CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 197 5
№ 2
УДК 533.6.011.3/.5:629.7.025.73
О ПРИМЕНЕНИИ МЕТОДА СРАЩИВАНИЯ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Л. А. Ломакин, О. С. Рыжов
Приводится рекуррентная система парных краевых задач, решение которых позволяет определить поле скоростей на больших расстояниях от профиля в потоке вязкой несжимаемой жидкости. Внешнее разложение описывает потенциальное течение на всей плоскости за исключением узкой параболической области следа, его структура устанавливается при помощи асимптотических формул внутреннего разложения. Показано, что результаты асимптотической теории в первых двух приближениях совпадают с точным решением задачи обтекания, если в нем ограничиться членами соответствующего порядка малости.
1. Метод сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений [1—3] в настоящее время широко применяется при решении задач динамики жидкости. Практические успехи, достигнутые с помощью этого метода, несомненны, однако трудно ожидать, что в скором будущем удастся строго обосновать его применение к интегрированию нелинейных уравнений в частных производных. Как обычно, достоверность полученных результатов проверяется сравнением с имеющимися экспериментальными данными. Чрезвычайно полезно также было бы сопоставить выводы асимптотической теории с исследованием какой-либо сложной задачи, которое базируется на доказательстве теоремы существования и единственности решения и точных оценках его величины в различных точках.
В динамике вязкой несжимаемой жидкости такого рода пример представляет стационарное обтекание конечного тела равномерным потоком. Известные теоремы существования „ламинарного* решения, установленные при сколь угодно больших значениях числа Рейнольдса [4—13], были дополнены недавно чрезвычайно сильными оценками порядка убывания возмущенного вектора скорости по мере удаления от тела вдоль любого направления [10, 12, 14—22]. Вопрос о единственности решения задачи обтекания при произвольном числе Рейнольдса остается открытым, однако
опыты показывают, что его увеличение приводит в конце концов к турбулентному режиму с зависящими от времени пульсациями. С другой стороны, стационарное ламинарное течение вязкой жидкости можно расчитать методом сращивания внешних и внутренних асимптотических разложений [23, 24]. Разумеется, даже полное совпадение результатов нельзя было бы рассматривать в качестве строгого обоснования метода. Все же такое совпадение, если оно действительно имеет место, давало бы уверенность, что применение асимптотической теории к решению других задач ведет к правильному ответу.
В дальнейшем для простоты предположим, что поток является плоскопараллельным, а тело — профилем крыла бесконечного размаха. Как независимые переменные, так и искомые параметры жидкости будем считать безразмерными. В общепринятых обозначениях систему уравнений Навье —Стокса запишем тогда в виде
Вдали от тела поток должен стремиться к равномерному, поэтому
где Л^Еи — число Эйлера.
Среди решений уравнений Навье — Стокса, удовлетворяющих предельным условиям (1.2), имеется обширный класс так называемых потенциальных решений, которые одновременно являются решениями более простых уравнений Эйлера для идеальной (невязкой) жидкости. Для потенциальных решений условие прилипания жидкости к поверхности обтекаемого профиля не выполняется, при их построении требуется, чтобы в нуль обращалась только нормальная составляющая вектора скорости. Предельная линия тока раздваивается в находящейся в носике точке торможения, после чего обе ее ветви следуют вдоль обтекаемого тела и вновь соединяются в некоторой тбчке, расположенной в хвостовой части. Подъемная сила профиля получается' конечной, что же касается силы сопротивления, то она вообще отсутствует. Возмущения, вносимые телом в поток, согласно потенциальным решениям распространяются равномерно по всем направлениям.
Из опытов известно, что в потоке вязкой жидкости позади профиля простирается узкая область, в которой сосредоточены наиболее сильные возмущения; эта область называется вихревым следом. Здесь структура поля скоростей формируется в основном под влиянием напряжений вязкого трения, они и определяют силу сопротивления, действующую на профиль со стороны жидкости. Строгие оценки, полученные в работах [14—22], подтверждают неравномерный характер затухания возмущенного вектора скорости в различных областях. Поскольку при выходе из следа вихрь стремится к нулю по экспоненциальному закону, течение во внешней области с большой степенью точности можно считать потенциальным.
2. При помощи метода сращивания асимптотических разложений картина потока на больших расстояниях от тела изучалась в работах [23, 24]. Используя тот же самый формальный аппарат, целесообразно развить несколько иной подход, который приводит
(vч)v-iГ'чp — Lv, (у&) = 0.
