CC BY
15
92 Гуцунаев Ц. И. и др. К вопросу о физической интерпретации . . .
УДК 530.12:531.51
К вопросу о физической интерпретации стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна
Ц. И. Гуцунаев, А. А. Шайдеман, З. Э. А. Вайл, С. Л. Эльсгольц
Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье предпринята попытка физического анализа стационарных аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна. Анализ базируется на использовании релятивистских неинерциальных систем отсчёта.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, стационарные решения, неинерциальные системы отсчёта.
1. Основные уравнения
Как известно (см., например, [1]), без ограничения общности метрику стационарного поля можно записать в виде
(1)
ёз2 = /-1 [е27(ёр2 + ёх2) + р2ёр2] - /- шёр)2,
где р, р, х, £ — канонические координаты Вейля и время, соответственно, а метрические функции /(р,х), ш(р,х), 7(р, х) определяются из уравнений Эйнштейна
ч
ч2
/Л/ = (V/)2 - р4(Уш)2
VI р2Уш | =0,
д! = р/ 2 др 4
д2 = р/-2 дх 2
/4
2
др.
'д!_\2 _ (/л2
<др) Vдх) р2 д/ д/ /4 дш дш др дх р2 др дх Здесь операторы Л и V задаются выражениями
д2 1 д д2 ^ ^ д
1 др
дх
, „ „ х ^ _ д Л = ТГ^ +---+ ^-о , V = ро^- + х0 —,
др2 р др дх2 др дх
где ро и Ро —единичные векторы.
Одно из решений уравнений (2) и (3) имеет вид (см., например, [2])
/ = /е
х - х1 + Vр2 + (х _ х1 )2 ■ Л Уо
С-,
ф = Фе = ^р1+(х -х1)2 + С2,
ш=ш=
С ■еЬ Уо
^р2 + (х - х1)2 1
еЬ Уо
/е
+ Сз
1
1
7 = 1е = 21п /е - 21п V Р2 + (х - х1)2 +
(2)
(3)
(4)
Статья поступила в редакцию 18 декабря 2007 г.
е—
е
—е е
е е—
е —е
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1. 2008. с. 92-95
93
где г, Уо, С/, С2, Сз, 70 —произвольные постоянные. Решению (4) согласно (1) соответствует метрика
е 1 ур2 + - гх)2 /е
- /е
^р2 + (г - г/)2 + С Л, I2
Ч еЬ У/ + ^ ^ '
(5)
Нетрудно видеть, что преобразование координат-времени
2С/е270 ■ р = - ^)2 - с2г'2,
е "7о ■ V
, /——— У1 - ^ Уо, г' - г/ + сИ ■ V = V V 1 + th уо--г-1п--^-—,
2
4Схе2^о ■ (г - г/) _ (г' - г/ )2 - с¥2 - р/2,
г' - г/ - сг' '
2
(6)
1
+ 2
1
1
1 (Сз +
1 С
С/
С/
1
+ Уо е-70 сЛ _ ' 1 + 1Ь Уо ^ , С +_ _
2 ^ С/ _ ^ ^ 2 ^ С/ V 3 + 1 + Л Уо ^ еЬ Уо
1
1п
+
г' - г/ + сг' г' - г/ - сг',
2еЬ Уо С/ V 1 + Уо еЬ Уо, где г/ —новая постоянная, переводит метрику (5) в метрику Минковского
_ ¿р'2 + р'2^'2 + ¿г'2 - с2ёг'2.
(7)
Таким образом, метрика (5) стационарного евклидона описывает плоское пространство-время.
Формулы обратного преобразования имеют вид
р
V
/р_
, _ е-70 ■ V _ + ^ Уо
1 - ^ Сз +
С/
1
+
1 + Уо еЬ Уо,
^Г—ТЕУо е-70 сг
+
г' - г/ _ е70 У2С/Р+ еь|
+ tЬ Уо е-70
2 СТ
сг - V Сз +
С/
С/ '
1
(8)
1 + tЬ Уо еЬ Уо
сг' _ е70 ^2С/Р+ яЬ
V1 + tЬ Уо е-
■70
С/
сг - V Сз +
С/
1
1 + Л Уо еЬ Уо
Здесь обозначено р± _ р2 + (г — г/)2 ± (г — г/).
