CC BY
113
К вопросу о применении имитационного моделирования методом Монте-Карло в задачах оценки фундаментальной стоимости объекта оценки
А.В. Захаров
директор ООО «Агентство анализа консалтинга менеджмента», кандидат физико-математических наук (г. Саратов)
А.В. Харламов
старший преподаватель кафедры теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами Саратовского государственного университета (г. Саратов)
Александр Владимирович Захаров, [email protected]
Председатель правительства Российской Федерации Владимир Путин, выступая на открытии Всемирного экономического форума в Давосе (Швейцария) в 2009 году, сказал: «Это колоссальные дисбалансы, накопившиеся за последние годы. В первую очередь между масштабами финансовых операций и фундаментальной стоимостью активов, между возросшим спросом на кредитные ресурсы и источниками его обеспечения. Серьезный сбой дала сама система глобального экономического роста, в которой один центр, практически без ограничений и бесконтрольно, печатает деньги и потребляет блага, а другой производит недорогие товары и сберегает выпущенные другими государствами деньги. Смысл нашего предложения в том, что в основу реформы стандартов аудита, бухгалтерского учета, системы рейтингов должно быть положено возвращение к понятию фундаментальной стоимости активов. То есть оценки того или иного бизнеса должны строиться на его способности генерировать добавленную стоимость, а не на разного рода субъективных представлениях. На наш взгляд, будущая экономика должна стать экономикой реальных ценностей. Конечно, возникает вопрос, как этого добиться. Это законный вопрос.
У меня на него нет ответа. Нужно подумать вместе»1.
Это заявление уже определило направление развития стоимостного анализа и экономических измерений.
В ряде работ Е.И. Неймана [1, 2, 3] стоимостной анализ предлагается принять за основу новой системы экономических измерений. Это является одним из инновационных путей развития конкурентной экономики страны.
Инвестиционные институты, рейтинговые агентства для собственных целей рассчитывают некоторые агрегаты, которые можно назвать фундаментальной стоимостью, однако, как отмечено в работе [2], как методология, так и методика не раскрываются.
По мнению авторов статьи, имеет место соотношение следующего вида:
ФС + СЦП = РС,
где ФС - фундаментальная стоимость;
СЦП - стоимость ценового пузыря;
РС - рыночная стоимость.
Ценовые пузыри возникают при проведении 1РО, публикации результатов исследова-
ний рейтинговых агентств, на рынке заемного капитала, при спросе, превышающем предложение, на рынке «перегретой» недвижимости», организованном биржевом рынке корпоративных ценных бумаг и других финансовых инструментов.
Здесь уместно обратиться к некоторым основам адекватных измерений: к фундаментальной стоимости, формируемой новой системе экономических измерений [1], которые позволят пролить свет на сущность стоимостного содержания активов, связи между трудом и капиталом и т. д. В работе [1] отмечается, что методологической базой для создания такой системы может явиться система показателей, хорошо себя зарекомендовавшая в корпоративном управлении и получившая название «система управления стоимостью компании».
В настоящее время так называемые «ценовые пузыри» активно изучаются. В связи с этим следует отметить работу [4], в которой предлагаются индикаторы возникновения и раздувания «ценовых пузырей».
На наш взгляд, максимальное устранение «ценовых пузырей» при оценке недвижимого имущества, а тем самым приближение рыночной стоимости к некоторой «настоящей», «справедливой», фундаментальной стоимости заключается в корректном применении вычислительных алгоритмов. Покажем это на примере развития техники доходного подхода. Одной из таких техник является имитационное моделирование, в частности метод Монте-Карло. В оценочной деятельности этот метод уже нашел свое применение [5, 6, 7].
Условия применимости метода Монте-Карло
В целях анализа условий применимости метода Монте-Карло к оценке недвижимости дисконтированными денежными потоками нами был воспроизведен модельный пример, рассматриваемый в работе [7]. Моделировалась стоимость начальных инвестиций, равная рыночной стоимости объекта недвижимости (У0 ) по зависимости:
у ±Ат (1 + д) (1-К¥ )(1-Кое) + у (1 + А)
0 '■=1 (1 + Х,)' (1 + Уо)" ’ 1 1
где Ат - арендная стоимость объекта; д - ежегодное увеличение арендной стоимости;
К - коэффициент потерь от недозагрузки;
Кое - коэффициент операционных расходов;
А - прирост стоимости объекта за период эксплуатации;
У0 - норма отдачи на капитал; п - период эксплуатации.
В работе [7] предполагается, что используемые в зависимости (1) ценообразующие факторы имеют равномерное распределение и задаются следующими диапазонами возможных значений, представленными в таблице 1.
Таблица 1
Диапазоны значений ценообразующих факторов
Фактор Обозначение Нижняя граница Верхняя граница
Ставка аренды, долл./м2 А т 200 250
Прогноз изменения ставки аренды, % д 4 10
Коэффициент недозагрузки, % К V 1 5
Коэффициент операционных расходов, % Кое 33 35
Норма отдачи капитала, % У0 16 20
Прогноз увеличения стоимости объекта, % А 33 45
В ходе воспроизведения численного моделирования рассматриваемого примера было проведено 10 000 испытаний (вычислений) для разного числа прогнозных периодов: п = 3, 4, 5 лет. Результаты зависимости средней стоимости объектов от числа испытаний для разного времени эксплуатации представлены на рисунках 1-3.