(1.1)
г>|оо = (1, 0), р |оо = Л^Еи,
(1.2)
2—Ученые записки ЦАГИ № 2
17
к рекуррентной системе парных краевых задач. Они формулируются в значительной степени аналогично задачам из теории высших приближений для пограничного слоя, но имеют специфические черты, обусловленные необходимостью совместно рассматривать на каждом шаге одно приближение для внешнего разложения и одно — для внутреннего. Единственность решения этих задач достигается обращением к так называемому принципу минимальной особенности [1].
Найдем, как ведут себя параметры жидкости в процессе предельного перехода г = Ухг Аг уР ^оо, который удобно заменить на предельный переход по положительному малому параметру Д -»0. Опираясь на сделанное выше замечание о различных законах убывания возмущений в следе и во внешней по отношению к нему области, будем отличать предельный переход -
Переменные £, тг) назовем внутренними, а С — внешними. В этих переменных профиль задается точкой (0, 0). Отсюда ясно, что граничные условия на нем при изучении задачи обтекания'’ в рамках асимптотической теории выпадают. По определению, новые переменные У1, С можно считать изменяющимися независимо от предельного перехода Д ->■ 0, если по ним самим не переходить к пределам
Учитывая экспоненциальный характер затухания вихря при выходе из следа [19 — 22], постулируем, что обусловленные вязкостью возмущения не проникают в полуплоскость 1<0, и положим
Класс функций введем следующим образом: если
и(пе^\ то , ,
от
X — 1/Д2, у=-ц/Ь, 0< I< + оо, -оо<у)< + ос (2.1)
х = у = С/ДЗ, (6, С) е Я2(5,С)\{?>0, С = 0}. (2.2)
(5, ч) = ?-оо, 1г (5 > О, С) = 1/С - оо.
(2.3)
ъх(г)-1, />1г)-л/Епе1Р11).
(2.4)
СО
1) и (7)~2 и(Г> (г); чЩг) б С№[£-2\(0,0)]; /=1 .
«! -► 0 при — оо, (£, 7]) —/-> (0, 0);
3) я</+1> (>) = е/+1 (А) [я/+, (|, Ч; Д) + #/+1 (5, Ч; Д)];
В соответствии с принятой терминологией для независимых переменных г), С назовем асимптотическое разложение по малому параметру Д, заданное условиями 2 и 3, внутренним, а условиями 4 и 5 — внешним. Последнее из названных условий требует, чтобы возмущения вне следа убывали с расстоянием быстрее, чем внутри него.
Для построения решения и (г), равномерно пригодного во всей •окрестности бесконечно удаленной точки физической плоскости, воспользуемся предельными переходами (2.3) и известным принципом сращивания асимптотических разложений. Отметим, что благодаря условию гладкости 1 остатачные члены /?](%, Д) и Я){%, С; Д) определяются автоматически после того, как найдены ■функции и](\, Д) и и'(|, С; Д).
3. Подставляя разложение для вихревого следа в систему уравнений (1.1) и учитывая соотношения (2.1), (2.4) и (2.5), находим
д + . ц , дг>*±..+ д — д *4x1. . дР1 _ дру1 _
vxl->0 при £ -» + 0, т) ^ 0; ,оу1, р1->0 при т) + оо.
Отсюда сразу следует ,оуХ=р1 =0. Далее имеем
= = и^О при 5— +0, ^0. (3.1)
В классе обобщенных функций решение задачи (3.1) не будет единственным. Принадлежащий первому приближению главный член порождается функцией 5(т|); он определяет,силу сопротивления Рх, которая действует на тело. Последняя должна быть задана заранее, поскольку краевые условия на обтекаемом профиле в асимптотической теории не фигурируют. Все остальные члены соответствуют производным 8-функции и имеют более высокий порядок малости, их следует отбросить на основании принципа минимальной особенности [1]. В результате
£/,=-------(3.2)
1 Е1 2 У71 к ’
Используемые в асимптотических разложениях малые параметры были введены искусственно, после возвращения к исходным физическим переменным они должны исчезнуть из решения. По этой причине постоянная в правой части формулы (3.2) выбрана пропорциональной отношению &/г1. Для того чтобы параметр задавал порядок малости первого приближения, необходимо положить е1 = Д. Легко показать, что коэффициент с, = — /■\с<0. Формула (3.2) допускает простую интерпретацию: она задает сток в точке (0, 0).
