CC BY
184
Практика использования нелинейных регрессионных моделей в оценке
В.Б. Михайлец
начальник отдела оценки недвижимого имущества ООО «Спецоценка», член Экспертного совета Российского общества оценщиков, доцент, кандидат технических наук (г. Москва)
Владимир Борисович Михайлец, [email protected]
Введение
В статье речь пойдет о некоторых практических приемах оценки объектов различной природы с помощью построения регрессионных моделей. На протяжении нескольких лет эти приемы используются в практике, и имеется уже небольшой опыт, который, возможно, может быть полезен при проведении оценочных работ.
Надо заметить, что в настоящее время далеко не все оценщики, мягко говоря, положительно относятся к использованию статистических методов в оценке. Об этом свидетельствуют жаркие споры, часто возникающие на популярных оценочных форумах. Противники использования регрессионных моделей в оценке с недоверием относятся к таким моделям из-за трудностей обеспечения принципа проверяемости, поскольку результаты оценки получаются путем сложных и непонятных расчетов, не укладывающихся в рамки привычных корректировочных таблиц сравнительного подхода (см. табл. 1).
Таблица 1
Типовая корректировочная таблица
Рассматриваемые объекты Объект оценки Аналог № 1* Аналог № 2* Аналог № п*
Наименование Административное здание Административное здание Административное здание Административное здание
Характеристика Административное, нежилое, 5-этажное, общая площадь 2026 кв.м Комплекс-здание (3 540,1 кв.м) Общая площадь объекта 1815,5 кв.м. Полезная площадь Общая площадь объекта 1815,5 кв.м. Полезная площадь
Вид права на землю Аренда Аренда Аренда Аренда
... ... 1 ... і ..
Цена предложения млн р. 70 54 64
Дата предложения 17.04.2009 12.04.2009 12.04.2009
Источник информации - http:\\www.ufa-n. ги http:Wwww.big- doska.ru http:Wwww.big- doska.ru
Корректировка на дату предложения, разы 1 1 1
Объяснение корректировки - Даты предложения и оценки совпадают Даты предложения и оценки совпадают Даты предложения и оценки совпадают
Скорректированная цена, млн р. 70 54 64
... 1 ... I . ...
Корректировка на состояние и уровень отделки, р. 4 049 950
Объяснение корректировки Типичная офисная отделка (материалы + работа) 200-500 долл./кв. м Добавлена примерная стоимость отделки - -
Скорректированная цена, р. - 74 049 950 63 180 000 64 000 000
Среднее значение, р. 66 800 000
* В корректировочной таблице даны оригинальные описания аналогов, размещенные в реальных источниках - объявлениях в прессе. Стиль, орфография и пунктуация авторов объявлений сохранены.
Кроме этого, негативное отношение к использованию регрессионных моделей обусловлено тем, что для оценки с применением таких моделей необходимо подбирать большее, чем обычно, число аналогов, сложно учитывать влияние значительного числа ценообразующих факторов на стоимость и т. д. Многие считают, что регрессионные модели неприменимы для оценки по причине невозможности учета мотиваций покупателя и продавца применительно к конкретному объекту оценки. Некоторые оценщики убеждены, что все методы сравнительного подхода играют второстепенную и даже вредную роль в оценке, так как в них не принимаются во внимание некие экономические аспекты, оценка с их использованием способствует спекуляции, а значит, развитию кризисных явлений в экономике.
Сторонники использования регрессионных моделей для оценки, в свою очередь, с недоверием относятся к результатам расчетов стоимости с помощью широко известных корректировочных таблиц. Основные претензии предъявляются к необоснованности или использованию «чужих» закономерностей для поправок цен аналогов на различия в значениях ценообразующих факторов аналогов и объекта оценки, к высокой степени субъективности при определении значений тех или иных поправок и т. д. Недостатком традиционных методик, основанных на использовании корректировочных таблиц, способным серьезно повлиять на результаты оценки, считается невозможность адекватного учета ценообразующей роли двух и более факторов. Характерный пример: при оценке единых объектов недвижимости, включающих земельные участки и строения, оценщики часто заходят в тупик, не зная, что делать с аналогами, имеющими разные площади строений и земельных участков.
Вместе с тем использование регрессий в практике оценки далеко от совершенства.
Первой и самой распространенной ошибкой начинающих оценочных аналитиков является стремление учесть как можно больше ценообразующих факторов при построении модели зависимости ценового параметра (цены, удельной цены) от ценообразующих факторов (площадей, расстояний, качества и т. п.). Поскольку аналогов (экспериментальных данных), как правило, удается найти всего лишь несколько, в процессе расчетов возни-
кают вычислительные сложности (плохая обусловленность матриц и т. п.), а результаты моделирования не отвечают требованиям практики. Надо добавить также, что если число учитываемых факторов больше двух, то усложняется и даже становится невозможным обеспечение наглядности эмпирических зависимостей, получаемых с помощью графиков, что в еще большей степени заставляет относиться к результатам моделирования как к «коту в мешке». В общем, имеем типичный случай столкновения с так называемым «проклятьем размерности», когда мало того, что практически нельзя вообразить поверхности в многомерном пространстве, так еще и для их построения требуется огромное число экспериментальных данных (аналогов).
Вторая ошибка начинающих аналитиков - восприятие объекта оценки как «черного ящика». Никакие априорные предположения о характере влияния ценообразующих факторов на ценовые параметры при этом не принимаются, а модель получается такой, как под воздействием значений ценообразующих факторов в конкретном случае. И это несмотря на то, что типичный характер зависимостей по данным предыдущих наблюдений или с точки зрения здравого смысла - другой. Обычно используются линейные модели:
ц = ь0 + Х*Л; (1)
/=1
или
ц=ь п ф?- . (2)
I=1
где Ц - ценовый параметр;
Ь; - коэффициенты регрессии (искомые параметры);
Ф; - ценообразующие факторы (элементы сравнения);
п - число ценообразующих факторов.