О
О
К
К
I
О
о
2 520 2 480 2 440 2 400 2 360
♦ <►
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Рис. 1. Зависимость средней стоимости объекта (долл./м2) от числа испытаний
при трехлетней эксплуатации
.а 1 680
І 1 660
£ 1 640
! 1 620
ч
&. 1 600
О
1 580
♦♦
<► ♦
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
со
0
0
0
0
0
0
5
0
0
0
6
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
о
0
0
0
Рис. 2. Зависимость средней стоимости объекта (долл./м2) от числа испытаний
при четырехлетней эксплуатации
£ 1 430 1 420
о
о
1 410 -
о
с5
£ 1 400 -
і
5 1 390 ° 1 380
1 370
0
0
0
0
0
0
СМ
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
ю
0
0
0
со
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
9
0
0
0
Рис. 3. Зависимость средней стоимости объекта (долл./м2) от числа испытаний
при пятилетней эксплуатации
Графики зависимости оценки средней стоимости от числа испытаний иллюстрируют справедливость закона больших чисел математической статистики: с ростом числа испытаний средняя стоимость стабилизируется около некоторой постоянной. Причем погрешность оценки становится менее 5 процентов уже при проведении тысячи испытаний. Необходимо отметить, что в рассматриваемом примере проявилась сильная зависимость стоимости недвижимости У0 от предполагаемого срока эксплуатации объекта (см. табл. 2).
Таблица 2
Описательная статистика результатов моделирования стоимости объектов
Статистические характеристики результатов моделирования Срок эксплуатации, годы
3 4 5
Среднее 2 442,911 1 632,313 1 397,039
Стандартная ошибка 6,442253 2,618131 1,910164
Медиана 2 309,1 1 598,546 1 378,692
Стандартное отклонение 644,2253 261,8131 191,0164
Дисперсия выборки 415 026,2 68 546,12 36 487,27
Эксцесс 1,453023 0,026902 -0,17274
Асимметричность 1,129692 0,560517 0,420947
Интервал 4 221,108 1 585,738 1 141,174
Минимум 1 315,76 1 053,465 944,3079
Максимум 5 536,867 2 639,203 2 085,482
Сумма 24 429 115 16 323 133 13 970 385
Число испытаний 10 000 10 000 10 000
Уровень надежности (95,0%) 12,62811 5,132064 3,744306
Гистограммы распределения стоимости объекта для всех лет эксплуатации имеют достаточно длинный правый «хвост», что соответствует экономическому смыслу исследуемой ситуации: объекты большей стоимости имеют большую вариативность. В рассматриваемом случае результаты моделирования не являются нормально распределенными. На рисунке 4 в качестве примера приводится гистограмма для четырех лет эксплуатации объекта.
1 800 1 500 1 200 900 600 300 Ч 0
—
~°-г -г Чг1 Чг1 Чг Чг1 Чг Чг 1 1 П , П , .1 ,
6
2
2
3
8
3
9
5 0
6
6
1^-
2
8
8
3
9
0
6
9 0
2 2
1^-
2
2
2
8
3
2
3
9
2
0
6
2
Рис. 4. Гистограмма стоимости объекта (долл./м2) при четырех годах эксплуатации2
2 Здесь и далее в гистограммах по вертикальной оси отложена частота появления объекта с определенной стоимостью.
Проверка гипотезы о нормальности результатов моделирования стоимости недвижимости по критерию Хи-квадрат была отвергнута на 5-процентном уровне значимости. В результате проверки гипотезы наблюдаемое значение статистики (Хи-квадрат) значительно превосходило критическое. Отсутствие нормальности распределения результатов моделирования может вызывать вопрос о корректности последующего анализа.
Результаты моделирования приводят к следующим предположениям в условиях применения рассматриваемого метода.
Возможно, нет смысла использовать большие объемы модельных данных (порядка 10 000 испытаний), так как значения оценок, получаемые при относительно малых выборках (порядка 100-200 измерений), попадают в доверительные интервалы, получаемые при больших объемах.
За уменьшение объема моделирования говорит и проверка гипотезы о нормальности результатов проведенная для 100 измерений. Хотя гипотеза все еще отклоняется, наблюдаемое значение статистики принимает значение, равное 15,3, при критическом 11,1, что можно рассматривать, как положительную тенденцию. Это вполне объяснимый результат: при большом объеме моделирования чаще встречаются крайние ситуации (выбросы), возникновение которых маловероятно на реальном рынке (предполагается, что возникновение сочетания значений ценообразующих параметров, расположенных вблизи границ интервалов изменения, в реальной ситуации практически невозможно). Также эти выбросы могут являться результатом применения в модели независимых изменений рассматриваемых рыночных показателей, заданных равномерным распределением. Гипотезы независимости и равномерности могут вступать в противоречие с реальными взаимосвязями, которые «через рынок» осуществляются между всеми без исключения ценообразующими параметрами, представленными в таблице 1. Если ценообразующие параметры Ат, д, К¥, Кое, Д, У0 являются коррелированными посредством рынка недвижимости, то их изменения должны происходить согласованно и гипотеза о равномерном и независимом распределении параметров не применима.