4. Подставим в уравнения (1.1) внешнее разложение. Принимая во внимание соотношения (2.2), (2.4) и (2.5) и предельное условие (1.2), сформулируем следующую задачу для функций первого приближения:
д£ 1 Й ^ К Я К
ъ’хи 1зу ь /?1 ->■ 0 при /I2 4- С2 -* + ОО, 11г (? > о, С) I < с;
1 (I, Д), ъу 1 (£, Дг(; Д) = о (Д/е!) при Д 0, £ > 0, ■») ф 0.
(4.1)
Кроме того, на искомое решение необходимо наложить два требования, заменяющие в асимптотической теории граничные условия на обтекаемом профиле. Оно должно, во-первых, определять подъемную силу тела и, во-вторых, задавать источник в начале координат. Интенсивность последнего равна интенсивности стока, описываемого формулой (3.2).
Прежде всего находим р\ = —v'xl. Введем теперь функцию
Wx(z; Д)=г>х1 — vvy 1, регулярную в комплексной плоскости z = £-j-iC с разрезом вдоль полуоси {z = |>-0}. На берегах разреза функция Wx подчиняется условию ограниченного роста, которое задается последними из соотношений (4.1).
Чтобы установить точный вид этой функции, рассмотрим второе приближение для внутренней области. Входящие в него функции удовлетворяют уравнениям
/ dvx 2 d2 ух2 , dvxl дрЛ _ _ * 2
di drf ~Tvy2 dfi + dt
dPl — ft- - dVy2 —— A2 dvxi dr\ ’ C2 drj d£
и условию затухания на бесконечности
vx2,vy2, р2 -> 0 при )Л2 + ^ + оо, (4.3)
Предельные условия при 6 = const, У)-»+00 (L1jr ос) выводятся, как обычно, из сращивания асимптотических разложений. Эта же процедура позволяет одновременно записать предельные условия при 1 = const, С-*+0 (Z,2 -j- оо) для внешней области.
В результате краейые задачи (4.1) и (4.2), (4.3) получаются связанными, они образуют первую пару в рекуррентной системе, которая определает поле скоростей вдали от тела.
Последние два уравнения из системы (4.2) дают
р2 = ё2 (6; Д), Vy2 = h2 (6; Д) + £ -iL- L, е~ ^ £‘ , (4.4)
3 £2 4у тс S
где функции g2, h2 -* 0 при | + оо.
На основании принципа сращивания асимптотических разложений имеем
Р\ - ^ £2 (Е; Д), Wx - - A- [g2 (£; Д) + &Л5; Д)] при С - + 0, £>0 (4.5) ei si
и далее
‘Ох 2 ^ - S2 (5; Д) при Т, - ± ОО, £>0.
Последнее условие позволяет выделить „потенциальную* часть функции vx2. Действительно, ограничив порядок роста функции h2 условием
Е
j й2 (ц; Д) dp = о(еа/£) при % + 0 и любом а> 0
1 ;
V
х 1
dvxi, dZ
(4.2)
и, воспользовавшись еще раз принципом сращивания асимптотических разложений, находим из первого уравнения системы (4.2)
Ч 2 = и2 (5, ч; А) - (6; Д) + 1Х е~ ^ [л20(Д) + |/г2 (щ Д) ^ -
<«>
В силу постулата о том, что вихревые возмущения не проникают в полуплоскость £<0, для фигурирующей здесь функции и2 ставится задача Коши
ди, д* и і = 0; и^0 при |_>+0)
Согласно принципу минимальной особенности [1] ее решение в классе обобщенных функций можно представить как
2 е2 1<? '
Продолжим функции иХ2 = УХ2 + ё2 и чу2 — ^у2 — на всю область £2\(0, 0), придав им нулевые значения при |<0. Что касается то при продолжении через разрез {2 = 5;>0} положим эту функцию на берегах разреза равной своей предельной величине (4.5). В результате такого продолжения по непрерывности функции
у*
(г) — £2 Чх 2 + е1 Ке ^1 > < (Г) = ®2 2 + е1 ^1>
р(2)(г)«=— в[ Яе^!