Третьей ошибкой является стремление к уменьшению суммарной ошибки моделирования (так называемой «точности» моделирования) путем простого усложнения вида аппроксимирующих формул без учета типичного характера зависимостей по данным предыдущих наблюдений. Например, в выражениях (1) и (2) используют функции от ценообразующих факторов Ф: степени (Фа), произведения (Ффк), тригонометрические функции, полиномы и т. п. В результате при расчетах получаемые модели с удивительной «точностью» дают значения ценовых параметров аналогов (экспериментальных данных) и совершенно несуразные значения ценовых параметров оцениваемого объекта.
В целом наряду с недостатками и традиционные корректировочные таблицы, и регрессионные модели имеют массу преимуществ. Нельзя ли объединить эти преимущества, чтобы удовлетворить требования противников и сторонников регрессионных моделей?
Корректировочная таблица для снижения размерности модели
Предлагается не отвергать корректировочную таблицу, а использовать ее для снижения размерности регрессионных моделей. Иными словами, предлагается ничего не менять в богатой практике использования корректировочных таблиц, кроме одного: поправки обычными методами на отличия объекта оценки от аналогов по одному-двум, максимум трем самым главным ценообразующим факторам не производить, а использовать для этого регрессионные модели. По всем остальным факторам поправки выполнять обычным порядком.
Почти четырехлетний опыт оценки различных объектов недвижимости таким комбинированным способом в рамках сравнительного подхода показал абсолютно спокойное восприятие результатов заказчиками оценки, а также то, что молодые оценщики легко обучаются предлагаемой схеме оценки и быстро привыкают к ней.
Приведем извлечения из отчета, в котором рыночная стоимость объекта недвижимости определялась комбинированным способом.
Фрагмент отчета об оценке рыночной стоимости объекта недвижимости
комбинированным способом
Основными методами сравнительного подхода являются:
• метод сравнительного анализа продаж;
• метод регрессионных моделей и др.
В данной оценочной работе использован комбинированный метод оценки, включающий методы сравнительного анализа продаж и регрессионных моделей.
Суть комбинированного метода состоит том, что единицы сравнения (ценовые показатели) вначале корректируют в зависимости от соотношения характеристик объекта оценки и объекта-аналога, несущественно влияющих на эти самые единицы сравнения, и для корректировок используются соответствующие шкалы корректировок или известные из опыта закономерности взаимосвязей единиц сравнения (ценовых показателей) с элементами сравнения (ценообразующими факторами). Согласование же результатов корректирования значений единиц сравнения по выбранным объектам-аналогам выполняется с помощью регрессионных моделей, связывающих единицы сравнения (ценовые показатели) с наиболее значимыми элементами сравнения (ценообразующими факторами), такими, например, как объемно-массовые показатели, показатели производительности и т. п.
Обоснование схемы согласования скорректированных значений единиц сравнения и
скорректированных цен объектов-аналогов
Согласование скорректированных значений единиц сравнения (ценовых показателей) может быть осуществлено с помощью следующих методов (схем):
а) осреднение результатов корректировки значений единиц сравнения (ценовых показателей) объектов-аналогов путем вычисления средних:
• среднего арифметического значений ценовых показателей (применяется, когда результаты корректировок единиц сравнения считаются равнозначными);
• среднего геометрического или гармонического значений ценовых показателей (применяется, когда результаты корректировок единиц сравнения считаются равнозначными, но по каким-то соображениям требуется получить заниженное среднее значение);
• среднего квадратического значений ценовых показателей (применяется, когда результаты корректировок единиц сравнения считаются равнозначными, но по каким-то соображениям требуется получить завышенное среднее значение);
• средневзвешенного значений ценовых показателей (применяется, когда результаты корректировок единиц сравнения считаются неравнозначными);
б) построение регрессионной модели зависимости единицы сравнения (ценового показателя) от ж-элементов сравнения (ценообразующих факторов), по которым корректировки с помощью шкал и известных закономерностей не проводились, причем если п = 1, то используется одномерная регрессионная модель, если п = 2 — двухмерная, если п = 3 — трехмерная, если п = т — т-мерная модель (модели могут быть линейными или нелинейными в зависимости от вида многомерной поверхности, объясняющей характер взаимосвязей).
В данной оценочной работе для согласования скорректированных значений единиц сравнения (ценовых показателей) использовался метод (схема) регрессионной модели, поскольку существенные элементы сравнения (ценообразующие факторы) различных объектов-аналогов имеют различные значения (например площади), а аналитические зависимости между ними для конкретной ситуации
оценки неизвестны. Использование взаимосвязей, характерных для рынка вообще или отдельных его сегментов (такие взаимосвязи представлены в различных обзорах), может привести к серьезным ошибкам оценки.
Результаты поиска аналогов, анализа и корректировок значений единицы сравнения (цен предложений) и согласование результатов корректирования значений единиц сравнения по выбранным объектам-аналогам приведены в таблице 1-О.
Примечание. На этапе сбора исходной информации не удалось найти данные о сделках купли-продажи объектов, сходных с оцениваемым по назначению и степени строительной готовности. В связи с этим при сравнительном анализе оценщик опирался на цены предложений подобных объектов, близких по своим характеристикам с оцениваемым объектом. Такой подход оправдан, так как потенциальный покупатель, прежде чем принять решение о покупке недвижимости, проанализирует рыночные предложения и придет к заключению о возможной цене предлагаемого объекта, учитывая все его достоинства и недостатки относительно объектов-аналогов.