В ходе воспроизведения модельного примера [7] мы заметили некоторые противоречия, выдвинули предположения об их возникновении, сделали замечания о возможном применении метода и, учтя свои выводы-замечания, провели анализ условий применимости этого метода в общем случае. Таким образом, было проведено моделирование с использованием следующих предпосылок:
1) в качестве значений используемых в выражении (1) ценообразующих факторов были выбраны рыночные прогнозные значения, полученные с помощью выявленных тенденций. Это позволило учесть стохастические зависимости между факторами. Как дальнейшее развитие метода, возможно, имеет смысл использовать прогнозные значения для каждого периода эксплуатации в отдельности, получаемые по вычисленным прогнозам тем или иным методом (временной ряд, регрессионные зависимости);
2) использовалось нормальное распределение факторов с соответствующей эмпирической (рыночной) оценкой параметров распределения, что более соответствует реальной ситуации: равномерность, как правило, в реальных условиях не встречается, а в пользу нормального распределения свидетельствуют как общая статистическая теория, так и практика анализа рынка (крайние значения факторов встречаются гораздо реже, чем средние). Подтверждение этих соображений, в частности, можно найти в работе [8];
3) использованы небольшие объемы выборки. Число экспериментов равнялось 100 и 10 000, причем 10 000 - для сравнительного анализа;
4) в качестве результатов моделирования, помимо интервальной оценки средней стоимости, представлен диапазон возможных значений стоимости объекта.
С учетом сделанных нами выводов было проведено моделирование. Использовались реальные данные рынка офисной недвижимости города Саратова за сентябрь 2009 года.
В таблице 3 приведены значения ценообразующих факторов в предположении их нормального распределения (распределение задается средним значением и среднеквадратическим отклонением).
Таблица 3
Параметры распределения значений ценообразующих факторов
Фактор Обозначение Среднее Среднее квадратическое отклонение
Ставка аренды в год, р./м2 Ат 1 080 40
Прогноз изменения ставки аренды, % 9 2,5 2,5
Коэффициент недозагрузки, % К V 17,5 2,5
Коэффициент операционных расходов, % Кое 20 3,3
Норма отдачи капитала, % Уо 24 1
Прогноз увеличения стоимости объекта, % Л 2,5 2,5
В ходе численного моделирования было проведено 10 000 и 100 испытаний для трех и пяти лет эксплуатации объекта. В результате было получено, что зависимость средней стоимости объекта от числа экспериментов (см. рис. 5) показывает стабилизацию результатов с погрешностью менее 5 процентов при числе экспериментов равным 100. С ростом количества экспериментов погрешность уменьшается, и среднее значение стабилизируется около числа 3 208.
£ 3 225
0
1 3 220 о
^ 3 215 к к
5 3 210 ° 3 205
3 200
000000000000 00000000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 т-смс0^-юс01^000»0т-
Рис. 5. Зависимость средней стоимости объекта (долл./м2) от числа испытаний при
трехлетней эксплуатации
Описательная статистика для различных сроков эксплуатации объекта (три и пять лет) и различного числа испытаний (10 000 и 100) представлена в таблице 4.
Из таблицы 4 видно, что зависимость средней цены объекта от срока его эксплуатации существует, но весьма незначительная (погрешность не превышает 1 процент). При моделировании это позволяет использовать небольшие сроки эксплуатации, при которых прогнозные значения являются более надежными. Последнее имеет большое значение именно сейчас, во время финансовой нестабильности на рынке недвижимости, когда условия прогнозирования в долгосрочном периоде объективно затруднены. Заметим, что применение доходного подхода и краткосрочное прогнозирование рекомендованы в докладах XVII Международной конференции: «Оценка 2009 - проблемы и перспективы в условиях кризиса», проходившей 28 мая 2009 года в городе Санкт-Петербурге.
Таблица 4
Описательная статистика результатов моделирования стоимости объекта
Статистические характеристики результатов моделирования Срок эксплуатации, годы
3 3 5 5
Среднее 3 208,71 3 215,008 3 221,127 3 229,746
Стандартная ошибка 3,053399 30,62954 3,283744 31,43972
Медиана 3 192,372 3 213,55 3 202,875 3 247,848
Стандартное отклонение 305,3399 306,2954 328,3744 314,3972
Дисперсия выборки 93 232,47 93 816,88 107 829,7 98 845,6
Эксцесс 0,106659 -0,3206 0,173366 -0,00265
Асимметричность 0,277834 0,074095 0,314437 0,089284
Интервал 2 727,719 1 603,1 2 916,004 1 732,06
Минимум 1 894,664 2 498,113 1 900,315 2 498,763
Максимум 4 622,383 4 101,213 4 816,318 4 230,822
Сумма 32 087 105 321 500,8 3221 1271 322 974,6
Число испытаний 10 000 100 10 000 100
Уровень надежности (95,0%) 5,985277 60,77565 6,436798 62,38322
Наблюдается слабая зависимость средней цены объекта от числа экспериментов (погрешность не превышает 1 процент), что позволяет обходиться меньшими объемами вычислений. Сравнение остальных соответствующих статистических показателей также показывает малое расхождение.
