CC BY
18
80 Гуцунаев Ц. И. Физическая интерпретация евклидонных решений уравнений ...
УДК 530.12:531.51
Физическая интерпретация евклидонных решений уравнений Эйнштейна
Ц. И. Гуцунаев, А. А. Шайдеман, С. А. Шувалов
Кафедра теоретической физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье предпринята попытка физического анализа статических и стационарных евклидонных решений уравнений Эйнштейна. Анализ базируется на использовании релятивистских неинерциальных систем отсчета.
1. Введение
Прогресс в развитии общей теории относительности (ОТО) и в понимании её физического содержания во многом определяли и определяют точные решения уравнений Эйнштейна. Именно поэтому в настоящее время проблема получения и исследования точных решений в ОТО приобретает всё большее значение. Нельзя сказать, что анализу того или иного точного решения посвящено много публикаций. Ещё в 1975 году Киннерсли писал: «Большинство известных точных решений описывает ситуации откровенно нефизические, и существует тенденция меньше всего внимания уделять самым полезным решениям». Такая ситуация сохраняется, к сожалению, и в наши дни.
В настоящей работе анализируется физическое содержание статических и стационарных евклидонных решений уравнений Эйнштейна. Эти решения являются как-бы «кирпичиками» метода, который позволяет конструировать почти все известные точные решения вакуумных стационарных аксиально-симметричных уравнений Эйнштейна. В число последних входят и такие важные, как решение Шварц-шильда и решение Керра.
2. Основные уравнения
Как известно (см., напр., [1]), без ограничения общности метрику стационарного аксиально-симметричного гравитационного поля можно записать в виде
с182 = /-1 [е2^(ф2 + ¿г2) + р2йV?2] - /(<Й - иикр)2 ,
(1)
где р, ц>, г, ¿ — канонические координаты Вейля и время соответственно, а метрические функции /(р, г), ш(р, г), 7(р, г) подлежат определению из уравнений Эйнштейна
/Д/=(у/)^(Уи,)2, (2)
д7 = РГ2 др 4
- (Ё1\ др) \дг)
/4
ди> \ 2 / ди> \ 2п д,Р)
д1_Рг2(д/ о/ /4 дш дю
дг
др дг р2 др дг
Здесь операторы Д и V задаются выражениями Д
д2 1 д д2 dp2 р dp dz2'
д_ 'др
V = pQ-z- +z0
д_ dz '
где ро и — единичные векторы.
Одно из решений уравнений (2) и (3) имеет вид (см., напр., [2])
f = fE■ U — iüE
7 = 7в :
г - г! + у/(Р + (z - z{f ■ th V0
1
yfp2 + (z ~ Zl)2 J_______
ch V0 ' fE 1 + thVo ' ch Ко '
1 ln г - + y/p2 + (z _ . th Fo
(4)
где 21,^0 и — постоянные величины.
Решение (4) —это так называемый стационарный евклидон. Термин «евклидон» будет обоснован ниже. Решению (4) согласно (1) соответствует метрика
2 dp2 + dz2
dsE = zc-
p2dip2 !e
у/ p2 + (z — Z\)2
+
■h
cdt
(yjp2 + {z-zif
Zr.
dp
(5)
V сЬУо-Д' 1-НЬК0 сЬУо Нетрудно видеть, что преобразование координат-времени
2= А'2,
, , VI -ФУр, г' ^ ^ + а' * = + --2-1П - 4 - сГ
(6)
у/1 + th V0 Ct _1 z' - zj + et'
zr
et''
где г[ — новая постоянная, переводит метрику (5) в метрику Минковского
¿¡?м = dp'2 + p'2d^p'2 + dz'2 - C2dt'2 .
(7)
Таким образом, метрика (5) стационарного евклидона описывает плоское пространство-время.
Формулы обратного преобразования имеют вид
р = \J1zc\i_ ,
<Р
Vl + thVo
+
Vi - th Vo ct
z,,
' ' /0- u/Vl + thVb et
Z - = ■ Chi---—
[R- u/Vl+thV£ct
et = y/2zcp,+ ■ shl---—
Здесь обозначено
И± = \[р2 + - ± (г ~ ¿1) ■
Вернемся на время к решению (4). Несложными, но громоздкими вычислениями можно показать, что это решение (т.е. стационарный евклидон) обращает все компоненты тензора кривизны Яш™ Римана-Кристоффеля в ноль. Однако, делать этого, конечно же нет никакой необходимости, поскольку существуют формулы преобразования (6). Таким образом, метрика (5), как и метрика (7) не выходят за пределы специальной теории относительности (СТО).
То что пространство-время, описываемое метрикой (5), является плоским, и послужило поводом назвать решение (4) стационарным евклидоном.
Все сказанное выше приводит к тому, что евклидонные решения имеют ясную физическую интерпретацию, так как они связаны с различными релятивистскими системами отсчета в рамках СТО.
В дальнейшем штрихованную систему отсчета (р', ц>', г', 1'), будем называть неподвижной или же инерциальной системой отсчета (ИСО), а (р, кр, г, ¿)— неинерциальной (НСО). Переход от одной системы к другой осуществляется по формулам (6) или (8).