Пояснения корректировок цен аналогов, выполненных в таблице 1-0
1. Корректировка на дату предложения
Для выполнения этой корректировки необходимо знать среднегодовые темпы изменения цен на недвижимость, аналогичную оцениваемой. Корректировка выполнялась с использованием функции Ехе1 «СТЕПЕНЬ»:
Цск = Ца х СТЕПЕНЬ (1 + Темп; (Дата Оценки - Дата Предложения) / 365),
где Цск — цена скорректированная;
Ца — цена аналога.
В представленной оценочной работе корректировка на дату предложения не понадобилась, так как почти все даты оценки и даты предложения совпадали. Кроме того, учтены кризисные явления на рынке недвижимости.
2. Корректировка на степень строительной готовности аналогов
Среди аналогов оцениваемого объекта могут быть незавершенные строительные объекты с разной степенью незавершенности. Для приведения цен таких аналогов к сопоставимым значениям используется формула:
Цк = Ца / Г
где Цск — цена скорректированная (предыдущими корректировками) аналога;
Г — строительная готовность аналога (степень завершенности строительства),%.
В представленной работе корректировка на степень строительной готовности аналогов не применялась, так как все аналоги находятся в эксплуатации.
3. Корректировка на местоположение объекта
Корректировка на различия в местоположении объекта оценки и аналогов проводилась с учетом того, что цены на аналогичную недвижимость в городах по сравнению с населенными пунктами меньшего масштаба в 1,2—2 раза выше.
4. Корректировка на «торг»
Корректировка на «торг» принята равной 10 процентам в предположении, что в ходе переговоров между продавцом и покупателем цена предложения будет несколько снижена.
Подписка на журнал в любое время (495) 974-1945, 974-1950
Таблица 1-0
Результаты поиска аналогов, анализа и корректировок цен предложений
Объект оценки Аналог №
Наименование 1 2 12
позиции Культурно-развлекательный центр Торгово-развлекательный центр Торгово-развлекательный центр Развлекательный центр
Общая характеристика объекта* Пятиэтажный ТРК год постройки 2008 Торгово-развлекательный центр 2670 кв.м, в г.Жуковский Расположен в центре города, в проходном месте. Современный проект известного архитектора. Участок 0,3 га. Эксплуатируемая кровля 600 кв.м, 3 этажа, 3 отдельных входа, парковка, высота потолков 2,95 м. Действующий арендный бизнес (2 года). Возможно увеличение этажности и перепрофилирование объекта. Земля и здание в собственности. Цена 2 300 долл. за 1 кв.м. Автор: Екатерина Продается торгово-раз-влекательный центр в Нахабино, Московской области. ТРЦ расположен рядом с ж/д станцией, полностью сдан в аренду. Здание ТРЦ 3-х этажное, с лифтом, общая площадь 4500 кв.м. Высота потолков от 3 до 8 метров. Земельный участок 0,25 Га. Очень высокая проходимость, отсутствие значимой конкуренции. Возможна продажа как недвижимости, так и фирмы. Цена объекта: 240 000 000 рублей. Площадь: 4500,0 кв.м. Цена объекта: 7570000 иБО Цена за кв.м.: 1682 ШБ Предлагается к продаже действующий развлекательный центр в г. Серпухов Московской области. В развлекательном центре расположены: боулинг, спорт-кафе, фитнес центр, диско-клаб, ресторан, казино, гостиница. Предлагаемый к продаже развлекательный центр расположен в 5-ти этажном, отдельно стоящем здании, общей площадью 3750 кв.м. Во всех помещениях центра выполнен качественный ремонт европейского уровня, высота потолков 3,5 м. Земельный участок 0,30 Га, парковка на 150 автомобилей. Предлагаемый развлекательный комплекс - самый крупный центр развлечений в данном регионе Московской области. Окупаемость инвестиций -7 лет. Площадь: 3750,0 кв.м. Цена объекта: 7600000 ШО Цена за кв.м: 2026 ШБ
Вид права на землю Аренда Собственность Собственность Собственность
Адрес расположения объекта Московская область, Одинцовский район, город Одинцово Московская область, город Жуковский Московская область, поселок городского типа Нахабино Московская область, Серпуховский район, город Серпухов
СП
-о
ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ - ПРАКТИЧЕСКИЙ ОПЫТ
о
о
Площадь земельного участка,м2 951 3 000 2 500
Площадь застройки, м2 951 668 1 125
Общая площадь, м2 4 693,2 2 670,0 4 500,0
Цена предложения, р. 185 209 490 240 000 000
Дата предложения - 15.02.2010 15.02.2010
Источник информации - Контакты: 507-79-58 http:/ / ollx.ru/advertisement/ nesting/ 164/kind/43323/ http: / / www.zdanie. info/2387/2396
Корректировка на дату предложения, разы 0% 1,00 1,00
Объяснение корректировки Цены на недвижимость росли примерно на 0% в год (см. ячейку выше). Для корректировки использовалась функция Ехе1 «СТЕПЕНЬ», на которую умножалась цена предложения Дата предложения совпадает с датой оценки Дата предложения совпадает с датой оценки
С корректированная цена,р. 185 209 490 240 000 000
Корректировка на степень готовности, % 100 100 100
Объяснение корректировки Готовность объекта оценки 100% Готовность аналога 100% Готовность аналога 100%
С корректированная цена,р. 185 209 490 240 000 000
Корректировка на местоположение, % 0 0
Дата предложения совпадает с датой оценки
229 212 200
100
Готовность аналога 100%
229 212 200
10
№ 7 (106) 2010 ИМУЩЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ В РФ
Подписка на журнал в любое время (495) 974-1945, 974-1950
Объяснение
корректировки
С корректированная цена,р.
Корректировка на
<торг»,%
Объяснение
корректировки
С корректированная цена,р.
Корректировка на состояние и качество отделки,р.
Объяснение
корректировки
С корректированная цена,р.
Корректировка на неустранимый износ, %
Объяснение
корректировки
С корректированная цена,р.