Проверка гипотезы о нормальности моделируемой стоимости для трех лет эксплуатации объекта и при ста измерениях по критерию Хи-квадрат на 5-процентном уровне значимости дала положительные результаты (наблюдаемое значение статистики оказалось меньше критического). Подтвержденная нормальность результатов моделирования позволяет обоснованно строить доверительные интервалы для средней стоимости и при необходимости проводить дальнейшие исследования. Доверительные интервалы (диапазоны) для возможных значений стоимости недвижимости представлены в таблице 5.
Таблица 5
Доверительные интервалы стоимости объекта недвижимости
t Вероятность, % Граница
левая правая
1 68,27 2 908,712 3 521,303
2 95,45 2 602,417 3 827,599
3 99,73 2 296,122 4 133,894
Отметим, что с ростом количества вычислений распределение моделируемой стоимости перестает быть нормальным.
Результаты проведенного моделирования согласуются с результатами оценивания стоимости объектов недвижимости, полученными в рамках сравнительного подхода: доверительный интервал для средней стоимости, полученный при применении сравнительного подхода по регрессионной модели включается в доверительный интервал, построенный с использованием доходного подхода. В качестве итоговой величины искомой рыночной
стоимости можно выбрать пересечение доверительных интервалов, полученных в рамках сравнительного и доходного подходов.
Условия применимости формулы дисконтированных денежных потоков
В ходе анализа результатов исследования возник вопрос об условиях использования соотношения (1) при моделировании. Основные вопросы, которые нуждались в выяснении, формулировались относительно диапазонов изменения параметров, их взаимозависимостей и тенденций изменения. Для получения ответов был проведен необходимый анализ представленной зависимости. Анализ проводился по принципу «от простого - к сложному». На первом шаге рассматривалась зависимость следующего вида:
1 (1 + У0 У (1 + У0 )п
(2)
Такая модель зависимости соответствует рынку с постоянной арендной ставкой, нормой отдачи и не меняющейся стоимостью объекта. Разрешая это равенство относительно У0, получаем достаточно простую зависимость:
(3)
Вопрос о необходимости моделирования этого соотношения оставляем открытым. На следующем шаге рассматривалась зависимость следующего вида:
= 1М±4.+
0 /=1 (1 + У0 у (1 + У0 )п.
(4)
В этом случае предполагается, что арендная ставка изменяется. Обычно увеличивается (на растущем рынке), но может и снижаться (во время спада). Стоимость объекта не меняется. Насколько возможна подобная ситуация на рынке? Ответ на этот вопрос не входит в рассматриваемую задачу. Целью исследования является выявление соотношения между параметрами д и У0. Разрешая последнее соотношение относительно У0, получим зависимость:
А
1 + 9
ґ А \П
1 + 9
ч1 + Пу
-1
1-
1
(1+х> )п
(5)
Если д > У0, то оценка стоимости будет сильно зависеть от срока эксплуатации объекта. Так, при Ат = 200 долл./м2, У0 = 5%, д = 8% была получена зависимость, показанная в таблице 6.
Таблица 6
Зависимость стоимости объекта от времени эксплуатации при д > У0
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
V, 4 320 4 488 4 663 4 844 5 031 5 224 5 425 5 632 5 846 6 068 6 297 6 535 6 780
Очевидно, что при таких соотношениях параметров моделирование рассматриваемой зависимости не позволит получить разумные результаты.
Если соотношение противоположно, то есть д < У0, то получаем сходящийся ряд и зависимость от срока эксплуатации уже не будет столь сильной. Так, при Ат = 200 долл./м2, У0 = 25%, д = 2% было получено соответствие, показанное в таблице 7.
Таблица 7
Зависимость стоимости объекта от времени эксплуатации при д < У0
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
V0 816 823 830 836 842 847 852 856 860 864 867 869 872
Причем предельное значение стоимости равно 887.
Характерной ситуацией для рынка является «однонаправленное» изменение арендных ставок и реверсии объекта. В связи с этим имеет смысл рассмотреть зависимость следующего вида:
,»Д, (1 + я)' + V0 (1 + я)”
- (1+у) + (1+у)п . (6)
То есть можно предположить, что изменение стоимости объекта пропорционально изменению стоимости аренды: 1+ Д = (1 + д )п. В этом случае выражение для стоимости будет являться известной формулой Гордона:
1 + д
V = Атттд. (7)
*о У
Отметим, что такой же результат получается из выражения (5) при п ^ °о и из выражения (6) при любом целом положительном п, а также при п ^ °о и д < У0.
