CC BY
29
Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 3. 2009. С. 85-88
УДК 530.12:531.51
Функция Грина в гравистатике Эйнштейна
Ц. И. Гуцунаев, А. А. Шайдеман, Х. Д. Ариас Эрнандес, Х. Ф. Визуэте Франко, А. В. Калмыков
Кафедра теоретической физики Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье применяется метод функции Грина для построения статических аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна.
Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, статические решения, функция Грина.
1. Введение
Для вакуумных статических уравнений Эйнштейна было получено в 1916 г. сферическое симметричное решение Шварцшильдом [1]. Для статических аксиально-симметричных уравнений Вейля [2] были получены решения Шази [3], Керзоном [4] и другими. Данная работа основана на методе функции Грина. С помощью этого метода были получены некоторые статические решения уравнений Эйнштейна.
2. Основные уравнения
Для аксиально-симметричных статических вакуумных гравитационных полей линейный элемент Вейля имеет вид:
с1з2 = 1 [е27(ёр2 + &2) + р2ёр2] - /ёЛ (1)
где р, х, р и £ — канонические координаты Вейля и время. Здесь / = /(р, х) и 7 = 7(P, г).
Уравнения Эйнштейна для аксиально-симметричных гравитационных полей вне источника имеют вид:
/А / = (У Л2. (2)
<1 = Р/-2((|)2 - (Ю} = РГЩ (3)
Операторы А и V определяются по формулам
д2 1 д д2 др2 р др дх
А ^ + + (4)
^ -> д ^ д
V "р0 др + Тг (5)
При замене
/ = е2Ф (6)
уравнение (2) становится линейным:
д 2Ф 1 дФ д2Ф
АФ =—2 + + —2 =0. (7)
др2 р др дх2 v ;
Статья поступила в редакцию 26 мая 2009 г.
3. Метод функции Грина
В правой части (7) содержится нуль, хотя на самом деле должна быть сингулярная функция, характеризующая распределение источников.
Пусть а(р, х) — массовая плотность таких источников, и тогда перепишем (7) в виде
1 д ( 0Ф\ д2Ъ
~р~др\Р~др) + ~д7
Р— + — = а(Р,*), (8)
р ир '
Пример 1. Пусть
+^
а(р,г) = 2т5(г) I д(к)^(кр)кАк, (9)
о
где 5(х) = / — ¿-функция Дирака, •10(кр) — функция Бесселя, т —
вещественная постоянная, д(к) — производная гладкая функция.
Будем искать решение в форме
+^ + ^
Ъ(р,г) = 2т ! kdk J д(к)МкрУхгС(к,х)&Х- (10)
о о
Функция Грина С(к,\) удовлетворяет уравнению
А—1[Мкр)ег^ ] = С(к,Х)Ыкр)ег^, (11)
где А-1 — обратный оператор к (4). С помощью уравнения Бесселя:
( д2 1 д
+ -—Уо(кр) = -к2Мкр) (12)
\др2 рдр мы находим
^(к,Х) = -. (13) Если подставим (13) в (10), то получим решение
Ъ(р,г) = -т ! д(к)Зо(кр)е—кгАг. (14)
о
а) В случае д(к) = кп, где п = 0,1, 2,..., мы имеем решения
Ъ(р,г) = -тГ(п + 1)(УТГ^) х , (15)
где Рп — полиномы Лежандра, Г(п +1) — гамма-функция. Легко видеть, что решение (15) удовлетворяет уравнению (7).
В частном случае п = 0 мы получаем решение Шази-Керзона
Функция Грина в гравистатике Эйнштейна
87
б) В случае д( к) = + кnJn(ук), где п, V = 0,1, 2,..; у, т — вещественные постоянные, Jl,(у к) — функция Бесселя, мы имеем решение
ф(р,2) = -m>nrЫ х
Г( v + 1)
Г(п + и+1 + 2к)„ . п 72А А р2 ^ ^
х у v --—-F -к, -к^ + ^Лг -тт , (17)
¿=0 к!Г(к + 1) V PV V 4z2;
где Г( v) — гамма-функция, F(а,@;7;-г) — гипергеометрическая функция. При п = v = 7 = 0 мы получаем (16).
Пример 2. Пусть
+^
.(Р, *) = 2^2 fKx)^ cosXZdX, (18)
Р W X
р * О X
+00
где 5(р) = / р/0(кр)кёк — ¿-функция Дирака, Jo(кр) — функция Бесселя, д(х) 0
произвольная гладкая функция. Будем искать решение в форме
+^
ф(р,z) = - i д(х)Мкр)С08хгХтхтС(к,хШ (19)
* О х
Функция Грина С1(к,х) удовлетворяет уравнению
/о( кр) cos х= С(к,х)^
Из (20) находим
A X[J0 ( кр) cos х^] = С(к, х)^0(кр) cos х%. (20)
С(к,х) = - 1
к2 + х2
В этом случае получим решение
+ос
-- Г С°^шхтг(х)Х0(хр)йх =
* 0 х
2 [ sin(z -т)х~, / ч , 2 [ sin(z + т)х ,
= - —-—д(х)Ко(хр)^х -- —-—д(х)Ко(хр)^х, (21)
* J х * J х
оо
где К0(хр) — функция Макдональда.
Если д(х) = хЛ+1, ^ = const, то мы получим
Ф(р, ¿0 = 2
2лГ2( ^)
*р2+А
- m)F ( ^, ^ ф - )-
(22)
где Р(а,Р— гипергеометрическая функция. В частном случае Л = —1 мы получим решение Шварцшильда
т, л , г — т + л/р2 + (г — т)2 Ф(р, г) = 1п ■
z + т + \J р2 + (z + т)2
4. Заключение
Что можно сказать о физическом смысле полученных решений? По всей видимости, они описывают поля деформированных статических аксиально-симметричных источников. Кроме того, преимуществом метода функции Грина является то, что он позволяет строить в явном виде функции источников рассматриваемых решений.
Литература
1. Schwarzschild K. Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Ein-steinishen Theorie // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. — 1916. — Vol. 7. — P. 189.
2. Weyl H. Zur Gravitationstheorie // Annal. Physik. — 1917. — Vol. 54. — P. 117.
3. Chazy I. Sur le champ de gravitation de deux masses fixes dans la theorie de la relativite // Bull. Soc. Math. France. — 1924. — Vol. 52. — P. 17.
4. Curzon H. Bipolar Solutions of Einstein's Gravitational Equations // Proc. Math. Soc. London. — 1924. — Vol. 23. — P. 477.
UDC 530.12:531.51
The Green's Function for Static Gravitational Einstein Fields
Ts. I. Gutsunaev, A. A. Shaideman, J. D. Arias Hernandez, J. F. Vizuete
Franco, A. V. Kalmykov
Department of Theoretical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russia, 117198
We apply the method of Green's function to generating axisymmetric static solutions to Einstein's equations.
Key words and phrases: Einstein's equations, static solutions, Green's function.