Здание-аналог расположено примерно в таком же населенном пункте, что и оцениваемое здание
185 209 490
10
Здание-аналог расположено примерно в таком же населенном пункте, что и оцениваемое здание
240 000 000
10
Город Серпухов расположен на окраине Московской области
252 133 420
10
Использованы материалы статьи: ЛУІ. Марчук, Е^4. Бутова. Скидки на торг: реалии кризиса. URL: http://www.appraiser.ru/default.aspx?SectionId=41&Id=3000151
Типичная офисная евроотделка (200—600 долл./ кв. м)
1
Принято, что неустранимый износ объекта оценки — 1%, так как он построен в 2008 году, а срок службы таких зданий достигает 100 лет
166 688 541
166 688 541
216 000 000
37 125 000
Отделка объекта оценки лучшего качества
253 125 000
226 920 078
226 920 078
Указано экспертное значение неустранимого износа аналога по данным источников информации
169 495 926
254 158 163
230 741 890
* В корректировочной таблице даны оригинальные описания аналогов, размещенные в реальных источниках — объявлениях в прессе. Стиль, орфография и пунктуация авторов объявлений сохранены.
О
ОЦЕНКА ВСЕХ ВИДОВ СОБСТВЕННОСТИ - ПРАКТИЧЕСКИЙ ОПЫТ
Рекомендуемые значения скидок на «торг» приведены в таблице 2-О.
Таблица 2-О
Рекомендуемые значения скидок на торг, %г
Численность населенного пункта, тыс. чел. Недвижимость Земельные участки
Жилая Торговая Офисная Производственная и складская
аренда продажа аренда продажа аренда продажа аренда продажа
Более 500 8 11 13 15 14 15 13 15 15
250 - 500 6 9 11 13 12 13 11 13 13
Менее 250 6 9 11 13 12 13 11 13 13
5. Корректировка на состояние и качество отделки помещений
Корректировка проводилась исходя из примерной стоимости отделки — 200—500 долл./кв. м. Пояснения даны в таблице 1-О.
6. Корректировка на неустранимый износ Корректировка выполнялась по формуле:
ц = Ц. (1- Д К1 - ^)+ДЦ
ск 1 - НИан ан ,
где Цск — скорректированная цена;
Цан — цена аналога;
Д — доля восстанавливаемых элементов конструкции объекта в его полной стоимости (принято 70%, так как 30% от стоимости составляют фундаменты, стены, перекрытия2);
НИсб, НИан — неустранимые износы объекта и аналога соответственно (на основании результатов осмотра и изучения технической документации принято, что НИб = 30%; НИан оценивался экспертно, по данным источников информации).
Корректировка на различия в площадях строений и земельных участков аналогов и оцениваемого объекта выполнена интерполяцией с использованием методов корреляционно-регрессионного анализа. Для этого, во-первых, было установлено, что между скорректированными на торг, местоположение, состояние и т. д. ценами единых объектов, площадями строений и земельных участков имеются достаточно тесные корреляционные взаимосвязи (см. рисунки 1-О и 2-О), что говорит о весьма высокой однородности конъюнктурных предпочтений на аналогичные объекты.
Во-вторых, была найдена регрессионная зависимость цен на аналоги единых объектов (после выполненных корректировок) от площадей строений и земельных участков под застройкой (см. рисунки 3-О—5-О; для наглядности показано несколько ракурсов одной и той же зависимости) следующего вида:
сеа = ВЛПВ3*+1 + ВЛ?+1,
где Сед — рыночная стоимость единого объекта (земельного участка и строений);
Пз> По — площади земельного участка и строений;
В1 — В4 — коэффициенты регрессии (аппроксимации).
1 См. Марчук Л. Л., Бутова Е. Л. Скидки на торг: реалии кризиса. URL:http://www.appraiser.ru/default. а8рх?8ес1:юпЫ=41&Ы=3000
2 См. Складские здания // КО-ИНВЕСТ, 2008.
X
ГО
X
си
площадь земли, м
Рис. 1-О. Зависимость цен на здания от площадей земельных участков
под застройкой (Пз )
0 5 000 10 000 15 000 20 000
площадь строений, м2
Рис. 2-О. Зависимость цен на здания от площадей строений (Пс )
О 10
Рис. 3-О. Зависимость стоимостей (цен) единых объектов (Сед ) от площадей строений (Пс ) и земельных участков под застройкой (Пз ) (ракурс № 1)
Рис. 4-О. Зависимость стоимостей (цен) единых объектов (Сед ) от площадей строений (Пс ) и земельных участков под застройкой (Пз ) (ракурс № 2)
Рис. 5-О. Зависимость стоимостей (цен) единых объектов (Сед ) от площадей строений (Пс ) и земельных участков под застройкой (Пз ) (ракурс № 3)
С помощью найденной зависимости были выполнены корректировка и расчет рыночной стоимости оцениваемого здания и аналогов (табл. 3-О).