Очевидно, что последнее соотношение имеет право на модельную реализацию только в условиях д < У0. Моделирование проводилось в предположении нормального распределения исходных параметров и задавалось через среднее значение и среднее квадратическое отклонение (см. табл. 8). Здесь и далее величины д, У0, Кое,, Ку, А представлены в долях единицы.
Таблица 8
Параметры моделирования
Характеристики распределения Ат, р/м2 д X,
Среднее 1 100 0,05 0,25
Среднее квадратическое отклонение 33,3 0,0167 0,0167
Отметим, что оценку параметров таблицы 8 можно осуществлять разными способами, анализируя тенденции рынка недвижимости. Так, среднее значение можно определять по тренду, а среднеквадратическое отклонение - исходя из разброса значений. Описательная статистика для тысячи вычислений приведена в таблице 9.
Таблица 9
Описательная статистика результатов моделирования
Статистические характеристики результатов моделирования Значение
Среднее 5 864,4
Стандартная ошибка 26,6
Медиана 5 768,5
Стандартное отклонение 843,1
Дисперсия выборки 71 0918,9
Эксцесс 1,3
Асимметричность 0,81
Интервал 5 966,6
Минимум 3 807,8
Максимум 9 774,5
Сумма 5 864 436,1
Число испытаний 1 000
Гистограмма частот цен представлена на рисунке 6.
300
250
200
150
100
50
0
XI
I —Т"*—Т"*—Т"*——■ I ■ ■ I I
СОСЧСОО^СОООІ^т-ЮФеО ОЮ^^ООСЧІ^^СОО^^ ООСООО^^ЮОСО^І^СЧІ^ СО^^ЮЮСОІ— І— оооооо
Рис. 6. Гистограмма стоимости объекта, р./м2
Проверка гипотезы о нормальности результатов моделирования по критерию Хи-квадрат дала отрицательный результат на пятипроцентном уровне значимости (наблюдаемое значение статистики значительно превосходит критическое значение). Причем при проведении ста измерений гипотеза о нормальности результатов моделирования принимается (наблюдаемое значение статистики меньше критического). Соответствующая описательная статистика приведена в таблице 10, а гистограмма - на рисунке 7.
С учетом коэффициента операционных расходов и коэффициента недозагрузки моделируемая зависимость принимает следующий вид:
V=лт (1-к )(1-кое) -1+дд. (8)
^0 д
Исходные данные представлены в таблице 11.
Таблица 10
Описательная статистика результатов моделирования
Статистические характеристики результатов моделирования Значение
Среднее 5 933,0
Стандартная ошибка 88,1
Медиана 5 853,5
Стандартное отклонение 881,1
Дисперсия выборки 776 456,2
Эксцесс -0,22
Асимметричность 0,42
Интервал 4 189,9
Минимум 4 286,3
Максимум 8 476,2
Сумма 593 309,2
Число испытаний 100
25
20
15
10
5
0
—^—■—і———і———і———і———і———і———і———і—■—■—і
4 286 4 834 5 383 5 931 6 479 7 027 7 575 8 123 8 671
Рис. 7. Гистограмма стоимости объекта, р./м2
Параметры моделирования
Таблица 11
Характеристики распределения Ат, р/м2 д К ое К, У7
Среднее 1 100 0,05 0,25 0,15 0,15
Среднее квадратическое отклонение 33,3 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167
Результаты моделирования в этом случае сильно отличаются от нормального при проведении как 1 000, так и 100 вычислений. Это закономерно, так как при моделировании перемножаются случайные показатели, а для получения нормального распределения желательно их суммировать. Возможно, при моделировании имеет смысл не вводить дополнительные параметры (Кое, Ки), влияющие на окончательную стоимость арендной ставки (Ат), а учесть влияние всех рыночных составляющих через параметры моделируемой ставки, например задавая смещенное значение среднего и большее отклонение.
Поскольку идея использования случайности состоит как раз в том, что не надо учитывать сложные, порой неопределяемые взаимосвязи, влияющие на наблюдаемый результат (в данном случае арендная ставка), необходимо правильно задать распределения результирующего признака.
На следующем шаге моделировалась исходная зависимость (1) при следующих предположениях. Параметры Ат, Кое, Ку случайны, но не зависят от времени. Параметры У0 и д также случайны и могут меняться во времени. При этом необходимо выявить тренды изменения средних значений ценообразующих параметров, что позволит сузить диапазоны возможных значений этих параметров.
Были рассмотрены три случая:
• случай 1 - параметры для каждого момента различны, но тенденция отсутствует;
• случай 2 - параметры имеют положительную тенденцию к росту;
• случай 3 - параметры имеют отрицательную тенденцию.
Распределение всех параметров предполагалось нормальным и задавалось средним значением и средним квадратическим отклонением. Среднее значение прироста стоимости объекта за период эксплуатации А вычислялось как накопленный прирост стоимости
п
за период А ср =П (1 + сР) -1. Это предположение является существенным, так как позво-
I=1
ляет моделировать разброс, не вступая в противоречие с общей тенденцией рынка. Рассмотрим каждый из указанных случаев.