То обстоятельство, что пространство-время, описываемое метрикой (5), является плоским, послужило поводом назвать решение (4) стационарным евклидо-ном.
Евклидонные решения имеют ясную физическую интерпретацию, так как они связаны с различными релятивистскими системами отсчёта в рамках СТО.
В дальнейшем штрихованную систему отсчёта (р', V', г', г') будем называть неподвижной, или инерциальной, системой отсчёта (ИСО), а (р, V, —неинер-циальной (НСО). Переход от одной к другой осуществляется по формулам (6) или (8).
х
х
2
х
е е—
е —е
94
Гуцунаев Ц. И. и др. К вопросу о физической интерпретации . . .
2. Стационарный евклидон
В случае стационарного евклидона, определяемого формулой (4), НСО в соответствии с формулами перехода (6) и (8) совершает сложное релятивистское движение. Рассмотрим его. Для некоторой точки, неподвижной в НСО, имеем
р = ро, z = zo, p = p'oe,a\J 1 + th Vo, l± = \JPo + (zo - Zl)2 ± (zo - Zi).
(9)
Введём соответствующие обозначения
1
1
zi =--, ao
ao
^o
2Ci
ao
c ch Vo 1 + th Vo
В инерциальной системе отсчёта (НСО) эта точка совершает движение согласно формулам (6) и (8) по закону
рр = e10 \J2Ciij0_ = p'o = const,
/, , (aot\2 aot
, , + Woc Iy1 + —
p = po + -—In -,
2ao /_. , (aot )2 aot
(10)
z =
a0
'1 +
(aot. )2 _
c
Таким образом, точка (9), неподвижная в НСО, в ИСО совершает движение
в z'-направлении со скоростью
V 'С) = ^
aot'
i + (ar )2
и ускорением
( dz' \
dt'
dt'
1 -<V )V
a0
1 - (^ )2
= const.
Одновременно с этим она вращается вокруг оси х' с угловой скоростью
dp' dt7
Wo
1 + (ar )2
и угловым ускорением
A dt7
^ dp' \ dt'
V' \ 2
1 -' _) J
0.
2
2
c
c
2
c
1
d
a
Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1. 2008. с. 92-95 95
3. Стационарные решения ОТО и НСО
Можно связать метрику (1) определённого стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля /(р, г), и(р, г), 7(р, г) с метрикой стационарного евклидона (5) в некоторой области пространства-времени:
и(р,г)/(р,г) _ 1 1
vV2 + (z - Z1)2 - (z - zi) ch Vo 1 + th V0 z - zi + ^p2 + (z - zi)2 ■ th Vo
f(p,z)
e^Vp2 + (z - zi)2 = e270
= Ci, (11)
- zi + Vp2 + (z - zi)2 ■ th Vo
При Уо то, и то формулы (11) переходят в статический случай.
В частности, этот метод позволяет глубже проникнуть в физическую интерпретацию таких важных решений, как решение Керра и Шварцшильда.
Литература
1. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, Х. Штефани, М. Мак-Каллум, Э. Херльт; под ред. Э. Шмутцера. — М.: Энергоиздат, 1980. — 416 с.
2. Гуцунаев Ц. И., Шайдеман А. А., Шувалов С. А. Физическая интерпретация евклидонных решений уравнений Эйнштейна // Вестник РУДН: Серия Физика. — № 1(13). — 2005. — С. 80-85.
z
UDC 530.12:531.51
On Physical Interpretation of Stationary Vacuum Axially Symmetric Solutions to the Einstein Equations
Ts. I. Gutsunaev, A. A. Shaideman, Z. E. A. Wael, S. L. El'sgolts'
Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
In this article we make an attempt of physical examination of stationary solutions of the Einstein equations. This problem's pursued with the use of relativistic non-inertial frames of reference.
e—
e
—e e
