+ збо 15-19^) —(5- 135 <» + 495 -429 *в) I + О (/?9).

1/9 ¿2" / X \3/2

При этом форма поверхности торможения г = (£] ху'£ +- — +

2 \ к11

+ О (л:5'2), к1 > 0, к2 — произвольные постоянные.

4. Если давление в застойной зоне р1 меньше рт на малую величину о=(р% — р°°)!ри%>< область 3 должна замкнуться на большом расстоянии от области 5. Форму такой замкнутой зоны можно получить, подставляя разложение интегралов (2) при /•<* в уравнение Бернулли и интегрируя получающиеся при этом уравнения. В качестве граничных условий следует использовать условия сращивания с решением для полубесконечной зоны и условие симметричности. Вместо параметра а удобнее строить разложения по параметру е:

'....... "(«--М.

о = — s In — -f s (1 — In 2 — Cj) + О e \

у = — [ 1 + С,/In -j-) X (TJUoa - X) + О (l/s In ,

X=sx, длина зоны l=Tœluœ s, максимальный радиус гшах = у — H- J • Если о0, в главном приближении получим я = е In+ о (е*),

застойная зона расширяется при X оо под углом 0 = Уг2в к оси. Такое решение не является равномерно пригодным при X со и для того, чтобы оно имело место, необходимо предположить существование при некотором конечном значении X тела, на которое „опирается" застойная зона. Следующие члены разложения для формы зоны в этом случае зависят от конкретных условий ее замыкания на теле.

ЛИТЕРАТУРА

1. Leibovich S. The structure of vortex breakdown. — Annual Review of Fluid Mechanics, 1978, vol. 10.

2. H a 11 M. G. Vortex breakdown. — Annual Review of Fluid Mechanics, 1972.

Рукопись поступила H/VII 1984 г.