Таблица 3-О
Результаты расчета стоимости аналогов по полученному уравнению регрессии
Рассматриваемые объекты Площадь земли, м2 2 ь, д а у а ч а щ б о Скорректированная цена, р. Стоимость по уравнению регрессии, р. Погрешность аппроксимации, млн р. Предполагаемая стоимость земли, р./м2 Предполагаемая стоимость строений, р./м2
Объект оценки 951 4 693 268 943 320 28 802 51 469
о 1 3 000 2 670 169 495 926 185 647 049 -16,15 14 273 53 494
2 2 500 4 500 254 158 163 272 163 070 -18,00 15 955 51 617
3 3 000 3 750 230 741 890 238 811 246 -8,07 14 273 52 265
4 3 477 2 254 163 479 523 167 327 905 -3,85 13 042 54 118
5 10 770 16 678 863 617 609 857 428 726 6,19 6 535 47 191
6 1 000 956 77 538 600 82 795 662 -5,26 27 931 57 390
7 3 477 2 254 180 953 965 167 327 905 13,63 13 042 54 118
8 3 000 3 750 283 226 904 238 811 246 44,42 14 273 52 265
9 12 000 14 085 739 369 293 745 818 778 -6,45 6 117 47 740
10 11 190 9 180 518 640 886 522 717 320 -4,08 6 384 49 159
11 1 000 1 000 82 985 149 85 144 345 -2,16 27 931 57 213
2и 1ф Л). 1 000 щент ре 1 000 грессии 83 J 221 070 ПАРАМЕТ В 85 ГРЫ 144 345 СТАТИСТ В2 ИКИ 1,92 1 27 93 Зэ 1 57 213 В4
Значение коэффициента регрессии 1 903 238,427 -0,611135591 91 792,66795 -0,068437353
Сумма квадратов погрешностей аппроксимации, (млн р.)2 2 955,89
Таким образом, рыночная стоимость здания торгово-развлекательного комплекса по адресу: Московская область, Одинцовский район, город Одинцово, определенная с использованием методов сравнительного подхода, на дату оценки 15 февраля 2010 года составляет 268 943 320 рублей с НДС.
Как видно из приведенного фрагмента отчета об оценке рыночной стоимости объекта недвижимости, в корректировочной таблице использованы все возможные в условиях конкретной оценки поправки (корректировки) цен аналогов на отличия параметров объекта от аналогов, кроме поправок по двум главным ценообразующим факторам: площадь земли и площадь строений. С помощью двумерной регрессионной модели, построенной по скорректированным ценам аналогов, площадям их земельных участков и строений, получено значение ожидаемой рыночной стоимости оцениваемого культурно-развлекательного центра.
Некоторые модели, рекомендуемые для использования в практике оценки Нелинейная регрессионная модель для оценки единых объектов недвижимости, включающих земельные участки и строения
В приведенном фрагменте отчета использована модель следующего вида:
Почему выбрана именно такая модель, а не, например, вида (1) или (2) или какая-либо другая?
Дело в том, что модель или, как это часто называют, объясняющая функция должна отражать природу явлений, «физику» процесса, и эксперимент нужен только для уточнения параметров модели. Но не наоборот: сначала эксперимент, а затем подбор модели, наиболее точно отражающей его результаты, но не содержащей какого-либо физического смысла.
Кстати говоря, аппроксимирующие функции вида (1) есть результат разложения неявных функций в ряды. Рассуждения тут примерно следующие. Мы не знаем, какой функцией описать зависимость У от х, но пусть это будет функция /(х) неизвестного нам вида. Разложив /(х) в ряд, можно получить полином любой степени, а соответствующим образом подобрав коэффициенты полинома, получить модель, проходящую через все экспериментальные точки (аналоги). Проблема лишь в том, что полученная модель ничего не объясняет.
Вернемся к модели (3). В практике оценки часто возникают ситуации, когда требуется оценить объект, характеризующийся двумя главными параметрами, ни одним из которых нельзя пренебречь, например имущественные комплексы в составе строений площадью Пс и земельного участка площадь Пз. Если было бы можно найти аналоги примерно с такими же площадями земли и строений или хотя бы с таким же соотношением площадей, то особых проблем не было бы. В действительности практически всегда площади земли и строений аналогов существенно отличаются: либо земли много, а строений мало, либо наоборот. При этом стоимость единого объекта распределяется на землю и строения в соответствующих пропорциях, поэтому требуется модель, показывающая, как рынок распределяет стоимость между землей и строениями.
Итак, пусть стоимость единого объекта включает стоимость земли и строений:
где Сз, Сс - стоимости земельного участка и строений.
Здесь нужно заметить, что поскольку предполагается работать с сообщениями о продаже (аналогами), ответ на вопрос, что понимается под землей и строениями, следует искать в сообщениях. Например, куда рынок относит коммуникации: к строениям или к земельным участкам?
Стоимости земельного участка и строения равны произведению удельных стоимостей на площади:
где Сзу, Ссу - удельные стоимости земельного участка и строений, р./кв. м, р./сотка и т. д.
С учетом этого стоимость единого объекта примет вид:
Сед = в1П3В2+1 + в3пвс<+1
(3)
(4)
(5)
(6)
Здесь можно остановиться, если зависимости удельных стоимостей от площадей отсутствуют, то есть Сзу = const и Ссу = const. Такие ситуации часто возникают тогда, когда площади аналогов незначительно отличаются друг от друга и построение регрессионной зависимости сводится к тривиальному использованию функции «ЛИНЕЙН» из пакета Excel (в условиях предыдущего примера, см. табл. 2).
Таблица 2
Расчет стоимости аналогов и объекта оценки с использованием функции
Excel «ЛИНЕЙН»
Рассматриваемые объекты Площадь земли, м2 Площадь общая, м2 Скорректированная цена, р. Стоимость по уравнению регрессии, р. Погрешность аппроксимации, млн р.