Случай 1. Стабильно не меняющийся рынок Исходные данные представлены в таблице 12.
Таблица 12
Параметры моделирования для трех лет эксплуатации
Характеристики распределения Ат, р/м2 К ое К V ді д2 дз Х01 Х02 Х03 4
Среднее 1 100 0,15 0,15 0,05 0,05 0,05 0,25 0,25 0,25 0,157
Среднее квадратическое отклонение 33,3 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167 0,0167 0,015
Статистика результатов моделирования для трех и пяти лет эксплуатации объекта для ста и тысячи вычислений приводится в таблице 13.
Таблица 13
Описательная статистика результатов моделирования
Статистические характеристики результатов моделирования Срок эксплуатации, годы
3 3 5 5
Среднее 4 153,9 4 193,0 4 150,9 4 187,0
Стандартная ошибка 26,0 9,2 24,7 8,3
Медиана 4 128,1 4 176,2 4 102,5 4 172,4
Стандартное отклонение 260,3 292,0 247,3 262,7
Дисперсия выборки 6 7788,2 85 296,5 61 166,2 69 025,1
Эксцесс -0,33 -0,02 -0,05 -0,10
Асимметричность 0,11 0,13 0,37 0,14
Интервал 1 208,0 1 819,5 1 245,1 1 547,3
Минимум 3 550,9 3 327,7 3 568,5 3 488,6
Максимум 4 759,0 5 147,2 4 813,6 5 036,0
Сумма 415 390,7 4 193 049,6 415 097,1 4 187 051,9
Число испытаний 100 1 000 100 1 000
Разница в оценке средней стоимости объекта не превосходит одного процента, как по количеству вычислений, так и по срокам эксплуатации. Разброс возможных значений стоимости увеличивается с увеличением числа измерений, все результаты моделирования имеют нормальное распределение на 5-процентном уровне значимости. Отметим также, что результаты всех измерений удовлетворяют и логнормальному распределению на 5-процентном уровне значимости.
Случай 2. Растущий рынок
Исходные данные растущего рынка представлены в таблице 14.
Таблица 14
Параметры моделирования для трех лет эксплуатации объекта на растущем рынке
Характеристики распределения Ат, р/м2 К ое К V ді д2 дз *01 *02 *03 4
Среднее 1 100 0,15 0,15 0,05 0,1 0,12 0,2 0,25 0,28 0,2936
Среднее квадратическое отклонение 33,3 0,0167 0,0167 0,005 0,01 0,012 0,02 0,025 0,028 0,02936
Тенденции роста средних годовых показателей темпа арендной стоимости и нормы отдачи для пятилетнего горизонта представлены на рисунке 8.
1 2 3 4 5 годы
------д ------Уо
Рис. 8. Тренды среднегодовых изменений темпов прироста арендной стоимости (д) и
нормы отдачи (У0) на растущем рынке3
Ситуация остается корректной для моделирования, если в прогнозном периоде выполнено условие д < У0.
3 Здесь и далее на аналогичных графиках по вертикальной оси отложены изменения показателей в долях к предыдущему году.
Статистика результатов моделирования для трех и пяти лет эксплуатации для ста и тысячи вычислений на растущем рынке приводится в таблице 15.
Таблица 15
Описательная статистика результатов моделирования на растущем рынке
Статистические характеристики результатов моделирования Срок эксплуатации, годы
3 3 5 5
Среднее 5 715,3 5 748,4 5 648,4 5 611,2
Стандартная ошибка 60,4 20,6 60,5 17,3
Медиана 5 701,7 5 721,9 5 484,8 5 563,9
Стандартное отклонение 604,7 650,6 605,6 547,1
Дисперсия выборки 365 753,0 423 328,9 366 821,6 299 354,7
Эксцесс 1,22 0,41 0,96 0,50
Асимметричность 0,63 0,47 0,86 0,55
Интервал 3 338,1 4 416,4 3 386,8 3 617,2
Минимум 4 452,9 4 025,9 4 478,9 4 248,4
Максимум 7 791,1 8 442,3 7 865,7 7 865,7
Сумма 571 539,2 57 48416,5 564 843,2 5 611 209,8
Число испытаний 100 1 000 100 1 000
Разница в оценке среднего не превосходит двух процентов как по времени эксплуатации, так и по числу испытаний. Результаты всех измерений соответствуют логнормальному распределению на пятипроцентном уровне значимости. Нормальному распределению по критерию Хи-квадрат удовлетворяют только результаты для трех лет эксплуатации при проведении ста испытаний.
Случай 3. Падающий рынок
Исходные данные падающего рынка представлены в таблице 16.
Таблица 16
Параметры моделирования для трех лет эксплуатации на падающем рынке
Характеристики распределения Ат, р/м2 К ое К V ді д2 дз *01 *02 *03 4
Среднее 1 100 0,15 0,15 0,05 0,01 -0,02 0,2 0,15 0,12 0,03929
Среднее квадратическое отклонение 33,3 0,0167 0,0167 0,005 0,001 0,002 0,02 0,015 0,012 0,003929
Тенденции падения средних годовых показателей темпа арендной стоимости и нормы отдачи для пятилетнего горизонта представлены на рисунке 9.