3. Статический евклидон
Статический евклидон и его метрика могут быть получены из (4) и (5), если положить ]/о —> оо. В таком случае имеем
, 2 - 21 + \/р2 + (-г - 2х)2 1 2 - 21 + у/р* + (г- ¿О2 / =-, 7=-1п- . =-, (У)
¿С 2 \/р1+ (г -
2 dp2 + dz2 zcp2d(p2
= In / \ <v
: + (z- zrf Z-Zl + yfp2 + (z-z1)2
- Z~Zl + \fp2 + iz~ Zl)2 . c2dt2 Zc
Формулы перехода (6) и (8) при этом также упрощаются
2zcp = p'\j{z' - z[)2 - сЧ'2 , <р = <р' • л/2,
4zc(z - Zl) = {z' ^ z[)2 - c2t'2 - р'
ct 1, z' -z\+ ct' — - In ■
ct' = ^2zc(i+ ■ sh ■
ZcV2 '
Рассмотрим в НСО (p, ip, z, t) некоторую покоящуюся точку
P — Po — const, г = zq — const, ip = ipoV2 = const.
(10)
2 (И)
ZCV2 2 z'-z[- ct' '
p = л/2гср- , ip' = , _ cf
z' - z[ = sj2zcp+ ■ ch —ц , (12)
ct
Для нее
р± = ¿4 =
Введем еще обозначение
= const.
а0
а0
С точки зрения (ИСО) она, конечно же, совершает движение и ее координаты, релятивистская скорость и релятивистское ускорение легко вычисляются:
р = = const = р'0, ip' = (yj0 , z'
с
а0
V
dt'
a0t'
d V'
(13)
'1 +
a0f
TZ2'
dt i fyi
а о •
Движение точки в соответствии с формулами (13) есть прямолинейное релятивистское равноускоренное движение. Иногда его называют гиперболическим. Для (13) при р0 = 0 выделим три частных случая:
1).
Ро = 0, z0 ^ zi, р - 2у zn{zi - z0), = (ро, z' = z\. (14)
2).
p0 = 0, zi=m, zo)m, z' — 2^Jzc(zq - m) a^t' _ (
cH"
'1 +
4г0(г0 - m)
v:
(15)
a„ i'
1sJZc{zü - m)
3).
= =-m , 2o)-m, z' — 2\Jzc{zq + m)
Vi - -
'1 +
c2i'
4z0(2Ü + те)
fl+f
'1 +
«0 =
2sJzc[zü + m)
(16)
4. Стационарный евклидон
В случае стационарного евклидона, определяемого формулой (4), НСО в соответствии с формулами перехода (6) и (8) совершает более сложное релятивистское движение. Рассмотрим его. Для некоторой точки, неподвижной в НСО, имеем
р = ро, z = z0 , <р = vWl + thVo . = \Jpl + {z0 - гг)2 ± (z0 ~ ). (17)
84
Гуцунаев Ц. И. Физическая интерпретация евклидоиных решений уравнений .
Введем соответствующие обозначения
Л Л
г1 —--, йо
йо
, =
йо
с V 1 +
В инерциальной системе отсчета (ИСО) эта точка совершает движение согласно формулам (6) и (8) по закону
2гср,°_ — ол^ = р'п
* = 1*?0 2йо 1
Ро-
'1 +
а0г' \ аоЬ'
11 +
аоЬ'\ аоЬ'
(18)
о0
'1 +
а0Ь'
- 1
Таким образом, точка (17), неподвижная в НСО, в ИСО совершает движение в ¿-направлении со скоростью
V' =
а0г'
'1 +
аа?
и ускорением
с£V
М'
У
}
а0
р'Ч2
Одновременно с этим она вращается вокруг оси г с угловой скоростью
ш0
(й'
и угловым ускорением
А
'1 +
«V <Й'
а0?
У
'1
у,2
— О.
/
В заключение заметим, что использованная в статье методика, позволившая установить физическое содержание одно-евклидонных решений (статических и стационарных), в таком виде не может быть применена в случае, например, двух-евклидонного решения, когда метрика уже не плоская. Возникшая проблема для своего упрощения потребует модификации метода.
Литература
1. Крамер Д., Штефани X., Херлып Э., Мак-Каллум М. Точные решения уравнений Эйнштейна / Под ред. Э. Шмутцера. — М.: Энергоиздат, 1980, - 416 с.
2. Gutsunaev Ts. I., Hassan N. // Gravitation and Cosmology. — 2003. — Vol. 9. — P. 121.
UDC 530.12:531.51
Physical Interpretation of Euclidon Solutions of the Einstein
Equations
Ts. I. Gutsunaev, A. A. Shaideman, S. A.Shuvalov
Department of Theoretical Physics, Russian Peoples Friendship University, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
In this article, we make an attempt of physical examination of static and stationary euclidon solutions of the Einstein equations. This problem pursued with the use of relativistic non-inertial frames of reference.