задают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удаленной точки второе приближение. Чтобы оно обладало необходимой гладкостью, функция должна быть регулярной во всей плоскости г ф Ь. Отсюда заключаем, что ее можно разложить в ряд Лорана. Первый член ^
Д2 с\ +
^1 --г-V-1- (4.7)
е1 |
этого ряда не только определяет подъемную силу Ру, приложенную к профилю, но и задает источник в начале координат. Он представляет .главную часть первого приближения во внешних переменных. Все остальные члены следует отбросить на основании принципа минимальной особенности [1]. Как видно из формул (4.4), (4.5) и (4.7), малые параметры е| = е2 = Д2. Для выполнения закона
сохранения массы движущейся жидкости необходимо, чтобы
с\ + сх = 0. Вторая постоянная с'[ = — Ру < 0.
Формула (4.7) устанавливает вид функций
ё2=— 0^21$, к2 —— сЦ 2я£.
Подставив два последних равенства в соотношения (4.4) и (4.6) и положив постоянную
завершим построение главной части второго приближения во внутренних координатах. Заметим, что фигурирующий в определении (2.4), (2.5) класса функций остаточный член Я2{Ух2, Уу2, Рг)
автоматически находится по формулам для V**(г), {г) и /?(2)(г)»
которые вводят второе приближение, равномерно пригодное во всей окрестности бесконечно удаленной точки. Включение в постоянную Л20 логарифмического члена продиктовано тем, что после перехода к физическим переменным малый параметр Д должен выпасть из решения.
5. Рассмотрим второе приближение для внешней области. Величины, которце оно содержит, удовлетворяют соотношениям
где функция и^2 регулярна в плоскости г с разрезом вдоль полу-осй (2 = £;>0}, а на берегах разреза подчиняется условию ограниченного роста .
Вид функции невозможно установить, не зная третьего приближения для области вихревого следа. Найдем входящие в него функции из решения следующей задачи
vx 3. 3» Яз -*• 0 при /£2 + V -» + оо, 1I < С,
связь которой с задачей (5.1) достигается при помощи принципа сращивания асимптотических разложений. Как и прежде, применение этого принципа дает возможность написать предельные условия ■/] ->■ + оо (Z.J -► + оо) при 5 = const, для внутреннего разложения, а ч-^+0 (^2->+оо) при 1 = const — для внешнего. Таким образом, задачи (5.1) и (5.2) составляют вторую пару в указанной выше рекуррентной системе. Через Д 1/(3) и др(з> обозначены главные части функций Vy 2 и Р2, образующих остаточный член R2{VX 2, Vy2, Р2) второго приближения для вихревого следа. Для них верны равенства
Л20(д)=-^-1п Д2,
v'x2(t, Дтгі; A), v'y 2 (?, Дії; Д) = о (Д2/£'2) при Д -* 0, $>0, y)=£0.
*1 J’
X 1
д (Ух і vx 2) дї
dvx 2 dVf\
дЧ дт\
(5.2)
Из второго и третьего уравнений системы (5.2) следует
о о
(5.3)
где функции g3, Л8 О при ? -* + оо. Как показывает вторая из формул (5.3), малый параметр е3 = Д3. С учетом этого порядкового равенства принцип сращивания асимптотических разложений позволяет сформулировать краевые условия для функций (5.1). Именно,
Отсюда прежде всего видно, что е2 = е3 = Д3, поэтому из-за малости второго слагаемого в правой части первого из равенств (5.1) его следует отбросить. Далее имеем
Чх 8 — ёл & Д) при 71 -*- + 00, ?>0.
Принимая во внимание написанное предельное соотношение, выделим „потенциальную" часть функции vxй. Для этой цели ограничим порядок роста функции й3 условием
Подставим формулы (5.3) в первое уравнение системы (5.1) и снова воспользуемся принципом сращивания асимптотических разложений. Окончательно
Функция ив отбирается на основании требования о непроник-новении вихревых возмущений в полуплоскость £<0 и принципа минимальной особенности [1]. В результате
Что касается частных решений ъхъ\, ъхгй и vx33, то для них имеют силу формулы
|(5-4)
при С->+0, £>0.
| Л3([а; Д) сі\>.= о (еаІІ) при Е-^+0 и любом а>0.
і
+ ~£~уТ £ юх 31 С^і) "У + Ух 32 (І,) 1п — + 13 х 33 (Ьг) | .