Ситуация остается корректной для моделирования, если показатель нормы отдачи падает медленнее и остается больше, чем коэффициент изменения аренды.
Статистика результатов моделирования для трех и пяти лет эксплуатации для ста и тысячи вычислений на падающем рынке приводится в таблице 17.
Рис. 9. Тренды среднегодовых изменений темпов прироста арендной стоимости (д) и
нормы отдачи (У0) на падающем рынке
Таблица 17
Описательная статистика результатов моделирования на падающем рынке
Статистические характеристики результатов моделирования Срок эксплуатации, годы
3 3 5 5
Среднее 5 658,5 5 669,0 5 544,0 5 597,0
Стандартная ошибка 44,3 14,1 35,5 11,2
Медиана 5 644,9 5 638,9 5 498,0 5 590,0
Стандартное отклонение 443,2 447,4 355,0 354,9
Дисперсия выборки 196 446,2 200 234,2 126 037,3 125 986,9
Эксцесс -0,32 0,51 0,11 0,05
Асимметричность -0,003 0,37 0,47 0,23
Интервал 2 118,0 3 488,7 1 699,19 2 068,2
Минимум 4 732,4 4 297,3 4 897,23 4 729,5
Максимум 6 850,4 7 786,0 6 596,42 6 797,8
Сумма 565 855,9 5 669 060,1 554 403,4 5 597 016,6
Число испытаний 100 1 000 100 1 000
Разница в оценке среднего примерно 2,2 процента как по времени эксплуатации, так и по числу экспериментов. Результаты всех измерений соответствуют логнормальному распределению на 5-процентном уровне значимости. Нормальному распределению удовлетворяют результаты ста измерений для обоих сроков эксплуатации.
Моделирование для оценки стоимости недвижимости в случае отступления от выдвинутых предположений о сбалансированном изменении ценообразующих параметров д, У0, Л может привести к неверным результатам как в отношении рыночных тенденций, так и с точки зрения здравого смысла. Так, если темп изменения аренды превышает темп изменения нормы отдачи (см. рис. 10 и табл. 18), то при моделировании получаются отрицательные значения стоимости объекта (среднее значение равно -13 856,9), что сложно объяснить с позиций инвестирования.
Таблица 18
Параметры моделирования для трех лет эксплуатации на «неправильном» рынке
Характеристики распределения Ат, тр р./м2 Кое К ді д2 дз *01 *02 * 0з А
Среднее 1 100 0,15 0,15 0,11 0,15 0,17 0,05 0,08 0,095 0,49
Среднее квадратическое отклонение 33,3 0,0167 0,0167 0,011 0,015 0,017 0,005 0,008 0,0095 0,049
1 2 3 годы
-----9 ------У
Рис. 10. «Неправильные» тренды среднегодовых изменений темпов прироста арендной
стоимости (д) и нормы отдачи (У0)
Если тенденции изменения нормы отдачи и коэффициента аренды разнонаправлены (см. рис. 11 и табл. 19), то моделирование приводит к неверным результатам.
9 -----У
Рис. 11. Разнонаправленные тренды среднегодовых изменений темпов прироста
арендной стоимости (д) и нормы отдачи (У0)
Не приведенные в таблице 19 параметры те же, что и в таблице 18. Среднее значение
оказалось положительным (22715,1), но значительно увеличился разброс модельных значений стоимости: от минус 5 464 355,2 до плюс 4 070 472,3. Интерпретировать эти результаты весьма непросто.
Таблица 19
Параметры моделирования для трех лет эксплуатации при разнонаправленных тенденциях
Характеристики распределения д1 д2 дз д.4 д5 *01 *02 *0з *04 *05 4
Среднее 0,05 0,08 0,095 0,1 0,11 0,12 0,1 0,09 0,08 0,075 0,51
Среднее квадратическое отклонение 0,005 0,008 0,0095 0,01 0,011 0,012 0,01 0,009 0,008 0,0075 0,051
Выводы
Метод имитационного моделирования для расчета стоимости объектов недвижимого имущества по зависимостям (1) и (2) осуществляется при соблюдении ряда условий.
В качестве значений ценообразующих факторов, используемых в моделях дисконтированных денежных потоков целесообразно выбирать рыночные прогнозные значения, полученные с помощью выявленных тенденций. Это позволяет учесть стохастические зависимости между факторами. Как дальнейшее развитие метода, возможно, имеет смысл использовать прогнозные значения для каждого периода эксплуатации в отдельности, получаемые по вычисленным трендам тем или иным методом (временной ряд, регрессионные зависимости).
