Скачок циркуляции в точке излома стреловидности на крыле большого удлинения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том XVII

19 86

№ 3

УДК 629.735.33.015.3.025.4

СКАЧОК ЦИРКУЛЯЦИИ В ТОЧКЕ ИЗЛОМА СТРЕЛОВИДНОСТИ НА КРЫЛЕ БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ

Теория несущей линии Прандтля и метод сращиваемых асимптотических разложений применены к стреловидному крылу большого удлинения. Найдены эффективный угол атаки и скачок циркуляции в точке излома стреловидности.

Теория несущей линии Прандтля, которая нашла широкое применение в расчетах характеристик крыла, впервые была обобщена на случай крыла со скольжением в работе [1]. В основе теории лежат следующие два положения: 1) система присоединенных вихрей крыла стягивается в одну вихревую нить, от которой отходит вихревая пелена; 2) предполагается, что каждое сечение крыла обтекается как плоский профиль (гипотеза плоских сечений). Считая, что удлинение крыла велико, Прандтль лришел к сингулярному уравнению, содержащему лишь однократные интегралы. В теории Прандтля остается открытым вопрос о получении следующих приближений, которые дали бы возможность рассчитывать крылья не только большого, но и среднего удлинения.

Дальнейшее развитие теории дал М. Ван-Дайк [2], который, исходя из принципа сращивания, для крыла без скольжения получил результат Прандтля в квадратурах, не решая интегрального уравнения. Кроме того, М. Ван-Дайк построил приближения более высокого порядка.

В настоящей работе метод М. Ван-Дайка применяется к стреловидному крылу большого удлинения, находится эффективный угол атаки, определяется скачок циркуляции в точке излома стреловидности.

1. Постановка задачи. Рассмотрим плоское крыло большого удлинения, расположенное в плоскости охг, которое имеет излом, делящий его на две части с размахом Ь1 и &2 и углами стреловидности >.1 и 1,2 (рис. 1). Набегающий поток направ-

О. Ю. Стариков

Рис. 1

лен вдоль оси х, имеет скорость и а и угол наклона к плоскости крыла а. Угол атаки считаем малым в везде учитываем только линейные по ачлеиы. Обозначим корневую хорду крыла через с0, а местную хорду каждой части соответственно СаС,, (г) и с0С2(г). Потенциал скорости набегающего потока имеет вид:

Усе = и0Х + аи оУ-Выпишем полную задачу для потенциала скорости течения

1

д2 <р д2 ср д2 у

дх2 ду1

= 0;

й<р

ду

дг2

при X3 + уг + г1 -* оо; = 0 на крцле;

(1)

| V? |<°о на задней кромке.

Решение этой задачи будем искать методом сращиваемых асимптотических разложений в двух областях: вдали от крыла [на расстоянии порядка 0(61)] и вблизи крыла [на расстоянии порядка О(с0)]. Внешние переменные, отнесенные к Ьи обозначим так же х, у, г. Вблизи крыла характерные размеры имеют порядок х~со\ у~с<>', г~Ь\.

Учитывая это, введем малый параметр 1//?=со/&1 и внутренние растянутые переменные по формулам

X — л:/?; У = уЯ\ г = г.

Решение для потенциала скорости будем искать в виде ряда по степеням малого параметра 1/Л.

2. Двухчленное внешнее разложение. Предположим, что безразмерный потенциал скорости вдали от крыла можно представить в виде

1

■та'*+т’,+-

Во внешнем пределе при крыло стягивается в линию особенностей (рис. 2), влияние которых убывает с ростом Я■ Поэтому фо есть потенциал невозмущенного течения

% = X + а у.

В первом приближении линию особенностей можно считать вихревой системой

Прандтдя с переменной по размаху циркуляцией -Г, (г) = 71 (г) иГ2(г) =

К

1

= — 72 (*)• Потенциал скорости этой системы имеет вид

А

У 71 («*)

1+Т ь 1

4-

2к

I

б ?* + (* —**)» У 72 (**)

1 +

уг + (г - г*

1 +'

V (X — г*)2 + у8 + (г — г*)2

х — (т2 г* + т1 — т3)

У[х — («2 г* + тх — /И2)р +У* + (2 — 2*)2

где m^=igX^, т2=4дЛ2. При выполнении предельного перехода теряется условие не-протекания на поверхности крыла и поэтому нельзя найти распределение величин VI (г) и уг(г).

Для определения порядка внутреннего разложения выпишем внутренний предел внешнего разложения. При Л-*-оо во. внутренних переменных вблизи первой части крыла имеем с точностью до постоянного слагаемого

X . У 7,(7) У

7 + “

ч\ ©

Рис. 3

3. Внутреннее разложение. Определение индуктивного скоса. Внутреннее разложение проводим независимо для каждой части крыла. Полная задача (1), записанная во внутренних переменных, принимает вид

д2 Ь , д2 Ч1 1 91 _р.

дх* + дг* ’

дУ

I V?i I < 00

= 0 —на крыле;

— на задней кромке.

Условие при хг+уг+г2->-оо потеряно. Как определено выше, первый член потенциала ф; имеет порядок 1/Л:

ф1+ •

В первом приближении получим обтекание плоской пластины (рис 3), причем скорость и направление набегающего потока неизвестны и должны быть определены из сращивания решений. Общий вид функции ®1 известен:

<

3»! = аХ + Ь 1т {С2 -+- С\ (г) соз2 X, — С1 №) сбв ^ X

X In [is+ V гч + СЗДсовП!]} .

Выпишем внешний предел внутреннего разложения 1 1

Л

-jFj- Фх -> -р- (ах R + by R — b Cj (г) cos arctg •

Сращивание позволяет найти неизвестные коэффициенты и распределение циркуляции

2яа

а = cos Л|, Ь = a cos Aj, Тг (г) = — cos2 Xj Q (г).