."2
«*»«—л(1-4-£)е 41х -
о и
с, сг 32тс2
1 ,2 £, 1
43 х зз—-у
о
^а+(1-----|
О
X
Х |(1-4-'л2)е ^Ф(1‘)^--г(1--Г^)е'
. /, > ,2и--нх
X
Ф (V)
Здесь функция Ф = -А
+
('■-М~ т (3~* + у1“*)'+1&г (3+'т'»’) +
?? Г _ .. 1 ..» У- 1 ..» !,,* и 1 ..* 1
4
8ТГ У^!1 З-^2)
32л У тс
Ъе^ 2 11 + р |е 2 йч + ре 411 Ге 4 йч о
с\с2-------------т I13
-------ре 4
8ге Г
С1 с2
и коэффициент А удовлетворяет условию нормировки
+00-
/ ('—г1*
2 \е 4 * ф 00 йр = О.
Найдем теперь функцию Ш2. Обращаясь ко второму из предельных соотношений (5.4), заключаем, что ее можно представить как , ' ’
1*2
1С
= И721 (*; Д) + }Рп (г; Д); Н721 = ^ ,
- [йГа (5; А) + Й, (5; Д)] при г £ > 0.
(5.5)
22
Выделим в выражении для г>у3($, т); Д) слагаемое, с которым производится сращивание 1га 1^21 {г\ Д). Видом этого слагаемого обусловлен единственный новый нетривиальный элемент в построении функций третьего приближения, он состоит в регуляризации функции 1^21. При г9^1>-0 перейдем к Ц?21 = <71^1 с множителем
' ___ с/(Д УТ) .
<7(е,С;Д) =
1
^>0;
6<0, (е,У#(0,0).
Продолжим функции их з = Юх з + £з
и
на всю область /Г2\(0, 0), положив их тождественно равными нулю при £<0. При продолжении функции 11^2= + УРм через разрез
{2 = ^>0} потребуем, чтобы на берегах разреза ]У2і = 0, а 1^22 достигала своих предельных значений (5.5). В результате такого продолжения линейные комбинации .
■У!? (Г) = в3 Пх з + 62 Ие №'%, тф (г) = £3 Иу з + Є2 ІШ \У2,
р@) (г) = — ®2 Ие УР'ч
дают равномерно пригодное в окрестности бесконечно удаленной точки третье приближение. Оно обладает необходимой в силу определений (2.4), (2.5) гладкостью, если функция регулярна во всей плоскости гф 0. Отсюда на основании принципа минимальной особенности [1] заключаем, что №22 = 0. Наконец, из последней формулы (5.5) выводим ^2 = Л2 = Л20 = 0.
Задание сил, действующих на профиль, дало возможность определить постоянные с1 и с\. Закон сохранения массы жидкости привел к соотношению между с[ и с1. Значения постоянных с2 и с3 остаются произвольными. Дополнительный набор постоянных получится при построении высших приближений в асимптотическом разложении решения на больших расстояниях от обтекаемого тела. Чтобы подсчитать величины всех этих постоянных, нужно задать моментные характеристики профиля. Момент первого порядка равен просто моменту сил, которые стремятся повернуть профиль вокруг оси, проходящей через точку (0, 0) перпендикулярно плоскости ху. Связанные с ним вычисления содержатся в работе [23].
6. Проведем сравнение полученных выше асимптотических разложений для параметров несжимаемой жидкости с точными оценками „ламинарного" решения краевой задачи обтекания при г == у"х2 =у2 -* -(- оо. С наибольшей полнотой асимптотические свойства точного решения исследованы в недавно опубликованных работах [19—22]. В применении к рассматриваемой задаче о плоскопараллельном течении у профиля крыла бесконечного размаха основной результат этих работ можно сформулировать следующим образом: при г ->■ + оо
№{х,у) — юх — 1 — й>у=
іЬ-і
Ді/2+( -я- «1/2 Ие Ьх 1п г — іа
1 п--2'{Г~Х) ~7=е '
Уг
х + іу + (г — X) | е
1 2 1 -Г 01/2— Є
■ (г-х)
+ Щх,у)-
(6.1)
Здесь Я.{х,у) — остаточный член, имеющий более высокий порядок малости по сравнению с выписанными в явном виде, а постоянные а1 и удовлетворяют равенствам
Яе а1=-у-ац2, \тЬх =------.
В формуле (6.1) перейдем последовательно к внутренним и внешним переменным, разложим по малому параметру Д полученные таким образом соотношения и удержим в них все члены до порядка Д2 включительно. Непосредственной проверкой легко убедиться, что двучленное внутреннее разложение имеет вид
ЧУ = ~ 1 — = Д е~ ^ "Ч Д2 ^
| ____L I2 Д2
й]/2 Re bl L j е 4 1 In -g—)—
12 /12 i 2 1
-\-\mbi-\-\ma2Lle 4 Ll---a\j2{e 2 Ll + e .4 Ll e 4
\ - о
If -±L2
— i&2—- VRe bx -f- Re Z.j e 4 1
а одночленное внешнее разложение можно записать как
У?(г)=-Ь2ф, г = £ + гС.