При применении доходного подхода оценщикам приходится работать с прогнозами, однако угадать заранее, как рынок поведет себя в будущем, проблематично. Он может долго стабильно расти, затем относительно недолго, но монотонно падать, могут быть непродолжительные коррекции. Все это надо талантливо угадывать, прогнозировать. В зависимости от этих прогнозов будет складываться величина стоимости. Включение нуля в прогнозный ценовой диапазон темпа изменения арендных ставок (д) и темпа изменения стоимости реверсии говорит о том, что прогнозируются как рост, так и падение рынка. Смещение середины интервала от нуля говорит о предпочтениях: отдается предпочтение росту или падению рынка.
Соотношения входных (экзогенных) параметров должны удовлетворять условиям сходимости ряда (2). В частности, показатель ежегодного увеличения арендной стоимости д должен быть меньше нормы отдачи на капитал У0.
Стоимость реверсии объекта (Д - прирост стоимости объекта за период эксплуатации) должна быть пропорциональна изменению стоимости аренды за тот же срок эксплуатации.
Для получения объективных значений экзогенных параметров модели (2) необходимо проводить анализ и мониторинг рынка, возможно, с учетом макроэкономических показателей. Это позволит выявить имеющиеся тренды, определить тенденции и учесть взаимосвязи между параметрами модели.
Следует использовать нормальное распределение факторов с соответствующей эмпирической (рыночной) оценкой параметров распределения, что более соответствует реальной ситуации: равномерность, как правило, в реальных условиях не встречается, а в пользу нормального распределения свидетельствуют как общая статистическая теория, так и практика анализа рынка - крайние значения факторов встречаются гораздо реже, чем средние.
Как правило, результаты моделирования удовлетворяют логнормальному распределению при проведении 1 000 и 100 измерений, причем объемы в 100-200 измерений чаще удовлетворяют нормальному распределению результативного признака. В большинстве случаев объем моделирования можно ограничить 100 измерениями.
При моделировании имеет смысл использовать небольшие сроки эксплуатации, при которых прогнозные значения являются более надежными. Последнее имеет большое значение именно сейчас, во время финансовой нестабильности на рынке недвижимости, когда условия прогнозирования в долгосрочном периоде объективно затруднены.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейман Е. И. Стоимостной анализ как основа новой системы экономических измерений // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2009. № 2.
2. Нейман Е. И. Стоимостной анализ в сфере антикризисного управления // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2009. № 4.
3. Нейман Е. И. Предложения по методологии переоценки портфеля кредитов под залог недвижимого имущества в условиях кризиса // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2009. № 10.
4. Стерник Г. М., Стерник С. Г. Типология рынков недвижимости по склонности к образованию ценовых пузырей // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2009. № 8.
5. Лейфер Л. А., Вожик С. В., Дубовкин А. В. Практика использования имитационного моделирования для прогнозирования денежных потоков предприятия и анализа рисков при оценке бизнеса // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2003. № 4.
6. Озеров Е. С. Экономический анализ и оценка недвижимости. СПб. : Издательство «МКС», 2007.
7. Пупенцова С. В. Модели и инструменты в экономической оценке инвестиций. СПб. : Издательство «МКС», 2007.
8. Грибовский С. В. Математические методы оценки стоимости недвижимого имущества : учебное пособие / С. В. Грибовский, С. А. Сивец ; под ред. С. В. Грибовского, М. А. Федотовой. М. : Финансы и статистика, 2008.
ЮРИДИЧЕСКИЕ СЕМИНАРЫ ДЛЯ ПРОФЕССИОНАЛОВ
НЕДОБРОСОВЕСТНЫЕ ПОСТАВЩИКИ: как сохранить вычеты, уйти от ответственности
1 июня
2-4 июня
ВНЕШНЕТОРГОВЫЙ КОНТРАКТ: особенности правового регулирования и арбитражная практика
7-9 июня
ДОГОВОРЫ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ:
новое в правовом регулировании и судебная практика
8 9 июня Практика применения 94-ФЗ «0 размещении заказов на поставки товаров,
выполнение работ, оказание услуг для государственных и муниципальных нужд»
то-п июня ИСПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВОДСТВО: комментарий изменений законодательства. Обращение взыскания на отдельные виды имущества должника
10-11 июня
ЗАКОН 0 ЗАЩИТЕ КОНКУРЕНЦИИ: комментарий изменений законодательства и практика применения
15-18 июня
17-18 июня
17-18 июня 21-22 июня
22 июня
23-24 июня
БАНКРОТСТВО ПРЕДПРИЯТИЙ:
изменения законодательства и арбитражная практика
ОБОРОТ ЗЕМЕЛЬНЫХ УЧАСТКОВ: правовое регулирование и судебная практика
ВЕКСЕЛЬНОЕ ОБРАЩЕНИЕ: правовые основы и налогообложение
ТРУДОВОЙ КОДЕКС РФ: профессиональный комментарий судебной практики
ДОГОВОРЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ: правовое регулирование и арбитражная практика
ИПОТЕКА (ЗАЛОГ НЕДВИЖИМОСТИ):
правовое регулирование и комментарий судебной практики
СТРІТУТ
ШКОЛА ПРАВА
і
ТЕЛЕФОН:
436-08-65
E-MAIL:
INTERNET:
www.statut.ru
L