7—«Ученые записки ЦАГИ» № 3

97

2па ■

Аналогично находим Г3 (z) = — cos81% С2 {г). Таким образом, потенциал внешнего

R

течения

9е = л: + ay -f •

a cos2 X] і у Сі (2*)

х — т, г.

+

R с. У2 + (*-**)2

а C0S»X2 yC3(z*)

1 +

1

— f Л 1

у2 + (г-г*)2

V (х — m, г*)2 + + (г — г*)».

х — (т2 г* + mt — т2)

V[jc — (т2 г* + Ш! — /я2)]2 + у2 + (г —г*)2

dz*.

Одночленное внутреннее разложение не позволяет определить индуктивный СКОС потока, поэтому будем искать второй член внутреннего разложения. Следуя [3], перепишем <р„ в виде

= х + ау-

а COS2 X, д

dz

Сг (**)

arctg

Z — г*

+ arctg

х — т, гл

у (x — itij га)2 + у* + (Z — z„p Z — 2*

dz*

1+Г

о cos2 Хо д ~1

R дг

J* ^2 (г*)

arctg

Z—z*.

+ arctg

VIх — («а г* + т\ - т2)]2 + У2 + (г — г*)2

л: — (т2 г* + т»! — т2)

Z — z*

dz*.

Введем внутренние переменные X, Y, Z и разложим до второго члена (~1 /R2) вблизи первой части крыла

1 Г УЛ

<fe яз — cos Xt X + a cos Xj У — a cos2 X, Сi (г) arctg — —

l - 1+F

a cos2 Xj F p Ci (г*) a cos2 X2 У л 1 6'2 (■?*) dz*

R2 о z_ г* Я2 l z — г*

Из этого выражения находим эффективный угол атаки

cos2 Xt * С[ (z„) _ cos2 Х2 1+Z*b' g'2 (г„,) dz*

R $ Z — z* R f Z — z„

aei,2 =a I cosX12

(2)

Выражение (2) содержит известный результат теории несущей линии: сбегающие с крыла вихри индуцируют в окрестности крыла скорость, направленную вниз. Эффективный угол атаки уменьшается.

Подставив ае вместо а в потенциал фг, получим двухчленное внутреннее разложение

X cos X. а

<fi =---------------+ —

R R

cos Xi

cos2 X! j. Cl(zi) dz*

Z — z*

COS2 ^2 c'2 (2*) dz*

R. }

Z — z*

Im [Y cos2

- C\ (г) cos Xj in [C2 + j/Ъ — c\ (Z) cos2 Ц •

(3)

4. Третий член внешнего разложения. Уточнение циркуляции вихревой нити.

Введем в потенциал (3) внешние переменные и разложим до члена--------------• Получим

<рг = *+а, со5Хг-^1 Г С1 _со5П21+й~

Я 4 г — г* № J

г — г*

Сх (г) сое

ЯГС*§ —) +-------^а~^ С? (г) ■

у \ а СОв3 >■! X

X2 + у2 '

(4)

Как видно из соотношения (4), циркуляция присоединенного вихря меняется и становится равной

2ла сое X.! (г) / сов2

Г1(*)=--------------------I совХ,- ^

1+- ,

^ £ С[ (г*) йг* сое5 Х2 *■ С2 (г«) ^ ^

} г — 2* ^ .5 г — г* /'

Кроме этого, последнее слагаемое в (4) показывает появление в несущей линии особенностей более высокого' порядка. М. Ван-Дайк назвал их «дивихрями», чтобы подчеркнуть, что это производные по х от вихря.

Аналогично находим

, , 1+Р ,

2г.а сое Х3 С2 (г) ( сое2 X* ,! С. (г*) йг* сое2 Х2 р С, (г*) йг*

14(0-------------;-------I——-— | ___

/?

Теперь можно выписать трехчленное внешнее разложение для потенциала скорости и найти скачок циркуляции на изломе крыла.

«Ре = х + ау ■

а сое2 X] д

(**)

аг^

У

г—г*

+

aгctg

У У(х —т^*)2 + у* + (г—г*)2\

х — гпл г±

1+®-2 а сое2 X» д „

я

— С с, (г*)

дг Л 1

arctg

г — гл

+ аг^

•* —(«2 г* + т\ ~ тг)

X

х

V [X —(щг* + т1 — лг2)]2 + у3 + (г — г*)2

4-

I

Ч С2*) (г — *•) йг*

И2 (х — т2 г)2 у2 дг § V (х — т1 г*)2 + у* + (г — г*)2 а сое3 Х2 у

+

+ ■

#2 [х — (т2г + т1 — т2)]2 + У2 1 -\-Ь31Ьх ^2

X

& I1 ТЛ* — (^г2* + "Ч — отг)]2 + У2 + (г — г*)2

(5)

дг = rt —г2

С] (1) cos2 X, — С2 (1) cos3 Х2 —

------[Ci (1) cos Xj — C2 (1) cos X2]

R

(6)

Уравнение (5) с точностью до членов порядка I//?2 определяет картину течения окОло плоского крыла большого удлинения с двойной стреловидностью, а уравнение (6) дает значение скачка циркуляции в точке излома стреловидности.

Автор благодарит В. Я. Нейланда за постановку задачи и обсуждение результатов.

1. Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии на случай крыла с изогнутой осью и осью, не перпендикулярной потоку. — ПММ, 1944, т. VIII, № 1.

2. V a n - D у k е М. D. Lifting lipe theory as a singular perturbation problem. — Arch. Mech. Stos., 1944, vol. 16, N 3.

3. Рождественский К. В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. — Л.: Судостроение, 1979.

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 15/Х 1984 г.