Объект оценки 951 4 б93 219 253 183
1 3 000 2 б70 169 495 926 154 913 349 14,58
2 2 500 4 500 254 15В 163 229 718 444 24,44
3 3 000 3 750 230 741 В90 202 682 099 28,06
Аналоги, № п/п 4 3 477 2 254 163 479 523 142 367 658 21,11
5 10 770 1б 67b 863 617 609 869 845 203 -6,23
б 1 000 95б 77 538 600 54 556 984 22,98
7 3 477 2 254 180 953 965 142 367 658 38,59
B 3 000 3 750 283 226 904 202 682 099 80,54
9 12 000 14 0В5 739 369 293 770 257 648 -30,89
10 11 190 9 1В0 518 640 ВВб 543 Збб 947 -24,73
11 1 000 1 000 82 985 149 56 503 119 26,48
12 1 000 1 000 83 221 070 56 503 119 26,72
ПАРАМЕТРЫ СТАТИСТИКИ
Коэффициент регрессии С , р./м2 су С , р./м2 зу
Значение коэффициента регрессии 44 230 12 273
Стандартное значение ошибки для коэффициента регрессии 5 702,9 б 777,5
Коэффициент детерминированности и стандартная ошибка для оценки отклика 0,992735 Зб 833 321,8
Сумма квадратов погрешностей аппроксимации, (млн р.)2 13 566,94
Как следует из таблицы 2, линейная модель (7) ощутимо менее приближена к экспериментальным точкам (ценам аналогов), чем нелинейная, так как квадраты ошибок приближений более чем в 4 раза выше. Однако надо всегда помнить, что главным показателем адекватности модели является соответствие ее результатов здравому смыслу. Часто приходится отдавать предпочтение более простой и ясной модели, чем сложной.
Для наглядности на рисунке 1 представлено расположение аналогов и поверхности линейной регрессии.
Пз, м2 15000 о
Рис. 1. Аналоги и поверхность линейной регрессии Сед = Сзу Пз + Ссу Пс
Если же допущение об отсутствии зависимости удельных стоимостей (Сзу и Ссу) от площадей (Пз и Пс) принять нельзя из-за значительных различий в площадях, то требуются предположения о характере зависимостей удельных стоимостей от площадей.
Опыт показывает, что чем больше площадь объекта оценки, тем, как правило, меньше его удельная стоимость, а характер зависимости имеет вид степенной функции (см. рис. 2), хотя это может быть и экспонента.
размер (Р)
Рис. 2. Характерная зависимость удельной стоимости объектов от их размеров (Р)
Такой характер зависимости, вероятно, объясняется эффектом «опта», когда выгодно продать больше, дешевле и быстрее.
Примем для определенности степенную зависимость, хотя это не принципиально, так
как могут быть условия, при которых наблюдаются иные закономерности. Тогда выражение (7) примет вид:
См = С3 + Сс = С0уП3 + СсуПс = В,П?П, + В3Пвс‘Пс = В,П?" + ВзП‘‘". (8)
Эта модель и была использована для оценки культурно-развлекательного центра в приведенном фрагменте отчета об оценке.
Надо заметить, что подобным образом подошли к оценке земельных участков Л.А. Лей-фер и З.А. Кашникова3. Однако они решили упростить двухфакторную модель вида (7), снизив ее размерность путем деления правой и левой частей уравнения (7) на площадь земельного участка (Пз). В результате, получилось уравнение, связывающее удельную стоимость единого объекта СедУ (по отношению к площади земли) с плотностью застройки земельного участка (ПЗ):
; (9)
3 3
или
СедУ = Сзу + СсуПЗ. (10)
Таким остроумным способом удалось снизить размерность модели. Теперь вместо двух ценообразующих факторов Пз и Пс рассматривается лишь один ПЗ - плотность застройки земельного участка (см. рис. 3), но вместо стоимости единого объекта приходится оперировать удельной (по площади земли) стоимостью единого объекта (СедУ).
плотность застройки Рис. 3. График регрессии Л.А. Лейфера и З.А. Кашниковой
Какова же цена снижения размерности модели (7) путем перехода к удельным показателям?
К сожалению, проверка в условиях нашего примера показала, что упрощенная модель дает худшие в смысле точности приближения к экспериментальным данным результатов
3 Лейфер Л. А., Кашникова З. А. Модифицированный метод выделения для оценки рыночной стоимости земельных участков производственно-складского назначения. Приволжский центр финансового консалтинга и оценки, 2006. У^: http://www.labrate.ru/leifer/lev_leifer_article-27_land_valuation.htm
оценки (см. табл. 3 и рис. 4).
Так, если при использовании нелинейной регрессионной модели (8) сумма квадратов отклонений цен аналогов от поверхности регрессии равна 2 955,89 (млн р.)2, а линейная модель (7) - 13 566,94 (млн р.)2, то, применяя модель Л.А. Лейфера и З.А. Каш-никовой, получаем такие коэффициенты регрессии для той же самой линейной модели Сед = Сзу Пз + Ссу Пс, что сумма квадратов ошибок возрастает до 72 072,06 (млн р.)2.
Таблица 3
Результаты оценки методом Л.А. Лейфера и З.А. Кашниковой
Рассматриваемые объекты Площадь земли, м2 Плотность застройки Скорректированные щены объекта ощенки, аналога, р. Удельная скорректированная щена земли, р/м2 Стоимость земли по уравнению регрессии, р./м2 Стоимость объекта ощенки, аналога по уравнению регрессии, р. Погрешность аппроксимащии, млн р.
Объект оценки 951 4,94 234 819 223 312 953
Я и/и од/ ‘Ш01ЛЗН\/ ^ 1 3 000 0,89 169 495 926 56 499 63 571 190 712 130 -21,22
2 2 500 1,80 254 158 163 101 663 102 096 255 240 382 -1,08
3 3 000 1,25 230 741 890 76 914 78 812 236 434 633 -5,69
4 3 477 0,65 163 479 523 47 017 53 336 185 450 973 -21,97
5 10 770 1,55 863 617 609 80 191 91 454 984 917 675 -121,30
6 1 000 0,96 77 538 600 77 539 66 365 66 364 863 11,17
7 3 477 0,65 180 953 965 52 043 53 336 185 450 973 -4,50
8 3 000 1,25 283 226 904 94 409 78 812 236 434 633 46,79
9 12 000 1,17 739 369 293 61 614 75 583 907 001 412 -167,63
10 11 190 0,82 518 640 886 46 349 60 623 678 372 538 -159,73
11 1 000 1,00 82 985 149 82 985 68 228 68 227 632 14,76
12 ффи 1 000 щиентр 1,00 егресс 83 221 070 ПАРАМЕТРЫ ии 83 221 >/ СТАТИС 68 ТИК 228 И 68 227 6 Су 32 14,99 Сзу
Значение коэффициента регрессии 42 336 25 892
Стандартное значение ошибки для коэффициента регрессии 10 458,75129 11 832,91
Коэффициент детерминированности и стандартная ошибка для оценки отклика 0,621000235 11 966,16
Сумма квадратов погрешностей аппроксимации, (млн р.)2 72 072,06
Справедливости ради надо заметить, что результат оценки земли, определенной по модели Л.А. Лейфера и З.А. Кашниковой (25 892 р./м2), значительно ближе к результату оценки, полученному по более точной нелинейной модели (28 802 р./м2), чем результат оценки по простой линейной модели (12 273 р./м2).