Эти формулы полностью совпадают с соотношениями (4.6) и (4.7), если выполнены условия
т г> и С1
01/2 = —> 1т а, = —, Re Ь, =------------.
' 2 УТ 1 4 /тс 1 2 тс
ЛИТЕРАТУРА
1. Ван-ДайкМ. Методы возмущений в механике жидкости. М., „Мир", 1967.
2. Коул Д ж. Д. Методы возмущений в прикладной математике. М., „Мир", 1972.
3. Nayfeh А. Н. Perturbation Methods. N. Y., Wiley-Interscience,
1973.
4. L e г a у J. Etude de dtverses dquations ii^grales non lineaires et de quelques problemes que pose l’hydrodynamique. J. Math. Pures et Appl., s6r. 9, t. 12, fasc. 1, 1933.
5. Lera у J. Essai sur les mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parois. J. Math. Pures et Appl., sit. 9, t. 13, fasc. 4, 1934.
6. L e г a у J. Les probtemes non lln£aires. Enseignement Math., t. 35, fasc. 2, 1936.
7. Ладыженская О. А. Стационарная краевая задача для вязкой несжимаемой жидкости. Успехи математических наук, т. 13, вып. 4. 1958.
8. Ладыженская О. А. Исследование уравнения Навье — Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости. Успехи математических наук, т. 14, вып. 3, 1959.
9. Finn R. On steady-state solutions of the Navier — Stokes partial differential equations. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 3, N 5, 1959.
10. Finn R. Estimates at infinity for steady state solutions of the Navier—Stokes equations. Amer. Math. Soc., Proc. Symp. Pure Math., vol 4, Partial Differential Equations, 1961.
11. Finn R. On the steady-state solutions of the Navier — Stokes equations/ III. Acta Math., vol. 105, N 3, 4, 1961.
12. Fujita H. On the existence and regularity of the steady state solutions of the Navier — Stokes equations. J. Fac. Sci., Univ. of Tokyo, Sec. I, vol. 9, pt. 1, 1961.
13. Л а д ы ж e н с к а я О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М., ,Наука', 1970.
14. Finn R- On the Stokes Paradox and related questions. Nonlinear Problems, ed. by Langer R. E. Madison, Univ. of Wisconsin Press, 1963.
15. Finn R. On the exterior stationary problem for the Navier —Stokes equations, and associated perturbation problems. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 19, N 5, 1965.
16^ Finn R. Stationary solutions of the Navier — Stokes equations. Amer. Math. Soc., Proc. Symp. Appl. Math., vol. 17, Applications of Nonlinear Partial Differential Eguations in Mathematical Physics, 1965.
17. Smith D. R. Estimates at infinity for stationary solutions of the Navier—Stokes equations in two dimensions. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 20, N 5, 1965.
18. Finn R., Smith D. R. On the stationary solutions of the Navier—Stokes equations in two dimensions. Arch. Rat. Mech. and Analysis, vol. 25, N 1, 1967.
19. Б а б e н к о К. И. Об асимптотическом поведении вихря вдали
от тела при обтекании его плоским потоком вязкой жидкости. Прикл. матем. и механ., т. 34, вып. 5, 1970. 1
20. Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтека-
ния тела вязкой несжимаемой жидкостью. Матем. сб., нов. сер., т 91, № 1, 1973. ■
21. Бабенко К. И., Васильев М. М. Об асимптотическом поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от тела. Прикл. матем. и механ., т. 37, вып. 4, 1973.
22. Васильев М. М. Об асимптотическом поведении скорости и силах, действующих на тело, в стационарном потоке вязкой жидкости. Прикл. матем. и меха^р., т. 38, вып. 1., 1974.
23. I m a i 1. On the asymptotic btehaviour of viscous fluid flow at a great distance from a cylindrical body with special reference to Filon’s paradox. Proc. Roy. Soc., ser. A, vol. 208, N 1095, 1951.
24. Chang I-D. Navier—Stokes solutions at large distances from a finite body. J. Math. Mech., vol. 10, N 6, 1961.
Рукопись поступила 14\Vi 1974