О. 10
о
Л, м2 15000 0
Рис. 4. Аналоги и поверхность регрессии Сед = СзуПэ + СсуПс по коэффициентам, найденным методом Л.А. Лейфера и З.А. Кашниковой
Нелинейная регрессионная модель для оценки объектов, подверженных
обесцениванию с течением времени
В практике оценки бывает трудно, а иногда невозможно найти объекты, аналогичные оцениваемому по степени обесценивания. Поиск же объектов-аналогов с различной степенью обесценивания, как правило, более результативен.
Трудностью, с которой сталкиваются оценщики, также является разнородность аналогов по основным ценообразующим факторам, например массе, мощности или размерам.
В таких ситуациях зачастую целесообразно использовать модель следующего вида:
где Сн - стоимость нового объекта;
И - общее обесценивание;
В1 - В3 - коэффициенты регрессии;
Х1 - главный ценообразующий фактор;
Х2 - «возраст» объекта (срок службы, наработка с начала эксплуатации в часах, циклах и т. п.).
Выражение (10) оказывается весьма удобным для применения в практике оценки, так как логарифмированием и заменами переменных легко превращается в линейное уравнение:
с = Ь + Ь2 х1 + Ь3х2, (11)
где с = 1п С;
(10)
Пример
Оценивается несамоходная баржа длиной 121,9 метра 1975 года постройки. После проведения многочисленных корректировок цен аналогов на «торг», отличия их от объекта оценки по дате предложения, составу оборудования, назначению и т. п. получена зависимость цен аналогов от длины и года их постройки в табличной форме, которая аппроксимирована моделью вида (10) с помощью выражения (11).
Расчеты с использованием модели С = Вл X?2 еВз *2 проведены в таблице 4. Для получения коэффициентов регрессии и других статистических показателей применена функция Ехе1 «ЛИНЕЙН».
Таблица 4
Результаты оценки баржи регрессией С = ВЛX*2еВзХ2 с предварительной заменой
переменных
Рассматрива-емые объекты Длина наибольшая (І. ), м ' тах 1п L тах Срок службы после постройки, годы Скорректированная цена (без учета НДС, Цск), р. іп Ц ^ск Стоимость по уравнению регрессии (без учета НДС), р. Погрешность аппроксимации, млн р.
Объект оценки 121,9 4,803365092 35 53 143 353
Аналоги, № п/п 1 100,0 4,604870141 4 65 131 538 17,99191945 77 925 689 12,79
2 46,5 3,839452313 22 25 590 902 17,05774745 18 649 646 -6,94
3 32,0 3,465735903 3 15 888 578 16,58111105 16 689 381 0,80
4 100,7 4,611649152 1 59 407 586 17,89993249 83 800 184 24,39
5 128,0 4,852030264 1 172 849 136 18,96792973 116 521 197 -56,33
6 57,6 4,053522568 18 15 888 578 16,58111105 27 218 473 11,33
7 101,0 4,615120517 31 62 310 398 17,94763887 44 672 664 -17,64
8 135,8 4,911183215 2 216 593 759 19,19353408 123 725 164 -92,87
9 103,7 4,641502115 46 24 378 883 17,00922786 33 737 917 9,36
10 80,8 4,392348184 56 35 060 234 17,37257811 19 407 821 -15,65
11 76,3 4,334017415 31 36 429 638 17,41089323 30 382 936 -6,05
12 76,3 4,334017415 28 37 799 042 17,44779432 32 371 050 -5,43
13 100,7 4,611649152 27 51 493 082 17,75695803 48 381 263 -3,11
14 118,1 4,771309006 22 122 607 413 18,62449804 66 933 218 -55,67
15 108,6 4,687815044 28 23 182 120 16,95889187 52 585 067 29,40
16 106,8 4,670817467 4 73 403 546 18,1114828 85 301 341 11,90
17 73,2 4,293523236 40 13 012 830 16,38144633 23 764 688 10,75
18 85,4 4,447673916 30 17 257 982 16,66378532 36 265 529 19,01
19 87,7 4,474377896 35 26 843 810 17,10554581 33 846 929 7,00
20 128,0 4,852030264 43 51 493 082 17,75695803 47 976 242 -3,52
21 48,0 3,871201011 32 27 867 649 17,14297703 15 769 642 -12,10
22 87,8 4,474833684 6 50 397 559 17,7354533 62 500 794 12,10
23 75,0 4,317488114 10 32 321 426 17,29124091 46 288 701 13,97
24 90,0 4,49980967 6 71 486 380 18,08501751 64 678 522 -6,81
25 93,3 4,535820108 11 94 694 354 18,36616494 61 140 338 -33,55
26 21,0 3,044522438 35 5 207 227 15,465558 4 763 903 -0,44
27 40,0 3,688879454 20 16 990 646 16,64817352 15 825 144 -1,17
28 122,5 4,80811103 34 55 698 800 17,83546916 54 632 503 -1,07
Вид регрессии ПАРАМЕТРЫ СТАТИ Линейная c = Ь1 + Ь2 х1 + Ь3х2 СТИКИ Нелинейная С = В, ХВ2 еВз Х2
Коэф- фициент регрессии Ь3 Ь2 Ь1 B1 = еЬ1 B = Ь 2 2 со и со
Значение коэффи- циента регрессии -0,021127792 1,371314082 11,94105413 153 438,3489 1,371314082 -0,021127792
Стандартное значение ошибки для коэффициента регрессии 0,005217702 0,181569376 0,817344442
Коэффициент детерминированности и стандартная ошибка для оценки отклика 0,759413409 0,418843005
Сумма квадратов погрешностей аппроксимации, (млн р.)2 19 759,53
<± 2.5-,-'
0 0
Рис. 5. Вид аппроксимирующей поверхности стоимости объектов С = еВз Х2, полученной с помощью замены переменных и функции «ЛИНЕЙН», где Х1 - длина (в метрах), а Х2 - срок службы объектов (в годах)
Несмотря на явное удобство, замена переменных и трансформация нелинейной функции С = В^Х?2еВзХ2 в линейную c = Ь + Ь2х1 + Ь3х2 также, оказывается, ведет к потере
точности приближения. Для доказательства воспользуемся стандартной опцией пакета Excel «Поиск решения» для нахождения значений коэффициентов регрессии В1 - В3, приводящих к минимуму сумму квадратов отклонений цен аналогов от поверхности цен С = В^Х?2 еВз *2 (см. табл. 5 и рис. 5).
Таблица 5
Результаты оценки баржи регрессией С = B^Xf2еВзХ2 без замены переменных
с помощью опции «Поиск решения»
Рассматриваемые объекты Длина наибольшая, м Срок службы после постройки, годы Скорректированная цена (без учета НДС), р. по р. 1 £ ивр оаг oSa. Погрешность аппроксимации, млн р.
Объект оценки 121,9 Зб 6B 431 203
1 £ о Коэ реп 1 100,0 4 бб 131 63b 81 877 935 16,75
2 4б,б 22 2б 590 902 б 456 434 -19,13
3 32,0 3 15 ВВВ 578 3 588 833 -12,30
4 100,7 1 59 407 бВб 89 521 205 30,11
б 12B,0 1 172 849 136 174 056 750 1,21
б б7,б 1B 15 ВВВ 578 12 822 469 -3,07
7 101,0 31 62 310 398 44 662 242 -17,65
B 136,B 2 216 593 759 200 237 276 -16,36
9 103,7 46 24 378 883 33 771 819 9,39
10 B0,B бб 35 060 234 13 402 909 -21,66
11 7б,3 31 Зб 429 638 20 523 766 -15,91
12 7б,3 2B 37 799 042 22 022 804 -15,78
13 100,7 27 51 493 082 4В 594 953 -2,90
14 11B,1 22 122 607 413 84 99В 884 -37,61
1б 10B,6 2B 23 182 120 58 597 964 35,42
1б 106,B 4 73 403 546 9В 262 558 24,86
17 73,2 40 13 012 830 14 851 33В 1,84
1B B6,4 30 17 257 982 2В 773 бВб 11,52
19 B7,7 Зб 26 843 810 27 545 Збб 0,70
20 12B,0 43 51 493 082 64 874 377 13,38
21 4B,0 32 27 867 649 б 572 ВВЗ -22,29
22 B7,B б 50 397 559 54 518 809 4,12
23 7б,0 10 32 321 426 32 115 123 -0,21
24 90,0 б 71 486 380 5В 41В 379 -13,07
2б 93,3 11 94 694 354 57 382 861 -37,31
2б 21,0 Зб б 207 227 527 706 -4,68
27 40,0 20 16 990 646 4 461 932 -12,53
2B ффи ресс 122,б циент ии 3 ПА 4 РАМ 55 698 8( ЕТРЫ СТАТИ В1 0 С 70 984 0 ТИКИ В2 15 15,29 ВЗ
Значения коэффициента регрессии 264,393351 2,7бб04В7б -0,023498302
Сумма квадратов погрешностей аппроксимации, (млн р.)2 9 453,79
о. 2.5
со
о
X
О 2
1.5
1
0.5
0 60
Х2,
Рис. 6. Вид аппроксимирующей поверхности стоимости объектов С = В^ХВ2 еВз *2, полученной с помощью опции «Поиск решения», где Х1 - длина (в метрах), а Х2 - срок службы объектов (в годах)
Как следует из таблиц 4, 5 и рисунка 6, точность приближения рыночных данных регрессией вида С = В1ХВ2еВзХ2 путем прямого поиска минимума суммы квадратов отклонений более чем в 2 раза выше, чем после приведения этой регрессии к линейному виду.
Таким образом, минимизация квадратов отклонений цен аналогов от поверхностей регрессий с использованием программных средств поиска экстремумов является весьма эффективным методом «подгонки» объясняющих функций (регрессий) под рыночные данные. Любые модификации объясняющих функций с целью достижения наглядности, упрощения или приведения к линейному виду могут в значительной степени снизить точность приближений и привести к неадекватным результатам оценки объектов.
ЛИТЕРАТУРА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. Марчук А. А., Бутова Е. А. Скидки на торг: реалии кризиса. URL:http://www.appraiser.ru/default.aspx?SectionId=41&Id=3000
2. Складские здания // КО-ИНВЕСТ, 2008.
3. Лейфер Л. А., Кашникова З. А. Модифицированный метод выделения для оценки рыночной стоимости земельных участков производственно-складского назначения. Приволжский центр финансового консалтинга и оценки, 2006.
URL: http://www.labrate.ru/leifer/lev_leifer_article-27_land_valuation.htm
